第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（单元自测）数学新教材沪科版八年级上册

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，探究圆的面积计算，其中涉及三角形的性质．下列关于三角形的说法，正确的是（ ） A．任意三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的内角和随边长增大而增大 C．等腰三角形的两底角相等 D．三角形任意两边之差等于第三边 2．如图，在中，，图中以为高的三角形共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 5．如图，在中，，，D是AB上一点．将沿CD折叠，使点B落在AC边上的点处，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A． B． C． D． 8．若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ） A．14 B．10 C．13 D．14或10 9．如图，分别是的高、中线，，则的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 10．如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．三角形的三边长分别为2，7，a，则a的值可以是________（只要写出一个）． 12．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 13．已知等腰的两条边长a，b满足，则等腰的周长为________． 14．如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，且的面积是5，则的面积是________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）如图，有下面四个论断：①；②；③；④．请选择其中三个论断，以两个作为条件，一个作为结论组成命题，并判断其真假． 16．（8分）如图，在中，，，平分交于D，交于E，求和的度数． 17．（8分）已知是的角平分线，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 18．（8分）已知，在中，，，． （1）求的取值范围； （2）若为等腰三角形，求的值． 19．（10分）证明：在直角三角形中，如果有一个角为，那么这个角对边的长度是斜边的一半． （1）根据图形写出已知、求证． 如图，已知：________ 求证：________ （2）证明： 20．（10分）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． （1）若，，求的长度； （2）求证：； （3）若，，则________． 21．（12分）写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． （1）如果两个角是直角，那么这两个角相等． （2）已知两个角．如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角． （3）偶数一定能被2整除． 22．（12分）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （ ）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （ ）以上命题是真命题的有________个． （ ）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 23．（14分）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． （1）如图1，若，，则的度数为________． （2）如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，探究圆的面积计算，其中涉及三角形的性质．下列关于三角形的说法，正确的是（ ） A．任意三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的内角和随边长增大而增大 C．等腰三角形的两底角相等 D．三角形任意两边之差等于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的基本性质． 通过三角形的基本性质判断各选项即可． 【解析】钝角三角形的两条高在外部，A错误，不符合题意； 三角形内角和恒为，与边长无关，B错误，不符合题意； 等腰三角形的两底角相等，C正确；，符合题意 三角形任意两边之差小于第三边，而非等于，D错误，不符合题意； 故选C． 2．如图，在中，，图中以为高的三角形共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，理解三角形的高定义是解题的关键． 由于于D，找出所有一边在直线上且以A为顶点的三角形即可解答． 【解析】∵于D， ∴图中有一边在直线上，且以A为顶点的三角形有， 共6个， ∴以为高的三角形有6个． 故选D． 3．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【解析】∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选C． 4．下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 【答案】A 【解析】A. 三角形的三条中线交于一点，说法正确； B. 直角三角形有三条高，两条直角边为高，斜边上有一条高，说法错误； C. 三角形的角平分线是线段，不是射线，说法错误； D. 钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高在边上，并非三条高都在三角形内部，说法错误．故选A． 5．如图，在中，，，D是AB上一点．将沿CD折叠，使点B落在AC边上的点处，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形内角和是180°”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合折叠的性质，可得出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【解析】在中， ∵，， ∴． ∵沿折叠，点落在边上的处， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选D． 6．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线、角平分线、高的定义，解答即可． 【解析】，，分别是的中线、角平分线、高， ，，，，，不成立， 故ABC正确；D错误.故选D． 7．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题. 求出的度数，角平分线的定义，得到的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【解析】∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 故选B． 8．若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ） A．14 B．10 C．13 D．14或10 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，运用分类讨论思想．解题关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形；易错点是忽略三边关系的验证，误将不符合条件的情况计入，导致错选． 分情况讨论腰长： 情况一：假设腰长为2，则三边为2、2、6．根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，，不满足，舍去． 情况二：假设腰长为6，则三边为6、6、2．，满足三边关系，即可得周长． 【解析】∵等腰三角形两边长为2和6， ∴可能腰为2、底为6或腰为6、底为2． ①当腰为2、底为6时，三边为2、2、6， ，不满足三角形三边关系， ∴不成立． ②当腰为6、底为2时，三边为6、6、2， ，，均成立， ∴周长为． 故选A． 9．如图，分别是的高、中线，，则的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【解析】∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选B． 10．如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【解析】由题意得， ， ， 又为的中线， ， ， ， 故选B． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．三角形的三边长分别为2，7，a，则a的值可以是________（只要写出一个）． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系求出的范围，即可得出结果. 【解析】由题意，， ∴， 故a的值可以是（答案不唯一）.故答案为6（答案不唯一）． 12．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 【答案】19 【分析】对等腰三角形的腰长分两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【解析】分两种情况进行讨论：若为腰长，为底边长， 此时三边长为，，，，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； 若为腰长，为底边长，此时三边长为，，，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴周长为．故答案为19． 13．已知等腰的两条边长a，b满足，则等腰的周长为________． 【答案】15 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，等腰三角形，利用完全平方公式进行化简，根据非负数的性质求出a、b，分类讨论a为腰和b为腰即可． 【解析】， ， ∵，， ， 解得． 当腰是3时，由，不能构成三角形， 当腰是6时，由，能构成三角形， 故等腰的周长为：． 故答案为15． 14．如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，且的面积是5，则的面积是________． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形中线平分三角形面积，掌握这一性质是关键；由点D，F分别是的中点，可得的面积等于的面积，再由点E是的中点即可求得的面积． 【解析】∵点D，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为5． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）如图，有下面四个论断：①；②；③；④．请选择其中三个论断，以两个作为条件，一个作为结论组成命题，并判断其真假． 【答案】条件：①；②；结论：④，是真命题（答案不唯一） 【分析】四个条件可以随便选出2个作为条件，剩下的两个随便一个作为结论，然后判断命题真假． 【解析】条件：①；②； 结论：④，是真命题， 证明如下：在和中， ， ∴， ∴． 条件：①；②； 结论：③，是真命题， 证明如下：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 16．（8分）如图，在中，，，平分交于D，交于E，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【解析】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 17．（8分）已知是的角平分线，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据角平分线的性质计算即可； 【解析】（1），， ； （2）是的角平分线， ． 18．（8分）已知，在中，，，． （1）求的取值范围； （2）若为等腰三角形，求的值． 【答案】（1） （2）4 【分析】本题考查了求不等式组的解集，等腰三角形的定义，三角形三边关系． （1）根据三角形三边关系列不等式组求解即可； （2）分情况作答即可． 【解析】（1）解：根据三角形三边关系可得， ， 解得：， 故的取值范围为； （2）解：若为等腰三角形，分情况讨论：，，． ①当时，， 解得， 三角形三边为4，4，10，不满足三角形三边关系； ②当时，， 解得， 三角形三边为4，10，10，满足三角形三边关系； ③当时，，不构成三角形，不合题意； 的值为4． 19．（10分）证明：在直角三角形中，如果有一个角为，那么这个角对边的长度是斜边的一半． （1）根据图形写出已知、求证． 如图，已知：________ 求证：________ （2）证明： 【答案】(1)，； （2） 证明：如图，延长至点，使得， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】本题考查了写出命题的已知与求证、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据题意写出已知和求证即可； （2）延长至点，使得，则，先证明，得到，，进而证得是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可证明． 【解析】（1）解：如图，已知：，， 求证：； 故答案为，；； （2）略 20．（10分）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． （1）若，，求的长度； （2）求证：； （3）若，，则________． 【答案】（1）3 （2） 解：∵， ∴， ∵，且， ∴； （3）4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，得出因为，故，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 21．（12分）写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． （1）如果两个角是直角，那么这两个角相等． （2）已知两个角．如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角． （3）偶数一定能被2整除． 【答案】（1）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角，假命题．反例：两个角都是，它们相等但不是直角． （2）逆命题：如果两个角的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角，假命题．反例：两个角都是，它们的和是平角，但两个都是直角． （3）逆命题：如果一个数能被2整除，那么它是偶数，真命题． 证明：偶数的定义是能被2整除的整数叫偶数， 若一个数能被 2 整除，则它符合偶数的定义，这个数是偶数． 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键． （1）原命题的“条件”是“两个角是直角”，“结论”是“这两个角相等”，互换后逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角． （2）原命题的“条件”是“一个角是锐角，另一个角是钝角”，“结论”是“它们的和是平角”，互换后逆命题为：已知两个角，如果它们的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角． （3）原命题的“条件”是“一个数是偶数”，“结论”是“这个数能被2整除”，互换后逆命题为：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数． 【解析】（1）解：原命题的“条件”是“两个角是直角”，“结论”是“这两个角相等”， 逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角， 逆命题为假命题， 反例：若两个角都是，它们相等但不是直角． （2）解：原命题的“条件”是“一个角是锐角，另一个角是钝角”，“结论”是“它们的和是平角”， 逆命题为：如果两个角的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角， 逆命题为假命题， 反例：两个角都是，它们的和是平角，但两个都是直角． （3）解：原命题的“条件”是“一个数是偶数”，“结论”是“这个数能被 2 整除”， 逆命题为：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数， 逆命题为真命题， 证明：偶数的定义是能被2整除的整数叫偶数， 若一个数能被 2 整除，则它符合偶数的定义，这个数是偶数． 22．（12分）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （ ）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （ ）以上命题是真命题的有________个． （ ）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 【答案】（ ）画图见解析（答案不唯一）； （ ）； （ ）选择命题． 已知：如图①，筝形中，，； 求证：； 证明：如图①，连接， 在和中， ， ∴， ∴； 选择命题． 已知：如图②，筝形中，，，对角线相交于点； 求证：且． 证明：在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴且． 【分析】本题考查了筝形的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （ ）根据筝形的定义画图即可； （ ）根据筝形的特征判断即可求解； （ ）根据全等三角形的判定和性质即可求证； 【解析】（ ）解：如图所示，四边形即为所求；（答案不唯一） （ ）解：命题：筝形有一组对角相等，是真命题； 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线，是真命题； 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角，是假命题； ∴以上命题是真命题的有个， 故答案为； （ ）略 23．（14分）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． （1）如图1，若，，则的度数为________． （2）如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） ．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）． 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：略． （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $