精品解析：辽宁省辽西部分重点高中2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度高中同步月考测试卷 高二数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在正方体中，为棱上的一点（不与点重合），若平面平面，则直线与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 7. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 平面内两定点和，动点，满足，动点的轨迹为曲线，下列命题错误的有几个（ ） ①存在，使曲线过坐标原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③若三点不共线，则周长最小值为； ④曲线上与不共线的任意一点关于原点对称的点为，则四边形的面积不大于. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，//．平面，，，，点在线段上，则（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的取值范围为 10. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为定值 B. 若为的中点，则直线平面 C. 若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正弦值是 D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线（）与曲线分别交于，两点，点，则下列说法正确的是（     ） A. 曲线的方程为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 当取得最大值时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，和所在平面垂直，且，，则平面和平面的夹角的余弦值为________. 13. 已知点是直线：与x轴的交点，将直线绕点旋转，则所得到的直线的方程为_________． 14. 在棱长为2的正方体中，点在正方形及其内部上运动，若点到的距离是到距离的两倍，则点的轨迹长度为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设，，，若四点共面，求实数的值. 16. 如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 17. 已知点，，点为平面直角坐标系上一点． （1）若点且三点共线，求实数的值； （2）若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 18. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆． （1）判断圆与圆的位置关系，并求圆的方程； （2）设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，求的取值范围； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在直角三角形中，，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且. （1）在上是否存在一点，使得直线与平面平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由； （2）若第（1）问存在符合条件，求出此时直线与平面的距离； （3）若将绕点逆时针旋转角后，得到的新的直线与平面所成角的正弦值为，求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高中同步月考测试卷 高二数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 2. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，且，所以，解得 4. 已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 5. 在正方体中，为棱上的一点（不与点重合），若平面平面，则直线与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用面面平行的性质得到交线，以为原点，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的一个法向量，利用空间向量的线面角公式求解． 【详解】在正方体中，上底面下底面， 平面，平面同时与平面、平面相交， 平面平面，平面平面， 故由面面平行的性质定理，可得， 以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则，，，，， 所以，即为直线的方向向量， ，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以直线与平面所成角为． 6. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点关于直线的对称点为，由中点坐标公式以及直线与直线垂直即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，两点的中点为，则，即， 且直线与直线垂直，则直线的斜率为，即， 则，联立，解得，， 故关于直线的对称点为. 7. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点，然后结合圆的切线性质计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 由题意得，解得， 即， 设圆的圆心为C，则，，， 故， 根据对称性，光线经过的路程即为. 8. 平面内两定点和，动点，满足，动点的轨迹为曲线，下列命题错误的有几个（ ） ①存在，使曲线过坐标原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③若三点不共线，则周长最小值为； ④曲线上与不共线的任意一点关于原点对称的点为，则四边形的面积不大于. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到曲线方程为，代入原点坐标判断①；根据方程研究对称性判断②；利用基本不等式判断③；转化为两个三角形的面积，结合三角形面积公式和正弦函数的有界性判断④. 【详解】平面内和，动点满足，故 ， ①：代入，可得，正确； ②：对曲线上任意点，关于y轴对称点为，关于轴对称点为， 将代入上式得； 将代入上式得； 所以曲线既关于轴对称，也关于轴对称，不正确; ③：若、、三点不共线，则 ，且， 当且仅当时等号成立，又， 所以周长的最小值为，正确； ④：曲线上与、不共线的任意一点关于原点对称的点为， 又图象既关于轴对称，又关于轴对称，且，知： 四边形的面积为， 当且仅当时等号成立，此时， 所以四边形的面积不大于，正确. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，//．平面，，，，点在线段上，则（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】以为坐标原点，射线为轴正方向，以射线为轴正方向，过点作垂直于平面向上的射线为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由题意得各点坐标： ，，，； 等腰梯形的高为， 故，； 设，. 选项A：，， ， 故，A正确. 选项B：，. 若，由分量得，即，代入分量得，矛盾， 故不存在实数满足条件， B错误. 选项C：向量在上的投影向量为 ，C正确. 选项D：，， ， 该二次函数开口向上，对称轴为，： 当时，取得最小值12；当或时，取得最大值28， 故的取值范围为，与选项描述不符，D错误. 10. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为定值 B. 若为的中点，则直线平面 C. 若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正弦值是 D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明出平面，可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用锥体的体积公式可判断A选项；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】对于选项A，在正四棱柱中，，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以，，为定值，故A正确； 对于选项B，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设. 则，，，，，， 因为为的中点，则，则，， 所以，所以与不垂直， 故当为的中点时，直线与平面不垂直，故B错误； 对于选项C，，， 则， ， 因为，所以，故C正确； 对于选项D，设平面的法向量为，，， 则，取，可得，此时，， 设. ， 设直线与平面所成的角为, 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以直线与平面所成角的正弦的最大值为，故D正确. 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线（）与曲线分别交于，两点，点，则下列说法正确的是（     ） A. 曲线的方程为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 当取得最大值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直接法求轨迹方程，可判定A正确；根据直线过定点，结合圆的性质，可判B错误；求得以为直径的圆与曲线是否相交，得到是否存在点，使得，可判定C正确；找到与曲线相切时，分别求得和，结合两角和的正切公式，可判定D正确. 【详解】对于A，设，由，可得， 所以，整理得， 所以曲线的方程为，所以A正确； 对于B，直线恒过定点，且曲线的圆心为， 当时，取得最小值，所以B错误； 对于C，由点，， 以为直径的圆的方程为，可得圆心为，半径为， 则， 因为，所以圆与圆相交， 当点为两圆的交点时，，所以C正确； 对于D，如图所示，当与曲线相切，且切点在第二象限时，取得最大值， 此时，则，所以， 因为，所以，所以D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，和所在平面垂直，且，，则平面和平面的夹角的余弦值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】作于点，利用条件证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和平面法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】因和所在平面垂直，且平面平面，作于点， 则平面，连接，则，因，则， 又因，则全等于，则，故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，故可取， 因平面，则可取为平面的法向量， 设平面和平面的夹角为，则. 13. 已知点是直线：与x轴的交点，将直线绕点旋转，则所得到的直线的方程为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由直线：可知直线：与x轴正半轴的夹角为，于是直线绕点旋转，则所得到的直线与x轴正半轴的夹角为或，再结合直线过点即可求得直线的方程为或. 【详解】设直线：与x轴正半轴的夹角为， ，所以. 点是直线：与x轴的交点，将直线绕点旋转， 所以直线与x轴正半轴的夹角为或，且该直线过点， 所以当直线与x轴正半轴的夹角为时，直线方程为. 当直线与x轴正半轴的夹角为时，直线方程为. 14. 在棱长为2的正方体中，点在正方形及其内部上运动，若点到的距离是到距离的两倍，则点的轨迹长度为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据图形结合正切值的定义求出点满足的几何关系，再根据几何关系求出的轨迹长度. 【详解】易知平面，平面， 因为点到的距离是到距离的两倍，所以. 以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，设， 由，得，整理得，点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆在正方形内部的圆弧.射线：交圆于点，，， ，则，即圆弧所对的圆心角为，弧长为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设，，，若四点共面，求实数的值. 【答案】（1）5 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直向量数量积为求出参数，得到向量，再求出并代入模长公式计算； （2）根据四点共面等价于对应三个向量共面，利用共面向量定理设线性表达式，列方程组求解参数. 【小问1详解】 由，得，解得，则，又， 因此，所以. 【小问2详解】 若四点共面，则向量共面，设， 即，因此， 解得， 所以的值是. 16. 如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）设与交于点G，连接， 因为，且，又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为正方形和四边形所在的平面相互垂直，且， 所以平面， 如图，以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则, 所以，，， 所以·，·， 所以⊥，⊥， 即， 又，且平面，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）连接交于点G，证明四边形是平行四边形得到，再用线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，证明同时垂直于平面内两条相交向量，由线面垂直判定定理得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知点，，点为平面直角坐标系上一点． （1）若点且三点共线，求实数的值； （2）若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）三点共线问题可转化为任意两点连线的斜率相等，通过建立方程求解未知参数；（2）求过定点的直线与线段相交的倾斜角范围，可先计算定点到线段两端点的直线倾斜角，再结合倾斜角的变化规律确定取值区间. 【小问1详解】 由题意，斜率存在， 因为点，，三点共线，所以， 所以， 解得． 所以实数的值是． 【小问2详解】 设直线，，的倾斜角分别为，，，由图知． 可得，． 又， 所以，． 所以． 所以直线的倾斜角取值范围是． 18. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆． （1）判断圆与圆的位置关系，并求圆的方程； （2）设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，求的取值范围； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）圆内含于圆， （2） （3）存在或或 【解析】 【分析】（1）求出圆心距后可判断两圆位置关系；是关于直线的对称点，两圆半径相等，求出圆心，进而求出圆的方程； （2）设，则，将表示成的函数求解范围； （3）若存在，使为定值，则由整理后的方程系数为求解． 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心距， ，故圆内含于圆； 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得，故圆方程为． 【小问2详解】 由相切，知，设，则， 故， 令，则在单增，故， 当时取等号， 的取值范围是． 【小问3详解】 由题设，满足方程， 若存在，使为定值， 而，， 整理得， 将代入，得：， 整理可得， 要使为定值， 则，解得或， 综上，存在或，使为定值，该定值对应为或． 19. 如图，在直角三角形中，，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且. （1）在上是否存在一点，使得直线与平面平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由； （2）若第（1）问存在符合条件，求出此时直线与平面的距离； （3）若将绕点逆时针旋转角后，得到的新的直线与平面所成角的正弦值为，求出. 【答案】（1）存在， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，再由线面平行的性质，结合向量计算推理即得. （2）先把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用空间向量法计算点到平面的距离； （3）先根据旋转得到新的直线所在向量，利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，解得结果； 【小问1详解】 依题意，平面， 则平面， 由，得，即， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系， 则 假设在上存在一点，使得直线与平面平行， 由平面，平面平面，得， 令，则， 于是，解得， 所以在上存在一点，使得直线与平面平行，且. 【小问2详解】 由（1）可知直线与平面平行，且， ，， 所以点到平面的距离即为直线与平面的距离， 设平面的法向量为，则 令，解得， 所以点到平面的距离为 【小问3详解】 设绕点逆时针旋转角后得到的新的直线为， 直线与平面所成角的正弦值为， 所以，, 设平面的法向量为，则 令，解得， 直线与平面所成角的正弦值为， 所以，即 解得，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $