河北部分校2026-2027学年高二年级上学期10月质量检测数学试题

2026~2027学年度高二年级10月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D由直线1经过A(-1,0,B(05)两点，可得直线1的斜率为k=。号-.放选D 2.C由空间向量基本定理知x=一2，y=2,x=3,所以x十y十x=3.故选C. 3.B两平行线2x+)2=0与2x十y=0间的距离为是是-25赦选B √/22+12 a2-4X4>0, 4.D由题意得2+02+2a十4>0， 解得a>4.故选D. -2=λ， 5.B因为a∥B,所以存在入，使得n=,所以y=入，所以y=-2,之=-4，所以y-之=一2-(-4)=2.故 z=2λ， 选B. 6.C由题意知A(-a,0),C(0,b),设坐标原点为0，则∠AC0-2∠ACB=号，tan∠AC0=号-5，即 -写，所以E的离心率e=后√1-（合）-厚故选C 7.D圆心(2，√3)到直线1的距离d=23×3-3 =2,由题意得2一1<r<2+1,即1<r<3.故选D. √1+(-3) 8.A设C的半焦距为c,因为C的短轴长为6，即2b=6,所以b=3,a= √+9，所以A(0,3),F(-c,0),F2(c,0),所以AF:的斜率k,=-3, 所以直线1的斜率为=台，又AB:的中点坐标为（台，是），所以 3 含-(- =分，所以2=3，a=√2+9=23，连接DP,E那，因为L垂直 平分线段AF2,所以|EF2|=|AE,|DF2|=|AD,所以△ADE的周长L=|AD|+|AE+|DE= |DF2|+|DF1|+|EF2|+|EF1|=4a=8√3.故选A. 9.BCD对于A,因为a一b=2a一(a+b),共面，不能构成基底；对于B,设a十b=λ(a-b)十c,所以=一1 =0 无解，所以a十b,a一b,c是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；对于C,设a十b十c=m(a十b) 十n(a一b),显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确；对于D,设a+b=m(b+c)十n(c十a),则a+b n=1 =a十mb十(m十n)c,所以3m=1,无解，所以a十b,b十c,c十a是不共面的向量，能构成空间的一个基底， m十n=0 故D正确.故选BCD. 10.AC由直线的截距式方程，得AB的方程为号十￥-1，即4红+3y-12=0,故A正确；当∠PAB取得最值 时，直线AP与C相切，故AP=TAC-严=22，故B错误，C正确；当在C上且到L的距离为2的 点有3个时，圆心C到1的距离等于号，即21=，所以b=-4,或b=52,故D错误故 /5 选AC 1.BCD因为点P是三角形CHF的重心，所以A市=}AC+号A萨+}A疗=子(A+A)+ 【高二年级10月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 27-L-118B 号A访+A)+}(ò+A应)=号AB+号A+号A花，所以：=号A2+|A+1A2+ 2恋.+2成.正+2ò.应=号1+1+1+1+1+1)=号，所以AP-25,故A错误：因为 AB,∥CD,所以∠PAB就是异面直线AP与CD所成的角，因为A市·A市=（号A+号Ai+号A)·A成 -专两以8密惑 3 29x1 ,故B正确：市.-号+动+恋)· (AD-A)=号(A亦-A亦+A应.AD-A花.A)=0,所以AP LBD,故C正确；若E,Q,B,D四点共 面，则存在有序数对(x,y),使B戒=xB+yB配，即A-AB=x(AD-AB)十y(A正-AB),即 号x-1=-x-y (号X-1)B+号+号xA=(-x-yDA+zA亦+yA应，所以号= 解得入=，所 号= 以点Q是线段AP的中点，故D正确.故选BCD. 12.号或36若m>4,则C的长轴长为2√m,短轴长为4，则2m=12,解得m=36;若m<4,则C的长轴长 和短轴长分别为4,2Vm,所以4=6，m,所以m=号，故m=号，或m=36。 13.6 5 由题意，得BA=(1,3,0),BC=(-2,0,4),所以cos∠ABC= BA.BC -2 BA·|BC√I0X√20 号又∠ABCE[0,,所以n∠ABC=√1-（一=语，所以点A到直线BC的距离d= 1 BAl sin∠ABC=√0×7,2_7,5 10 5 14.号由题知，圆0的圆心为0(2，-3)，半径n=4:圆0的圆心为 y O2(-1,1),半径2=2.设点M(x,y)为圆O1,O2的根轴l上的任意一 点，则1MO|2-片=|MO2|2-,即(x-2)2+(y十3)2-42= (x+1)2+(y-1)2-2,整理得6x-8y+1=0,即圆O,O2的根轴l为 直线6x-8y十1=0.如图，记O关于1的对称点为O',则MO|= |MO'|,所以|MO|-|MO2|=|MO'|-|MO2|.