第1章 推理与证明（单元自测）2026-2027学年数学新教材青岛版八年级上册

第1章 推理与证明 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 2．下列说法正确的是（ ） A．所有的命题都是定理 B．定理可能是假命题 C．不正确的命题称为假命题 D．假命题不是命题 3．下列说法错误的是（ ） A．命题是判断一件事情的句子 B．基本事实的正确性必须得到证明 C．证明假命题举一个反例即可 D．演绎推理的过程叫做证明 4．下列命题中，真命题是（ ） A．同位角相等 B．邻补角相等 C．等角的余角互余 D．对顶角相等 5．对于命题“若，则”，下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A．， B．， C．， D．， 6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A．对顶角相等 B．若，则 C．两直线平行，同位角相等 D．全等三角形的周长相等 7．下列命题可以作为定理的有（ ） ①2与6的平均值是8；②直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方；③是方程的解；④三角形的内角和等于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ） A． B． C． D． 9．下列正确的选项是（ ） A．命题同旁内角互补是真命题 B．作线段这句话是命题 C．对顶角相等是定义 D．边长为1，，的三角形是直角三角形 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．将两个能完全重合的三角尺如图放置（即两个直角顶点重合），如果，那么，理由是________． 11．下列说法：①作直线的平行线；②；③垂线段最短吗？④同角的余角相等，其中是命题的有________个． 12．如图，若与互补，与互补，则________=________．用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是________． 13．如图，在中，若，于点，，，则________． 14．如图，在中，，点的坐标，点的坐标，则点的坐标是________． 15．如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： （1）如果，那么； （2）如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 17．（7分）已知命题“如果，那么．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题． 18．（7分）下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． （1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点． （4）同旁内角互补． 19．（7分）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （ ）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （ ）以上命题是真命题的有________个． （ ）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 20．（7分）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． （1）若，，求的长度； （2）求证：； （3）若，，则________． 21．（8分）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． （1）【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即________．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得________． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设________． 在中，， ∴________． ∵________， ∴________， ∴________， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． （3）【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 22．（8分）写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． （1）如果两个角是直角，那么这两个角相等． （2）已知两个角．如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角． （3）偶数一定能被2整除． 23．（8分）如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴________（________）． 又∵（已知）， ∴________（________）． （________）． 24．（8分）如图，有如下三个论断：①，②，③平分． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题，你能构造哪几个命题？ （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 25．（8分）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以________，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则________． （4）若，则________． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，并说明理由．    试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 推理与证明 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【解析】由题意得 需假设两锐角都大于．故选A． 2．下列说法正确的是（ ） A．所有的命题都是定理 B．定理可能是假命题 C．不正确的命题称为假命题 D．假命题不是命题 【答案】C 【分析】根据命题，真命题，假命题的定义解答即可． 【解析】因为有的命题不一定是定理，所以A不正确； 因为定理一定是真命题，不是假命题，所以B不正确； 因为不正确的命题称为假命题，所以C正确； 因为假命题也是命题，所以D不正确．故选C． 3．下列说法错误的是（ ） A．命题是判断一件事情的句子 B．基本事实的正确性必须得到证明 C．证明假命题举一个反例即可 D．演绎推理的过程叫做证明 【答案】B 【分析】逐个辨析选项概念，找出描述错误的一项． 【解析】A、命题是判断一件事情的句子，正确； B、基本事实的正确性无需证明，该说法错误； C、证明假命题举一个反例即可，正确； D、演绎推理的过程叫做证明，正确．故选B． 4．下列命题中，真命题是（ ） A．同位角相等 B．邻补角相等 C．等角的余角互余 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．根据平行线的性质，邻补角的定义，余角的性质，对顶角的性质逐项分析即可． 【解析】A．两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； B．邻补角互补，不一定相等，故原命题是假命题； C．等角的余角相等，故原命题是假命题； D．对顶角相等，是假命题； 故选D． 5．对于命题“若，则”，下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查假命题的定义，正确掌握判断假命题的方法是解题的关键． 找到一组a、b的值，使得成立但不成立即可说明这个命题是假命题． 【解析】说明命题“若，则”是假命题，需要满足且， A、，，，且，不符合反例条件； B、，，，且，符合反例条件； C、，，，且，不符合反例条件； D、，，，即不成立，不满足命题的条件； 故选B． 6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A．对顶角相等 B．若，则 C．两直线平行，同位角相等 D．全等三角形的周长相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是写出原命题的逆命题． 分别写出原命题的逆命题后再判断正误即可． 【解析】对于A，逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，相等的角不一定是对顶角； 对于B，逆命题“若，则”是假命题，时a与b可能互为相反数； 对于C，逆命题“同位角相等，两直线平行”是真命题，这是平行线的判定定理； 对于D，逆命题“周长相等的三角形全等”是假命题，周长相等的三角形不一定全等； 故选C． 7．下列命题可以作为定理的有（ ） ①2与6的平均值是8；②直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方；③是方程的解；④三角形的内角和等于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据定理的概念逐项判断． 【解析】①与的平均值为，该命题为假命题，不能作为定理； ②直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，是经过证明的真命题，可作为定理； ③将代入方程，左边，右边，，不是方程的解，该命题为假命题，不能作为定理； ④三角形的内角和等于，是经过证明的真命题，可作为定理． 综上，可作为定理的有②④，共个．故选B． 8．如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【解析】，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选． 9．下列正确的选项是（ ） A．命题同旁内角互补是真命题 B．作线段这句话是命题 C．对顶角相等是定义 D．边长为1，，的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的定义与真假判断、几何定义与性质的区别以及勾股定理的逆定理，熟练掌握命题的判定方法和勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 本题需要逐一判断四个选项的正误，先明确命题的定义、真假命题的判断标准、几何定义与性质的区别，再用勾股定理的逆定理验证三角形形状． 【解析】∵同旁内角互补的前提是两直线平行，缺少该条件则不成立， ∴A项错误； ∵作线段是作图指令，不是陈述句，无法判断真假， ∴B项错误； ∵对顶角相等是对顶角的性质，而非定义， ∴C项错误， ∵边长为，，的三角形满足，由勾股定理逆定理可知该三角形是直角三角形； ∴D项正确 故选D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．将两个能完全重合的三角尺如图放置（即两个直角顶点重合），如果，那么，理由是________． 【答案】同角的余角相等 【分析】根据同角或等角的余角相等进行解答． 【解析】由题意得，， ∴，， ∴（同角的余角相等）．故答案为同角的余角相等． 11．下列说法：①作直线的平行线；②；③垂线段最短吗？④同角的余角相等，其中是命题的有________个． 【答案】 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”，逐一判断每个说法即可． 【解析】①“作直线的平行线”是作图指令，没有对事情作出判断，不是命题； ②“”对两个数的大小关系作出了判断，是命题； ③“垂线段最短吗？”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题； ④“同角的余角相等”对余角的关系作出了判断，是命题； 因此是命题的共有个．故答案为$2$． 12．如图，若与互补，与互补，则________=________．用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是________． 【答案】 同角的补角相等 【分析】此题考查了补角的性质．根据同角的补角相等进行解答即可． 【解析】若与互补，与互补，则，用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是同角的补角相等． 故答案为，，同角的补角相等 13．如图，在中，若，于点，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 【解析】∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为． 14．如图，在中，，点的坐标，点的坐标，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握利用判定三角形全等并结合坐标特征求点的坐标是解题的关键． 通过作辅助线，构造全等三角形；利用同角的余角相等，证明；再根据全等三角形的对应边相等，求出点的横纵坐标，从而确定其坐标． 【解析】过点作垂直于，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（ ）， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为． 15．如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据证明，则可得，，进而可解答． 【解析】∵、是的高， ， ，， ， ∵在和中， ， ， ，， ∴， ． 故答案为7． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： （1）如果，那么； （2）如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 【答案】（1） 逆命题：如果，那么．是假命题 （2） 逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角．是假命题 【分析】将原命题的题设与结论互换得到逆命题，通过举反例判断逆命题的真假． 【解析】（1）解： 原命题的题设为，结论为， 将题设与结论互换，得逆命题：如果，那么， 取，，满足，但， 故该逆命题是假命题． （2）解：原命题的题设为一个三角形有一个角是钝角，结论为它的另外两个角是锐角， 将题设与结论互换，得逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角， 若三角形的两个锐角分别为和，则第三个角为，是锐角， 故该逆命题是假命题． 17．（7分）已知命题“如果，那么．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题． 【答案】（1）条件为：；结论为： （2）如果，那么 【分析】（1）根据题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项解答； （2）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解析】（1）解：条件为：；结论为：． （2）解：如果，那么． 18．（7分）下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． （1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点． （4）同旁内角互补． 【答案】（1）（2）不是命题，其余2个都是命题；（3）的条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题；（4）的条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题 【分析】此题考查了命题的定义和真假命题，根据命题的定义和真假命题的定义进行判断，并写出命题的题设和结论． 【解析】（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？不是命题； （2）垂线段最短，对吗？不是命题； （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题 （4）同旁内角互补．是命题，条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题； 19．（7分）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （ ）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （ ）以上命题是真命题的有________个． （ ）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 【答案】（ ）画图见解析（答案不唯一）； （ ）； （ ）选择命题． 已知：如图①，筝形中，，； 求证：； 证明：如图①，连接， 在和中， ， ∴， ∴； 选择命题． 已知：如图②，筝形中，，，对角线相交于点； 求证：且． 证明：在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴且． 【分析】本题考查了筝形的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （ ）根据筝形的定义画图即可； （ ）根据筝形的特征判断即可求解； （ ）根据全等三角形的判定和性质即可求证； 【解析】（ ）解：如图所示，四边形即为所求；（答案不唯一） （ ）解：命题：筝形有一组对角相等，是真命题； 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线，是真命题； 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角，是假命题； ∴以上命题是真命题的有个， 故答案为； （ ）略 20．（7分）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． （1）若，，求的长度； （2）求证：； （3）若，，则________． 【答案】（1）3 （2） 解：∵， ∴， ∵，且， ∴； （3）4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，得出因为，故，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 21．（8分）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． （1）【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即________．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得________． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设________． 在中，， ∴________． ∵________， ∴________， ∴________， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． （3）【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 【答案】(1)， (2)，，，， （3）不能做到 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）利用反证法证明即可； （3）设长方形的长为，宽为，根据面积为求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【解析】（1）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）证明：假设． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． （3）不能做到，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴不能做到． 22．（8分）写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． （1）如果两个角是直角，那么这两个角相等． （2）已知两个角．如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角． （3）偶数一定能被2整除． 【答案】（1）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角，假命题．反例：两个角都是，它们相等但不是直角． （2）逆命题：如果两个角的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角，假命题．反例：两个角都是，它们的和是平角，但两个都是直角． （3）逆命题：如果一个数能被2整除，那么它是偶数，真命题． 证明：偶数的定义是能被2整除的整数叫偶数， 若一个数能被 2 整除，则它符合偶数的定义，这个数是偶数． 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键． （1）原命题的“条件”是“两个角是直角”，“结论”是“这两个角相等”，互换后逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角． （2）原命题的“条件”是“一个角是锐角，另一个角是钝角”，“结论”是“它们的和是平角”，互换后逆命题为：已知两个角，如果它们的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角． （3）原命题的“条件”是“一个数是偶数”，“结论”是“这个数能被2整除”，互换后逆命题为：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数． 【解析】（1）解：原命题的“条件”是“两个角是直角”，“结论”是“这两个角相等”， 逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角， 逆命题为假命题， 反例：若两个角都是，它们相等但不是直角． （2）解：原命题的“条件”是“一个角是锐角，另一个角是钝角”，“结论”是“它们的和是平角”， 逆命题为：如果两个角的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角， 逆命题为假命题， 反例：两个角都是，它们的和是平角，但两个都是直角． （3）解：原命题的“条件”是“一个数是偶数”，“结论”是“这个数能被 2 整除”， 逆命题为：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数， 逆命题为真命题， 证明：偶数的定义是能被2整除的整数叫偶数， 若一个数能被 2 整除，则它符合偶数的定义，这个数是偶数． 23．（8分）如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴________（________）． 又∵（已知）， ∴________（________）． （________）． 【答案】；； 同位角相等，两直线平行；；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】先由，利用同位角相等，两直线平行得到；再结合已知，根据平行公理的推论得到；最后由两直线平行，内错角相等证得． 【解析】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 又（已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． （两直线平行，内错角相等）． 24．（8分）如图，有如下三个论断：①，②，③平分． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题，你能构造哪几个命题？ （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 【答案】（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；如果②③，那么①； （2）都是真命题，选择如果①②，那么③． 证明：， ，， ，， 平分． 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断其真假命题． 【解析】（1）解：如果①②，那么③；如果①③，那么②；如果②③，那么①； （2）解：都是真命题，选择如果①②，那么③． 证明：， ，， ，， 平分． 25．（8分）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以________，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则________． （4）若，则________． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，并说明理由．    【答案】 （1）证明：如图，过点作，    ∵， ，， ， ． （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）解：，理由如下： 由（1）知，， ， 、分别为和的角平分线， ， ， ， ， ， 即． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质和平角的定义解决． （2）根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答． （3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答； （4）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据三角形的内角和定理得，以此即可求解． （5）连接，根据三角形内角和定理的推论即可解答． （6）过点作，由（1）可知，，则，根据平行线和角平分线的性质可得，则，以此即可求解． （7）由（1）可知，，则，根据角平分线的性质和四边形的内角和为即可求解． 【解析】（1）略 （2），， ． 故答案为． （3），，， ； 故答案为； （4），， ， ，， ． 故答案为． （5）如图，连接，   ，， ， ，， ． 故答案为． （6）如图，过点作，则，    由（1）知，， ， ， ，， ， 、分别是和， ， ， ． 故答案为． （7）略 【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据题干作出正确的辅助线是解题关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $