第1章 反比例函数（复习讲义）数学新教材湘教版九年级下册
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内容正文：
第1章 反比例函数
复习要点
1.理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，会根据已知条件确定反比例函数解析式。
2.掌握反比例函数的图象（双曲线）与性质，能根据k的符号判断图象所在象限、增减性，理解双曲线的对称性。
3.掌握反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，所得矩形面积为|k|
4.会解决反比例函数与一次函数的综合问题，包括求交点坐标、比较函数值大小、计算图形面积。
5.能建立反比例函数模型解决简单的实际问题，结合实际情境理解自变量取值范围
复习重难点
重点：反比例函数的图象与性质；反比例函数k的几何意义。
难点：反比例函数与一次函数的综合应用；利用反比例函数模型解决实际问题。
知识点 反比例函数的定义
一般地，形如（ k 为常数，）的函数叫做反比例函数，其中 x 是自变量， y 是因变量，自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数也可以表示为 ( xy=k ) 或的形式。
要点归纳：
判断一个函数是否为反比例函数，核心是看两个变量的乘积是否为不为0的定值；反比例函数的自变量和因变量的取值都不能为0，函数图像与坐标轴没有交点。
要点速测
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可．
【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键．
根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合．
【详解】解：①符合形式，，是反比例函数；
②是正比例函数形式，不是反比例函数；
③符合形式，，是反比例函数；
④，即，符合形式，，是反比例函数
⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数；
⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数；
故是反比例函数的有①、③、④，共3个，
故选：C．
知识点 反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像属于双曲线，有两个分支，分别位于不同的象限内。
当 ( k>0 ) 时，反比例函数的图像位于第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当 ( k<0 ) 时，反比例函数的图像位于第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
反比例函数的图像关于原点中心对称，关于直线 y=x 和直线 y=-x 轴对称。
要点归纳：
反比例函数的图像是不连续的两支曲线
描述函数增减性时必须注明“在每个象限内”，不能直接说当k>0时y随x的增大而减小，跨象限的点不符合该增减规律。
要点速测
1．y关于x的函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案.
【详解】解：∵，
∴函数的图象位于一、三象限，
∵，
∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
∴函数的图象为
.
2．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小.
【详解】解：∵ 反比例函数中，
∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小.
∵ 点，在第三象限，且，
∴ .
∵ 点在第一象限，
∴ .
∴ .
知识点 反比例函数中k的几何意义
反比例函数图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|；过图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的直角三角形面积等于。
要点归纳：
k的几何意义与点在图像上的具体位置无关，只要点在对应反比例函数图像上，对应的矩形和三角形面积就为定值；k的正负决定了图像所在的象限，也能通过几何图形的面积反向求解k的数值，注意结合图像所在象限判断k的符号。
要点速测
1．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】根据反比例函数中的几何意义分别求出的面积和的面积，根据坐标特征求出四边形的面积，结合图形计算即可．
【详解】解：如图，设交轴于，交轴于，
∵、两点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
2．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和．
【详解】解：设，其中，，
点在反比例函数上，
，
直线过原点，
点与点关于原点对称，
，
轴，轴，
，，
，，，，
，，
，
，
，
，
．
知识点 反比例函数的解析式确定
确定反比例函数解析式采用待定系数法：由于反比例函数只有一个待定系数k，因此只需要知道图像上一个点的坐标，将横纵坐标代入中，即可求出k的数值，进而得到完整的函数解析式。
要点归纳：
只要一组非零的对应x、y值就能唯一确定一个反比例函数，无需多个点的坐标参与计算。
要点速测
1．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可．
【详解】解：由题意设关于的函数解析式为，
代入点得：，解得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，．
故选：C．
2．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（ ）
1
1
2
4
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。
【详解】解：∵ 反比例函数为，取已知对应值代入解析式
得
解得
∴ 反比例函数解析式为
将代入解析式得 ，
解得
知识点 反比例函数的实际应用
在现实场景中，若两个变量的乘积为非零定值，这两个变量就符合反比例函数关系，可以建立反比例函数模型解决实际问题，此时自变量的取值范围需要结合实际场景的物理意义确定，通常为正实数。
要点归纳：
实际应用中自变量的取值不再是全体非零实数，需要结合场景合理性筛选有效范围，对应的函数图像也只是双曲线在符合取值要求的局部分支部分。
要点速测
1．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解．
【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量，
由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两种气体的质量相同，
∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方，
∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大．
2．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
【答案】C
【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可．
【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴设反比例函数表达式为，
则甲、乙、丙、丁，
过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示：
由图可知，
∴甲、、、丁在反比例函数图象上，
根据题意可知合格人数，
∴，即甲、丁两个班级合格人数相同；
，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少；
，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多；
综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数，
∴这四个班合格人数最多的是丙．
题型1 反比例函数定义辨析与求参数
▌例1 下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不合题意；
B、是反比例函数，故本选项符合题意；
C、不是反比例函数，故本选项不合题意；
D、不是反比例函数，故本选项不合题意．
▌例2 若函数是反比例函数，则k的值为__________．
【答案】0
【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可．
【详解】解：函数是反比例函数，
∴且，
解得．
解题要点
紧扣y=(k≠0)，也可写成y=k、xy=k；注意指数要求、系数不为 0；区分 “y 与 x 成反比” 和 “y 与代数式成反比”。
▌迁移练1-1下列函数图像是双曲线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】只需判断各选项的函数类型，根据反比例函数的图像是双曲线即可得到答案．
【详解】解：选项A、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求.；
选项B 、是常函数，图像为平行于轴的直线，不符合要求；
选项C、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求；
选项D、可变形为，属于反比例函数，反比例函数的图像是双曲线，符合要求．
▌迁移练1-2已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________．
【答案】
【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解．
【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上，
∴，且，
∴
解得．
题型2 待定系数法求反比例函数解析式
▌例1 如图点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，再代入表达式求出即可．
【详解】解：∵点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
，
把代入，则，
∴．
解题要点
1. 标准解题步骤：先设反比例函数基础解析式y=；再将函数图象上任意一个已知点的坐标代入解析式；解方程求出k的值；最后回代写出完整解析式。
2. 核心原理：反比例函数仅有唯一一个参数k，因此只需一个已知点坐标即可确定解析式，区别于一次函数需要两个点。
3. 多函数混合场景：若题目同时含一次函数、正比例函数，分开设解析式、分别代入求值，参数字母做好区分，避免混淆。
▌迁移练1已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设与的函数解析式为，根据已知的、值求出值即可．
【详解】解：设与的函数解析式为，将，代入解析式，得，解得，
∴与的函数解析式为．
▌迁移练2如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【详解】解：∵点、，
∴的中点坐标为：，
反比例函数的图象经过的中点，可得，
．
▌迁移练3功率P与时间t成反比例，图像经过，若，则_________．
【答案】45
【分析】设此函数表达式为：，用待定系数法求出表达式解决即可．
【详解】解：根据图像经过，
设此函数表达式为： ，
则 ，
∴若，则.
题型3 反比例函数图象与性质判断、参数范围求解
▌例1 已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限．
【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限，
∴，
解得，
∴，
根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限，
∴反比例函数的图象位于第一､三象限．
▌例2 反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的性质得出，求出，从而可得，即可得出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象在某象限内随的增大而增大，
∴，
∵点在该反比例函数的图象上，
∴，即，
∴，
∴，
∴n的值可能是．
解题要点
1.图象：双曲线，两支无限延伸，永不与坐标轴相交；(x≠0，y≠0)
2.象限：(k>0)，图象在一、三象限；(k<0)，图象在二、四象限；可由图象位置反推k符号
3.增减性：(k>0)，在每个象限内，y随x增大而减小；(k<0)，在每个象限内，y随x增大而增大
易错：增减性不能跨象限描述，不能说在全体定义域单调增减
求参数范围：根据图象所在象限、增减性、图象不经过某象限，列不等式求k范围
同坐标系多函数判断：分别判断一次函数、反比例函数系数符号，互相验证，排除矛盾选项
▌迁移练1若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
【答案】B
【分析】当反比例函数图象分布在第二、第四象限时，其比例系数小于0，据此列出不等式求解即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限内，
∴，解得．
▌迁移练2在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于______象限．
【答案】第一、三
【详解】解：，
，
反比例函数的图象位于第一、三象限．
▌迁移练3反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________．
【答案】1（答案不唯一，即可）
【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限，
，解得，
只要取小于的任意实数都符合条件，例如．
题型4 反比例函数函数值大小比较
▌例1 已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意；
B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意；
C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意；
D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意；
解题要点
1.第一步：判断比较的点是否在同一象限
2.同象限：直接利用增减性判断大小
3.跨象限：一、三象限(y>0)；二、四象限(y<0)，正数一定大于负数
易错：跨象限不能直接使用增减性判断
▌迁移练1点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
∵，
∴，即，
∴点和都在第二象限，
又∵，
∴．
▌迁移练2若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
∵，
∴点在第二象限，．
∵，，
∴点、在第四象限，，．
∵第四象限内y随x的增大而增大，，
∴，
∴．
▌迁移练3已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接）
【答案】
【分析】先根据得出反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，然后根据反比例函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：，
反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
∵点，在第三象限，点在第一象限，
∴，，，
∵，
，
∴．
题型5 反比例函数中 k 的几何意义
▌例1 如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．12
【答案】B
【分析】由旋转的性质可得，过点作轴于点，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得出，再利用反比例函数的几何意义求出即可得出结果．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
由旋转的性质可得，
是等腰三角形，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
．
▌例2 点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能．
【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为，
又∵ 的面积为，
∴ ，
解得，即，
本题未给出函数图象所在象限，因此的值为．
解题要点
1.双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，围成矩形面积|k|
2.该点与原点连线、坐标轴、垂线围成直角三角形面积|k|
3.由面积求k：面积是正数，k的正负由图象所在象限确定
4.双反比例图象：用割补、等量代换转化为基础矩形、三角形面积
5.不规则图形：拆分成基础图形，依托k几何意义计算面积
▌迁移练1如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】设，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解．
【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上，
点在反比例函数的图象上，
∴设，
∵平行轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， 即 ，只有符合题意．
▌迁移练2如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（ ）
A．3 B．1.5 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可．
【详解】解：∵轴于点A，交于点B，
∴，，
∴．
▌迁移练3如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∵点，在反比例函数的图象上，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，
∴，，
∵矩形的面积为，
∴，
∴，
∵图象在第一象限，
∴，
∴．
题型6 反比例函数图象对称性与点坐标求解
▌例1 如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可．
【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，，
∴A，B两点关于原点对称，
∵点A的坐标是，
点B的坐标为．
解题要点
1.中心对称：双曲线关于原点中心对称；点(a,b)在图象上，则(-a,-b)也在图象上
2.轴对称：关于直线y=x对称，点(a,b)对称点(b,a)；关于直线y=-x对称，点(a,b)对称点(-b,-a)
3.正反比例交点性质：正比例与反比例两个交点一定关于原点对称，知一点可直接写另一点
▌迁移练1已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决．
【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象，
∴它们的交点也关于原点对称，
由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为．
故选：C．
▌迁移练2如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据点A（-1，1）是反比例函数图象上一点，求出k的值，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵点A（-1，1）是反比例函数图象上一点，
∴，
A、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、，点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
C、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合，且k为定值．
▌迁移练3如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解．
【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
∴点与点关于原点对称，
∴点和点的横纵坐标互为相反数，
， ，
解得，，
，
把 代入， 得，
解得．
题型7 反比例函数与一次函数交点问题
▌例1 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或．
解题要点
1.交点性质：交点坐标同时满足两个函数解析式，是方程组的公共解
2.求交点步骤：联立解析式，消元得到一元二次方程；解方程求x，回代求对应y
3.判断交点个数：看一元二次方程判别式△；△>0两个交点；△=0一个交点；△<0无交点
▌迁移练1如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案．
【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，
根据函数图象可知当或时在上方，
关于的不等式解集是或．
▌迁移练2如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（ ）
A．两图象的交点的坐标为
B．若，则的取值范围是或
C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大
D．连接，，则的面积是
【答案】C
【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可．
【详解】解：由题意可把代入一次函数得：，解得：，
∴一次函数的解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵在一次函数上，
∴，
∴点的坐标为，故A正确；
由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确；
∵，
∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误；
由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为，
∴，故D正确．
▌迁移练3一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，
则时，的取值范围是或．
题型8 一次函数与反比例函数的实际应用
▌例1 如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ）
A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是
B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为
C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为
D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为
【答案】C
【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D．
【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、，
∴，
解得：，
∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，
∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意；
设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点，
∴，
解得：，
∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为，
当时，，
∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为，
∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意；
当时，，解得：；
当时，；
又∵，
∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为，
∴选项C的说法错误，故此选项符合题意；
当时，，
∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为，
∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意．
解题要点
先判断函数类型，总量不变用反比例，均匀变化用一次函数；找准变量，代入点求出解析式，注意自变量实际取值范围。利用交点坐标联立求解，结合函数增减性分析最值；计算面积用好反比例k的几何意义，最后检验结果是否符合实际再作答。
▌迁移练1如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__．
【答案】-2
【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案．
【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点，
∴点A和点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∵，
∴，
∵反比例函数图像位于第二象限，
∴k＝-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键．
▌迁移练2如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，其中点的坐标为，点的纵坐标为，一次函数 的图象与轴交于点．
(1)求m和n的值；
(2)根据图象，当时，请直接写出x的取值范围______；
(3)将线段绕着点逆时针旋转得到线段，点恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)或
(3)点．
【分析】（1）把点代入一次函数可求得，进而求出反比例函数的关系式；
（2）根据图象直接得出答案；
（3）过点作轴，过点作，过点作，构造K字型全等三角形，根据旋转前后线段之间的和差关系，求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵把点代入一次函数得：
，解得，
即．
又在反比例函数上
∴．
（2）解：当时，，即交点为，结合图象可得：当时，x的取值范围为或，
（3）解：当时，，即，
过点作轴，过点作，过点作，
∴，
∴，
由旋转可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点．
▌迁移练3为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题：
(1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室．
【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后
(2)至少经过分钟后学生才可以回教室
【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可；
（2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．．
【详解】（1）解：设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧时；，
设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧后；
（2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，
∴当时，，
经检验，是原分式方程的解，
由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室．
题型9 反比例函数实际应用问题
▌例1 某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
（单位：）
（单位：）
则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式．
【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系，
∴设函数解析式为（为常数，），
∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系，
∴排除，
将，代入，得，
∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符
解题要点
1. 建模识别：两个变量乘积为定值，是反比例关系
2. 建模步骤：设变量，列出反比例解析式，求出k
3. 自变量范围：实际问题中(x>0)，图象只取第一象限分支
4. 图象解读：理解图象中点坐标、增减趋势对应的实际含义
5. 考法：代入求值、判断增减变化、求解实际范围与最值
▌迁移练1“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______．
【答案】4
【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值．
【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴阻力和阻力臂的函数关系式为，
∴，
∵，
∴当时，，
∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足，
∴动力臂至少需要．
▌迁移练2港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了．
(1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
【答案】(1)
(2)至少要卸载货物
【分析】（1）先求出总的货物重量，再由货物总量求解即可；
（2）令，代入（1）中所求函数解得，结合反比例函数中与的关系分析求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知货物总量为，则，
起重机平均卸载速度与卸载完所有货物的总时间之间的函数关系为；
（2）解：把代入可得，
对于函数，当时，越大、越小，
要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载货物．
▌迁移练3近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式；
(2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距．
【答案】(1)
(2)其焦距为0.2米
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将代入求解即可．
【详解】（1）解：设反比例函数为，
由图象可知，图象经过点，即当时，，
代入得：，
解得，
∴近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式为；
（2）解：将代入得：
，
解得，
∴其焦距为0.2米．
题型10 反比例函数与几何应用综合
▌例1 如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，即，
四边形是矩形，，
，且平行于轴，
故上点的纵坐标均为，
点在边上，
点的纵坐标为，
点与点关于点成中心对称，
点是线段的中点，
设，则，
解得，
点在反比例函数图象上，
，
解得，
点的坐标为．
解题要点
1. 核心方法：坐标法，设双曲线上点坐标，用坐标表示线段长
2. 面积思路：优先用k几何意义，搭配割补法、坐标面积公式
3. 知识融合：可结合全等、相似、勾股定理、平行四边形与矩形性质
4. 存在性、最值问题：设点写出线段、面积表达式，结合函数性质分析
5. 易错：坐标转化线段长度时，线段为正数，注意添加绝对值
▌迁移练1双曲线、在第一象限的图象如图所示，，过上的任意一点作轴的平行线交于点，交轴于点，如果，那么的函数表达式是______．
【答案】
【分析】设双曲线的解析式为，由轴，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，则，由此即可得到答案．
【详解】解：设双曲线的解析式为，
轴，
，
在双曲线上，在双曲线上，
，，
，
，
双曲线的解析式为．
▌迁移练2如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为或
【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式．
（2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可．
【详解】（1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点，
∴将代入一次函数得，即，
∴将代入反比例函数得，解得，
∴反比例函数解析式为．
（2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D，
∴令，得，即点，；令，得，即点，．
∵，即B到y轴距离为1，
∴，
∴．
设点在反比例函数图象上，以为底，则高为，
∴，即或．
当时，由得，此时；当时，由得，此时．
故存在满足条件的点P，坐标为或．
▌迁移练3如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C．已知点B的坐标为，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，，，求四边形的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)12
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）过点B作轴于点D，则，，再根据计算即可得出结果；
（3）找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
解得，
∴反比例函数的表达式为．
∵轴，且，
∴点A横坐标为，
当时，．
∴点A坐标为．
将，代入中，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：如图，过点B作轴于点D，
∵，，
∴，，
；
（3）解：观察图象可知，不等式的解集为或．
难点一 反比例函数中k的几何意义
规律探究
过双曲线上任意一点P，作x轴、y轴垂线，垂足为A、B，所得矩形OAPB面积：S=|k|
过双曲线上任意一点P，作x轴（或y轴）垂线，连接原点，所得直角三角形面积：S=|k|
核心规律：同一支双曲线上所有点对应的矩形 / 三角形面积相等；双曲线两支关于原点中心对称；k的正负只决定图像所在象限，面积只与|k|有关。
方法透析
1 看到 “双曲线上一点 + 坐标轴垂线 + 求面积”，优先直接套用|k|面积模型，不用求点坐标；
2 已知面积求k：一定要根据图像所在象限判断k正负，面积算出是正数，k可能为负，极易漏符号；
3 拓展模型：两点在同一反比例函数上，构造平行于坐标轴的线段，利用坐标差求多边形面积；
4 易错：不要直接把面积等于k，忘记绝对值。
难点精练
1．如图，四边形是菱形，轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若，则菱形的面积为（ ）
A．8 B．15 C．20 D．24
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义的应用，掌握反比例函数的比例系数的几何意义及菱形的性质是解题的关键．根据反比例函数系数k的几何意义得到，得到，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，则可求解菱形的面积．
【详解】解：∵函数的图象经过点C，轴，
∴．
∵，
∴．
∴由勾股定理得．
∵四边形是菱形，
∴．
∴．
故选：C．
2．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________．
【答案】
【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值．
【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，．
(1)求的值；
(2)连接，，求和的面积；
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出．
（2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积．
【详解】（1）解：由题意可知，
，轴，
∴点的纵坐标为．
∵点在反比例函数的图象上，
∴点的横坐标为．
．
，
．
，
∴点的坐标为．
．
（2）解：，
，
，
．
设直线的表达式为，得
，
解得．
直线的表达式为，点的坐标为
．
难点二 反比例函数与几何图形综合
规律探究
反比例函数上点坐标满足：xy=k，只要点在双曲线上，横纵坐标乘积恒定；
平行于 x 轴的直线：点纵坐标相等；平行 y 轴：点横坐标相等；
几何模型：矩形、正方形、直角三角形放置在坐标系，顶点落在双曲线上；利用边长转化坐标，代入xy=k列方程；
图像平移规律：点平移，“左加右减，上加下减”；平移后新点坐标代入反比例解析式求参数。
方法透析
核心思路：几何条件代数化，边长转化为坐标，坐标回代xy=k
步骤：设点坐标→利用图形边长 / 垂直关系写出其余顶点坐标→代入反比例函数列方程求解；
易错：几何图形在第二、四象限，坐标带有负号，边长要取绝对值。
难点精练
1．如图，四边形是边长为2的正方形，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象经过边的中点，则下列结论：①；②；③点的坐标为；④的面积为，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数和坐标系求点坐标，面积等．利用可以求出和点坐标，进而求出面积．
【详解】①，因为经过点，把点代入函数解得，所以①正确；
②，，无法得出和两角之和是，也无法得出，所以②错误；
③点的坐标为，由①，点的纵坐标为2，横坐标为，所以③正确；
④的面积为，，所以④正确．
2．如图，的顶点，均在轴上，点在轴的正半轴上，，，点是的中点，点在上，且．若反比例函数的图象过，两点，则的值为________．
【答案】2
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，设点，利用平行四边形的性质，可得，再利用线段的关系和中点坐标公式，可得和，最后代入解析式，列方程求解即可．
【详解】解：，
，
，，即是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
设点，则，，
，
，，
，解得，
，
点是的中点，，，
，
反比例函数的图象过，两点，
，解得，
．
3．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接．
(1)求a，b的值；
(2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为，
【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解；
（2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值．
【详解】（1）解：一次函数的图像经过点，
，解得．
（2）解：由（1）有，，
∴一次函数为，
∵点P在一次函数的图像上，
∴设点的坐标为．
是腰长为3的等腰直角三角形，
，
∴点的坐标为，点的坐标为．
∵点在反比例函数的图像上，
．
解得．
∴点的坐标为，点的坐标为．
．
基础达标
1．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象在第一、三象限
C．随着的增大而减小 D．当时，
【答案】C
【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确；
函数图象在第一、三象限，故B正确；
该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误；
当时，随的增大而减小，且时，故，D正确．
2．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，
当时，图象位于第二象限，对应；
当时，图象位于第四象限，对应．
∵，则点在第四象限，
∴，
∵，则点在第二象限，
∴，
∴．
3．反比例函数的图象在（ ）．
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴图象位于第二、四象限．
4．反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：反比例函数中，
该反比例函数的图象在二、四象限，
故选：C．
5．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入解析式，
解得．
6．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得，写出的值即可．
【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2，
矩形的面积，
，
又反比例函数的图象在第一象限，
，
．
7．某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”）
【答案】
减小
【分析】中电阻，根据反比例函数的性质判断增减性即可．
【详解】解：由实际意义可知，
是反比例函数，比例系数．
当反比例函数的比例系数大于，且自变量大于时，函数值随自变量的增大而减小．
因此电流随电阻的增大而减小．
8．若是反比例函数，则的值为_________．
【答案】-2
【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可.
【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为，
∴满足两个条件：且，
解方程，得，即或，
∵，得，
∴.
9．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________．
【答案】或
【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可．
【详解】解：将代入反比例函数的解析式得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入反比例函数解析式得，
∴，
∴，
∵直线与双曲线交于点和点，
∴由函数图象可得，不等式的解集是或．
10．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内，
∴，
解得．
11．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________．
【答案】
【分析】设体积为时，压强为，利用反比例函数的定义列出方程，求解即可．
【详解】解：设体积为时，压强为，
∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系，
∴，
解得．
12．已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________．
【答案】
【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
将，代入解析式得：
，
解得：，
因此与之间的函数关系式为．
13．已知反比例函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)写出关于的函数解析式；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）根据得，把点代入求解即可；
（2）把代入原来的解析式即可；
（3）把代入，求解即可．
【详解】（1）解：根据得，
将点代入，得，
解得．
（2）解：将代入，得．
（3）解：将代入得，．
14．已知反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)判断点是否在这个反比例函数的图象上．
【答案】(1)
(2)点不在这个反比例函数的图象上
【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式；
（2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可．
【详解】（1）将点代入，解得：
，
，
所以反比例函数解析式是：．
（2）将点的横坐标代入，解得：
，
，
所以点不在这个反比例函数的图象上．
15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．
(1)求的值及点的坐标．
(2)根据图象，直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点；
（2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得，将代入，则，
∴，
再将代入，则，
∵点，关于原点对称，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∴根据函数图象可得，时，或．
能力进阶
1．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围．
【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为，
，在y轴的两侧，
又，点，点在上，
点，点分别位于第二、四象限，
根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即，
解得．
2．如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可．
【详解】解：如图，延长，交轴于点，
∵，
∴设，则，
∵轴，轴轴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
将代入函数得：，
∴，
∴，
将代入函数得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得．
3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______．
【答案】4
【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积．
【详解】解：如图，作轴于，延长交 轴于，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
，
，
根据系数k的几何意义可知：，，
∴四边形的面积为：．
4．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______．
【答案】或
【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是或．
5．生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同．下表记录了当分辨率为时，某些电子屏幕的尺寸x（单位：英寸）与像素密度y（单位：）的相关数据．
屏幕尺寸x/英寸
5
7
15
24
27
屏幕像素密度
440
314
147
92
81
(1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式；
(2)某电子屏幕的分辨率为，屏幕像素密度约为，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？
【答案】(1)（）.
(2)55英寸.
【分析】（1）根据表格数据判断y与x成反比例关系，用待定系数法求解函数解析式；
（2）将代入反比例函数解析式，计算x的值．
【详解】（1）解：观察表格数据，每组x与y的乘积近似为常数，故y是x的反比例函数，
设函数解析式为，
将，代入，得，
代入其余各组数据验证，结果均与表格中y的数值近似相等，
故函数解析式为；
（2）解：当时，代入，得，
解得，
答：该屏幕尺寸为55英寸．
6．在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示．
(1)当力F为时，求F所做的功W；
(2)写出s关于F的函数解析式；
(3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将图像上点的坐标代入公式，直接计算功W即可；
（2）把定值功代入公式变形，写出s关于F的反比例函数解析式并注明自变量范围即可；
（3）根据位移小于列出不等式，结合求解出力的取值范围即可．
【详解】（1）解：由图可知，当时，
∴；
（2）解：∵且，
∴；
（3）解：由题意得，即
，
解得．
7．如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为，
(1)当时，求的值；
(2)求证：；
(3)随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明：∵点在双曲线上，
∴，
∵点C在直线上，
∴，
∴，
∴；
(3)不变，
【分析】（1）先求出点的坐标，进而求出的值，求出两点坐标，根据题意，进行求解即可；
（2）根据点为交点，分别代入反比例函数解析式，以及一次函数解析式，进行推导即可；
（3）求出点的坐标，进而表示出，结合（2）的结论进行求解即可.
【详解】（1）解：∵点为直线和双曲线的交点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
∵轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：不变，理由如下，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，轴于点D，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴，为定值.
8．在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上．
(1)延长与轴交于点．
①如图1，如果，，且平分，求的面积；
②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值；
(2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在点B，使得，理由如下；
过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于，
∵点在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数为，
，
∴点A是的中点，
设点，，
，
，
，
把代入中，得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式，
当时，，当时，，
，，
∵，
，，，
，
在中，，
，，
，，，
，
在中，，
在中，，
，
．
，，
是等腰直角三角形且，
．
【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解；
（2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到．
【详解】（1）在反比例函数的图象上，
，
过点作轴交于，
平分，，
，，，
，
的面积的面积；
设，，
，，
点是线段的中点，
，
，
．
（2）略
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第1章 反比例函数
复习要点
1.理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，会根据已知条件确定反比例函数解析式。
2.掌握反比例函数的图象（双曲线）与性质，能根据k的符号判断图象所在象限、增减性，理解双曲线的对称性。
3.掌握反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，所得矩形面积为|k|
4.会解决反比例函数与一次函数的综合问题，包括求交点坐标、比较函数值大小、计算图形面积。
5.能建立反比例函数模型解决简单的实际问题，结合实际情境理解自变量取值范围
复习重难点
重点：反比例函数的图象与性质；反比例函数k的几何意义。
难点：反比例函数与一次函数的综合应用；利用反比例函数模型解决实际问题。
知识点 反比例函数的定义
一般地，形如 （ k 为常数，）的函数叫做反比例函数，其中 x 是自变量， y 是因变量，自变量 x 的取值范围是不等于 的一切实数。反比例函数也可以表示为 ( xy=k ) 或的形式。
要点归纳：
判断一个函数是否为反比例函数，核心是看两个变量的乘积是否为不为0的 ；反比例函数的自变量和因变量的取值都不能为0，函数图像与坐标轴 有交点。
要点速测
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点 反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像属于双曲线，有 个分支，分别位于 的象限内。
当 ( k>0 ) 时，反比例函数的图像位于 象限内，在每个象限内，y随x的增大而 ；
当 ( k<0 ) 时，反比例函数的图像位于 象限内，在每个象限内，y随x的增大而 。
反比例函数的图像关于原点中心对称，关于直线 y=x 和直线 y=-x 轴对称。
要点归纳：
反比例函数的图像是不连续的两支曲线
描述函数增减性时必须注明“在每个象限内”，不能直接说当k>0时y随x的增大而减小，跨象限的点不符合该增减规律。
要点速测
1．y关于x的函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
知识点 反比例函数中k的几何意义
反比例函数图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积等于 ；过图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的直角三角形面积等于。
要点归纳：
k的几何意义与点在图像上的具体位置 关，只要点在对应反比例函数图像上，对应的矩形和三角形面积就为定值；k的 决定了图像所在的象限，也能通过几何图形的面积反向求解k的数值，注意结合图像所在象限判断k的符号。
要点速测
1．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（ ）．
A． B． C． D．
知识点 反比例函数的解析式确定
确定反比例函数解析式采用 法：由于反比例函数只有一个待定系数k，因此只需要知道图像上 个点的坐标，将横纵坐标代入中，即可求出k的数值，进而得到完整的函数解析式。
要点归纳：
只要一组非零的对应x、y值就能唯一确定一个反比例函数，无需多个点的坐标参与计算。
要点速测
1．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（ ）
A． B． C． D．
2．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（ ）
1
1
2
4
A． B． C． D．
知识点 反比例函数的实际应用
在现实场景中，若两个变量的乘积为非零定值，这两个变量就符合 关系，可以建立反比例函数模型解决实际问题，此时 的取值范围需要结合实际场景的物理意义确定，通常为正实数。
要点归纳：
实际应用中自变量的取值不再是全体非零实数，需要结合场景合理性筛选有效范围，对应的函数图像也只是双曲线在符合取值要求的局部分支部分。
要点速测
1．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
题型1 反比例函数定义辨析与求参数
▌例1 下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
▌例2 若函数是反比例函数，则k的值为__________．
解题要点
紧扣y=(k≠0)，也可写成y=k、xy=k；注意指数要求、系数不为 0；区分 “y 与 x 成反比” 和 “y 与代数式成反比”。
▌迁移练1-1下列函数图像是双曲线的是（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练1-2已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________．
题型2 待定系数法求反比例函数解析式
▌例1 如图点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
解题要点
1. 标准解题步骤：先设反比例函数基础解析式y=；再将函数图象上任意一个已知点的坐标代入解析式；解方程求出k的值；最后回代写出完整解析式。
2. 核心原理：反比例函数仅有唯一一个参数k，因此只需一个已知点坐标即可确定解析式，区别于一次函数需要两个点。
3. 多函数混合场景：若题目同时含一次函数、正比例函数，分开设解析式、分别代入求值，参数字母做好区分，避免混淆。
▌迁移练1已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练2如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
▌迁移练3功率P与时间t成反比例，图像经过，若，则_________．
题型3 反比例函数图象与性质判断、参数范围求解
▌例1 已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
▌例2 反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
解题要点
1.图象：双曲线，两支无限延伸，永不与坐标轴相交；(x≠0，y≠0)
2.象限：(k>0)，图象在一、三象限；(k<0)，图象在二、四象限；可由图象位置反推k符号
3.增减性：(k>0)，在每个象限内，y随x增大而减小；(k<0)，在每个象限内，y随x增大而增大
易错：增减性不能跨象限描述，不能说在全体定义域单调增减
求参数范围：根据图象所在象限、增减性、图象不经过某象限，列不等式求k范围
同坐标系多函数判断：分别判断一次函数、反比例函数系数符号，互相验证，排除矛盾选项
▌迁移练1若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
▌迁移练2在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于______象限．
▌迁移练3反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________．
题型4 反比例函数函数值大小比较
▌例1 已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
解题要点
1.第一步：判断比较的点是否在同一象限
2.同象限：直接利用增减性判断大小
3.跨象限：一、三象限(y>0)；二、四象限(y<0)，正数一定大于负数
易错：跨象限不能直接使用增减性判断
▌迁移练1点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
▌迁移练2若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
▌迁移练3已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接）
题型5 反比例函数中 k 的几何意义
▌例1 如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．12
▌例2 点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
解题要点
1.双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，围成矩形面积|k|
2.该点与原点连线、坐标轴、垂线围成直角三角形面积|k|
3.由面积求k：面积是正数，k的正负由图象所在象限确定
4.双反比例图象：用割补、等量代换转化为基础矩形、三角形面积
5.不规则图形：拆分成基础图形，依托k几何意义计算面积
▌迁移练1如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（ ）
A． B．4 C． D．5
▌迁移练2如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（ ）
A．3 B．1.5 C．2 D．1
▌迁移练3如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
题型6 反比例函数图象对称性与点坐标求解
▌例1 如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解题要点
1.中心对称：双曲线关于原点中心对称；点(a,b)在图象上，则(-a,-b)也在图象上
2.轴对称：关于直线y=x对称，点(a,b)对称点(b,a)；关于直线y=-x对称，点(a,b)对称点(-b,-a)
3.正反比例交点性质：正比例与反比例两个交点一定关于原点对称，知一点可直接写另一点
▌迁移练1已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练2如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练3如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______．
题型7 反比例函数与一次函数交点问题
▌例1 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C．或 D．
解题要点
1.交点性质：交点坐标同时满足两个函数解析式，是方程组的公共解
2.求交点步骤：联立解析式，消元得到一元二次方程；解方程求x，回代求对应y
3.判断交点个数：看一元二次方程判别式△；△>0两个交点；△=0一个交点；△<0无交点
▌迁移练1如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
▌迁移练2如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（ ）
A．两图象的交点的坐标为
B．若，则的取值范围是或
C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大
D．连接，，则的面积是
▌迁移练3一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
题型8 一次函数与反比例函数的实际应用
▌例1 如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ）
A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是
B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为
C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为
D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为
解题要点
先判断函数类型，总量不变用反比例，均匀变化用一次函数；找准变量，代入点求出解析式，注意自变量实际取值范围。利用交点坐标联立求解，结合函数增减性分析最值；计算面积用好反比例k的几何意义，最后检验结果是否符合实际再作答。
▌迁移练1如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__．
▌迁移练2如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，其中点的坐标为，点的纵坐标为，一次函数 的图象与轴交于点．
(1)求m和n的值；
(2)根据图象，当时，请直接写出x的取值范围______；
(3)将线段绕着点逆时针旋转得到线段，点恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点的坐标．
▌迁移练3为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题：
(1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室．
题型9 反比例函数实际应用问题
▌例1 某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
（单位：）
（单位：）
则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
解题要点
1. 建模识别：两个变量乘积为定值，是反比例关系
2. 建模步骤：设变量，列出反比例解析式，求出k
3. 自变量范围：实际问题中(x>0)，图象只取第一象限分支
4. 图象解读：理解图象中点坐标、增减趋势对应的实际含义
5. 考法：代入求值、判断增减变化、求解实际范围与最值
▌迁移练1“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______．
▌迁移练2港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了．
(1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
▌迁移练3近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式；
(2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距．
题型10 反比例函数与几何应用综合
▌例1 如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解题要点
1. 核心方法：坐标法，设双曲线上点坐标，用坐标表示线段长
2. 面积思路：优先用k几何意义，搭配割补法、坐标面积公式
3. 知识融合：可结合全等、相似、勾股定理、平行四边形与矩形性质
4. 存在性、最值问题：设点写出线段、面积表达式，结合函数性质分析
5. 易错：坐标转化线段长度时，线段为正数，注意添加绝对值
▌迁移练1双曲线、在第一象限的图象如图所示，，过上的任意一点作轴的平行线交于点，交轴于点，如果，那么的函数表达式是______．
▌迁移练2如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
▌迁移练3如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C．已知点B的坐标为，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，，，求四边形的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
难点一 反比例函数中k的几何意义
规律探究
过双曲线上任意一点P，作x轴、y轴垂线，垂足为A、B，所得矩形OAPB面积：S=|k|
过双曲线上任意一点P，作x轴（或y轴）垂线，连接原点，所得直角三角形面积：S=|k|
核心规律：同一支双曲线上所有点对应的矩形 / 三角形面积相等；双曲线两支关于原点中心对称；k的正负只决定图像所在象限，面积只与|k|有关。
方法透析
1 看到 “双曲线上一点 + 坐标轴垂线 + 求面积”，优先直接套用|k|面积模型，不用求点坐标；
2 已知面积求k：一定要根据图像所在象限判断k正负，面积算出是正数，k可能为负，极易漏符号；
3 拓展模型：两点在同一反比例函数上，构造平行于坐标轴的线段，利用坐标差求多边形面积；
4 易错：不要直接把面积等于k，忘记绝对值。
难点精练
1．如图，四边形是菱形，轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若，则菱形的面积为（ ）
A．8 B．15 C．20 D．24
2．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________．
3．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，．
(1)求的值；
(2)连接，，求和的面积；
难点二 反比例函数与几何图形综合
规律探究
反比例函数上点坐标满足：xy=k，只要点在双曲线上，横纵坐标乘积恒定；
平行于 x 轴的直线：点纵坐标相等；平行 y 轴：点横坐标相等；
几何模型：矩形、正方形、直角三角形放置在坐标系，顶点落在双曲线上；利用边长转化坐标，代入xy=k列方程；
图像平移规律：点平移，“左加右减，上加下减”；平移后新点坐标代入反比例解析式求参数。
方法透析
核心思路：几何条件代数化，边长转化为坐标，坐标回代xy=k
步骤：设点坐标→利用图形边长 / 垂直关系写出其余顶点坐标→代入反比例函数列方程求解；
易错：几何图形在第二、四象限，坐标带有负号，边长要取绝对值。
难点精练
1．如图，四边形是边长为2的正方形，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象经过边的中点，则下列结论：①；②；③点的坐标为；④的面积为，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
2．如图，的顶点，均在轴上，点在轴的正半轴上，，，点是的中点，点在上，且．若反比例函数的图象过，两点，则的值为________．
3．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接．
(1)求a，b的值；
(2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值．
基础达标
1．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象在第一、三象限
C．随着的增大而减小 D．当时，
2．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．反比例函数的图象在（ ）．
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”）
8．若是反比例函数，则的值为_________．
9．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________．
10．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________．
11．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________．
12．已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________．
13．已知反比例函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)写出关于的函数解析式；
(3)当时，求的值．
14．已知反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)判断点是否在这个反比例函数的图象上．
15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．
(1)求的值及点的坐标．
(2)根据图象，直接写出当时，的取值范围．
能力进阶
1．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______．
4．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______．
5．生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同．下表记录了当分辨率为时，某些电子屏幕的尺寸x（单位：英寸）与像素密度y（单位：）的相关数据．
屏幕尺寸x/英寸
5
7
15
24
27
屏幕像素密度
440
314
147
92
81
(1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式；
(2)某电子屏幕的分辨率为，屏幕像素密度约为，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？
6．在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示．
(1)当力F为时，求F所做的功W；
(2)写出s关于F的函数解析式；
(3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围．
7．如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为，
(1)当时，求的值；
(2)求证：；
(3)随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上．
(1)延长与轴交于点．
①如图1，如果，，且平分，求的面积；
②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值；
(2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由．
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