第十五章轴对称单元检测题 2026-2027学年人教版八年级数学上册

2026-2027学年人教版八年级数学上册第十五章轴对称单元检测题 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）点关于x轴的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（     ） A．或 B． C． D．或 6．（本题3分）如图，在等边三角形中，且，垂直平分，下列结论中错误的是（     ） A．是等腰三角形 B．是等边三角形 C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，分别交边于点M，N；若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，已知，点，，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若则等于（） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，在四边形中，，．若，，则四边形的面积为__________． 12．（本题3分）如图，在中，，是高，，若，则的长为_________________． 13．（本题3分）如图，是等边三角形，边长为6，和的平分线交于点F，过点F作的平行线交于点D，交于点E，则的长是_________________． 14．（本题3分）如图，已知线段，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点，连接交于点．以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，，则的大小为_________． 15．（本题3分）在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则________． 16．（本题3分）如图，在中，点在边上，，点在上，，，若，，则线段的长为_______________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．（本题8分）如图，在中，，，，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 19．（本题8分）如图，在中，，D是边上任意一点，连接，过点分别向、引垂线，垂足分别为、，是的边上的高． (1)当点为的中点时，求证：； (2)线段、、的长度之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 20．（本题8分）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（________，________）（结果用含，的式子表示） (3)若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求，的值． 21．（本题9分）如图，是的平分线，垂直平分于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（本题9分）在中，，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为，求证：． 23．（本题10分）请思考以下问题： (1)如图①，若点D为等边三角形的边上一点，以为边作等边（下方），连接． ①求证：； ②判断线段、、的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图②，等边中，，点D是边上的高所在直线上的点，以为边作等边（下方），连接，则的长是否存在最小值，不存在请说明理由；若存在，说明理由并求出这个最小值． 24．（本题12分）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)【初步探究】如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 第8页（共9页） 第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年人教版八年级数学上册第十五章轴对称单元检测题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A D B C B B 1．A 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2．B 【分析】根据轴对称的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：根据轴对称图形的特征可知：，，，无法判断与的位置关系， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意． 3．B 【分析】首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长为多少即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长是， ， ， ， ， 又， ． 4．C 【分析】关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点关于轴的对称点横坐标为，纵坐标为． ∴对称点坐标为． 5．A 【分析】等腰三角形腰上的高既可以在三角形内部，也可以在三角形外部，需分两类情况讨论；每类都在直角三角形中，通过“倍长这条直角边”作辅助线，构造全等三角形，进而得到等边三角形，先推出“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”，再利用等边对等角和三角形内角和定理求出底角． 【详解】解：分两种情况讨论． （1）当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，垂足D在上，如图． 在中，，于点D， ． 在直角三角形中，． 延长到点E，使，连接，则． ，， ． 在和中， （公共边），，， ∴， （全等三角形的对应边相等）， ， 是等边三角形， ，即， ，即． ， ． （2）当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，垂足D在的延长线上，如图． 在中，，交的延长线于点D，为钝角， ． 在直角三角形中，． 同(1)得， ． ， ， ． 综上，这个等腰三角形的底角为或． 【点睛】①腰上的高既可在三角形内部，也可在三角形外部，必须分类讨论，只算一种必然漏解；②教材中只有“角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质定理，“直角边等于斜边的一半，则所对锐角为”不能直接使用，应先倍长该直角边，构造全等三角形得到等边三角形推证后再用；③钝角情形中，与互补，顶角应为，不要把直接当作顶角，否则会漏掉这一解． 6．D 【分析】由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故选项正确；用“边角边”定理证明，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故选项正确；利用平行线的性质证明，可求出，故选项正确；根据，即可判断，故选项错误． 【详解】解：垂直平分， ，即是等腰三角形，故选项正确； 是等边三角形， ， 又， . 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故选项正确； 垂直平分，， ， ，故选项正确； ， ，故选项错误． 7．B 【分析】利用平角定义求出，结合折叠性质得出，在中利用两锐角互余求出，再利用折叠性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．C 【分析】根据作图方式可知直线是线段的垂直平分线，得到，进而转化线段求出的周长． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ， 则． 9．B 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．B 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，然后根据同理可得，，从而进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 同理可得：， 是等边三角形， ， ， 同理可得：， 是等边三角形， ， ． 11．24 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∵，， ∴四边形的面积为． 12．6 【分析】先由直角三角形两锐角互余求出，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长，最后根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴，（直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半）． 又∵， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴． 在直角三角形中， ∵， ∴（的角所对的直角边等于斜边的一半）． ∴． 综上，的长为6． 【点睛】①“是高”即，垂足D在斜边上，所以；②运用“含角的直角三角形”的性质时，先认准斜边和的角所对的直角边：先用“斜边＝直角边的2倍”求，再用“直角边＝斜边的一半”求，方向不能搞反；③最后由线段的和差求解，不要把误当作． 13．4 【详解】解：∵是等边三角形，边长为 6， ∴，， ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴的周长． ∴的长是4． 14．/度 【分析】由作图得为等边三角形、是的垂直平分线，从而、；再由知为等腰直角三角形，把拆成与之和即可求． 【详解】解：分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点（如图）． ，． 为等边三角形， ． ，， 点、都在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ，为的中点． 点在线段上， ． 以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点， ． 为等腰直角三角形， ． 点在上， ． 点、分别在的两侧， ． 15． 2 【分析】作的垂直平分线交于点，连接，利用等腰三角形性质和外角定理得出，证明，利用对应边相等建立关于的方程求解. 【详解】解：作的垂直平分线交于点，连接 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 又，， ∴， ∴， ， 设，则， ∵ ， ∴ ， 解得， ∴. 16． 【分析】如图，延长、交于点，证明得，，继而得到，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】解：如图，延长、交于点， ∵，，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 17．(1)证明：， ， 即， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）由推出；由得内错角；由得补角，用证全等． （2）由得等腰三角形，结合求出，再由全等得． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 由(1)知， ． 18．(1)证明：如图， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质结合条件得，进一步求出，再根据即可求出，进而得，即可证明是等腰三角形． （2）由（1）得：，，根据垂直定义得，再根据度角所对边等于斜边的一半即可得，进而得，再根据，计算即可得的长为． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由（1）得：，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长为． 19．(1)证明：， ， 为的中点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (2)，理由如下， ，，，， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）等边对等角，用证明，根据全等的性质得到； （2）等面积法，，，，，代入进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1) (2)， (3) 【分析】（1）分别找到A，B，C三点关于直线的对称点，依次连接三个对称点画出轴对称图形即可； （2）根据关于直线对称的点的坐标规律，纵坐标不变，横坐标满足到距离相等，推导出对称点坐标为； （3）利用关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的性质列出方程组，解方程组求出m，n的值． 【详解】（1）解：关于直线对称的点纵坐标不变，横坐标满足到距离相等，，，， ，，，即，，； （2）解：设， 关于直线对称的点纵坐标不变，横坐标满足到距离相等， ， 解得， ∴点的坐标为； （3）解：由题意得， 解得， 此时点是内的一点，满足题意． 21．(1)证明：∵ 是 的平分线，，， ∴ ． ∵ 垂直平分 ，连接、． ∴ ． 在 和 中， ∴ ． ∴ ． (2)2 【分析】（1）先根据角平分线的性质得到 ，再由线段垂直平分线的性质得到 ，利用 证明两个直角三角形全等，证出 ． （2）先用证明 和 全等，得到 ，结合第一问 ，代入 ， 列方程，算出 ． 【详解】（1）略． （2）解：在和中， ， ∴． ∴． 由图可知，，． ∵， ∴． ∵，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 22．(1)证明：过点D作交于M，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； (2)证明：如图，过点D作交于M， 由（1）知，， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点D作交于M，则，进而可得，可证得，即可得到结论； （2）过点D作交于M，结合（1）的结论得出，，即可证明结论． 【详解】（1）略； （2）略． 23．(1)①证明：、是等边三角形， ， ，即； ②，理由如下： 、是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； (2)存在，的最小值为，理由如下： 是等边三角形，，， ，平分，， ， 分三种情况： 当点在线段上时，如图，连接， 、是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，连接， 、是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； 当点在线段的反向延长线上时，如图，连接并延长至点， 、是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 点在过点且与直线所夹锐角为的直线上移动， 当时，最短，此时，， ， 的最小值为． 【分析】（1）①利用等边三角形的内角都是，同时减去公共角，证得；②用证明，得到，再由、推出； （2）对点D在直线上的三种位置分类讨论，都通过证明，得到的角度确定点在一条直线上，根据垂线段最短得到当时最小，利用含直角三角形性质算出最小值即可． 【详解】（1）略 （2）略 24．(1) (2)，理由如下： ， ， ， 在和中， ， ，， ； (3)点的运动速度为或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，； （2）同（1）可证明，得，，可得答案； （3）因为，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ， 即与的数量关系为， （2）略； （3）解：， ； 是中点， ； 当时，则，， ， ； 当时，则，， ， ， ； 综上所述，点的运动速度为或． 答案第2页（共20页） 答案第1页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $