天津市蓟州区第一中学2026-2027学年高三上学期第一次自主检测数学试题

2026-2027学年度高三年级第一次自主检测 高三数学 一、选择题（共9题，每题5分，共45分） 1.已知集合A={-2<x<2,B= 则AnB=() A{xl≤x≤2}B.{-2<x≤3}C.{x1<x<2D.{x-2≤x<3} 2.设{a,}是公差不为0的无穷等差数列，则“{a,}为递增数列”是“存在正整数N。, 当n>N。时，an>0”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 e+e的图象大致是() 4x 3.函数y 4. 下列说法正确的是() A一组数据2,3,8,3,10,18,7,4的第50百分位数为4 B.在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C.设Y~N1,σ2)且P(Y<0)=0.2,则P(1<Y<2)=0.2 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=-4.712,根据小概率值a=0.05 的独立性检验(xs=3.841),可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 5.已知a,}和6，}是两个等差数列，且2（≤k≤5列是常值，若4=2照，4=96,4=192， 则6的值为() A64 B.100 C.128 D.132 6.在等差数列{an}中，公差d≠0，若S1=7(a+ao+a),则k=() A.12B.13C.14D.15 7.已知a=1ogo20.3,b=logo30.2,c=log23,则a,b,c的大小关系为（) A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 8.已知函数f(x)=cosx-cos2x,则该函数（) A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2 C.奇函数，最大值为 D.偶函数，最大值为 9.已知函数f(x)=Asi血(ox+p)(A>0,ω>0，-π<p<)的部分图象如图所示，则下 列说法正确的个数是() ①0=2 ②函数f(x)的图象关于点-0对称 ®西数在区间2习]上单调递减 ④将函数f(x)的图象向右平移”个单位得到函数g(x)的图象，若函数 y=8u儿2>0在区间[Q上有且仅有两个零点和两个极值点，则e[怎号哥) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二，填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分) 则2 10。记具虚数单位，复数z满足2=3+， 1,（-)的展开式中的常数项为 12.已知数列{a}满足a1=1,a2=-1,且an+2-a=2(n∈N),则an=一 13.将数列{2m-1}与3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an,则{an}的前n项和 为 14.已知x>0,y>0,+2y=3,则x夕的最小值为 15.已知函数f(x)=a +b(a,b∈R)的值域为(-2,0]，给出下列四个结论： ①b=-2; ②对1∈R,f(-1-W>f(W: ③诺关于x的方程[f(x)]+(x)=0恰有3个实数根，则实数t的取值范围是(0,2)； ④对4,6Q,且，e(a,使得/任当1f飞色恒城立 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：（本大题共5小题，共75分） 16.在aMBC的内角4，B,C所对边的长分别是a6c,已知a=4c=22,co8A=-5 (1)求b的值； (2)求sinC的值； (3)求os24+写的值 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB分AB∥DC,AD=DC=AP=2, AB=1,点E为棱PC的中点. (1)求证：BE∥平面PAD; (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (3)求点C到平面PBD的距离. 18.已知数列a}满足4+30，+34，+…+3g,=,数列b,}的首项为2，且满足 nb1=(n+1)b. (1)求{a}和{色}的通项公式 (2) 记集合M-侣sa+eN 若集合M的元素个数为2，求实数1的 取值范围. 19.已知{a,}为等差数列，{b}是公比为2的等比数列.a=1,且 4-b=1,a4-6=b-a6. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： ak- b k为奇数， (2)若c4= b2mkk为偶数 a2-k ①当k为奇数，求c+C2n1-ki 2n ②求∑ck· k过 20.已知函数f(x)=e+al血(x+1(a∈R) (1)当a=-2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若fx)在定义域上存在极值，求a的取值范围； (3)若f(x)21-si血x恒成立，求a的值。 2026-2027学年高三年级第一次自主测试 一.选择题 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 答案 C C A 0 C D C D C 二.填空题 n n为奇数 10.-i11.-270 12. 13.3n2-2n 14.2v6+1 15.①③ n-3 n为偶数 3 三.解答题 16.【详解】 已知条件：在△ABC中，a=4,c=2V2,cosA=-。 (1)求b的值 根据余弦定理： a2 62 +c2-2bc cos A 代入已知数据： 42=2+(2V22-2.6.2V2.（ 16=b2+8-2b.2V2. () 计算交叉项： () 262 所以方程为： 16=b2+8+2b→b2+2b-8=0 解一元二次方程： (b+4)(b-2)=0→b=2或b=-4（舍去) 所以b=2。 (2)求sinC的值 已知cosA=-竖，且A∈(0，x),所以： mA=-sA=V-品-V- 根据正弦定理： ac→mc-e04-2y5竖_2vs_4_V7 a a 4 16 16 4 (3)求cos(2A+)的值 先求cos2A和sin2A: as2A=2m2A-1=2-1-1=是 sin 2A=2sin AcosA=2.14 4 22=-7 16 4 利用和角公式： 3--3+-2-3 2 8 8 17.【详解】 建立坐标系：以A为原点，AB,AD,AP分别为x,,z轴。已知AD=DC=AP=2,AB= 1。A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)。因为AB‖DC,AD⊥AB,所以DC平行于x 轴，C的坐标为(2,2,0)。E为PC中点，P(0,0,2),C(2,2,0)→E(1,1,1)0 (1)求证：BEI平面PAD 向量BE=(1-1,1-0,1-0)=(0,1,1)。平面PAD的法向量是x轴方向，即元= (1,0,0)。因为BE.元=0·1+10+1.0=0，且B不在平面PAD内，所以BE‖平面 PAD。 (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值 平面PBD的法向量：PB=(1,0,-2),DB=(1,-2,0)。设法向量元=(x,,z),则x-2z= 0,x-2y=0→x=2y=2z。取元=(2,1,1)。 sin= |BE.元 |0.2+1.1+1.11 22V3 B配1川元=V02+12+12V22+12+币=V2.V后=2W3=3 (3)求点C到平面PBD的距离 点C(2,2,0),平面PBD法向量元=(2,1,1)，取点B(1,0,0),则BC=(1,2,0)。距离d= m+1-希=学。 18.【详解】(1)由a1+3a2+32a3+…+3n-1an=可得： n之2时，a1+32+32ag+…+3-2a-1=学相减可得3-1a=背-"号=行故 dn= 当n=1时，a1=地符合上式，故a=,nEN, 由nb+1=(n+1)b,可得出-：=0，所以数列份为公差为0的等差数列，且首项 n+l n 为2， 所以=2，则bn=2m,nEN. (2)由b,=2m,neN和M={n偿≤b,b+1@+1),neN}何得M=以≤ n(n+1)@en+i),nEN, 3n i记Pn=na+2a+,则P+1=a+0t22m+,所以P+1-Pn=-a+n--, 3n 3n+1 3n+1 当n=1时，P2-P1>0,当n≥2时，P2>P3>P4>…,此时Pn}单调递减， 而P(2)=9,P(1)=2,P3)=9,P(④)=9由于集合M的元素个数为2，所以M= 2,3,故g<1≤得 (3)由c=2-得c=2- 16n4 64n4-16n2+1 16n4 n2 因影∑白+-)+G-*+÷》 =+(1-)<+日+=出 19.【详解】(1)设数列[an的公差为d,:{bnJ的公比为2，a1=1, 1+2d-b1=1 由己知可得{+3d-6,461-1+5得b:=2,d=1,a=mb。=24: (2)①：k为奇数，2n+1-k为偶数. a2n+1-(2n+1-k0 b2n+1-(2n+1-k -(ax-)bs+ax+)bx=2axbk=2k.2k=k.2k; ②当k为偶数，2n+1-k为奇数， =2a2n+1-kb2n+1-k =22a+1-月-2a=0m+1-内-2a2-t◆5=2 Ck' :S2m=C1+c2+…+c2m-1+c2m,即S2m=c2n+C2m-1+…+c2+C1, 2S2n=(G1+c2n)+(c2+c2m-1)+…+(c2m-1+c2)+(c2n+c1), 2S2m=(G1+c2n)+(c3+c2m-2)+…+(c2m-1+c2)+(c2+c2m-1)+(c4+c2m-3)+ …+(c2m+c1)=1×22+3×24+…+(2n-1)·22m+(2n-1):22m+(2n-3) 22m-2+…+1×22 所以S2m=1×2+3×23+…+(2n-1)·22m-1+(2n-1):22m-1+(2n-3): 22n-3+…+1×2 所以4S2m=1×23+3×25+…+(2n-1):22m+1+(2n-1)·22m+1+(2n-3): 22m-1+…+1×23 所以-3S2m=2+2(23+25+…+22m-1)-(2n-1)·22m+1-(2n-1):22m+1+ 2022-1+2m-3+…+23)+2=2+2×23-2a4-2n-1）-22t1-（2n-1) 1-4 22n+1+2x23-2-1X4+2 1-4 =-9+02×21所以52a=9+12,0×21 3 20.【详解】(1)当a=-2时，f(x)=ex-2ln(x+1),f(0)=e°-2In1=1,故切 点坐标为(0,1)， 又因为f)=e*-名则切线斜率k=f0)=e-子=-1， 所以切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0. (2)f=e+aln(x+1)(aeR),函数定义域为(-1，+o,f)=e+x 所以当a≥0时，f(x)≥0恒成立，不符合题意， 当a<0时，令h()=f)=e+h(=e->0, a 所以a<0时，f(x)在定义域上单调递增， fa的=e+帝因为=2京e>1,所fa的>0， 当a<-1时，f(0)=1+a<0,所以f(x)在(0，a2)上存在极值点 当a=-1时，f)=e*-f《O)=0,所以x=0为f)的极值点. 当-1<a<0时，fa2-1)=e2-1+因为ea2-1<1,<-1,故fa2-1)<0. 所以f(x)在(a2-1,a2)上存在极值点.综上所述，a的取值范围是(-∞，0) (3)f(x)≥1-sinx恒成立，得sinx+e*+aln(x+1)≥1， 设g(x)=sinx+e*+aln(x+1),x∈(-1，+o), 则g)=cosx+e+令p()=9y=cosx+e+则p)=e-sinx- a +102 ①当a=-2时，在xE(-1,01时，cosx+*≤2，-异≤-2，所以g≤0， 在xe0,+0)时，e*21,p(闭=e-sinx+之0，所以g闭≥90)=c0s0+ e0-2=0, 所以x=0为g(x)在x∈(-1，+o)上的唯一极小值点，gx)≥g(0)=1, 所以a=-2时，f(x)≥1-sinx恒成立 ②当a<-2时，x∈(-1,0]时，e*>0,sinx<0,有ex-sin>0, x∈(0，+o)时，ex>1,sinx≤1，有e*-sinx>0, 又-t>0,所以p)=e*-sinx-n>0,即g幻为增函数。 gt-a)=ea+cos(-a)+>e2-1-1>0, 又因为g(0)=2+a<0,所以存在x1e(0,-a)使得g(x1)=0, 当0<x<x1时，g(x1)<0,g(x)为减函数，所以g(x1)<g(0)=1,不符合题意. ③当-2<a<0时，同②有g为增函数，当-1<x<-1-<0时，年1<-2， 9似<1+1+，<0，又因为g0)=2+a>0,所以存在xE(-1,0),使得gx2= 0, 当x2<x<0时，g(x)>0,g(x)为增函数，所以g(x2)<g(0)=1,不符合题意. ④当a≥0时，xe(-1,0]时，e×>0,cosx>0,有cosx+e>0, x∈(0，+o)时，e>1,c0sx2-1,有cosx+e>0,又≥0，所以g>0,9) 为增函数， 又因为g(0)=1,所以当-1<x<0时，g(x)<g(0)=1,不符合题意， 综上所述，a=-2.