因为OO2⊥1，所以 0,'在直线0,0，上，因为Q'到1的距离即0，到1的距离，为d-忍，0 到1的距离d=器，所以当M,0,O'三点共线时，M0,'1-M0,取 得最大值O.0'1=d-d=号，即M0,-M0,的最大值为号 15.解：(1依题意，由AB边上的高所在直线的斜率为一名，得直线AB的斜率为2.…3分 又A(4,2),所以直线AB的方程为y一2=2(x-4),即2x一y一6=0. ……6分 (2)点C在x轴上，设C,0),则线段AC的中点D(生告，1)， …8分 由点D在直线x-y4=0上，得告-1-4=0，解得1=6，即C(6,0. 10分 又点C在直线x十2y十m=0上，所以6十m=0,解得m=一6.…13分 16.(1)证明：在正四棱锥E-ABCD中，O为底面ABCD的中心，所以O为AC的中点， 又F为线段CE的中点，所以OF∥AE。…3分 【高二年级10月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 27-L-118B 又AEC平面EAB,OF中平面EAB,所以OF∥平面EAB.… 6分 (2)解：在正四棱锥E-ABCD中，O为底面ABCD的中心，所以OE⊥平面 ABCD,四边形ABCD是正方形，AO⊥BO. 如图，以O为原点，OA,OB,OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角 坐标系.… …8分 因为AB=√2，OE=2,所以B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0), E(0,0,2),F(-号，0,1)， 所以B=(-号，-1,1)，Ci=(1,-1,0),C2=(1,02).…10分 A (CD.n=0, 设平面CD约法时量为-).则8即 令x=2,得y=2,2=-1,所以n=(2,2,一1)是平面ECD的一个法向量. 12分 设直线BF与平面ECD所成角为0，则sin0=|cos(m,B1=n·B 1=-1-2-1⊥=8」 |n·IBF 3× 9, 即直线BF与平面ECD所成角的正弦值为 8 15分 1备：0油任中-别-女即C14 …2分 因为圆C与直线12x十5y一6=0相切，所以圆C的半径，=d=125X4二61=2，…5分 √/122+53 所以圆C的方程为(x一1)2十(y一4)2=4.… …7分 (2)过C作CD⊥AB,垂足为D, 因为AC⊥BC,AC=BC=2,CD⊥AB,所以CD=√2.… …10分 由题意，得C到直线L的距离即为CD,所以d=一4+m=2,解得m=1或5，… 13分 √12+(-1)2 所以直线l的方程为x一y十1=0或x一y十5=0.…15分 18.解：(1)以D为原点，直线DA,DC,DD分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),所以BC=(-2,0,0),BD=(-2,-2,2),BA= (0,2,0),…1分 因为器=(>0》，所以器-币记克A0<D,所以成-A前-(-2，一2A,2),“2分 所以PA-BA-B=(2,21-2,-2),P元-BC-B2-(21-2,2λ，-2A), …3分 因为i店为极角威商-：0且成店， 所以PA.P心=122-8>0(0<<1)，且PA,P心不共线，… 5分 所以号<<1，即号<千<1，所以>2，即(P,P心为锐角时，的取值范围为(2，十∞).…7分 (2)由(1)知PA=(2,2-2,-2),AC=(-2,2,0), …8分 PA·m=0, 设平面PAC的一个法向量角=(z,),则心·=0， 即(2+(2A-2)y-22=0, B P六 1-2x+2y=0, 令x=1,解得y-1,=2-是， D C 故平面PAC的-个法向量m=(1,1,2-). …10分 易知平面ABC的一个法向量n2=(0,0,1). …11分 因为平面PAC与平面ABC的夹角的大小为若， 【高二年级10月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 27-L-118B 所以|cos(n1,n2〉|= 2+(2-)x1 2 解得=5,2，或X=-5+2(舍). 2 2 14分 所以平面APC的-个法向量n1=(1,1,-√6)，又AB=(0,2,2), 所以点B到平面PAC的距离d=AB·m=2-2 17分 1 9 19.解：1)将两点(1，号)，(5，号)代人C的方程，得 a京+4=1， 2分 解得 二25放C的方程为号+苦 =1 16=3. 3 分 (2)(i)设M(c1,y),N(x2,y2), 联立，得 消去y并整理，得x2十mx十m2一3=0， 1 y=之x+m, 则△=m2-4(m2-3)>0,所以-2<m<2, 5分 由(1)得F(-1,0),F2(1,0),M=(-1-1,-M),MF=(1-,-y), 因为N,M=是，所以-1十听=是，即+=号 …6分 x1=1,（x0=1, x1=-1,=-1, 与十等=1联立并解得或=号或以=子欧 2, 分别代入l的方程，得m=1,或m=-2(舍)，或m=2(舍)，或m=-1, 故m=1或m=-1. …8分 (i)由(i)得x1十x2=-m,x1x2=m2-3, 所以十%=7n为=婴-是 44 设P(x,y),则Mp=(x一，yy),Np=(x-x2,y-次)，… 10分 因为M亦⊥N2,所以M亦.N市=0，即(x-)(x一2)十(y-M)(y一)=0， 所以x2+y2-(+x2)x-(+y)y十x1x2+y1y2=0, 所以r+y+一婴叶-3+m-是=0， 即(+受)广+(6-婴)-5品d. …12分 即点P在圆r.(e+受)'+（婴）》-m上，o√受+品m=平1m, 所以1oPa=o+V四路m=1ml+平M(-2m<2. …13分 令m=,4m=w则10P1题平+里(0<2,1⅓分 因为2十子=4(0≤u<2),所以点(u,)在四分之一圆弧上运动， 当直线平+平。一=0(0S2)与圆弧+=40≤<2)相切时， 4 t取得最大值，所以一=2，解得=7或t=一7（舍），……16分 /13415 W16F16 所以|OP|mx=√7，即|OP的最大值为/7.… 17分 【高二年级10月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 27-L-118B 2026～2027学年度高二年级10月质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为 A． B． C． D． 2．已知三个空间向量，，不共面，若，则 A．-1 B．1 C．3 D．5 3．两平行线与间的距离为 A． B． C．2 D． 4．已知点在圆外，则实数a的取值范围为 A． B． C． D． 5．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则 A．5 B．2 C．-2 D．-6 6．已知椭圆E：（）的左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，若，则E的离心率为 A． B． C． D． 7．若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，则的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知点，为椭圆（）的左、右焦点，为的上顶点，过点的直线与交于，两点，的短轴长为6．若直线垂直平分线段，则的周长为 A． B．10 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为空间的一个基底，则下列是空间的一个基底的是 A． B． C． D． 10．已知圆，点，，直线，为上一点，则 A．直线的方程为 B．当取得最大值时， C．当取得最小值时， D．当在上且到的距离为的点有3个，则 11．如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，，则下列说法正确的是 A． B．异面直线，所成角的余弦值为 C． D．若，，，四点共面，则点是线段的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则________． 13．已知空间内三点，，，则点到直线的距离为________． 14．圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差．在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴．已知圆与圆，若是圆，的根轴上一点，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在直线的方程为，求的值． 16．（本小题满分15分） 如图，在正四棱锥中，为底面的中心，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 已知圆的圆心为直线与的交点，且圆与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 18．（本小题满分17分） 如图，正方体的棱长为2，点是线段上的点（异于端点），记． （1）当为锐角时，求实数的取值范围； （2）当平面与平面的夹角的大小为时，求点到平面的距离． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆过点和，，为的左、右焦点．直线交于，两点． （1）求的方程； （2）当时， （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若对平面上一点，满足，求（为坐标原点）的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $