15.2画轴对称的图形（分层作业，15大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 15.2 画轴对称的图形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 作轴对称图形 题型02 利用轴对称设计图案 题型03 轴对称在坐标系中的应用 题型04 求关于坐标轴对称的点的坐标 题型05 求关于直线对称的点的坐标 题型06 根据坐标的对称求值 B组 能力进阶 题型01 车牌号码的镜面对称 题型02 钟表的镜面对称 题型03 线段问题 题型04 面积问题 题型05 最值问题 题型06 最短路径的基本作图 题型07 与最短路径有关的计算 题型08 角度问题(轴对称综合题) C组 思维拔高 题型 其他问题(轴对称综合题) 作轴对称图形题型01 1．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 【答案】##60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 2．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，以图中的直线为对称轴，画出图形的另一半． 【答案】 如图所示． 【分析】本题考查了作轴对称图．熟练掌握作轴对称图形是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】解：略， 4．描点与作图    (1)用数对表示三角形三个顶点的位置：，B（　　），C（　　）； (2)以为对称轴画出三角形的轴对称图形； (3)将三角形向右平移8格，画出平移后的三角形． 【答案】(1)； (2) 三角形如图所示：      (3) 三角形如图所示：    ． 【分析】（1）在数对中前面的数表示列，后面的数表示行，可写出B、C两个点的位置； （2）根据对称图形的画法进行解答画图即可； （3）三角形向右平移8格，根据平移的性质得出的顶点位置，依次连接即可． 【详解】（1）解：用数对表示三角形三个顶点的位置． ； 故答案为：；； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了学生对数对表示位置的知识及在方格纸上画平移和轴对称图形的能力． 5．（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1) ， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， (2) ①如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 利用轴对称设计图案题型02 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点DD是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质，分类讨论不同的对称轴求解即可． 【详解】解：情况1：以垂直平分线为对称轴 情况2：以垂直平分线为对称轴 情况3：以直线为对称轴 情况4：以直线为对称轴 综上，符合条件的点共有4个． 2．如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题利用格点图作轴对称性图形．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故选：D． 3．（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 4．请写出3个是轴对称图形的汉字:____________________________. 【答案】“品”或“日”或“目”等(答案不唯一) 【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：轴对称图形的汉字:品，日，目. 故答案为:品,日．目. 【点睛】此题主要考查了轴对称图形,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的概念. 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合与实践 (1)某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得． 经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的证明过程和依据． 方法一 方法二 作图步骤 在上任取一点，作． 在射线上作点即为所求． 在和上分别取点，，使得． 作的垂直平分线． 作的垂直平分线，与直线交于点．点即为所求． 图示 理由 证明：，（已作） ，（______） ______． ，（已作） ______， ． 证明：连接，． 垂直平分，（已作） ______， 同理可得， ． 又已作，， ≌，（______） ． 请你用不同于上面的尺规作图方法在图中求作点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． (2)在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”．如图，设两面镜子的夹角，物体在的角平分线上，则在镜子中一共形成______个物体的像． 【答案】(1)方法一：同位角相等，两直线平行，，；方法二：，； 如图中，射线即为所求． 理由：由作图可知，， ， ， ； (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）方法一：利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可；方法二：利用全等三角形的判定和性质证明即可； 利用构造全等三角形解决问题即可； （2）设两面镜子的夹角，即为像的数量，利用轴对称变换的性质作出图形即可． 【详解】（1）方法一：证明：，已作 ，同位角相等，两直线平行 ． 已作， ， ． 故答案为：同位角相等，两直线平行，，； 方法二：证明：连接，． 垂直平分已作， ， 同理可得， ． 又已作，， ， ． 故答案为：，； 略 （2）如图中，一共形成个物体的像． 故答案为：． 轴对称在坐标系中的应用题型03 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点的性质，得，求出n值代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称， ∴， 解得，， ∴． 2．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在棋盘中建立直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置分别是，和．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标：（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是添加一个点，使四点构成的图形为轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键．根据轴对称的定义分析即可． 【详解】解：如图所示， C点的位置为，，A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形为轴对称图形； C点的位置为，x轴是对称轴， C点的位置为，直线为对称轴 满足的有：，，，． 故选：D 3．（25-26八年级·期末）如图，在平面直角坐标系中，是轴对称图形，对称轴为直线，若点的坐标为，则点关于对称轴的对称点的坐标为_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称点坐标的特点，根据关于直线对称的两个点，纵坐标相等，横坐标之和为求解计算即可． 【详解】，，关于直线对称， ，解得， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，已知． (1)在图中作出； (2)在图中作出关于x轴的对称图形． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求． 【分析】该题主要考查了坐标与图形及轴对称图形的作法，熟练掌握基础知识点是解题关键． （1）根据题意，在坐标系中描出点，连线即可； （2）先作出关于x轴对称的点，然后连线即可； 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1) 即为所求； (2)如图所示： 或． 【分析】（）根据题意，确定，，的位置，然后顺次连接即可； （）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可； 此题考查了轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）取，连接，， ∵为小正方形的对角线， ∴； 取，连接，， 由图得，， ∴， ∴点的坐标为或． 求关于坐标轴对称的点的坐标题型04 1．（2026·江苏徐州·模拟）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为， ∴横坐标的相反数为，纵坐标仍为， 即点关于轴对称的点的坐标是． 2．在平面直角坐标系中，点P和点Q关于x轴对称，点P坐标为，则点Q的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特点． 利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点Q关于x轴对称， ∴点Q的横坐标与点P的横坐标相同，纵坐标与点P的纵坐标互为相反数． ∴点Q的坐标为． 故答案为：． 3．如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的图形． (2)写出点的坐标． 【答案】(1) 如图所示： (2)点坐标为： 【分析】（1）分别找出点A、B、C关于y轴的对称点、、，顺次连接即可； （2）直接写成点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）点的坐标为：． 【点睛】此题考查了坐标系中的轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)如图所示，点即为所求． 【分析】（）根据轴对称图形的性质作图即可； （）找点关于轴的对称点，连接与轴交于点，由轴对称的性质可得，所以，由两点之间线段最短，可知此时最小，故点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 5．观察你在第1题中写出的各点的坐标，关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？ 【答案】 关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标分别互为相反数 【详解】略． 求关于直线对称的点的坐标题型05 1．下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了利用轴对称变换作图，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质即可求解． 【详解】∵A，B关于直线l对称， ∴直线l垂直平分线段， 故选项C符合题意， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，且垂直于轴，则点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征． 由已知可得直线为，根据关于轴对称的点的坐标特征，即可求解． 【详解】∵直线垂直于轴，且经过点， ∴直线为， ∴点关于直线对称的点的坐标是． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于成轴对称的点，纵坐标相同，横坐标相加等于4，求解. 【详解】已知，两点关于直线对称， ， ， ， 故答案为：-2. 【点睛】本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律. 4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． (1)作出关于直线l的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) 如图，为所作； (2)，， (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据（1）中得出的图形写出坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：，，； （3）解：点P关于直线l的对称点的坐标为． 5．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点称为Ⅰ(m)变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为Ⅱ(m)变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ(m)变换，又有点作了Ⅱ(m)变换，我们就称该图形为-双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ(2)变换．变换后的坐标是；点作Ⅱ(2)变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题： (1)当时， ①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是_____； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标； (2)已知点，， ①若线段是-双变换图形，则的取值范围是_____； ②已知点在第一象限，若及其内部（除点）组成的图形是-双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积． 【答案】(1)①；②或； (2)①或；②36． 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，坐标与图形，新定义问题和三角形的面积公式，深入理解题意是解决问题的关键． （1）①根据变换的定义求出相应变换后的点的坐标即可；②分两种情形：，分别构建不等式解决问题即可； （2）①根据C，D两点的纵坐标，结判断出m的范围即可；②根据题意作出变换后所得图形，即可求出图形G所覆盖的区域的面积． 【详解】（1）解：①，， 点作Ⅰ（0）变换，即 故答案为：； ②， 直线为轴， 若，则作Ⅰ（0）变换，变换后的点为， ， 且符合题意， ； 若，则作Ⅱ（0）变换，变换后的点为， 且符合题意， ． 综上或； （2）解：①已知点，， 线段是双变换图形， ， 或， 或， 故答案为：或， ②如图中， 由题意，满足条件的图形是平行四边形， 变换后所有图形所覆盖的区域的面积． 根据坐标的对称求值题型06 1．（24-25八年级上·山东济宁·月考）已知：点与点关于x轴对称，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识，解题的关键是掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据点关于x轴对称的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解m和n，再计算即可解答． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，纵坐标相反：， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一种新型的运算法则，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是理解两种运算改变了哪个坐标的符号．根据变换定义，先计算内层函数，再计算外层函数g的结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，证明，得到，，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，则，，， ∵将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级下·湖南张家界·期中）点，关于轴对称，则___． 【答案】 【分析】利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：点，关于轴对称， ，， ． 5．（25-26七年级上·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； (2)在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1) 如图1所示，即为所求， (2) 如图2所示，作点B关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点D即为所求． 【分析】本题考查了画轴对称图形，以及轴对称图形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）先找到点B关于y轴的对称点，再连接，则与y轴的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 车牌号码的镜面对称题型01 1．（25-26八年级上·河南长葛·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 2．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 3．一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码______． 【答案】 【分析】根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 倒影的对称图形是：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性． 4．一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是__________． 【答案】数学 【分析】本题考查镜面对称，平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，因此可以把镜中呈现的图片，沿着一条竖直线翻折，看翻折后是怎样的图形．掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与成镜面对称， 英文单词的中文意思是：数学． 故答案为：数学． 5．一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 【答案】小兰利用镜面对称（轴对称），将镜子放在如图位置，镜子中就会得到正确的等式，如图所示， 【详解】略 钟表的镜面对称题型02 1．电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平面镜成像左右颠倒，但上下不变；对于电子钟数字，需考虑每个数字在七段数码管中的镜像映射，其中0、1、8映射为自身，2和5互映射，其他数字类似；然后整体顺序左右反转． 【详解】解：∵ 电子钟示数“”的数字序列为0、1、0、5， 数“”的字符顺序左右反转为“” ∵镜像映射：“0”的镜像是“0”，“1”的镜像是“1”，“0”的镜像是“0”，“5”的镜像是“2”； ∴ 电子钟示数“”在平面镜中的像为“”， 故选：B． 2．如图是小明在镜子中看到的钟表的图象，此时的真实时间是（      ） A．4:40 B．4:20 C．7:40 D．7:20 【答案】A 【分析】根据镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分解答即可． 【详解】根据镜面对称的性质可得，真实时间是4：40， 故选：A． 【点睛】本题考查了镜面对称，关键是根据镜面对称的性质解答． 3．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 4．小灵和小萍同时站在镜子前看到镜子里的墙上电子挂钟的读数如图所示，此时实际的读数是多少？小灵说是15：20，小萍说是05：21.她们谁说得对？ 【答案】实际的读数是12：50，她们说得都不对． 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】物体在镜子里的图像关于镜面成轴对称，镜子改变了物体的左右方向．一行数字不仅每个数字被镜子改变左右结构，而且整行数字的左右顺序也被改变， 0和1在镜子里仍然是0和1，2被改变成5，5被改变成2， 所以实际的读数是12：50， 所以她们说得都不对． 【点睛】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2. 5．（26-27上·黑龙江绥化·联考）探索发现． 镜子里的时间 小朋友，你一定照过镜子吧，你注意过指针式钟表在镜子中所表示的时间吗？请你画出左边钟表在右边镜子中的图像，并填上它表示的时间，最后填表探求规律． 真实时间 镜子中的时间 二者的和 1:15 10:45 12:00 3:30 10:20 8:25 7:45 5:30 说说你的发现． 【答案】 真实时间 镜子中的时间 二者的和 1:15 10:45 12:00 3:30 8:30 12:00 10:20 1:40 12:00 8:25 3:35 12:00 7:45 4:15 12:00 5:30 6:30 12:00 规律：发现指针式钟表真实时间和镜子中的时间之和是． 【分析】右边镜中图像是左边真实钟表时间经过左右翻转得到，经计算，钟表真实时间镜子中的时间，从而总结出规律． 【详解】真实时间通过对称画图，可以得到镜子中的时间，规律为真实时间和镜子中的时间之和是，详见答案． 线段问题题型03 1．（25-26八年级·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质与平移规律，熟练掌握关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征及点的平移规律是解题的关键。根据平面直角坐标系中关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征，以及点的平移规律，逐一判断每个选项的正确性，从而选出正确答案。 【详解】∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 又∵点，的横坐标相同，纵坐标与互为相反数． ∴与关于轴对称，选项正确． ∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵将点向右平移个单位长度，横坐标为，得到的点为，不是点． ∴选项错误． 故选：A． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接交于，交于，若的周长为20，则长为（   ） A．10 B．12 C．20 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长． 【详解】解：∵P点关于，的对称点，， ∴，， ∴的周长， ∵的周长是20， ∴． 故选：C． 3．如图，是线段的中点，，是线段外的两点，若是线段上的一个动点，且的周长随点的运动逐渐增大，则点的运动路径可能是（　　） A．从点运动到点 B．从点运动到点 C．从点运动到点 D．从点运动到点 【答案】D 【分析】本题主要考查点关于线的对称和三角形三边的关系，作点B关于的对称点，连接、、和，可知，由于线段为定长，则要逐渐增大，点M运动要逐渐远离线段，即可求得答案． 【详解】解：连接、和，作点B关于的对称点，连接，如图， 由点的对称性可得，， ∵线段为定长，随点的运动逐渐增大， ∴要逐渐增大， ∴点M运动要逐渐远离线段（此时周长最短），只有D符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上找出点P，使最短． 【答案】(1)解：如图所示△A′B′C′即为所求； (2) 解：如图所示，点P即为所求；    【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称与最短路径问题，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）分别作出，，关于直线的对称点，，，连接，，，则即为所求； （2）连接交直线于点，由轴对称的性质可得，由两点之间线段最短可知此时最短． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：    (1)在图1中线段上画点D，使，并画出点A关于的对称点M； (2)在图1中线段上画点E，使； (3)如图2，点F为线段上任意一点，在线段上画点G，使． 【答案】(1)如图1，点D，点M为所求：    (2)如图1，为所求：    (3)如图2，点G，线段为所求：    【分析】（1）构造等腰直角三角形，交于点D，点D即为所求，在点B的正下方取点M，使得，点M即为所 求； （2）如图1中，连接交一点J，连接，延长交于点E，连接即可； （3）利用网格的特点作的中线，连接交一点O，连接，延长交一点G，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 面积问题题型04 1．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 2．如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 【答案】(1) 如图所示:即为所画； (2). 【分析】（1）先做出三点关于直线的对称点，然后顺次连接，即可得到. （2）利用割补法进行计算的面积即可． 【详解】（1）略 （2） .即的面积为6． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的作法，及网格中利用割补法求图形的面积．准确的做出图形是解题的关键． 3．如图，中，，，过点作，且，连接． (1)如图1，若，则的面积为 　 　；（请用含的式子表示的面积；提示：过点作边上的高） (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由； (3)如图3，将沿翻折，得到，，连接．试直接用含的式子表示的面积．（不写探究过程） 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图l，先证明，可得，进而由三角形的面积公式得出结论； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，由条件可以得出，从而得到，进而由三角形的面积公式得出结论； （3）如图3，过点作，交的延长线于点，由折叠的性质可以得出，由条件可以得出，得到，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）（1）中的结论成立． 理由：如图2，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）如图3，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴，， ∴， ∴． ∴的面积为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识．证明三角形全等是解题的关键． 4．（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ (2)求的面积； (3)已知为轴上一点，若的面积是的面积的倍，求此时点的坐标． 【答案】(1)如图所示，即为所求，关于轴对称； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，分割法求面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）确定点的坐标，描点后，观察即可得出关系； （）利用长方形面积减去三个三角形面积即可求解； （）设的边上的高为，点的坐标为，然后分为当点在轴负半轴上时；当点在轴正半轴上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：由坐标系可得， ∴纵坐标都乘得， ∴与的位置关系是关于轴对称； （2）解：； （3）解：设的边上的高为，点的坐标为， ∴， 因为的面积是的面积的倍， 所以，解得， 所以当点在轴负半轴上时，； 当点在轴正半轴上时，． 综上，点的坐标为或． 5．（24-25七年级下·福建宁德·期末）某校计划开展以“艺术点亮校园，梦想成就未来”为主题的校园文化艺术节活动，现向全体同学征集舞台设计方案．设计要求如下： I．舞台在如图1所示的长方形区域内设计，其中，为舞台前后两部分的分割线，（是常数），长方形区域的面积为； II．舞台的设计元素为圆弧和线段，除长方形区域原有的框线外，最多再添加三条圆弧线和两条线段（至少有一条是弧线），其中圆弧线只能用半圆弧和四分之一圆弧； III．设计后的整个舞台是轴对称图形，且舞台深度要达到，宽度要达到，面积大于且小于． (1)图2是七年级（1）班的“妙想”兴趣小组设计的舞台（阴影部分）． ①请直接写出图2中舞台的面积；（用含的代数式表示） ②当时，请通过计算，判断该舞台是否符合设计要求；    (2)请利用图3设计一种舞台方案，选择合适的值，并计算出舞台面积说明该方案满足要求．（画出相关弧线和线段，并用虚线标出的位置，舞台部分用斜线阴影表示）    【答案】(1)①或； ②符合要求，理由： 当时，． ，， ， ， ， 该舞台符合设计要求，   ； (2) 方案一：如图2所示即为所设计的舞台．   ， 当时，． 该舞台符合设计要求． 方案二：如图3所示即为所设计的舞台．   ， 当时，． ， 该舞台符合设计要求． 方案三：如图4所示即为所设计的舞台   ， 当时，． ． 该舞台符合设计要求． 方案四：如图5所示即为所设计的舞台   ， 当时，． ， ． 该舞台符合设计要求． 方案五：如图6所示即为所设计的舞台    当时，． ， ． 该舞台符合设计要求． 【分析】本题考查了长方形、半圆等几何图形的面积计算，以及轴对称图形的设计与应用．解题的关键在于正确理解舞台设计要求，合理组合图形，准确运用面积公式进行计算，并根据给定条件判断是否符合要求． （1）①根据图2的图形构成，利用长方形和半圆的面积公式，推导出舞台面积的代数式； ②将具体数值代入①中所得代数式，计算出面积后，与设计要求的面积范围进行比较，从而判断是否符合要求； （2）需要依据设计要求，在图3中设计出一种包含圆弧和线段的轴对称舞台方案，选择合适的数值，计算舞台面积并验证其满足要求． 【详解】（1）解：①或 ②略 （2）略 最值问题题型05 1．如图，四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、此时的周长有最小值，由对称性求出，则有，即可求． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，    ∵， ∴，， ∴的周长，此时的周长有最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接， ∴此时，周长最小，为线段的长度， 根据轴对称得，垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，中，，，，，将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点，则周长的最小值是___________．    【答案】12 【分析】根据周长等于，为定值，得到当的值最小时，三角形的周长最小，根据折叠得到点，点关于对称，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小为的长，得到周长的最小值等于，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点， ∴点，点关于对称，，    ∴，， ∵周长等于，为定值， ∴当的值最小时，三角形的周长最小， ∵， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∴周长的最小值等于； 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质．熟练掌握利用轴对称解决线段和最小问题，是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 5．已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． (3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值. 【答案】(1) ∵，，且， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标， ∵轴于点B， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2) ∵，点C是的中点， ∴， 过点D作轴于点F， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴在和中 ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可求出a，b的值，得到点A的坐标，从而可判断的形状； （2）由点C是的中点，可得，过点D作轴于点F，根据同角的余角相等可得，又有，，从而证得，因此，，，又，，证得，从而得到，得证； （3）由可得点点的坐标为，作点关于x轴的对称点，则的坐标为，，连接，交x轴于点，此时的周长最小．过点作轴于点Q，则，，，又，因此有，从而求得，．由翻折可得，因此，又，根据同角的余角相等得到，又， ，证得，因此，．所以求得． 【详解】（1）略 （2）略 （3） ∵， ∴点的坐标为， 作点关于x轴的对称点，则的坐标为，， 连接，交x轴于点，则，由于为定值，此时的周长最小． 过点作轴于点Q， ∴，， ∵， 又， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴由翻折可得， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵，由翻折有， ∴在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，最短路径问题，三角形的面积，综合运用各个知识，在第（3）题中利用面积求出的长是解题的关键． 最短路径的基本作图题型06 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 2．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 3．如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________． 【答案】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【分析】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【详解】解：如图，点C，点D即为所求． 故答案为：作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 【答案】 即为所求． 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小问题， 作点P关于射线，的对称点E，点F，连接交于点，交于点，依次连接可得答案，再根据轴对称可知的周长为，然后根据“两点之间，线段最短”，可知此时的周长最小． 【详解】解：∵，， ∴的周长为． 根据两点之间，线段最短，可知此时的周长最小． 5．如图，在正方形网格中，是格点三角形． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点（即画出点），使点到点和点的距离之和最小； (3)求的面积． 【答案】(1) 解：如下图所示，△即为所求； (2) 解：如下图所示，点即为所求； (3)3 【分析】（1）先分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接，线段与直线的交点即为所求； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：△的面积为． 【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质及正确作出图形，结合图形求解． 与最短路径有关的计算题型07 1．（25-26八年级上·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为．在轴上确定点，使得与之和最小．点的坐标为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，作出点关于轴的对称点，再连接、，与轴的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求，点的坐标为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏海安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 【答案】(1) 如图所示： (2) (3) 点P如图所示： 点P坐标为 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，两点之间，线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，根据轴对称的性质分别找出点，依次连接，即可得； （2）根据关于y轴的对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可作答． （3）由（1）得点关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点，连接，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴点C关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）略 3．（25-26八年级上·湖北·月考）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，，分别在轴和轴上找点，，使得的值最小，请在图2中画出点和点的位置，并直接写出点，的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点在线段上，且，交于点，求点的坐标．      【答案】 （1）解：完成画图，如图， ； （2）如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点． ，； （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的轴对称变换，图形的面积等知识点，解题关键是熟练掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先完成画图，再设，根据，列出关于的方程求解，即可求得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，根据，，列出方程求解即可； （3）过点作交的延长线于点，过点作轴于点，先利用“”易证出，可得，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）设， ，， ． ， ， ． ， ， 解得：， ． （2）根据对称可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，过点作交的延长线于点，过点作轴于点． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ， ， 即，解得． ∴， ∴． ∴． 4．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 【答案】(1) 解：如图：即为所求， (2) 解：如图：点即为所求， 由图可得：； 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，轴对称最短路线问题，解题关键是熟练掌握轴对称变换的性质． （1）根据轴对称变换的性质，找出的对应顶点，然后依次连接，即可求解； （2）将点关于轴的对称点与点连接交轴于点，则点即为所求．再根据图形直接得出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 角度问题(轴对称综合题)题型08 1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】##12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度． 【答案】84 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 3．如图，和是分别沿作轴对称变换得到的，若，求，的度数． 【答案】， 【分析】利用轴对称变换得到，再利用三角形全等的性质和三角形内角和定理即可求，的度数． 【详解】解：，． 如图，和成轴对称，和成轴对称， ， ， ． 在中，， ． ， 【点睛】本题考查了轴对称变换的性质和三角形内角和定理 ，熟悉轴对称变换的性质是解题的关键． 4．如下图，在中，为边上一动点（不与点B，C重合），连接，以直线为对称轴，作的对称图形，以直线为对称轴，作的对称图形，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，的面积为14，求面积的最小值． 【答案】(1)90° (2)4 【分析】（1）利用轴对称得到对应角相等，结合平行线同旁内角互补，推导，求出； （2）作，由轴对称得到，求出，表达面积，取最小值时面积最小，时最小，代入计算． 【详解】（1）解：由题意，得，， ，． ， ， ， ． （2）解：如图，过点作交的延长线于点． 由题意，得，，， ， ， ． 的面积， 当的值最小时，的面积最小，当时，的值最小， 此时的面积， ， 的面积的最小值为． 5．如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 平分， ， 是外角的平分线， ， 又，， ， (2) ①如图2，与交于点O， 由对称的性质可知，，， 当时，， ，， ， ， ， ； ①当时，，理由如下： 如图3，设 与关于对称， ， ， ， 当时， 由（1）知 ， 【分析】（1）根据角平分线和外角的角度关系计算即可得到角度关系； （2）①利用外角的关系用其他角度表示，再由三角形外角进行换角计算得到为，得到垂直关系；②通过设元，通过外角和角平分线换角用表示，即可得到两个角的大小关系． 【详解】（1） 略 （2）略 【点睛】本题考查三角形结合角平分线的角度关系计算，对三角形外角定理的熟悉是解题的关键，且在复杂的计算中可以采用设元的方式来简化计算，减少错误率． 其他问题(轴对称综合题)题型 1．如图，一张台球桌的桌面长为2.84，宽为1.42，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．根据题意画出图形，然后即可作出判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以该球在桌面边缘反弹的次数为1． 故选：A． 2．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 3．如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时，_____________°． 【答案】50 【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值； 【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， ∵AM=AM， ∴△AME≌△AMN， ∴ME=MN， ∴BM+MN=BM+ME≥BE． ∵BM+MN有最小值． 当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC， ∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°； 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数． 4．如果直线、相交成的角，交点为O、P为平面上任意一点，若作点P关于的对称点P是第1次，再作点P关于的对称点是第2次，以后继续轮流作关于、的对称点．那么经过_______次后，能回到点P． 【答案】12 【分析】根据轴对称的性质，作出图象结合图象求解． 【详解】如图所示． 由图可得共需12次，能回到p点. 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称的性质，作出图象. 5．（24-25八年级下·期中）如图是网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，点是格点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点，是格点，在上取点，使得的值最小． 【答案】(1)如解图，点即为所求作；    (2) 如解图，点即为所求作（作法不唯一）．   【分析】本题考查了无刻度直尺作图，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短等知识； （1）取格点D，连接，则垂直平分，点D即为所求作的点； （2）作点M关于的对称点F，连接交于点E，则点E为所求作的点． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 15.2 画轴对称的图形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 作轴对称图形 题型02 利用轴对称设计图案 题型03 轴对称在坐标系中的应用 题型04 求关于坐标轴对称的点的坐标 题型05 求关于直线对称的点的坐标 题型06 根据坐标的对称求值 B组 能力进阶 题型01 车牌号码的镜面对称 题型02 钟表的镜面对称 题型03 线段问题 题型04 面积问题 题型05 最值问题 题型06 最短路径的基本作图 题型07 与最短路径有关的计算 题型08 角度问题(轴对称综合题) C组 思维拔高 题型 其他问题(轴对称综合题) 作轴对称图形题型01 1．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 2．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，以图中的直线为对称轴，画出图形的另一半． 4．描点与作图    (1)用数对表示三角形三个顶点的位置：，B（　　），C（　　）； (2)以为对称轴画出三角形的轴对称图形； (3)将三角形向右平移8格，画出平移后的三角形． 5．（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 利用轴对称设计图案题型02 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点DD是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 4．请写出3个是轴对称图形的汉字:____________________________. 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合与实践 (1)某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得． 经过讨论，得到如下两种作法，补全表格中的证明过程和依据． 方法一 方法二 作图步骤 在上任取一点，作． 在射线上作点即为所求． 在和上分别取点，，使得． 作的垂直平分线． 作的垂直平分线，与直线交于点．点即为所求． 图示 理由 证明：，（已作） ，（______） ______． ，（已作） ______， ． 证明：连接，． 垂直平分，（已作） ______， 同理可得， ． 又已作，， ≌，（______） ． 请你用不同于上面的尺规作图方法在图中求作点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． (2)在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”．如图，设两面镜子的夹角，物体在的角平分线上，则在镜子中一共形成______个物体的像． 轴对称在坐标系中的应用题型03 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在棋盘中建立直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置分别是，和．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标：（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级·期末）如图，在平面直角坐标系中，是轴对称图形，对称轴为直线，若点的坐标为，则点关于对称轴的对称点的坐标为_______________． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，已知． (1)在图中作出； (2)在图中作出关于x轴的对称图形． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 求关于坐标轴对称的点的坐标题型04 1．（2026·江苏徐州·模拟）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点P和点Q关于x轴对称，点P坐标为，则点Q的坐标为______． 3．如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的图形． (2)写出点的坐标． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 5．观察你在第1题中写出的各点的坐标，关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？ 求关于直线对称的点的坐标题型05 1．下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，且垂直于轴，则点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则________． 4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． (1)作出关于直线l的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 5．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点称为Ⅰ(m)变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为Ⅱ(m)变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ(m)变换，又有点作了Ⅱ(m)变换，我们就称该图形为-双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ(2)变换．变换后的坐标是；点作Ⅱ(2)变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题： (1)当时， ①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是_____； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标； (2)已知点，， ①若线段是-双变换图形，则的取值范围是_____； ②已知点在第一象限，若及其内部（除点）组成的图形是-双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积． 根据坐标的对称求值题型06 1．（24-25八年级上·山东济宁·月考）已知：点与点关于x轴对称，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．3 2．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖南张家界·期中）点，关于轴对称，则___． 5．（25-26七年级上·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； (2)在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 车牌号码的镜面对称题型01 1．（25-26八年级上·河南长葛·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 2．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 3．一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码______． 4．一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是__________． 5．一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 钟表的镜面对称题型02 1．电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 2．如图是小明在镜子中看到的钟表的图象，此时的真实时间是（      ） A．4:40 B．4:20 C．7:40 D．7:20 3．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 4．小灵和小萍同时站在镜子前看到镜子里的墙上电子挂钟的读数如图所示，此时实际的读数是多少？小灵说是15：20，小萍说是05：21.她们谁说得对？ 5．（26-27上·黑龙江绥化·联考）探索发现． 镜子里的时间 小朋友，你一定照过镜子吧，你注意过指针式钟表在镜子中所表示的时间吗？请你画出左边钟表在右边镜子中的图像，并填上它表示的时间，最后填表探求规律． 真实时间 镜子中的时间 二者的和 1:15 10:45 12:00 3:30 10:20 8:25 7:45 5:30 说说你的发现． 线段问题题型03 1．（25-26八年级·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接交于，交于，若的周长为20，则长为（   ） A．10 B．12 C．20 D．无法确定 3．如图，是线段的中点，，是线段外的两点，若是线段上的一个动点，且的周长随点的运动逐渐增大，则点的运动路径可能是（　　） A．从点运动到点 B．从点运动到点 C．从点运动到点 D．从点运动到点 4．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上找出点P，使最短． 5．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：    (1)在图1中线段上画点D，使，并画出点A关于的对称点M； (2)在图1中线段上画点E，使； (3)如图2，点F为线段上任意一点，在线段上画点G，使． 面积问题题型04 1．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 2．如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 3．如图，中，，，过点作，且，连接． (1)如图1，若，则的面积为 　 　；（请用含的式子表示的面积；提示：过点作边上的高） (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由； (3)如图3，将沿翻折，得到，，连接．试直接用含的式子表示的面积．（不写探究过程） 4．（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ (2)求的面积； (3)已知为轴上一点，若的面积是的面积的倍，求此时点的坐标． 5．（24-25七年级下·福建宁德·期末）某校计划开展以“艺术点亮校园，梦想成就未来”为主题的校园文化艺术节活动，现向全体同学征集舞台设计方案．设计要求如下： I．舞台在如图1所示的长方形区域内设计，其中，为舞台前后两部分的分割线，（是常数），长方形区域的面积为； II．舞台的设计元素为圆弧和线段，除长方形区域原有的框线外，最多再添加三条圆弧线和两条线段（至少有一条是弧线），其中圆弧线只能用半圆弧和四分之一圆弧； III．设计后的整个舞台是轴对称图形，且舞台深度要达到，宽度要达到，面积大于且小于． (1)图2是七年级（1）班的“妙想”兴趣小组设计的舞台（阴影部分）． ①请直接写出图2中舞台的面积；（用含的代数式表示） ②当时，请通过计算，判断该舞台是否符合设计要求；    (2)请利用图3设计一种舞台方案，选择合适的值，并计算出舞台面积说明该方案满足要求．（画出相关弧线和线段，并用虚线标出的位置，舞台部分用斜线阴影表示）    最值问题题型05 1．如图，四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，，将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点，则周长的最小值是___________．    4．如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 5．已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． (3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值. 最短路径的基本作图题型06 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________． 4．如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 5．如图，在正方形网格中，是格点三角形． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点（即画出点），使点到点和点的距离之和最小； (3)求的面积． 与最短路径有关的计算题型07 1．（25-26八年级上·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为．在轴上确定点，使得与之和最小．点的坐标为_____． 2．（24-25八年级上·江苏海安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 3．（25-26八年级上·湖北·月考）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，，分别在轴和轴上找点，，使得的值最小，请在图2中画出点和点的位置，并直接写出点，的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点在线段上，且，交于点，求点的坐标．      4．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 角度问题(轴对称综合题)题型08 1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 2．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度． 3．如图，和是分别沿作轴对称变换得到的，若，求，的度数． 4．如下图，在中，为边上一动点（不与点B，C重合），连接，以直线为对称轴，作的对称图形，以直线为对称轴，作的对称图形，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，的面积为14，求面积的最小值． 5．如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 其他问题(轴对称综合题)题型 1．如图，一张台球桌的桌面长为2.84，宽为1.42，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时，_____________°． 4．如果直线、相交成的角，交点为O、P为平面上任意一点，若作点P关于的对称点P是第1次，再作点P关于的对称点是第2次，以后继续轮流作关于、的对称点．那么经过_______次后，能回到点P． 5．（24-25八年级下·期中）如图是网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，点是格点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点，是格点，在上取点，使得的值最小． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $