第20章 二次根式（单元自测）数学新教材沪教版（五四制）八年级上册

第20章 二次根式 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．现对实数，定义一种运算：．则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【解析】， 故选A． 2．对任意两个实数、定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：，，，那么等于（ ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的立方根． 根据新定义计算即可． 【解析】∵， ∴， ∵，， ∴． 故选A． 3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两步排查选项：先排除被开方数含分母的，再排除被开方数含能开得尽方的因数或因式的． 【解析】A选项，的被开方数含分母，不是最简二次根式； B选项，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； C选项，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； D选项，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式．故选C． 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项． 【解析】∵选项A：==，含完全平方因数4，不符合题意； 选项B：被开方数含分母，不符合题意； 选项C：被开方数7是质数，无完全平方因数且无分母，符合题意； 选项D：=被开方数含分母，不符合题意； 故选C． 5．2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（ ） A．1 B．4 C．－2 D．9 【答案】B 【分析】根据定义的运算，先利用平方差公式简化表达式，再代入数值计算. 本题考查了二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键． 【解析】∵ , 且 , ∴ . 代入 : ∴ ， 故选B． 6．下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，判断即可． 【解析】A、， 和不是同类二次根式； B、，和不是同类二次根式； C、，，和是同类二次根式； D、，和不是同类二次根式．故选C． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．计算________. 【答案】 【分析】本题考查了实数运算，立方根定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先开立方化简，再计算即可． 【解析】， 故答案为． 8．已知，，则代数式的值等于________． 【答案】19 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，已知字母的值，求代数式的值，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．先求出，，再将完全平方公式变形求值即可． 【解析】∵， ∴， ， ． 故答案为19． 9．19的两个平方根的积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，实数的运算，根据平方根的定义求出19的两个平方根，再求出这两个平方根的积即可得到答案． 【解析】∵19的两个平方根为和， ∴19的两个平方根的积是， 故答案为． 10．已知，那么的近似值为________（结果保留小数点后两位）． 【答案】 【分析】将化简为含的表达式，代入已知近似值计算即可． 【解析】， ∵， ∴， 结果保留小数点后两位，得．故答案为$0.71$． 11．计算的值________． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算． 分别计算算术平方根、绝对值、立方根，再进行加减法即可． 【解析】原式 故答案为 12．计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，立方根定义，准确计算．根据立方根定义和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【解析】 故答案为． 13．已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【解析】∵，， ∴ ∴， 故答案为． 14．和分别是的整数部分和小数部分，那么________． 【答案】 【分析】先化简二次根式，再确定其整数部分和小数部分，最后代入计算并化简即可． 【解析】先化简， ， ， ， ， 可得整数部分，小数部分，代入得： 即．故答案为$6+4\sqrt{3}$ ## $4\sqrt{3}+6$． 15．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【解析】根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为（为正整数）． 16．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【解析】最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， ．故答案为$5$． 17．当时，二次根式的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【解析】当时，． 故答案为． 18．化简：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化得到最简结果． 【解析】， 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，以及进行分母有理化，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【解析】 ． 20．（7分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、负整数指数幂、零次幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先计算算术平方根、负整数指数幂、零次幂，再计算加减即可． 【解析】原式                         ． 21．（7分）已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】（1） （2）当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【解析】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 22．（7分）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）首先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）先将系数和被开方数分别按照乘除运算法则进行计算，再将结果化为最简二次根式；如果有变量，需要先确定变量的取值范围保证根式有意义． （3）先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将每个根式化为最简二次根式，之后合并同类二次根式． （4）先识别完全平方公式、平方差公式的结构，对多项式进行因式分解，再结合二次根式的运算规则约分、化简． 【解析】（1）解：化简各项得， ， ， ． 代入原式得， 原式． （2）解：分别计算系数和被开方数得， 系数部分：， 被开方数部分：． 原式． （3）解：化简各项得， ， ， ． 合并得，原式． （4）解：因式分解后约分， ， ， ，得， 原式 ． 23．（7分）已知 求 的值 【答案】 【分析】先由已知条件得到的值，再对分子变形得到的值，代入化简即可求出结果． 【解析】∵ ∴ ， ∴ 整理得： ， ∴． 24．（7分）计算：； 【答案】 【解析】原式 ． 25．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： 原式 ； （4）解： 原式 ． 26．（8分）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可． 【解析】， ∴， ， 把代入，原式． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．现对实数，定义一种运算：．则的值为（ ） A． B． C． D． 2．对任意两个实数、定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：，，，那么等于（ ） A． B．3 C．6 D． 3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 5．2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（ ） A．1 B．4 C．－2 D．9 6．下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．计算________. 8．已知，，则代数式的值等于________． 9．19的两个平方根的积是________． 10．已知，那么的近似值为________（结果保留小数点后两位）． 11．计算的值________． 12．计算：________． 13．已知，，则的值为________． 14．和分别是的整数部分和小数部分，那么________． 15．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________． 16．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 17．当时，二次根式的值为________． 18．化简：________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）计算：． 20．（7分）计算： 21．（7分）已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 22．（7分）计算： （1） （2） （3） （4） 23．（7分）已知 求 的值 24．（7分）计算：； 25．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 26．（8分）先化简，再求值：已知，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $