第六单元 图形的奥秘（易错专项讲义）数学北师大四年级上册（新教材）

第六单元 图形的奥秘易错专项讲义 易错题型01 切开立体图形（判断形状） 易错题型02 通过数字还原立体图形 易错题型03 正方体翻滚问题 易错题型01 切开立体图形（判断形状） 1、同时满足「切面边界属性合规、截面形状推导逻辑匹配立体图形的空间切割规则」推导得到的结果，才是本单元认可的切开立体图形判断截面形状的合规结果，脱离立体图形定义、随意拼接切面轮廓得到的不符合空间几何逻辑的结果不能作为有效判断依据。 2、垂直于正方体的一个面平行切割时，要严格依托“切面四条边长度全部相等、四个角都是直角”的规则推导，不能错误认为切出的是长方形，得到完全偏离正方形的错误截面结果。 3、沿着正方体的体对角线斜向切割时，要严格依托“切面同时经过正方体的六个面”的规则推导，不能错误认为最多只能切出四边形，得到截面边数完全错误的结果。 4、垂直于圆柱的上下底面平行切割时，要严格依托“切面轮廓为和底面完全相同的圆形”的规则推导，不能错误认为切出的是椭圆，得到完全偏离圆形的错误截面结果。 5、沿着圆柱的轴线竖直向下切割时，要严格依托“切面轮廓为长方形（或正方形）”的规则推导，不能错误认为切出的是平行四边形，得到不符合圆柱轴向切割逻辑的错误截面结果。 6、垂直于圆锥的轴线平行于底面切割时，要严格依托“切面轮廓为圆形”的规则推导，不能错误认为切出的是椭圆形，得到完全偏离圆形的错误截面结果。 7、沿着圆锥的顶点竖直向下过轴线切割时，要严格依托“切面轮廓为等腰三角形”的规则推导，不能错误认为切出的是普通三角形，得到不符合圆锥轴向切割逻辑的错误截面结果。 8、反向核验截面形状的合理性时，把判断出的切面反向代入原立体图形空间推演，切面的边数必须和切割路径经过的立体表面数量完全匹配，不能出现边数和经过面数矛盾的逻辑冲突。 9、标注截面形状的最终结果时，要完整写出切面的准确几何名称，同时标注出对应的切割方向，不能只笼统描述轮廓，导致截面的空间指代完全不清晰。 【题型精讲1】下面切面一定是三角形的是（    ）。 A．圆柱横切 B．圆锥竖切 C．长方体横切 D．圆柱竖切 【答案】B 【分析】圆柱横切的切面是圆形。沿着圆锥的顶点竖直切到底面，得到的切面一定是三角形。长方体横切的切面一般是长方形/正方形。圆柱竖切的切面是长方形（或正方形）。 逐个判断各选项对应立体图形切割后的切面形状，选出切面一定为三角形的选项。 【解答】A．圆柱横切，切面是圆形，不符合要求。 B．圆锥沿着过顶点和底面直径的方向竖切，切面是等腰三角形，符合要求。 C．长方体横切，切面是长方形（或正方形），不符合要求。 D．圆柱竖切，切面是长方形（或正方形），不符合要求。 【易错巩固1】把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 【答案】B 【分析】长方体的面均由线段围成，切面不可能出现曲线图形；普通长方体无特殊说明时长宽高不全相等，沿长竖直切得到的四边形邻边不等。 【解答】圆形、椭圆形由曲线围成，长方体的切面都由线段组成，没有特殊说明时，默认是普通长方体，长宽高不完全相等，沿长的方向竖直切得到的四边形邻边长度不等，为长方形。 【易错巩固2】如图所示，把一个正方体沿对角线斜着切开，得到的截面形状是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 【答案】B 【分析】切割平面穿过正方体两个相对面的对角线，截面两组对边分别平行，一组边是正方体棱长，另一组边是正方形面对角线，邻边长度不相等，根据正方体同一个顶点三条棱两两互相垂直可知截面四个内角全是90°，据此判断截面的形状。 【解答】截面形状是一个两组对边分别平行且相等，四个角都是直角的图形，所以这个图形是长方形。 【易错巩固3】如图，切割火腿肠，截面的形状是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】据图可知，火腿肠可看作近似圆柱体，图中刀具是斜着切割，可根据切割角度和圆柱的特征，推断出截面的形状。 【解答】A．圆形截面是垂直于圆柱体轴线切割所得到的，不符合； B．椭圆形截面是斜着切割圆柱体所得到的，符合； C．图形是纵向切开火腿肠所得到的截面，不符合。 【易错巩固4】圆柱平行于底面切开，切面是（ ）形；垂直于底面切开，切面是（ ）形；斜着切开，切面是（ ）形。 【答案】圆 长方 椭圆 【分析】圆柱上下两个底面是完全相同的圆形，平行于底面横切圆柱，切面和底面形状相同，是圆；同一个圆柱所有平行于底面的横切面直径相等，大小相等；竖着切、垂直底面：沿过圆柱轴线的平面，切面上下两条边平行且等于圆柱的高，左右两条边等于底面直径，切面是长方形；特殊情况：当圆柱底面直径＝圆柱的高时，切面为正方形。斜着切开，切面是椭圆形。 【解答】由分析得： 圆柱平行于底面切开，切面是圆形；垂直于底面切开，切面是长方（或正方）形；斜着切开，切面是椭圆形。 【易错巩固5】把圆锥形甜筒冰淇淋平行于底面切一刀，切面是（ ）形；从顶端竖直对半切开，切面是（ ）形；斜着切割、不经过顶点也不平行底面，切面是（ ）形。 【答案】圆 三角 椭圆 【分析】把圆锥平行于底面进行切割，因为底面是圆，切面得到的是一个圆形；从顶端竖直对半切开得到的是一个以底面直径为底，以圆锥的高为高的等腰三角形，斜着切割、不经过顶点也不平行底面，切面是椭圆形。由此即可解答． 【解答】切面是圆形；从顶端竖直对半切开，切面是三角形；斜着切割、不经过顶点也不平行底面，切面是椭圆形。 【易错巩固6】把下面三个物体用一个平面切成两部分，截面是什么样的图形对应着画在点子图中。 【答案】见详解 【分析】第一个圆锥的截面：因为平面平行于圆锥底面切割，所以截面是圆形，需在点子图中对应画出圆形的点子图； 第二个圆锥的截面：因为平面从圆锥的顶点切割到圆锥的底面，所以截面是等腰三角形，需在点子图中对应画出三角形的点子图。 第三个圆柱的截面：因为平面垂直于圆柱底面切割，所以截面是长方形，需在点子图中对应画出长方形的点子图。 【解答】 易错题型02 通过数字还原立体图形 1、同时满足「小正方体堆叠属性合规、立体还原逻辑匹配三视图的数字计数规则」推导得到的结果，才是本单元认可的通过数字还原立体图形的合规结果，脱离堆叠定义、随意拼接小正方体得到的不符合空间几何逻辑的结果不能作为有效还原依据。 2、根据从上面看到的数字分布还原立体图形时，要严格依托“底层小正方体的数量和分布完全和俯视图的数字点位一一对应”的规则运算，不能凭空增减底层的小正方体，得到底层布局完全错位的结果。 3、根据从正面看到的层数数字还原立体图形时，要严格依托“每一列的最高层数不能超过正视图对应列的数字”的规则推导，不能让某一列的层数超过正视图的限定值，得到立体图形正面视图完全不符合要求的结果。 4、根据从左面看到的层数数字还原立体图形时，要严格依托“每一行的最高层数不能超过左视图对应行的数字”的规则推导，不能让某一行的层数超过左视图的限定值，得到立体图形左面视图完全不符合要求的结果。 5、计算还原立体图形所需的最少小正方体数量时，要严格依托“每一列/行只在满足最高层数要求的点位放对应层数，其余点位只保留底层1个”的规则运算，不能额外增加多余的堆叠层数，得到总数量虚高的错误结果。 6、计算还原立体图形所需的最多小正方体数量时，要严格依托“所有点位的层数都取正视图和左视图对应位置层数的最小值”的规则运算，不能让任意点位的层数超过两个视图的双重限定，得到总数量超标的错误结果。 7、反向核验立体还原结果的合理性时，把还原出的立体图形反向绘制出三视图，得到的所有视图的数字分布必须和题目给定的原始视图完全匹配，不能出现视图和题干要求矛盾的逻辑冲突。 8、还原带指定数字标注的立体图形时，要严格遵循“上层的小正方体必须完全落在下层小正方体的顶面，不能悬空”的堆叠规则，不能凭空放置悬空的上层方块，得到完全不符合物理堆叠逻辑的立体图形。 9、统计还原后立体图形露在外面的面的总数量时，要严格依托“前后面、左右面、上下面的面数分别对应三视图的正方形总数量”的规则运算，不能重复统计被遮挡的内部面，得到露在外面的面数虚高的错误结果。 10、标注立体还原的最终结果时，要完整写出所有点位的堆叠层数数字分布，同时清晰标注总小正方体数量，不能只零散描述堆叠结构，导致立体图形的空间指代完全不清晰。 【题型精讲2】从上面看此模型，看到的结果可以用表示，正方形里的2表示有2个小正方体重叠，那么右图这个立体图形从上面看，看到的结果表示正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方框内数字代表对应地面位置竖直堆叠的小正方体个数。观察立体图形，后方位置、中间位置都摞有2个小正方体，左边、右边、下方位置各1个，对照选项的形状和数字筛选。 【解答】 根据分析：这个立体图形从上面看，看到的结果表示正确的是。 【易错巩固1】用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示这个位置上所用小正方体的个数）。这个几何体从右面看是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上面看到的标注数字的图形，确定几何体前后不同排的小正方体最大堆叠层数，就能推导出从右面观察得到的图形形状。 从上面看到的图形的含义：这个从上面看到的图形里，每个正方形上的数字，代表对应地面位置上叠放的小正方体总个数。把这些位置按前后顺序分成三排：第一排：只有1个位置，数字是1，说明这里只叠了1个小正方体；第二排：有2个位置，数字分别是3和2，说明这一排最多的位置叠了3个小正方体；第三排：只有1个位置，数字是2，说明这里叠了2个小正方体。推导从右面观察的图形特征：站在几何体的右侧往左边看时：视线里最左侧的列，对应几何体最靠前的第一排，这一列最多只能看到1层正方形；视线里中间的列，对应几何体中间的第二排，这一列最多可以看到3层正方形；视线里最右侧的列，对应几何体最靠后的第三排，这一列最多可以看到2层正方形。所以从右面看到的图形，底层有3个并排的正方形，中间位置向上叠2个正方形（总共3层），最右侧位置向上叠1个正方形（总共2层），最左侧位置只有底层1个正方形。 【解答】A．只有2列正方形，不符合我们推导的3列的特征，排除； B．底层有4个正方形，不符合3列的特征，排除； C．从左到右的层数是2、3、1，和推导的1、3、2不匹配，排除； D．图形完全符合推导的层数特征。 【易错巩固2】由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到的是（其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数），则从右面看到的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上面看到的图形以及各小正方形内的数字，可知从右面看到的图形有2列，左列和右列中小正方形的数目分别为1，2；据此解答。 【解答】根据分析： 从右面看到的是底层有2个并排的正方形，上层的正方形叠在右侧正方形的上方，与选项D完全一致。 【易错巩固3】一个由小正方体搭建的几何体，从上面看到的图形是（正方形里的数字表示从这个方向看，数字所在位置的所有小正方体的个数）。这个几何体从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题图，从左面看这些小正方体有两列，左边一列看到3个小正方体，右边一列看到2个小正方体。据此逐一分析各个选项即可解答。 【解答】 A． 左面看这些小正方体有两列，左边一列看到3个小正方体，右边一列看到2个小正方体，符合题意； B．左面看这些小正方体有两列，左边一列看到2个小正方体，右边一列看到3个小正方体，不符合题意； C．左面看这些小正方体有三列，左边一列看到1个小正方体，中间一列看到3个小正方体，右边一列看到2个小正方体，不符合题意； D． 左面看这些小正方体有三列，左边一列看到2个小正方体，中边一列看到3个小正方体，右边一列看到1个小正方体，不符合题意。 所以这个几何体从左面看到的图形是。 【易错巩固4】用同样的小正方体摆一个组合体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个组合体，从前面看是（ ），从左面看是（ ）。（填序号） 【答案】④ ① 【分析】每一列的最高层数决定了从前面看到的图形每列有几个小正方形，前后两排的最高层数决定了从左面看到的图形每列有几个小正方形，对照选出对应的图形。 【解答】观察从上面看到的图形，可知，左起第一列最高1个正方形，第二列最高3个正方形，第三列最高2个正方形，最右边一列最高1个正方形，所以这个组合体，从前面看是④。看图可知，前排最高2个正方形，后排最高3个正方形，从左面看是①。 【易错巩固5】用同样的小正方体摆一个组合体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个组合体，从前面看是（ ），从左面看是（ ）。（填序号） 【答案】② ④ 【分析】左中右三列的最高层数决定了从前面看到的图形每列有几个小正方形，前中后三排的最高层数决定了从左面看到的图形每列有几个小正方形，对照选出对应的图形。 【解答】观察从上面看到的图形，可知，左列最高1个正方形，中列最高3个正方形，右列最高3个正方形，所以从前面看到的图形是； 看图可知，前排最高3个正方形，中排最高2个正方形，后排最高3个正方形，所以从左面看到的图形是。 【易错巩固6】按下面的图纸搭成的立体大楼是什么样子的？想一想，在（    ）里画“√”。 【答案】（√）（    ）（    ） 【分析】观察第一层表格：第一行（后排），4个位置都有正方体；第二行（中排），只有第2个位置有正方体；第三行（前排），只有第二个位置有正方体，这说明底层的形状是后排4个连在一起，中排和前排各有一个，且都在第2列的位置。 观察第二层表格：第一行（后排），第2个和第4个位置有正方体；第二行（中排），没有正方体；第三行（前排），只有第二个位置有正方体，这说明上层有3个正方体，分别叠在底层对应的位置。 【解答】 【易错巩固7】用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下面左图所示（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看是（ ），从左面看是（ ）。（填序号） 【答案】 ④ ① 【分析】根据从上面看到的图形信息可知，这个几何体前面最下面有4个小正方体排成一横排，上面有2个小正方体排成一横排，居中对齐；后面有3个小正方体排成一竖排，靠左对齐（如图）。据此解答。 【解答】从前面看，有3层，下面一层有4个小正方形排成一横排，中间一层有3个小正方形排成一横排，靠左对齐，上面一层有1个小正方形，靠左对齐；即； 从左面看，有3层，下面一层有2个小正方形排成一排，中间一层有2个小正方形和下面对齐，上面一层有1个小正方形，靠左对齐；即。 【易错巩固8】用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如左图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上放置的小正方体的个数），请你在右边的方格纸中分别画出这个几何体从正面、左面看到的图形。 【答案】 【分析】这个几何体，从正面看，有三层，第1层有3个小正方形，第2层靠第1层的右边有2个小正方形，第3层靠第2层的左边有1个小正方形；从左面看，有三层，第1层有3个小正方形，第2层靠第1层的左边有2个小正方形，第3层靠第2层的左边有1个小正方形。 【解答】从正面看，第1层画3个小正方形，第2层靠第1层的右边画2个小正方形，第3层靠第2层的左边画1个小正方形。图略。 从左面看，第1层画3个小正方形，第2层靠第1层的左边画2个小正方形，第3层靠第2层的左边画1个小正方形。图略。 易错题型03 正方体翻滚问题 1、同时满足「相对面属性合规、翻转逻辑匹配正方体逐面翻滚的空间运动规则」推导得到的结果，才是本单元认可的正方体翻转问题的合规结果，脱离正方体相对面定义、随意拼接面的朝向得到的不符合空间几何逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、正方体向右翻滚一次时，要严格依托“原朝右的面变为底面、原顶面变为朝右的面、新顶面是原朝左面的对面”的规则推导，不能错误改动相对面的对应关系，得到翻滚后朝上的面完全错误的结果。 3、正方体向左翻滚一次时，要严格依托“原朝左的面变为底面、原顶面变为朝左的面、新顶面是原朝右面的对面”的规则推导，不能错误改动相对面的对应关系，得到翻滚后朝上的面完全错误的结果。 4、正方体向前翻滚一次时，要严格依托“原朝前的面变为底面、原顶面变为朝前的面、新顶面是原朝后面的对面”的规则推导，不能错误改动相对面的对应关系，得到翻滚后朝上的面完全错误的结果。 5、正方体沿数字带连续向右翻滚时，要严格依托“每翻滚4次就回到初始顶面状态，形成4次一循环的周期规律”的规则推导，不能错误认为循环周期是3次，得到周期计算完全错位的结果。 6、计算正方体翻滚指定次数后落在数字带上的底面数字时，要严格逐次记录每一次翻滚后压在数字上的面，不能跳步直接硬套周期，得到底面面的属性完全不符合翻滚轨迹的结果。 7、反向核验翻转结果的合理性时，把最终的面朝向反向逐次倒推回初始状态，得到的所有面的朝向必须和题目给定的初始摆放状态完全匹配，不能出现倒推后初始面属性矛盾的逻辑冲突。 8、判定正方体翻滚指定步数后朝上的面数字时，要严格依托“已知三组相对面的固定对应关系”作为底层约束，不能让任意两个相对面同时出现在相邻位置，得到完全违背正方体面属性的错误结论。 9、统计正方体沿直线翻滚一周留下的痕迹序列时，要严格按照翻滚的先后顺序依次记录接触地面的四个面，不能颠倒面的排列顺序，得到翻滚痕迹序列完全不符合运动逻辑的结果。 10、标注正方体翻转的最终结果时，要完整写出最终朝上/朝下的面的准确标识，同时清晰标注对应的翻滚周期和循环次数，不能只零散给出数字，导致翻转的运动逻辑无法被精准还原。 【题型精讲3】正方体滚动周期是（    ）。 A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】正方体沿固定方向滚动时，每滚动4次就会恢复初始的面朝向状态，因此正方体滚动周期是4。 【解答】正方体的侧面共有4个，沿同一方向每次滚动90°，滚动4次后各面朝向与初始状态完全相同，所以正方体滚动周期是4。 【易错巩固1】正方体从起点沿数字带1→2→3……的方向滚动到第8格，经过的颜色周期是4，第8格朝上的颜色和第（    ）格相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题属于周期问题，颜色周期为4，每4格朝上的颜色就会循环一次，整除时对应周期最后一格的颜色。 【解答】（组） 计算结果没有余数，说明第8格是2个完整周期的最后一格，和每个周期的最后一格也就是第4格朝上的颜色相同。 【易错巩固2】正方体的6个面分别写着A、C、D、E、F、I。与C相对的面是（    ）。 A．A面 B．D面 C．E面 D．I面 【答案】A 【分析】观察三次正方体的状态，顶面始终是I，说明正方体的转动是绕着水平轴进行的，仅改变正面的朝向，I的对面始终是底面，不会参与正面的轮换；第一次正面是A，转动一次后正面变为F，再转动一次后正面变为C，说明A、F、C这三个面是依次相邻、共享I面作为顶面的侧面；正方体的6个面中，I是顶面，它的4个侧面分别是A、F、C，以及剩下的E，D面中的1个，当从A转到F再转到C时，A和C是间隔一个面的侧面，因此C的相对面就是A面。 【解答】正方体侧面的4个面按顺序排列为A、F、C、E或者D，相邻面不可能相对，因此C的对面只能是A面。 【易错巩固3】一个正方体木块，各个面上分别写上A、B、C、D、E、F这六个字母，A的对面是F，B的对面是E，C的对面是D。这个木块如图放置后按剪头所示方向滚动，滚动到最后一格时，木块上方是（    ）。 A．字母A B．字母B C．字母C D．字母F 【答案】C 【分析】正方体木块经过三次滚动，只要知道第三次滚动后正方体的下方的字母，就能根据相对字母的对应关系推断出木块正上方的字母。 【解答】第一次滚动下方是F，第二次滚动下方是E，第三次滚动下方是D，D的对面是C。所以滚到最后一格时，木块上方是字母C。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查学生的空间想象能力。也可以动手操作一样，既可以培养动手能力也可以加深印象。 【易错巩固4】一个正方体蓝色面朝右（起点位置正方体没有压在数字上）沿数字带1→2→3……的方向从起点滚到16，蓝色面经过的数依次是：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】1 5 9 13 【分析】起始蓝色面朝右，正方体没有压在数字上。 第一次滚动后，正方体压在数字1的格子上，蓝色面朝下，和数字1接触，蓝色面经过的第一个数； 第二次滚动后，正方体压在数字2的格子上，蓝色面朝左，不和数字2接触； 第三次滚动后，正方体压在数字3的格子上，蓝色面朝上，不和数字3接触； 第四次滚动后，正方体压在数字4的格子上，蓝色面朝右，不和数字4接触； 第五次滚动后，正方体压在数字5的格子上，蓝色面朝下，和数字5接触，蓝色面经过的第二个数； 第六次滚动后，正方体压在数字6的格子上，蓝色面朝左，不和数字6接触； …… 蓝色面相邻两次经过的数，后面的数比前面的数大4，据此填写依次经过的数即可。 【解答】根据分析可知，第一次蓝色面经过的数是1，后面依次经过的数为1＋4＝5，5＋4＝9，9＋4＝13。 【易错巩固5】想一想，若这个正方体纸盒在纸上沿一个方向“滚动”，接下来印出的面会是什么样的？将第三次滚动印出的面画出来。 第一次滚动 第二次滚动 第三次滚动 【答案】见详解 【分析】正方体初始状态下，沿指定方向滚动第一次，印出的是一个正方形面，对应表格中已给出的“第一次滚动”的图形，在第一次滚动的基础上继续沿同一方向滚动，印出的是两个并排的正方形面，与表格中“第二次滚动”的图形一致。由此可发现规律：每朝指定方向滚动一次就在上一次滚动的图形的基础上增加一个并排的正方形面。 【解答】按照沿同一方向滚动的规律，第二次滚动后再滚动一次，印出的应是三个并排的正方形面，据此画出第三次滚动印出的画面。 第一次滚动 第二次滚动 第三次滚动 【易错巩固6】下面的正方体从起，点开始滚动。 （1）灰色面经过的第一个数是（ ）。 （2）正方体从起点滚动到15，灰色面经过的数分别是多少？ 第一次 第二次 第三次 第四次 （3）发现：正方体滚动一圈，灰色面出现一次，中间相隔（ ）个面。 （4）照这样滚动下去，灰色面第八次经过的数是（ ）。 【答案】（1）3 （2）3；7；11；15 （3）3 （4）31 【分析】（）正方体朝同一个方向翻滚，次为一个周期，同一个侧面会再次贴地面； 灰色面第一次落在数字 ； （）后面每一次数字比上一次加 ； （） 相邻两次之间，隔开个数字（个面）； （） 求第几次的数字等于次数。 【解答】（1）灰色面经过的第一个数是。 （2） 第一次 第二次 第三次 第四次 （3）发现：正方体滚动一圈，灰色面出现一次，中间相隔个面。 （4） 灰色面第八次经过的数是。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 图形的奥秘易错专项讲义 易错题型01 切开立体图形（判断形状） 易错题型02 通过数字还原立体图形 易错题型03 正方体翻滚问题 易错题型01 切开立体图形（判断形状） 1、同时满足「切面边界属性合规、截面形状推导逻辑匹配立体图形的空间切割规则」推导得到的结果，才是本单元认可的切开立体图形判断截面形状的合规结果，脱离立体图形定义、随意拼接切面轮廓得到的不符合空间几何逻辑的结果不能作为有效判断依据。 2、垂直于正方体的一个面平行切割时，要严格依托“切面四条边长度全部相等、四个角都是直角”的规则推导，不能错误认为切出的是长方形，得到完全偏离正方形的错误截面结果。 3、沿着正方体的体对角线斜向切割时，要严格依托“切面同时经过正方体的六个面”的规则推导，不能错误认为最多只能切出四边形，得到截面边数完全错误的结果。 4、垂直于圆柱的上下底面平行切割时，要严格依托“切面轮廓为和底面完全相同的圆形”的规则推导，不能错误认为切出的是椭圆，得到完全偏离圆形的错误截面结果。 5、沿着圆柱的轴线竖直向下切割时，要严格依托“切面轮廓为长方形（或正方形）”的规则推导，不能错误认为切出的是平行四边形，得到不符合圆柱轴向切割逻辑的错误截面结果。 6、垂直于圆锥的轴线平行于底面切割时，要严格依托“切面轮廓为圆形”的规则推导，不能错误认为切出的是椭圆形，得到完全偏离圆形的错误截面结果。 7、沿着圆锥的顶点竖直向下过轴线切割时，要严格依托“切面轮廓为等腰三角形”的规则推导，不能错误认为切出的是普通三角形，得到不符合圆锥轴向切割逻辑的错误截面结果。 8、反向核验截面形状的合理性时，把判断出的切面反向代入原立体图形空间推演，切面的边数必须和切割路径经过的立体表面数量完全匹配，不能出现边数和经过面数矛盾的逻辑冲突。 9、标注截面形状的最终结果时，要完整写出切面的准确几何名称，同时标注出对应的切割方向，不能只笼统描述轮廓，导致截面的空间指代完全不清晰。 【题型精讲1】下面切面一定是三角形的是（    ）。 A．圆柱横切 B．圆锥竖切 C．长方体横切 D．圆柱竖切 【易错巩固1】把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 【易错巩固2】如图所示，把一个正方体沿对角线斜着切开，得到的截面形状是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 【易错巩固3】如图，切割火腿肠，截面的形状是（    ）。 A． B． C． 【易错巩固4】圆柱平行于底面切开，切面是（ ）形；垂直于底面切开，切面是（ ）形；斜着切开，切面是（ ）形。 【易错巩固5】把圆锥形甜筒冰淇淋平行于底面切一刀，切面是（ ）形；从顶端竖直对半切开，切面是（ ）形；斜着切割、不经过顶点也不平行底面，切面是（ ）形。 【易错巩固6】把下面三个物体用一个平面切成两部分，截面是什么样的图形对应着画在点子图中。 易错题型02 通过数字还原立体图形 1、同时满足「小正方体堆叠属性合规、立体还原逻辑匹配三视图的数字计数规则」推导得到的结果，才是本单元认可的通过数字还原立体图形的合规结果，脱离堆叠定义、随意拼接小正方体得到的不符合空间几何逻辑的结果不能作为有效还原依据。 2、根据从上面看到的数字分布还原立体图形时，要严格依托“底层小正方体的数量和分布完全和俯视图的数字点位一一对应”的规则运算，不能凭空增减底层的小正方体，得到底层布局完全错位的结果。 3、根据从正面看到的层数数字还原立体图形时，要严格依托“每一列的最高层数不能超过正视图对应列的数字”的规则推导，不能让某一列的层数超过正视图的限定值，得到立体图形正面视图完全不符合要求的结果。 4、根据从左面看到的层数数字还原立体图形时，要严格依托“每一行的最高层数不能超过左视图对应行的数字”的规则推导，不能让某一行的层数超过左视图的限定值，得到立体图形左面视图完全不符合要求的结果。 5、计算还原立体图形所需的最少小正方体数量时，要严格依托“每一列/行只在满足最高层数要求的点位放对应层数，其余点位只保留底层1个”的规则运算，不能额外增加多余的堆叠层数，得到总数量虚高的错误结果。 6、计算还原立体图形所需的最多小正方体数量时，要严格依托“所有点位的层数都取正视图和左视图对应位置层数的最小值”的规则运算，不能让任意点位的层数超过两个视图的双重限定，得到总数量超标的错误结果。 7、反向核验立体还原结果的合理性时，把还原出的立体图形反向绘制出三视图，得到的所有视图的数字分布必须和题目给定的原始视图完全匹配，不能出现视图和题干要求矛盾的逻辑冲突。 8、还原带指定数字标注的立体图形时，要严格遵循“上层的小正方体必须完全落在下层小正方体的顶面，不能悬空”的堆叠规则，不能凭空放置悬空的上层方块，得到完全不符合物理堆叠逻辑的立体图形。 9、统计还原后立体图形露在外面的面的总数量时，要严格依托“前后面、左右面、上下面的面数分别对应三视图的正方形总数量”的规则运算，不能重复统计被遮挡的内部面，得到露在外面的面数虚高的错误结果。 10、标注立体还原的最终结果时，要完整写出所有点位的堆叠层数数字分布，同时清晰标注总小正方体数量，不能只零散描述堆叠结构，导致立体图形的空间指代完全不清晰。 【题型精讲2】从上面看此模型，看到的结果可以用表示，正方形里的2表示有2个小正方体重叠，那么右图这个立体图形从上面看，看到的结果表示正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固1】用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示这个位置上所用小正方体的个数）。这个几何体从右面看是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固2】由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到的是（其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数），则从右面看到的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固3】一个由小正方体搭建的几何体，从上面看到的图形是（正方形里的数字表示从这个方向看，数字所在位置的所有小正方体的个数）。这个几何体从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固4】用同样的小正方体摆一个组合体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个组合体，从前面看是（ ），从左面看是（ ）。（填序号） 【易错巩固5】用同样的小正方体摆一个组合体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个组合体，从前面看是（ ），从左面看是（ ）。（填序号） 【易错巩固6】按下面的图纸搭成的立体大楼是什么样子的？想一想，在（    ）里画“√”。 【易错巩固7】用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下面左图所示（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看是（ ），从左面看是（ ）。（填序号） 【易错巩固8】用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如左图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上放置的小正方体的个数），请你在右边的方格纸中分别画出这个几何体从正面、左面看到的图形。 易错题型03 正方体翻滚问题 1、同时满足「相对面属性合规、翻转逻辑匹配正方体逐面翻滚的空间运动规则」推导得到的结果，才是本单元认可的正方体翻转问题的合规结果，脱离正方体相对面定义、随意拼接面的朝向得到的不符合空间几何逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、正方体向右翻滚一次时，要严格依托“原朝右的面变为底面、原顶面变为朝右的面、新顶面是原朝左面的对面”的规则推导，不能错误改动相对面的对应关系，得到翻滚后朝上的面完全错误的结果。 3、正方体向左翻滚一次时，要严格依托“原朝左的面变为底面、原顶面变为朝左的面、新顶面是原朝右面的对面”的规则推导，不能错误改动相对面的对应关系，得到翻滚后朝上的面完全错误的结果。 4、正方体向前翻滚一次时，要严格依托“原朝前的面变为底面、原顶面变为朝前的面、新顶面是原朝后面的对面”的规则推导，不能错误改动相对面的对应关系，得到翻滚后朝上的面完全错误的结果。 5、正方体沿数字带连续向右翻滚时，要严格依托“每翻滚4次就回到初始顶面状态，形成4次一循环的周期规律”的规则推导，不能错误认为循环周期是3次，得到周期计算完全错位的结果。 6、计算正方体翻滚指定次数后落在数字带上的底面数字时，要严格逐次记录每一次翻滚后压在数字上的面，不能跳步直接硬套周期，得到底面面的属性完全不符合翻滚轨迹的结果。 7、反向核验翻转结果的合理性时，把最终的面朝向反向逐次倒推回初始状态，得到的所有面的朝向必须和题目给定的初始摆放状态完全匹配，不能出现倒推后初始面属性矛盾的逻辑冲突。 8、判定正方体翻滚指定步数后朝上的面数字时，要严格依托“已知三组相对面的固定对应关系”作为底层约束，不能让任意两个相对面同时出现在相邻位置，得到完全违背正方体面属性的错误结论。 9、统计正方体沿直线翻滚一周留下的痕迹序列时，要严格按照翻滚的先后顺序依次记录接触地面的四个面，不能颠倒面的排列顺序，得到翻滚痕迹序列完全不符合运动逻辑的结果。 10、标注正方体翻转的最终结果时，要完整写出最终朝上/朝下的面的准确标识，同时清晰标注对应的翻滚周期和循环次数，不能只零散给出数字，导致翻转的运动逻辑无法被精准还原。 【题型精讲3】正方体滚动周期是（    ）。 A．2 B．4 C．6 D．7 【易错巩固1】正方体从起点沿数字带1→2→3……的方向滚动到第8格，经过的颜色周期是4，第8格朝上的颜色和第（    ）格相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 【易错巩固2】正方体的6个面分别写着A、C、D、E、F、I。与C相对的面是（    ）。 A．A面 B．D面 C．E面 D．I面 【易错巩固3】一个正方体木块，各个面上分别写上A、B、C、D、E、F这六个字母，A的对面是F，B的对面是E，C的对面是D。这个木块如图放置后按剪头所示方向滚动，滚动到最后一格时，木块上方是（    ）。 A．字母A B．字母B C．字母C D．字母F 【易错巩固4】一个正方体蓝色面朝右（起点位置正方体没有压在数字上）沿数字带1→2→3……的方向从起点滚到16，蓝色面经过的数依次是：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 【易错巩固5】想一想，若这个正方体纸盒在纸上沿一个方向“滚动”，接下来印出的面会是什么样的？将第三次滚动印出的面画出来。 第一次滚动 第二次滚动 第三次滚动 【易错巩固6】下面的正方体从起，点开始滚动。 （1）灰色面经过的第一个数是（ ）。 （2）正方体从起点滚动到15，灰色面经过的数分别是多少？ 第一次 第二次 第三次 第四次 （3）发现：正方体滚动一圈，灰色面出现一次，中间相隔（ ）个面。 （4）照这样滚动下去，灰色面第八次经过的数是（ ）。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $