第1章 反比例函数（5考点+10易错+易错训练）（知识清单）数学新教材湘教版九年级下册

第一章 反比例函数 知识点一 反比例函数的定义 1、一般地，形如（）的函数叫做反比例函数。其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数。 2、三种等价形式：、、 3、自变量x的取值范围： 知识点二 反比例函数的图象 1、反比例函数的图象是双曲线，有两支当时，图象分布在第一、三象限当时，图象分布在第二、四象限 知识点三 反比例函数的性质 1、增减性：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大 注意：必须强调在每个象限内，不能跨象限比较 2、对称性：关于原点中心对称；关于直线和轴对称 知识点四 k的几何意义 1、过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积=，过双曲线上任意一点P作x轴（或y轴）的垂线，连接OP，所得三角形的面积= 知识点五 反比例函数与一次函数综合 1、求交点：联立和，消去y得关于x的方程 2、两图象有两个交点时，这两个交点关于原点对称 易错点1比较反比例函数的函数值（自变量的值） 易错提醒 1.在比较反比例函数的函数值时，常因忽视“在同一象限内”的前提条件，直接套用增减性导致出错；或者未能结合函数图象，仅凭代数计算盲目比较大小，忽略了分支的不同。 2.一是必须先判断给定的点是否在同一个象限（同一分支）上；二是不在同一象限时，利用图象直观比较，正数永远大于负数；在同一象限时，再根据反比例函数的增减性进行比较。 【对点训练】1．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 易错点2反比例函数的增减性求参数范围 易错提醒 1.在利用增减性求参数时，常漏掉“在每个象限内”这一关键前提，将整个图象的局部特征误认为整体特征；或者在解不等式时，忽略比例系数𝑘≠0的隐含条件，导致参数范围扩大。 2.一是熟记反比例函数增减性的严谨表述，“在每个象限内”缺一不可；二是根据图象所在的象限，准确列出关于比例系数（或其代数式）的不等式，解出参数范围并检验𝑘≠0。 【对点训练】2．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 易错点3由面积求比例系数 易错提醒 1.在利用图形面积求反比例函数解析式中的𝑘时，常因只记得面积公式而忘记判断图象所在的象限，导致漏掉𝑘的负号；或者混淆了矩形面积（∣𝑘∣）与三角形面积（12∣𝑘∣的对应关系。 2.一是先根据图象所在象限，确定𝑘的正负号；二是准确识别图形类型，利用或列出绝对值方程，再结合符号求出𝑘的准确值。 【对点训练】3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D，O，M，若的面积为6，则k的值为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 易错点4由比例系数求面积 易错提醒 1.在已知𝑘求不规则图形或组合图形面积时，常因无法正确进行面积转化（如割补法、等面积法），或找错底和高对应的线段长度而出错；也容易把带有绝对值的∣𝑘∣直接当成面积。 2.一是牢记基本模型：过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒为 ，直角三角形面积恒为； 二是结合几何图形性质，将不规则图形转化为几个基本图形的和差进行计算。 【对点训练】4．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 易错点5实际问题与反比例函数的综合 易错提醒 1.在处理实际问题时，常忽略自变量的实际意义和取值范围（如长度、时间、人数不能为负数），盲目画出完整的双曲线；或者不能准确提取题目中的“乘积定值”关系建立函数模型。 2.一是仔细审题，找准两个变量之间的反比例关系式；二是务必根据实际背景（如𝑥>0 或𝑥为正整数），写出自变量的取值范围，并限制函数图象只能是双曲线的一支或局部。 【对点训练】5．问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 易错点6反比例函数与简单几何图形的综合 易错提醒 1.在综合题中，常因不能将点的坐标灵活转化为线段的长度，或忽略线段长度必须为非负数（需要加绝对值），导致计算错误；也容易在利用相似、全等性质时找错对应关系。 2.一是利用坐标表示线段长度时，务必加绝对值或结合图象判断正负；二是充分利用几何图形（如矩形、等腰三角形、平行四边形）的边角性质，建立关于坐标的方程，从而求解。 【对点训练】6．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，直线垂直平分线段，分别交两反比例函数的图象于点D，B，设点A的横坐标为n．下列关于观点1，2的判断正确的是（    ）． 观点1：当时，线段的长为1； 观点2：若四边形是正方形，则的长为． A．只有观点1正确 B．只有观点2正确 C．观点1、2都正确 D．观点1、2都不正确 易错点7反比例函数与二次函数图象的综合判断 易错提醒 1.在同一坐标系中判断两个函数图象时，常因不能将含有相同参数的系数符号统一起来，导致判断矛盾；或者二次函数开口方向、对称轴位置与反比例函数象限符号不匹配。 2.一是先从一个特征明显的图象入手，判定相关参数（如𝑘,𝑎,𝑏,𝑐）的正负；二是将推断出的符号代入另一个函数解析式，检验其图象特征是否吻合，采用“假设-验证-排除”法。 【对点训练】7．已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B．C． D． 易错点8反比例函数与一次函数的综合判断 易错提醒 1.在比较大小时（如），常忘记根据交点将𝑥轴分成不同的区间进行讨论，直接得出单一结论；或者联立解析式求交点坐标时发生计算失误。 2.一是准确解方程组求出交点坐标；二是利用图象法比较大小，以交点和𝑦轴为界，将𝑥 的取值划分为不同区域，分别观察图象的上下位置关系，做到不重不漏。 【对点训练】8．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 易错点9反比例背景下的规律探究问题 易错提醒 1.在寻找坐标规律时，常因前两三个点的坐标计算错误，导致后续归纳出的通项公式或递推关系全盘皆输；或者无法从复杂的几何图形中抽象出坐标变化的数学模型。 2.一是准确计算前2−3个特殊点的横、纵坐标，列出表格；二是观察横坐标与纵坐标之间的等差、等比或平方关系，结合图形的边长或面积变化规律，归纳出第𝑛个点的坐标表达式。 【对点训练】5．如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 易错点10一次函数与反比例函数的综合问题 易错提醒 1.在求解两函数图象围成的三角形面积时，常因不会作辅助线割补，或找错与坐标轴的交点坐标，导致面积计算繁琐甚至错误；处理动点问题时容易漏解。 2.一是熟练掌握“铅锤法”或“割补法”，利用直线与𝑥轴、𝑦轴的交点将三角形面积转化为几个易求图形的和差；二是遇到动点问题时，结合题意分类讨论，注意边界情况。 【对点训练】10．如图，直线与反比例函数图象的交点分别为，且点的坐标为，过点作轴，垂足为．直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)若点是反比例函数图象上的一点，且在点的右侧，连接，若，求点的坐标． 一、单选题 1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，的顶点分别在反比例函数和上，顶点在轴上，已知点的坐标为，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，点在反比例函数图象的一支上，点在反比例函数图象的一支上，点在轴上，且，若四边形是面积为12的正方形，则实数的值为_________． 6．如图1，为某型号电暖气及其工作原理的简化电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 7．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 8．已知反比例函数的图象在每个象限内，随x的增大而减小，则k的取值范围是__________． 三、解答题 9．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 10．如图所示，双曲线与直线（，为常数）交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时的取值范围． 11．【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径与两腿迈出的步长之差之间有如下表的关系： 1 2 5 7 1400 700 280 200 【问题解决】 (1)请写出与之间的函数关系式． (2)当某人两腿迈出的步长之差为时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为______________． (3)【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪，一次游戏要求同学们闭眼从边的中点走向边，大家发现走着走着就走偏了，很难回到边．这是为什么呢？经测量，在矩形中，，． ①要想抵达草坪的对面，走偏最多的弧线为弧，求弧所在圆的半径． ②有研究显示，健康人群的步长之差约为，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 12．如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，过点作于点．记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为___________； （2）当时，___________(用含的代数式表示) 13．如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作轴于点C，且C点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，时，求x的范围． (3)点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积____________（用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是____________． 15．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． (3)已知点是反比例函数上的一个动点，设点的横坐标为，，当为何值时，面积最大，并求出最大面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 反比例函数 知识点一 反比例函数的定义 1、一般地，形如（）的函数叫做反比例函数。其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数。 2、三种等价形式：、、 3、自变量x的取值范围： 知识点二 反比例函数的图象 1、反比例函数的图象是双曲线，有两支当时，图象分布在第一、三象限当时，图象分布在第二、四象限 知识点三 反比例函数的性质 1、增减性：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大 注意：必须强调在每个象限内，不能跨象限比较 2、对称性：关于原点中心对称；关于直线和轴对称 知识点四 k的几何意义 1、过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积=，过双曲线上任意一点P作x轴（或y轴）的垂线，连接OP，所得三角形的面积= 知识点五 反比例函数与一次函数综合 1、求交点：联立和，消去y得关于x的方程 2、两图象有两个交点时，这两个交点关于原点对称 易错点1比较反比例函数的函数值（自变量的值） 易错提醒 1.在比较反比例函数的函数值时，常因忽视“在同一象限内”的前提条件，直接套用增减性导致出错；或者未能结合函数图象，仅凭代数计算盲目比较大小，忽略了分支的不同。 2.一是必须先判断给定的点是否在同一个象限（同一分支）上；二是不在同一象限时，利用图象直观比较，正数永远大于负数；在同一象限时，再根据反比例函数的增减性进行比较。 【对点训练】1．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 易错点2反比例函数的增减性求参数范围 易错提醒 1.在利用增减性求参数时，常漏掉“在每个象限内”这一关键前提，将整个图象的局部特征误认为整体特征；或者在解不等式时，忽略比例系数𝑘≠0的隐含条件，导致参数范围扩大。 2.一是熟记反比例函数增减性的严谨表述，“在每个象限内”缺一不可；二是根据图象所在的象限，准确列出关于比例系数（或其代数式）的不等式，解出参数范围并检验𝑘≠0。 【对点训练】2．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴，解得． 易错点3由面积求比例系数 易错提醒 1.在利用图形面积求反比例函数解析式中的𝑘时，常因只记得面积公式而忘记判断图象所在的象限，导致漏掉𝑘的负号；或者混淆了矩形面积（∣𝑘∣）与三角形面积（12∣𝑘∣的对应关系。 2.一是先根据图象所在象限，确定𝑘的正负号；二是准确识别图形类型，利用或列出绝对值方程，再结合符号求出𝑘的准确值。 【对点训练】3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D，O，M，若的面积为6，则k的值为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】过点M作于点E，设交于点F，设，则，证明，则有，根据梯形面积计算公式可得，，从而求得k值． 【详解】解：如图，过点M作于点E，设交于点F， ∵矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴正半轴上， 又∵点D在线段上，函数的图象经过点D， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∵点M为矩形的对称中心， ∴． ∵函数的图象经过点D及矩形的对称中心M， ∴， ， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∵的面积为6， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错点4由比例系数求面积 易错提醒 1.在已知𝑘求不规则图形或组合图形面积时，常因无法正确进行面积转化（如割补法、等面积法），或找错底和高对应的线段长度而出错；也容易把带有绝对值的∣𝑘∣直接当成面积。 2.一是牢记基本模型：过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒为 ，直角三角形面积恒为； 二是结合几何图形性质，将不规则图形转化为几个基本图形的和差进行计算。 【对点训练】4．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据过双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系即可判断． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴， ∵点A在双曲线上， ∴四边形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴四边形的面积为12， ∴矩形的面积为． 易错点5实际问题与反比例函数的综合 易错提醒 1.在处理实际问题时，常忽略自变量的实际意义和取值范围（如长度、时间、人数不能为负数），盲目画出完整的双曲线；或者不能准确提取题目中的“乘积定值”关系建立函数模型。 2.一是仔细审题，找准两个变量之间的反比例关系式；二是务必根据实际背景（如𝑥>0 或𝑥为正整数），写出自变量的取值范围，并限制函数图象只能是双曲线的一支或局部。 【对点训练】5．问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （）由表格可知，从而求得函数解析式； （）把代入解析式即可求解； （）根据题意得，然后反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由表格可知，， ∴与之间的函数关系式为； （）当时，， 答：它的平均速度是． （）根据题意，得，解得， 答：行驶时间应不少于． 易错点6反比例函数与简单几何图形的综合 易错提醒 1.在综合题中，常因不能将点的坐标灵活转化为线段的长度，或忽略线段长度必须为非负数（需要加绝对值），导致计算错误；也容易在利用相似、全等性质时找错对应关系。 2.一是利用坐标表示线段长度时，务必加绝对值或结合图象判断正负；二是充分利用几何图形（如矩形、等腰三角形、平行四边形）的边角性质，建立关于坐标的方程，从而求解。 【对点训练】6．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，直线垂直平分线段，分别交两反比例函数的图象于点D，B，设点A的横坐标为n．下列关于观点1，2的判断正确的是（    ）． 观点1：当时，线段的长为1； 观点2：若四边形是正方形，则的长为． A．只有观点1正确 B．只有观点2正确 C．观点1、2都正确 D．观点1、2都不正确 【答案】A 【分析】由题意，当时，，，从而可求得，由题意可得，，由线段垂直平分线的性质求得、纵坐标，再由反比例函数的性质求出的横坐标为，的横坐标为，从而可得，若四边形是正方形，则，由此求出的值即可得出结果． 【详解】解：由题意，当时， ∵点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C， ∴，， ∴，故观点正确； 由题意可得：，， ∵直线垂直平分线段， ∴、纵坐标， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴与互相垂直平分，， ∵， ∴若四边形是正方形，则， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，故观点错误． 易错点7反比例函数与二次函数图象的综合判断 易错提醒 1.在同一坐标系中判断两个函数图象时，常因不能将含有相同参数的系数符号统一起来，导致判断矛盾；或者二次函数开口方向、对称轴位置与反比例函数象限符号不匹配。 2.一是先从一个特征明显的图象入手，判定相关参数（如𝑘,𝑎,𝑏,𝑐）的正负；二是将推断出的符号代入另一个函数解析式，检验其图象特征是否吻合，采用“假设-验证-排除”法。 【对点训练】7．已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象经过的象限可以判断的符号，再根据图象与y轴交点位置判断的符号，进而得到的符号；然后根据反比例函数的图象所在象限，判断的符号， 再结合、、的符号，先判断二次函数的开口方向，再用对称轴公式判断对称轴位置，最后根据时的函数值判断与y轴的交点位置，逐一匹配选项即可． 【详解】解：观察函数图象可知：，，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线，与轴的交点在轴正半轴． ∴二次函数的图象可能是 ． 易错点8反比例函数与一次函数的综合判断 易错提醒 1.在比较大小时（如），常忘记根据交点将𝑥轴分成不同的区间进行讨论，直接得出单一结论；或者联立解析式求交点坐标时发生计算失误。 2.一是准确解方程组求出交点坐标；二是利用图象法比较大小，以交点和𝑦轴为界，将𝑥 的取值划分为不同区域，分别观察图象的上下位置关系，做到不重不漏。 【对点训练】8．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 易错点9反比例背景下的规律探究问题 易错提醒 1.在寻找坐标规律时，常因前两三个点的坐标计算错误，导致后续归纳出的通项公式或递推关系全盘皆输；或者无法从复杂的几何图形中抽象出坐标变化的数学模型。 2.一是准确计算前2−3个特殊点的横、纵坐标，列出表格；二是观察横坐标与纵坐标之间的等差、等比或平方关系，结合图形的边长或面积变化规律，归纳出第𝑛个点的坐标表达式。 【对点训练】5．如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 【答案】 【分析】先求出的坐标，由题意容易得到是等腰直角三角形，想办法求出，，,…，探究规律， 利用规律解决问题即可得出结论. 【详解】解：联立， 解得， ∴，， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交轴于， 同理可证为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， 同理可得， 则， 即， ∴. 易错点10一次函数与反比例函数的综合问题 易错提醒 1.在求解两函数图象围成的三角形面积时，常因不会作辅助线割补，或找错与坐标轴的交点坐标，导致面积计算繁琐甚至错误；处理动点问题时容易漏解。 2.一是熟练掌握“铅锤法”或“割补法”，利用直线与𝑥轴、𝑦轴的交点将三角形面积转化为几个易求图形的和差；二是遇到动点问题时，结合题意分类讨论，注意边界情况。 【对点训练】10．如图，直线与反比例函数图象的交点分别为，且点的坐标为，过点作轴，垂足为．直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)若点是反比例函数图象上的一点，且在点的右侧，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，反比例函数的几何意义，解决问题的关键是熟练利用反比例函数的几何意义． （1）将点代入，求得，将点坐标代入求得； （2）过点作轴，先求得，再根据的几何意义求得，再求得，设，则得，再求解即可得答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数图象的交点分别为，，且点的坐标为，将点的坐标代入得： ， 解得：， ， 将点的坐标代入反比例函数得： ， 解得：； （2）解：过点作轴，如图， 在一次函数中令，得， ， ，轴， ， 点、在函数的图象上，轴，轴， ， ， ， 设， 则， 解得：或， 点在点的右侧， ， ． 一、单选题 1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置和增减性，再结合各点横坐标判断纵坐标大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ∵，∴点在第二象限，可得． ∵， ∴点，都在第四象限，而且． 综上可得． 2．在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据当时，可知反比例函数图象在第二、四象限，即得到，解之即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 当 时，有， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，的顶点分别在反比例函数和上，顶点在轴上，已知点的坐标为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得轴，即得点和点的纵坐标相同，进而可求出点的坐标，最后利用两点间距离公式解答即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∴点和点的纵坐标相同， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴． 4．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象． 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴ ∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 二、填空题 5．如图，点在反比例函数图象的一支上，点在反比例函数图象的一支上，点在轴上，且，若四边形是面积为12的正方形，则实数的值为_________． 【答案】 【分析】由题意可得四边形，都是矩形，，由反比例函数比例系数的几何意义得，，再根据列出方程，求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴四边形，都是矩形， ∵反比例函数图象一支在第二象限， ∴， 由反比例函数比例系数的几何意义得，， ∵， ∴， 解得． 6．如图1，为某型号电暖气及其工作原理的简化电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象的性质可得为定值，结合题意可列方程，据此可得、的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】根据题意得：， 解得， ， ， 当时，． 7．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键． 先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可． 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 8．已知反比例函数的图象在每个象限内，随x的增大而减小，则k的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，要知道：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内的值随的值增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内的值随的值增大而增大．由于反比例函数的图象在每个象限内的值随的值增大而减小，可知比例系数为正数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象在每个象限内函数值随自变量的增大而减小， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 9．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 10．如图所示，双曲线与直线（，为常数）交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1)， (2)的面积为6 (3)和 【分析】（1）由待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）过点作轴，过点作轴，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （3）理解时的取值范围是指反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由双曲线过， 得， 反比例函数的解析式为； 双曲线过， ，即， 由直线（，为常数）交于，两点，得 ，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：过点作轴，过点作轴，如图所示： ， ，， ， ； （3）解：时的取值范围是指反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，如图所示： 由图可知，当和时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 时的取值范围是和． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、待定系数法确定反比例函数解析式、反比例函数中的几何意义、梯形面积公式、由函数图象解不等式等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 11．【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径与两腿迈出的步长之差之间有如下表的关系： 1 2 5 7 1400 700 280 200 【问题解决】 (1)请写出与之间的函数关系式． (2)当某人两腿迈出的步长之差为时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为______________． (3)【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪，一次游戏要求同学们闭眼从边的中点走向边，大家发现走着走着就走偏了，很难回到边．这是为什么呢？经测量，在矩形中，，． ①要想抵达草坪的对面，走偏最多的弧线为弧，求弧所在圆的半径． ②有研究显示，健康人群的步长之差约为，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 【答案】(1) (2) (3)①； ②当时，， ∴人很难闭上眼睛走到草坪对面. 【分析】（1）由题意设反比例函数解析式为，进一步利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式即可得到答案； （3）①设，可得，进一步结合勾股定理求解即可；②把代入反比例函数解析式，进一步比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意设反比例函数解析式为， 由表格可知，反比例函数过点， ∴， ∴，经检验符合题意． （2）解：当时，． （3）解：①∵在矩形中，，， ∴， ∵，设， ∴， ∴， 解得：， ∴弧所在圆的半径为； ②略 12．如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，过点作于点．记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为___________； （2）当时，___________(用含的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索. 正确识图是解题的关键． （1）先利用反比例函数求出点的坐标，进而求出点； （2）同理（1）求出，…，，，，……，再根据三角形的面积公式求出……，可以发现，由此找到规律，即可求解， 【详解】解：（1）当时， ， ∴，； ，； ∴，， ∵轴， ， ∴， （2）当时， ， 同理可得，，，……，， ∴，，……， ∴， ， ， …… ∴ ， ， ， 即：， 故答案为：（1），（2）. 13．如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作轴于点C，且C点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，时，求x的范围． (3)点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题及依据轴对称性质求最短路线问题，待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式是解题关键． （1）把代入中，可求得B点坐标为，再代到反比例函数解析式中可求得反比例函数解析式； （2）根据图象求得反比例函数的图象在直线上方的x的范围即可； （3）先根据反比例函数解析式求出点D的坐标，作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵轴于点C，且C点的坐标为， ∴把代入中，， ∴点B的坐标为， 又∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：由图象知，当时，时，x的范围为； （3）解：作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P， ∴， ∴， ∴最小值为的长， 将点代入，得：， ∴点， 则点关于x轴的对称点为， 设过、的直线解析式为：， 可得，解得， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得：， 故点P的坐标为． 14．如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积____________（用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是____________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义及三角形的面积公式、两点间的距离公式． （1）设，则，，由轴，轴，得到点E的横坐标为a，点F的纵坐标坐标为b，分别把，代入函数，得，，因此，，根据即可求解； （2）由（1）有，，，可求得，进而得到，把相关数据代入，解方程后进行取舍即可求解． 【详解】解：（1）设 ∵点P是反比例函数（，）图象上一动点， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b， 把代入函数，得， ∴， ∴， 把代入函数，得， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． （2）由（1）有，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴，，， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴． ∴． 故答案为： 15．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． (3)已知点是反比例函数上的一个动点，设点的横坐标为，，当为何值时，面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)或 (3)当时，面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了反比例函数综合，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积公式，完全平方公式，解一元二次方程等知识点； （1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值． （3）过点作轴交于点，先求得直线的解析式，进而设，则，，表示出的面积，根据不等式得出最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①当在的上方时， ∴，， ，， ， 解得：； ②当在的上方时， ∴，， ，， ， 解得：（负根舍去）， 综上所述：或． （3）解：如图，过点作轴交于点， 的横坐标为4， 沿轴正方向平移个单位得到线段， 直线的解析式为， 将代入得到：， 即， 设的表达式为， 将，代入得， 解得， ， 设，则， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴当时，即（负值舍去） ∴当时，面积最大，最大面积为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $