2.1图形的轴对称（分层作业，27大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 2.1 图形的轴对称 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 轴对称图形的识别 题型02 根据轴对称图形的特征求解 题型03 画对称轴 题型04 找对称轴 题型05 成轴对称的两个图形的识别 题型06 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型07 作与已知图形成轴对称的图形 题型08 根据轴对称的性质进行求解 题型09 轴对称-最短路线问题 题型10 作轴对称图形 B组 能力进阶 题型01 求对称轴条数 题型02 利用轴对称设计图案 题型03 轴对称及其轴对称图形的判断 题型04 轴对称及其轴对称图形性质熟悉 题型05 设计轴对称图案 C组 思维拔高 题型01 台球桌面上的轴对称问题 题型02 轴对称中的光线反射问题 题型03 折叠问题 题型04 镜面对称 题型05 利用性质求角度 题型06 轴对称的性质—桌球反弹规律 题型07 车牌号码的镜面对称 题型08 钟表的镜面对称 题型09 电子钟示数的镜面对称 题型10 面积问题 题型11 最值问题 题型12 利用性质求角度（轴对称综合） 轴对称图形的识别题型01 1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其它垃圾、厨余垃圾、有害垃圾标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，本选项错误； B是轴对称图形，本选项正确； C不是轴对称图形，本选项错误； D是轴对称图形，本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合． 2．下列图形中是轴对称图形的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】解：第1个是轴对称图形； 第2个不是轴对称图形； 第3个是轴对称图形； 第4个是轴对称图形； 第5个不是轴对称图形. 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．下列是正方体的四种平面展开图，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么该图形就是轴对称图形．根据该定义判断即可解答． 【详解】A、C、D选项中的图形都不能沿着一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，它们都不是轴对称图形； 如图，B选项中的图形能够沿着一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，它是轴对称图形． 故选：B 4．跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 【答案】林、共、品、吉 【分析】本题侧重考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：根据轴对称的性质知：图中的汉字依次为：林、共、品、吉. 故答案为：林、共、品、吉. 5．下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 根据轴对称图形的特征求解题型02 1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【详解】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 2．如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字：______． 【答案】共 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握相关知识．根据轴对称图形的特征即可求解． 【详解】解：由题意可得这个字是共， 故答案为：共． 3．如图，点，，和点，，，，都在正方形网格的格点上，则能与点，，连线组成轴对称图形的点有________个． 【答案】4 【分析】利用轴对称的作图方法来作图，即可得到答案． 【详解】解：如图，，，，四点满足题意． 则点的个数是． 4．如图所示为一个英语单词的一部分，该单词有四个字母，且都关于直线对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词：______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质即可完成． 【详解】解：由轴对称知，这个单词为； 故答案为：． 画对称轴题型03 1．（24-25七年级下·江苏宜兴·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【详解】解：如图所示： 故选：A． 2．画出下列各图形的对称轴． 【答案】 如图所示． 【分析】本题主要考查了画轴对称图形的对称轴，第一个图形有2条对称轴，第二个图形有1条对称轴，第三个图形有5条对称轴，第六个图形有1条对称轴，再画出对称轴即可． 【详解】略 3．如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】 解：如图，直线l即为所求作． 【分析】本题考查了画对称轴，作已知线段的垂直平分线，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用尺规作出的垂直平分线即可． 【详解】略 4．如图，网格中的与为轴对称图形. (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=___________. (3)顶点在格点，找出以BC为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出___________个. 【答案】(1)如图， (2)3； (3)3个 【分析】（1）连接AD，作出AD的垂直平分线即可； （2）根据解答； （3）分别作出与以BC为公共边，其它两边与AC、BC对应相等的三角形即可． 【详解】（1）解：连接AD，作出AD的垂直平分线l， 根据轴对称图形的性质可知，l即是与的对称轴； （2）如图，由题意可得： = =3； （3）如图， △A’BC、△A’’CB、△A’’’CB为满足条件的三角形，共3个． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用SSS判定三角形全等的方法是解题关键． 5．（24-25八年级上·北京·期中）小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 【答案】(1)平行 (2) 图形如图所示： ②证明：∵线段，线段关于某条直线对称， ∴两条线段交点在对称轴上，且，， ； ③证明：在和中， ， ， ， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵点也在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段， 同法可证直线垂直平分线段， ∴直线是线段，的对称轴； (3) 如图，直线即为所求． 方法：连接，交于点，作直线即可． 理由：连接． 同法可证， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ∵， 点也在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分线段， ∴直线是与的对称轴． 【分析】（1）利用轴对称图形的性质判断即可； （2）①根据要求画出图形； ②证明1可得结论； ③证明，推出1，推出1，可得结论； （3）连接交于点，作直线即可．证明点，点在线段的垂直平分线上即可． 【详解】（1）解：轴对称图形对应点连线互相平行． 故答案为：平行； （2）略 （3）略 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 找对称轴题型04 1．矩形是轴对称图形，对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念求解．矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合． 【详解】解：矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合， 故可以是矩形的对称轴， 故选D. 【点睛】此题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 2．由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称． 【详解】解：该图形沿直线l4折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故该图形的对称轴是l4， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3．下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意． D、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． 故选：C． 4．角的对称轴是_________，线段的对称轴是_________． 【答案】 角平分线所在的直线 垂直平分线 【分析】分别利用各图形，结合对称轴的定义得出答案． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线，线段的对称轴是垂直平分线， 故答案为：角平分线所在的直线，垂直平分线． 【点睛】本题考查了轴对称图形，得出其对称轴位置是解题的关键． 5．线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴． 【答案】线段、角是轴对称图形；线段的对称轴为线段的垂直平分线所在的直线和线段所在的直线；角的对称轴为角平分线所在的直线． 【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：线段、角是轴对称图形； 线段的对称轴为线段的垂直平分线所在的直线和线段所在的直线； 角的对称轴为角平分线所在的直线． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 成轴对称的两个图形的识别题型05 1．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后重合，根据成轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A、左右两个图形不成轴对称，故本选项错误； B、左右两个图形不成轴对称，故本选项错误； C、左右两个图形成轴对称，故本选项正确； D、左右两个图形不成轴对称，故本选项错误． 故选：C． 2．如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，那么线段AC的对应线段是（     ） A．AB B．DF C．DE D．EF 【答案】B 【分析】根据轴对称的定义得△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质得出结论. 【详解】解：∵△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴AC=DF. 故选B. 【点睛】本题考查了轴对称的定义和全等三角形的性质,属于基础题型. 3．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（每个小正方形的顶点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（    ）（注：与重合的不计） A．8个 B．10个 C．11个 D．13个 【答案】D 【分析】找出能使与之成轴对称的对称轴，再确定对应的格点三角形，确认个数即可． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 与成轴对称的格点三角形共有13个． 4．如图所示：其中，轴对称图形有________，与甲成轴对称的图形有________． 【答案】 甲、乙、丙、丁 丁 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：其中，轴对称图形有甲、乙、丙、丁，与甲成轴对称的图形有丁． 5．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)问：与是否成轴对称？（回答“是”或“否”） 【答案】(1) (2) (3)否 【分析】本题主要考查了平移变换、中心对称变换以及轴对称的识别，熟练掌握平移、中心对称的性质及轴对称的概念是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别将、、按“向上平移个单位，再向左平移个单位”的规则找到对应点、、，再连接成三角形． （2）依据中心对称的性质，找、关于的对称点、，然后连接得到三角形． （3）通过观察图形，判断与是否能沿某条直线折叠后重合，确定是否成轴对称． 【详解】（1）解：确定、、平移后的对应点： 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到； 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到； 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到． 连接、、，得到． （2）解：找关于的对称点：延长到，使 ． 找关于的对称点：延长到，使 ． 连接、、，得到 （3）解：观察图形，尝试找一条直线，使沿此直线折叠后与重合，发现不存在这样的直线， ∴与不成轴对称， 故答案为“否” ． 根据成轴对称图形的特征进行判断题型06 1．如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察可知点与点关于对称，即可求解． 【详解】解： 由图可知：点与点关于对称， 由轴对称的性质可知： 故选：C 2．如图，已知点C是线段上的一点，与关于直线成轴对称，则_________，这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 【答案】 【详解】略． 3．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性： （1）观察图形可直接得出答案； （2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）根据，，推出，根据对称性得到，推出． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （3）解：∵，， ∴， 根据对称性知，， ∴． 作与已知图形成轴对称的图形题型07 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2．如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有_________个． 【答案】4 【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有4个. 故答案为4. 【点睛】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形. 3．在图形中标出点、和关于直线的对称点． 【答案】 【分析】对称前后图形全等，各点、线段、角一一对应，形状、大小不变，据此找、和对应的点． 【详解】略 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）作图题： (1)如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应） (2)如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将1个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形． 【答案】(1) 如图为所求； (2) 如下图所示． 【分析】本题主要考查轴对称变换作图，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． （1）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形； 以直线为对称轴，分别作点的对称点，的对称点，的对称点，顺次连接，即可解答； （2）根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出已涂黑小正方形的关键点的对称点，画出图形即可，因为对称轴有很多种，所以图形就有很多种． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26七年级·江苏南京·月考）已知五边形是轴对称图形，是一组对称点，仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)若点在上，在图①中作出五边形的对称轴和点的对称点； (2)为平面内任意一点，直线是五边形的对称轴． ①若点在五边形内，在图②中作出点关于直线的对称点； ②若点在五边形外，用两种方法在图③中作出点关于直线的对称点． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】（1）连接交于点，过点、点作直线，直线即为所求对称轴，连接交直线于点，连接并延长交于点，点即为点的对称点； （2）①作射线交直线于点，作射线交直线于点，连接交于点，点即为点关于直线的对称点； ②连接交直线于点，连接交直线于点，作射线和射线，交于点，点即为点关于直线的对称点． 【详解】（1）解：连接交于点，过点、点作直线，直线即为所求对称轴， 连接交直线于点，连接并延长交于点，点即为点的对称点； 理由：是一组对称点， 由图，也是一组对称点，点在对称轴上， 对称轴经过的交点， 直线即直线为所求对称轴； 点和点关于直线对称，点在上， 点在上， 则连接交直线于点，连接并延长交于点，即可确定点的位置； （2）解：①作射线交直线于点，作射线交直线于点，连接交于点，点即为点关于直线的对称点； 理由：点关于直线对称， ， ， 同理得，， ， ， ， 点和点关于直线的对称； ②连接交直线于点，连接交直线于点，作射线和射线，交于点，点即为点关于直线的对称点； 理由：如图，记直线与交于点， 点关于直线对称， ， ， ， ，即， 同理得，， ， ， ， 点和点关于直线的对称． 根据轴对称的性质进行求解题型08 1．（26-27八年级上·福建厦门·学情自测）如图，与关于直线对称，，，则长度为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】解：与关于直线对称， 与是对应线段， ． ， ． 2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴的周长； 故选B． 3．如图，，，与关于直线对称，则_______．    【答案】100°##100度 【分析】先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 【详解】解： 与关于直线对称， ∴， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键． 4．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）图形的变换 (1)如图①，线段经过一次轴对称得到线段的对应点分别是．求作：点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)已知先经过1次轴对称，再经过1次平移得到． （I）如图②，还可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论： ①2次旋转； ②2次轴对称； ③1次平移和1次旋转； ④1次轴对称和1次旋转． 其中正确结论的序号是_______． （II）如图③，求作：经过点的对称轴．（要求：尺规作图，保留作用痕迹，写出必要的文字说明） （III）如图④，已知，若，且平移的距离为4，则点到对称轴的距离的取值范围为_________． 【答案】(1) 如图，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线，以点B为圆心画弧交于直线于点M、N，再分别以点M、N为圆心,以大于长为半径画弧，作出线段的垂直平分线，交于点P，以P为圆心，以为半径U画弧交于点，该点即为B点的对称点； (2)（I）④ （II）连接，以点为圆心，以为半径画弧，与以点为圆心，以为半径画弧交于一点，即为点，连接，以点为圆心，以适当长为半径画弧，与交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，上下分别交于点，连接，即为所求对称轴l． （III） 【分析】本题考查了尺规作图，平移作图，轴对称图形，平移性质，轴对称性质，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，利用二者连线的垂直平分线作出对称轴，再作关于该对称轴的对称点； （2）（I）分析先轴对称再平移与其他变换的等效性，依据轴对称性、平移的特征判断； （II）对称轴是对应点连线的垂直平分线，通过做对应点连线的垂直平分线，结合点确定对称轴； （III）利用轴对称和平移性质，结合三角形三边关系列不等式求解； 【详解】（1）略 （2）解：（I）①2次旋转得不到； ②2次轴对称相当于一次平移，缺少一次对称； ③旋转无法代替轴对称； ④可以得到，④为正确结论 故答案为：④； （II）略 （III）设A对称点为， 则，平移距离为4， 又， 当三点共线，且在的延长线时，则，此时（最大）； 当三点共线，且在线段上时，则，此时（最小）； 如果不共线，则由三边关系得， ∴且 解得 综上： 轴对称-最短路线问题题型09 1．如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，据此判断即可． 【详解】解：由选项D中图可知： 作点关于直线的对称点，连接交于点， 由对称性可知，， ， 当、、三点共线时，的距离最短， 故选：D 2．如图，四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、此时的周长有最小值，由对称性求出，则有，即可求． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，    ∵， ∴，， ∴的周长，此时的周长有最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键． 3．如图，在中，8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值是___________． 【答案】8 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ∴，最小， 此时点与点重合． 所以的最小值即为的长，为8． 所以的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 作轴对称图形题型10 1．下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了利用轴对称变换作图，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质即可求解． 【详解】∵A，B关于直线l对称， ∴直线l垂直平分线段， 故选项C符合题意， 故选：C． 2．如图：在正方形网格上有一个△ABC． (1)作出△ABC关于直线MN的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求 (2)5 【分析】（1）根据轴对称性质画图； （2） 结合图可得S△ABC＝S梯形ABED－S△ADC－S△BEC，即可求解． 【详解】（1）略 （2）S△ABC＝S梯形ABED－S△ADC－S△BEC ＝×(3＋1)×4－×1×3－×1×3 ＝5 所以，△ABC的面积为5． 【点睛】本题考查了轴对称的变换作图及三角形面积的求法，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．如图，每一个小正方形的边长为a． (1)画出格点△ABC关于直线DE的对称的； (2)在DE上画出点P，使PA+PC最小； (3)在DE上画出点Q，使|QA-QB|最大； (4)请直接写出△ABC的面积＝　 　． 【答案】(1) 如图所示： (2) 点P即为所求． (3) 点Q即为所求， (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作点A关于DE的对称点，连接，交DE于点P，点P即为所求； （3）延长AB，交DE于点Q，点Q即为所求； （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：略． （2）略． （3）略． （4）． 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，根据轴对称的性质求最短路径，掌握轴对称的性质是解题的关键． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，点在上． (1)如图，点在上，且，在内部作一点，使四边形是轴对称图形； (2)如图，点在的内部，作出两种不同的四边形，使四边形为轴对称图形，且点在上、点在内部、点在四边形的一边上． 要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)如下图所示， (2) 如下图所示， 以点为圆心，以的长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧交于一点， 过点和两弧的交点作射线， 连接并延长交射线于点， 连接， 四边形即为所求； 如下图所示， 以点为圆心，长为半径画弧， 连接并延长与弧交于点， 连接， 作的垂直平分线，交于点， 连接， 四边形即为所求． 【分析】本题主要考查了轴对称图形、用尺规作图作一个角的平分线、用尺规作图作线段的垂直平分线． 用尺规作图作的平分线，在角平分线上任意选取一点作四边形，则四边形是轴对称图形； 作的平分线，连接交角平分线于点，连接，四边形即为所求； 以点为圆心，长为半径画弧，连接并延长与弧交于点，连接，作的垂直平分线，交于点，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心，相同的长度为半径画弧， 两弧交于点，作射线， 在射线上选取一点， 作四边形， 四边形是轴对称图形； （2）略 5．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，由于，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， ， ， 故周长的最小值是， 故选：C． 求对称轴条数题型01 1．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A轴对称图形，一条对称轴；B不是轴对称图形；C是轴对称图形，有两条对称轴；D是轴对称图形，有两条对称轴. 故选A. 考点：轴对称图形. 2．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（　　） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数． 【详解】解：如图， 因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形， 所以此图形的对称轴有4条． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 3．下列一组图形依次是：正三角形、正方形、正五边形、正六边形…观察每个图形的对称轴条数的变化规律，你猜正十边形的对称轴有_________条，圆的对称轴有_________条． 【答案】 10 无数 【分析】通过观察图形，可以发现正三角形有条对称轴，正方形有条对称轴，正五边形有条对称轴，正六边形有条对称轴，即可得到正十边形、圆的对称轴条数． 【详解】解：正十边形的对称轴有条，圆的对称轴有无数条． 4．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入表格中． 正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 对称轴的条数 根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一猜想． 【答案】3，4，5，6，7，8  n 【分析】正多变形都是轴对称图形，其对称轴为任意边上的垂直平分线. 【详解】正三角形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有3条边，故有3条对称轴； 正四边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有4条边，故有4条对称轴； 正五边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有5条边，故有5条对称轴； 正六边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有6条边，故有6条对称轴； 正七边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有7条边，故有7条对称轴； 正八边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有8条边，故有8条对称轴； 由以上规律可得：正n边形，就有n条对称轴. 【点睛】理解轴对称图形的含义，通过轴对称图形的含义寻找对称轴. 5．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称，整个图形是轴对称图形吗，它共有几条对称轴? 【答案】图中有阴影的三角形与三角形1，3成轴对称；整个图形是轴对称图形；它共有2条对称轴 【分析】根据轴对称、轴对称图形的概念以及对称轴的概念进行解答即可． 【详解】解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称， 整个图形是轴对称图形， 它共有2条对称轴. 利用轴对称设计图案题型02 1．如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，剩下的一个即为所求． 【详解】如图所示： 从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：①，②，③，方格④不可以． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键． 2．（25-26八年级上·新疆 乌鲁木齐·期中）如图为的方格，其中有、、三点，现有一点在其它格点上，且、、、为轴对称图形，则共有____________个这样的点符合题意． 【答案】4##四 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可． 【详解】解：如图所示，、、、为轴对称图形，共有4个这样的点． 故答案为：4． 3．如图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形．请用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴．    【答案】 如图所示． 【分析】此题考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称与对称轴的定义，即可求得答案，注意如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 【详解】略 4．（25-26七年级·广东佛山·期末）轴对称性是一种经典的几何性质．按要求完成画图． (1)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形关于虚线成轴对称； (2)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形成轴对称，画出两种添加方法． (3)用7个大小完全相同的小正方格，设计一个轴对称图形（要求7个方格均要用上）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴先找到有对称的部分，再补齐剩下没有对称的部分的对称图形即可； （2）参考（1）的思路，先确定对称轴，再补齐剩下的图形； （3）参考前面两问的图形，补齐到7个大小完全相同的小正方格即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形. （1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． （2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 个． 【答案】6 【分析】（1）利用网格结合轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可； （2）利用（1）中所画图形，进而得出答案． 【详解】（1）如图所示： （2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个． 故答案为6． 【点睛】考查利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的概念是解题的关键. 轴对称及其轴对称图形的判断题型03 1．下列命题中是假命题的是（   ） A．全等三角形对应边上的高相等 B．全等三角形的面积相等 C．能够完全重合的两个三角形全等 D．两个全等的三角形一定关于某条直线成轴对称 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及成轴对称图形的判断，以及命题的真假．熟记全等三角形的性质是解答本题的关键．根据全等三角形的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A.全等三角形对应边上的高相等,是真命题，不符合题意； B. 全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意； C. 能够完全重合的两个三角形全等，是真命题，不符合题意； D. 两个全等的三角形不一定关于某条直线成轴对称，故原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） ①角是轴对称性图形；②角的平分线就是角的对称轴；③将一个角折叠，使其两边重合，则折痕所在的直线就是角的对称轴． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形及其对称轴的定义，熟练掌握轴对称图形及其对称轴的定义是解题的关键．利用轴对称图形的定义即可判断①；利用对称轴是直线，角的平分线是射线即可判断②；利用轴对称图形的对称轴的定义即可判断③． 【详解】解：①中，角是轴对称性图形，正确，故符合题意； ②中，角的平分线是射线，角的对称轴是直线，故错误，故不符合题意； ③中，将一个角折叠，使其两边重合，则折痕所在的直线就是角的对称轴，正确，故符合题意； 故正确的是①③， 故选：B． 3．下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移，旋转，轴对称的基本概念，根据平移，旋转，轴对称的定义即可作出判断．解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的判定方法． 【详解】解：选项A的图形可以由旋转变换得到，但不能由平移变换和轴对称得到，故A不符合题意； 选项B的图形可以通过旋转变换和平移变换得到，但不能由轴对称得到，故B不符合题意； 选项C的图形可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到，故C符合题意； 选项D的图形可以由旋转变换和轴对称变换得到，但不能由平移变换得到，故D不符合题意； 故选：C． 4．下列说法正确的有___________个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此对各说法依次分析即可． 【详解】解：（1）线段的对称轴有两条，故原说法正确； （2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，故原说法错误； （3）对应点的连线与直线的位置关系是互相垂直，且到直线距离相等的两个点关于直线对称，故原说法错误； （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故原说法错误； ∴说法正确的只有1个． 故答案为：1． 5．在下列说法中，正确的是（        ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D．成轴对称的两个三角形可以有多条对称轴 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．利用轴对称的性质进行判断，全等三角形不一定轴对称，但轴对称的三角形一定全等；对应点可能在对称轴上；对称轴通常唯一． 【详解】解： A、 全等三角形不一定关于某直线对称，例如通过平移得到的全等三角形，故该选项不符合题意； B、 如果两个三角形关于某直线轴对称，则它们全等，这是轴对称的基本性质，故该选项符合题意； C、 成轴对称的两个图形的对应点不一定在对称轴的两侧，有些点（如对称轴上的点）对应自身，故该选项不符合题意； D、 成轴对称的两个三角形对于给定的对称关系只有一条对称轴，故该选项不符合题意； 故选：B． 轴对称及其轴对称图形性质熟悉题型04 1．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是（     ） A．对应线段互相平行 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直 【答案】A 【详解】根据轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，可知选项B、C、D正确，选项A错误. 故选A. 2．如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称性质，根据轴对称性质求解即可． 【详解】根据题意得，的对应线段是，的对应角是． 故答案为：，． 3．如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 4．如图，和关于直线对称，点为直线上一点，则下列说法中错误的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等的性质、线段垂直平分线的判定与性质，连接交于，根据轴对称的性质得出，，，即可判断A，从而得出垂直平分，即可判断B、C，最后再根据全等三角形的性质即可判断D，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接交于，   ，和关于直线对称， ，，，故A正确，不符合题意； 垂直平分，故B正确，不符合题意； 点为直线上一点， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D错误，符合题意； 故选：D． 5．如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 设计轴对称图案题型05 1．用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．若要使花纹保持原来的样式，应在图中①处选择的布料图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图案的对称与延续性，掌握观察图案局部特征并寻找匹配选项的方法是解题的关键． 观察挂毯的整体对称花纹，分析①位置上下区域的图案特征，再对比选项找到匹配的布料图案． 【详解】解：挂毯的花纹由多个小三角形组成，形成对称图案； ①位置上方和下方的图案由两个方向相反的小三角形组成； 选项D的布料由两个方向相反的小三角形组成，与①位置上方和下方的图案相匹配． 故选：D． 2．如图的方格中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成轴对称图形，则该小正方形的序号是___________，该轴对称图形有___________条对称轴． 【答案】 ② 1 【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合．逐一尝试涂黑四个序号的小正方形即可． 【详解】解：涂黑①、③、④时，都无法找到一条直线让新图形对折后完全重合； 涂黑序号②的小正方形，如图：阴影组成的图形满足轴对称的要求． 涂黑②后得到的轴对称图形，只存在1条直线，沿这条直线对折，图形两侧都能完全重合，因此只有1条对称轴． 3．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有__种． 【答案】13 【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案． 【详解】如图所示： 一共有13画法， 故答案为：13 4．如图，在的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形． 【答案】 解：如图所示， ． 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。直接利用轴对称图形定义得出符合题意的答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了设计轴对称图形，理解轴对称图形的定义和性质是解题关键． 5．请从如图①所示的两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案是轴对称图形（如图②）．要求：分别在图③、图④中各设计一种与图②不同的拼法的轴对称图形． 【答案】 （答案不唯一）如图所示． 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：略． 台球桌面上的轴对称问题题型01 1．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 2．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 4．作图题（不写作法，保留作图痕迹，画出路径即可） （1）请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边反射后，撞到球Q； （2）请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边反射后，撞到球Q． 【答案】 （1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求． （2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求． 【分析】（1）作点P关于AB是对称点，连接Q交AB于M，点M即为所求． （2）作点P关于AB是对称点，点Q关于BC的对称点，连接Q交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 5．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 轴对称中的光线反射问题题型02 1．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 2．（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 【答案】##度 【分析】根据题意以及三角形的外角的性质求得，结合平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，， ∴． 3．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】 如图所示： 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：略． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）项目式学习 项目主题：探究入射光线和反射光线的夹角度数与两块平面镜的夹角度数之间的关系，原理：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角． 研究步骤：①将两块平面镜如图竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； ②在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜反射后，入射光线m与反射光线n形成的夹角度数为（如图2）； ③多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值 ④数据分析，形成结论． 问题解决： (1)根据表中信息，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，写出的值． 【答案】(1) ，理由如下：如图2，根据平面镜反射光线规律，知，， ∴， 又， ∴，即． (2) 【分析】本题考查了平面镜反射定律的应用，掌握平面镜反射定律中反射角等于入射角是解题的关键． （1）猜想：．　根据平面镜的反射定律及三角形内角和定理验证即可； （2）将代入（1）问中的结论，计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）略 （2）由（1）知， 当，． 5．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 折叠问题题型03 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，将沿折叠，使点落在边上的点处，则一定是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 由折叠性质可得结合角平分线定义，即可得到答案． 【详解】解：由折叠性质可得， 结合角平分线定义，一定是的角平分线． 故选：． 2．将一个正方形纸片依次按下列方式对折三次，然后沿虚线裁剪，所看到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：因为剪掉的四边形是正方形，所以剩余的图形为， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的应用，解题的关键是弄清楚两条折痕的特征及其与剪掉部分的形状． 3．如图（1）是长方形纸带，，将纸带沿折叠图（2），则的度数是___________，再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是___________． 【答案】 ##40度 ##120度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质，根据折叠的性质可得；根据矩形的对边平行和折叠的性质可得，由，可得，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：根据折叠可知：， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：，． 4．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为___________． 【答案】##72度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 根据翻折的性质及角的数量关系求出，根据平行线的性质得出同位角相等，再利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据翻折的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质得， ， 故答案为：． 5．在正方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大15，则∠EBF的度数为：________． 【答案】25°##25度 【详解】解：根据折叠图形的性质可得：∠CBE=∠EBF， 设∠CBE=∠EBF=x°，则∠ABF=(x+15)°， 根据直角的性质可得：x+15+x+x=90°， 解得：x=25°，即∠EBF=25°． 故答案为： 【点睛】本题主要考查的就是角度之间的关系以及折叠图形的性质，属于基础题型，难度不是很大．在解答有关折叠问题的时候，要找出折叠前后图形中的对应角和对应线段，如果是求线段长度时，就要找出对应线段；如果是求角度，就要找出对应角，然后根据图形中角度之间的关系得出答案． 镜面对称题型04 1．（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 2．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 3．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 4．小新是一位不错的足球运动员，他衣服上的号码在镜子里如图，他是______号运动员． 【答案】16 【分析】根据轴对称的性质解答即可 【详解】解：∵他在照镜子时，图中的数字与实际数字成轴对称， ∴他是16号球员. 故答案为16. 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒且关于镜面对称. 5．一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是__________． 【答案】数学 【分析】本题考查镜面对称，平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，因此可以把镜中呈现的图片，沿着一条竖直线翻折，看翻折后是怎样的图形．掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与成镜面对称， 英文单词的中文意思是：数学． 故答案为：数学． 利用性质求角度题型05 1．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 2．如图，一个正方形和一个正六边形有一边重合．    (1)用无刻度的直尺画出这个图形的对称轴，保留作图痕迹，不写作法； (2)求的度数． 【答案】(1) 如图，直线即为所作 (2)的度数为 【分析】（1）连接交于点，连接交于点N，过点作直线即可； （2）根据多边形的内角和可得和的度数，再根据周角是即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴ ∵正六边形的内角和为， ∴正六边形一个内角的度数为 ∴ ∴ ∴的度数为 【点睛】本题考查作图，正多边形的内角和：且为正整数)，角的和差，应用正多边形的性质是解题的关键． 3．如图，和是分别沿作轴对称变换得到的，若，求，的度数． 【答案】， 【分析】利用轴对称变换得到，再利用三角形全等的性质和三角形内角和定理即可求，的度数． 【详解】解：，． 如图，和成轴对称，和成轴对称， ， ， ． 在中，， ． ， 【点睛】本题考查了轴对称变换的性质和三角形内角和定理 ，熟悉轴对称变换的性质是解题的关键． 4．已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 5．如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 平分， ， 是外角的平分线， ， 又，， ， (2) ①如图2，与交于点O， 由对称的性质可知，，， 当时，， ，， ， ， ， ； ①当时，，理由如下： 如图3，设 与关于对称， ， ， ， 当时， 由（1）知 ， 【分析】（1）根据角平分线和外角的角度关系计算即可得到角度关系； （2）①利用外角的关系用其他角度表示，再由三角形外角进行换角计算得到为，得到垂直关系；②通过设元，通过外角和角平分线换角用表示，即可得到两个角的大小关系． 【详解】（1） 略 （2）略 【点睛】本题考查三角形结合角平分线的角度关系计算，对三角形外角定理的熟悉是解题的关键，且在复杂的计算中可以采用设元的方式来简化计算，减少错误率． 轴对称的性质—桌球反弹规律题型06 1．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 2．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 3．（25-26七年级·内蒙古通辽·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】##度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 4．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 5．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 车牌号码的镜面对称题型07 1．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 2．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 3．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 4．一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码______． 【答案】 【分析】根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 倒影的对称图形是：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性． 5．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 钟表的镜面对称题型08 1．如图是小明在镜子中看到的钟表的图象，此时的真实时间是（      ） A．4:40 B．4:20 C．7:40 D．7:20 【答案】A 【分析】根据镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分解答即可． 【详解】根据镜面对称的性质可得，真实时间是4：40， 故选：A． 【点睛】本题考查了镜面对称，关键是根据镜面对称的性质解答． 2．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际． 镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 3．（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 4．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 5．（26-27上·黑龙江绥化·联考）探索发现． 镜子里的时间 小朋友，你一定照过镜子吧，你注意过指针式钟表在镜子中所表示的时间吗？请你画出左边钟表在右边镜子中的图像，并填上它表示的时间，最后填表探求规律． 真实时间 镜子中的时间 二者的和 1:15 10:45 12:00 3:30 10:20 8:25 7:45 5:30 说说你的发现． 【答案】 真实时间 镜子中的时间 二者的和 1:15 10:45 12:00 3:30 8:30 12:00 10:20 1:40 12:00 8:25 3:35 12:00 7:45 4:15 12:00 5:30 6:30 12:00 规律：发现指针式钟表真实时间和镜子中的时间之和是． 【分析】右边镜中图像是左边真实钟表时间经过左右翻转得到，经计算，钟表真实时间镜子中的时间，从而总结出规律． 【详解】真实时间通过对称画图，可以得到镜子中的时间，规律为真实时间和镜子中的时间之和是，详见答案． 电子钟示数的镜面对称题型09 1．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 2．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 3．右图是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 ______ ．    【答案】20：51 【详解】试题分析：根据镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，并结合实际看到背向墙壁的电子钟读数，求出这时的实际时间应该是多少即可． 试题解析：根据镜面对称的性质， 可得12：05的真实时间应该是20：51． 故答案为20：51． 考点：镜面对称 4．从水平放置的平面镜中看到平面镜中看到“”，实际电子钟示数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据上下对称分析，进而得出实际时间． 【详解】解：平面镜中看到“”，平面镜水平放置，则上下对称由于数字和都是轴对称图形，在平面镜中成像时形状不变，因此实际电子钟示数仍为． 故答案为． 5．小灵和小萍同时站在镜子前看到镜子里的墙上电子挂钟的读数如图所示，此时实际的读数是多少？小灵说是15：20，小萍说是05：21.她们谁说得对？ 【答案】实际的读数是12：50，她们说得都不对． 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】物体在镜子里的图像关于镜面成轴对称，镜子改变了物体的左右方向．一行数字不仅每个数字被镜子改变左右结构，而且整行数字的左右顺序也被改变， 0和1在镜子里仍然是0和1，2被改变成5，5被改变成2， 所以实际的读数是12：50， 所以她们说得都不对． 【点睛】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2. 面积问题题型10 1．如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ___． 【答案】5 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可； 【详解】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称， ∴S△CEF=S△BEF， ∴阴影部分的面积=S△ABC=×10=5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键． 2．如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则______；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示______． 【答案】 45 ## 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定义以及外角的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据三角形外角的性质和角平分线的定义，可求出的度数；作点关于的对称点，点关于的对称点，由轴对称的性质可知，，，，，，过点作于点，过点作，证明，得到，进而得出，推出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 与的角平分线相交于点， ，， 是的外角， ； 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ，， 点、在上， ， 由轴对称的性质可知，，，，，， ， ， 过点作于点，过点作， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：， 3．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）根据以下素材，完成探究任务： 如何制作风筝? 素材一 风筝的制作技艺是中国传统工艺，为了让同学们感受传统工艺的魅力，王老师带领同学们进行风筝制作． 素材二 风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分构成．如图，是小刚制作的风筝骨架模型图（为轴对称图形）的一部分，其中直线l为对称轴． 问题解决 任务一 （1）请画出风筝完整的骨架，连接交于点． 任务二 （2）有以下结论，其中一定正确的结论有 ；（填写序号）①；②；③；④． 任务三 （3）已知竹条的长为，与其垂直的竹条长为，若给风筝骨架的正反两面都粘上绢布形成风筝面，求绢布的面积． 【答案】 （1）如图所示： （2）①②③； （3）绢布的面积为 【分析】本题考查了画轴对称图形、轴对称的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质画出风筝完整的骨架，连接交于点，由此即可得； （2）根据轴对称的性质可得，对称轴直线垂直平分，再根据全等三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得； （3）先求出四边形的面积为，再根据绢布的面积等于四边形的面积的2倍求解即可得． 【详解】解：（1）画出风筝完整的骨架，连接交于点． （2）由轴对称的性质可知，，对称轴直线垂直平分， ∴，， 无法得出， 综上，一定正确的结论有①②③， 故答案为：①②③． （3）∵垂直平分，，， ∴四边形的面积为 ， ∵给风筝骨架的正反两面都粘上绢布形成风筝面， ∴绢布的面积为， 答：绢布的面积为． 最值问题题型11 1．如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，利用两点之间线段最短，找出最短距离为即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵l垂直平分， ， ， 的最小值是，值为7， 故选：C． 2．如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则___°． 【答案】100 【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解． 【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″， 连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N， 此时，AM+AN+MN= A′M+A″N+MN= A′A″，即周长最小值即为A′A″， ∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°， ∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°， 由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 4．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图：在边长为1的正方形网格中有一个，按要求进行下列解答： (1)画出沿直线翻折后的； (2)的面积为_____________． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)3 【分析】本题主要考查了轴对称作图，求三角形的面积，解题的关键是作出的三个顶点翻折后的对应点． （1）作出点A、B、C关于直线的对称点、、，然后再顺次连接即可； （2）根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 利用性质求角度（轴对称综合）题型12 1．如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【详解】解：如图， ∵A，P关于BD对称， ∴∠AQB=∠PQB， ∵∠PCB＞∠PQB， ∴∠PCB＞∠AQB， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______ 【答案】①②##②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 【答案】 （1）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 在△ABD和△ACD′中， ∵ ， ∴ △ABD≌△ACD′（SSS）. （2） 【详解】（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可； （2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可． （）略； （）解：∵≌， ∴， ∴， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 即． 点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键. 4．（25-26七年级·贵州贵阳·期末）如图①，在中，，点是内的一点，分别作关于，的对称点，，连接，，． (1) ； (2)求的度数； (3)如图②，再作关于的对称点，分别连接，，，，求与的度数之和． 【答案】(1)128 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）由轴对称的性质可得，，再由角的和差关系可得，据此可得答案； （3）由轴对称的性质可得，，，可证明，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由轴对称的性质可得，， ；． （3）解：由轴对称的性质可得，， ， ∴ ， 同理可得， ． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 图形的轴对称 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 轴对称图形的识别 题型02 根据轴对称图形的特征求解 题型03 画对称轴 题型04 找对称轴 题型05 成轴对称的两个图形的识别 题型06 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型07 作与已知图形成轴对称的图形 题型08 根据轴对称的性质进行求解 题型09 轴对称-最短路线问题 题型10 作轴对称图形 B组 能力进阶 题型01 求对称轴条数 题型02 利用轴对称设计图案 题型03 轴对称及其轴对称图形的判断 题型04 轴对称及其轴对称图形性质熟悉 题型05 设计轴对称图案 C组 思维拔高 题型01 台球桌面上的轴对称问题 题型02 轴对称中的光线反射问题 题型03 折叠问题 题型04 镜面对称 题型05 利用性质求角度 题型06 轴对称的性质—桌球反弹规律 题型07 车牌号码的镜面对称 题型08 钟表的镜面对称 题型09 电子钟示数的镜面对称 题型10 面积问题 题型11 最值问题 题型12 利用性质求角度（轴对称综合） 轴对称图形的识别题型01 1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其它垃圾、厨余垃圾、有害垃圾标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（    ）. A． B． C． D． 2．下列图形中是轴对称图形的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列是正方体的四种平面展开图，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 5．下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 根据轴对称图形的特征求解题型02 1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 2．如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字：______． 3．如图，点，，和点，，，，都在正方形网格的格点上，则能与点，，连线组成轴对称图形的点有________个． 4．如图所示为一个英语单词的一部分，该单词有四个字母，且都关于直线对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词：______． 画对称轴题型03 1．（24-25七年级下·江苏宜兴·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．画出下列各图形的对称轴． 3．如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 4．如图，网格中的与为轴对称图形. (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=___________. (3)顶点在格点，找出以BC为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出___________个. 5．（24-25八年级上·北京·期中）小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 找对称轴题型04 1．矩形是轴对称图形，对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 2．由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 4．角的对称轴是_________，线段的对称轴是_________． 5．线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴． 成轴对称的两个图形的识别题型05 1．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，那么线段AC的对应线段是（     ） A．AB B．DF C．DE D．EF 3．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（每个小正方形的顶点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（    ）（注：与重合的不计） A．8个 B．10个 C．11个 D．13个 4．如图所示：其中，轴对称图形有________，与甲成轴对称的图形有________． 5．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)问：与是否成轴对称？（回答“是”或“否”） 根据成轴对称图形的特征进行判断题型06 1．如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点C是线段上的一点，与关于直线成轴对称，则_________，这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 3．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 作与已知图形成轴对称的图形题型07 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有_________个． 3．在图形中标出点、和关于直线的对称点． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）作图题： (1)如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应） (2)如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将1个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形． 5．（25-26七年级·江苏南京·月考）已知五边形是轴对称图形，是一组对称点，仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)若点在上，在图①中作出五边形的对称轴和点的对称点； (2)为平面内任意一点，直线是五边形的对称轴． ①若点在五边形内，在图②中作出点关于直线的对称点； ②若点在五边形外，用两种方法在图③中作出点关于直线的对称点． 根据轴对称的性质进行求解题型08 1．（26-27八年级上·福建厦门·学情自测）如图，与关于直线对称，，，则长度为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 3．如图，，，与关于直线对称，则_______．    4．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）图形的变换 (1)如图①，线段经过一次轴对称得到线段的对应点分别是．求作：点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)已知先经过1次轴对称，再经过1次平移得到． （I）如图②，还可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论： ①2次旋转； ②2次轴对称； ③1次平移和1次旋转； ④1次轴对称和1次旋转． 其中正确结论的序号是_______． （II）如图③，求作：经过点的对称轴．（要求：尺规作图，保留作用痕迹，写出必要的文字说明） （III）如图④，已知，若，且平移的距离为4，则点到对称轴的距离的取值范围为_________． 轴对称-最短路线问题题型09 1．如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，在中，8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值是___________． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 作轴对称图形题型10 1．下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是（　　） A． B． C． D． 2．如图：在正方形网格上有一个△ABC． (1)作出△ABC关于直线MN的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 3．如图，每一个小正方形的边长为a． (1)画出格点△ABC关于直线DE的对称的； (2)在DE上画出点P，使PA+PC最小； (3)在DE上画出点Q，使|QA-QB|最大； (4)请直接写出△ABC的面积＝　 　． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，点在上． (1)如图，点在上，且，在内部作一点，使四边形是轴对称图形； (2)如图，点在的内部，作出两种不同的四边形，使四边形为轴对称图形，且点在上、点在内部、点在四边形的一边上． 要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 5．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 求对称轴条数题型01 1．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（　　） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 3．下列一组图形依次是：正三角形、正方形、正五边形、正六边形…观察每个图形的对称轴条数的变化规律，你猜正十边形的对称轴有_________条，圆的对称轴有_________条． 4．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入表格中． 正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 对称轴的条数 根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一猜想． 5．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称，整个图形是轴对称图形吗，它共有几条对称轴? 利用轴对称设计图案题型02 1．如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26八年级上·新疆 乌鲁木齐·期中）如图为的方格，其中有、、三点，现有一点在其它格点上，且、、、为轴对称图形，则共有____________个这样的点符合题意． 3．如图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形．请用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴．    4．（25-26七年级·广东佛山·期末）轴对称性是一种经典的几何性质．按要求完成画图． (1)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形关于虚线成轴对称； (2)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形成轴对称，画出两种添加方法． (3)用7个大小完全相同的小正方格，设计一个轴对称图形（要求7个方格均要用上）． 5．如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形. （1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． （2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 个． 轴对称及其轴对称图形的判断题型03 1．下列命题中是假命题的是（   ） A．全等三角形对应边上的高相等 B．全等三角形的面积相等 C．能够完全重合的两个三角形全等 D．两个全等的三角形一定关于某条直线成轴对称 2．下列说法正确的是（    ） ①角是轴对称性图形；②角的平分线就是角的对称轴；③将一个角折叠，使其两边重合，则折痕所在的直线就是角的对称轴． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的有___________个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 5．在下列说法中，正确的是（        ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D．成轴对称的两个三角形可以有多条对称轴 轴对称及其轴对称图形性质熟悉题型04 1．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是（     ） A．对应线段互相平行 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直 2．如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 3．如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 4．如图，和关于直线对称，点为直线上一点，则下列说法中错误的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 5．如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 设计轴对称图案题型05 1．用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．若要使花纹保持原来的样式，应在图中①处选择的布料图案是（   ） A． B． C． D． 2．如图的方格中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成轴对称图形，则该小正方形的序号是___________，该轴对称图形有___________条对称轴． 3．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有__种． 4．如图，在的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形． 5．请从如图①所示的两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案是轴对称图形（如图②）．要求：分别在图③、图④中各设计一种与图②不同的拼法的轴对称图形． 台球桌面上的轴对称问题题型01 1．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 2．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 4．作图题（不写作法，保留作图痕迹，画出路径即可） （1）请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边反射后，撞到球Q； （2）请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边反射后，撞到球Q． 5．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则   ） A． B． C．53° D． 轴对称中的光线反射问题题型02 1．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 3．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）项目式学习 项目主题：探究入射光线和反射光线的夹角度数与两块平面镜的夹角度数之间的关系，原理：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角． 研究步骤：①将两块平面镜如图竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； ②在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜反射后，入射光线m与反射光线n形成的夹角度数为（如图2）； ③多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值 ④数据分析，形成结论． 问题解决： (1)根据表中信息，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，写出的值． 5．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 折叠问题题型03 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，将沿折叠，使点落在边上的点处，则一定是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．以上都不对 2．将一个正方形纸片依次按下列方式对折三次，然后沿虚线裁剪，所看到的图案是（   ） A． B． C． D． 3．如图（1）是长方形纸带，，将纸带沿折叠图（2），则的度数是___________，再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是___________． 4．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为___________． 5．在正方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大15，则∠EBF的度数为：________． 镜面对称题型04 1．（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 2．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 3．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 4．小新是一位不错的足球运动员，他衣服上的号码在镜子里如图，他是______号运动员． 5．一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是__________． 利用性质求角度题型05 1．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个正方形和一个正六边形有一边重合．    (1)用无刻度的直尺画出这个图形的对称轴，保留作图痕迹，不写作法； (2)求的度数． 3．如图，和是分别沿作轴对称变换得到的，若，求，的度数． 4．已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    5．如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 轴对称的性质—桌球反弹规律题型06 1．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 2．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 3．（25-26七年级·内蒙古通辽·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 4．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 5．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 车牌号码的镜面对称题型07 1．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 2．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 3．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 4．一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码______． 5．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 钟表的镜面对称题型08 1．如图是小明在镜子中看到的钟表的图象，此时的真实时间是（      ） A．4:40 B．4:20 C．7:40 D．7:20 2．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 4．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 5．（26-27上·黑龙江绥化·联考）探索发现． 镜子里的时间 小朋友，你一定照过镜子吧，你注意过指针式钟表在镜子中所表示的时间吗？请你画出左边钟表在右边镜子中的图像，并填上它表示的时间，最后填表探求规律． 真实时间 镜子中的时间 二者的和 1:15 10:45 12:00 3:30 10:20 8:25 7:45 5:30 说说你的发现． 电子钟示数的镜面对称题型09 1．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 2．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 3．右图是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 ______ ．    4．从水平放置的平面镜中看到平面镜中看到“”，实际电子钟示数是__________． 5．小灵和小萍同时站在镜子前看到镜子里的墙上电子挂钟的读数如图所示，此时实际的读数是多少？小灵说是15：20，小萍说是05：21.她们谁说得对？ 面积问题题型10 1．如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ___． 2．如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则______；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示______． 3．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）根据以下素材，完成探究任务： 如何制作风筝? 素材一 风筝的制作技艺是中国传统工艺，为了让同学们感受传统工艺的魅力，王老师带领同学们进行风筝制作． 素材二 风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分构成．如图，是小刚制作的风筝骨架模型图（为轴对称图形）的一部分，其中直线l为对称轴． 问题解决 任务一 （1）请画出风筝完整的骨架，连接交于点． 任务二 （2）有以下结论，其中一定正确的结论有 ；（填写序号）①；②；③；④． 任务三 （3）已知竹条的长为，与其垂直的竹条长为，若给风筝骨架的正反两面都粘上绢布形成风筝面，求绢布的面积． 最值问题题型11 1．如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 2．如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则___°． 4．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图：在边长为1的正方形网格中有一个，按要求进行下列解答： (1)画出沿直线翻折后的； (2)的面积为_____________． 利用性质求角度（轴对称综合）题型12 1．如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 2．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______ 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 4．（25-26七年级·贵州贵阳·期末）如图①，在中，，点是内的一点，分别作关于，的对称点，，连接，，． (1) ； (2)求的度数； (3)如图②，再作关于的对称点，分别连接，，，，求与的度数之和． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $