微专题02 30°直角三角形的边角转化 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题二30°直角三角形的边角转化培优专题讲与练 一必备知识 本专题讨论含30°的直角三角形及其逆向判定。解题时先确定直角所在的三角形，再认准斜边和 30°角的对边；图中没有合适的直角三角形时，可作高，或把已知长度转移到新构造的直角三角 形中。 130°角所对的直角边等于斜边的一半 在△ABC中，∠ACB=90.若∠BAC=30,则BCAB。 A D 证明 延长BC至D,使CD=CB,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 CB=CD △ACB≌△ACD(SAS)。 所以AB=AD,∠BAC=∠CAD,且BD=2BC. 由∠BAC=∠CAD=30°，得∠BAD=60°。又AB=AD,故△ABD为等边三角形， AB=BD=2BC。 斜边必须是所考察的这个直角三角形中直角的对边；不能凭图的长短选择。 第1页共16页 2由半斜边判定30°角 在R△ABC中，∠ACB=90。若BC=2AB,则∠BAC=30. A 证明 延长BC至D,使CD=CB,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 CB=CD △ACB≌△ACD(SAS)。 所以AB=AD,∠BAC=∠CAD,且BD=2BC。 由BD=2BC=AB和AB=AD,得AB=AD=BD,所以△ABD为等边三角形。 因此∠BAD=60°。又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=30°。 逆向判定也必须已有直角条件。仅有两条边成1：2，不能推出30°；判定的是较短直角边所对的 角。 第2页共16页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D。已知AB=2BD,BD=3,求∠B、 ∠C的度数及CD的长。 B 分析 先在小直角三角形中逆用性质，恢复角度；再回到大直角三角形正向使用性质。两次出现的斜 边不同，30角的顶点也不同。 解 在应△ABD中，直角在D,斜边为AB。由BD号AB,得∠BMD=30。 所以∠B=90°-30°=60°。又∠BAC=90°，故∠C=30。 AB=2BD=6。在Rt△ABC中，AB为30°角所对的直角边，因此BC=2AB=12。 点D在线段BC内部，所以CD=BC-BD=12-3=9。 第3页共16页 三分类讲练 1辨认斜边与逆向求角 本组从已给出的直角或高出发，辨认半长关系究竟属于哪个直角三角形，再求角或证明平行。 垂足位置未确定时，还需把小直角三角形中的锐角还原为原图中的角。 例1在△ABC中，AB=AC=10。点B到直线AC的距离为5，求∠BAC的所有可能值。 B y C 变式1-1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D。已知BD=3CD,求∠B、∠C 的度数。 A B D C 第4页共16页 变式1一2在△ABC中，AB=AC,点B到直线AC的距离等于BC的一半。求∠BAC的度数。 A B 2作高联结两个三角形 本组在一般三角形中作高，借同一条高联结两边的长度或两个角。求线段时须确定垂足内外； 两边一角确定的三角形也可能有不同配置。 例2在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=10。求AB、BC的长。 B C 第5页共16页 变式2-1在△ABC中，∠B=135°，∠C=30°，AC=10。求AB、BC的长。 A C B 例3在△ABC中，∠B=30°，AB=8,AC=5。求BC的所有可能值。 A C 第6页共16页 变式2-2在△ABC中，∠B=30°，AB=8,AC=4。求BC的长及∠ACB的度数。 B 0 3双垂足与线段和差 本组利用等边或等腰三角形提供的特殊角，在不同小直角三角形中建立半长关系，再结合共线 点的次序处理线段和差。 例4如图，等边三角形ABC的边长为6，点P在线段BC内部。PD⊥AB于D,PE⊥AC于E。 求证：AD+AE=9。 A E 第7页共16页 变式3一1等边三角形ABC的边长为6。点P在射线BC上，PD⊥直线AB于D,PE⊥直线AC于 E。若AD+AE=12,求BP的长。 A B C 第8页共16页 变式3-2在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。点P在线段BC内部，PD⊥直线AB于D, PE⊥直线AC于E。求证：PD+PE=BC, 04 E B 4转移长度后判定特殊角 本组的倍长条件最初不在同一个直角三角形中。通过角平分线的等距或三角形全等，把长度移 到适当的斜边与直角边上，再由边长关系判定角度。 例5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。AD平分∠BAC,交BC于D,且BD=2DC。求 ∠A、∠B的度数。 y B D 第9页共16页 变式4-1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至F,AD平分∠FAC,交BC过C的延 长线于D。已知CD=BC,求∠BAC的度数。 A D B C 变式4一2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点D在线段BC内部，DE⊥AB于E,且 AE=AC,BD=2DC。求∠A、∠B的度数。 E B D 第10页共16页 四分层练习 基础巩固 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8。求BC、AC的长。 B C A 2.在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=120°。求BC的长和点A到直线BC的距离。 A 第11页共16页 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,点D在线段BC内部。已知AB=2AD,AC=V2AD,求 ∠BAC的度数。 A B D 方法运用 4.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=8,AC=5。求BC的长。 B 第12页共16页 5.等边三角形ABC的边长为6，AH⊥BC于H。点P在射线AH上，且点P到直线AB的距离为 3。求PH的长。 A H 6.如图，直线AC与BE垂直相交于D,点D分别在线段AC、BE内部。连接AB、CE。已知 AB=2BD,CE=2DE,求证：AB‖CE。 A D 第13页共16页 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120。点P在线段BC内部，AP⊥AB;过P作 PE⊥AC,垂足为E。求证：BP=4PE。 A E B 迁移运用 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。BD⊥直线AC于D,DE⊥BC于E。求 CE:BE。 A E 第14页共16页 五综合提高 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点E在线段BC内部，AE=BE:点D在线段AE内部， 且CE=DE,BD=4DE。求∠CAE+∠DBE的度数。 D 第15页共16页 2.在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=2V19。求∠BAC的度数。 小 y C 第16页共16页专题二30°直角三角形的边角转化培优专题讲与练 一必备知识 本专题讨论含30°的直角三角形及其逆向判定。解题时先确定直角所在的三角形，再认准斜边和 30°角的对边；图中没有合适的直角三角形时，可作高，或把已知长度转移到新构造的直角三角 形中。 130°角所对的直角边等于斜边的一半 在R△ABC中，∠ACB=90.若∠BAC=30,则BC=号AB。 A 证明 延长BC至D,使CD=CB,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 CB=CD △ACB兰△ACD(SAS)。 所以AB=AD,∠BAC=∠CAD,且BD=2BC。 由∠BAC=∠CAD=30°，得∠BAD=60°。又AB=AD,故△ABD为等边三角形， AB=BD=2BC。 斜边必须是所考察的这个直角三角形中直角的对边；不能凭图的长短选择。 第1页共21页 2由半斜边判定30°角 在△ABC中，∠ACB=S0。若BC=AB,则∠BAC=30。 A 证明 延长BC至D,使CD=CB,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 CB=CD △ACB=△ACD(SAS)。 所以AB=AD,∠BAC=∠CAD,且BD=2BC。 由BD=2BC=AB和AB=AD,得AB=AD=BD,所以△ABD为等边三角形。 因此∠BAD=60°。又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=30。 逆向判定也必须已有直角条件。仅有两条边成1：2，不能推出30°，判定的是较短直角边所对的 角。 第2页共21页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D。已知AB=2BD,BD=3,求∠B、 ∠C的度数及CD的长。 A B C 分析 先在小直角三角形中逆用性质，恢复角度；再回到大直角三角形正向使用性质。两次出现的斜 边不同，30°角的顶点也不同。 解 在△ABD中，直角在D,斜边为AB。由BD号AB,得∠BAD=30。 所以∠B=90°-30=60°。又∠BAC=90°，故∠C=30°。 AB=2BD=6。在Rt△ABC中，AB为30°角所对的直角边，因此BC=2AB=12。 点D在线段BC内部，所以CD=BC-BD=12-3=9。 第3页共21页 三分类讲练 1辨认斜边与逆向求角 本组从已给出的直角或高出发，辨认半长关系究竞属于哪个直角三角形，再求角或证明平行。 垂足位置未确定时，还需把小直角三角形中的锐角还原为原图中的角。 例1在△ABC中，AB=AC=10。点B到直线AC的距离为5，求∠BAC的所有可能值。 B H 分析 “到直线的距离”没有指定垂足在线段内部。先求小直角三角形中的锐角，再根据AH与AC同向 或反向还原原顶角。 解答 作BH⊥直线AC于H。由题意，BH=5=1AB。 在Rt△ABH中，∠BAH=30°。 若H在射线AC上，则∠BAC=∠BAH=30°。又在Rt△ABH中，斜边AB>AH,而AB=AC,所 以AH<AC,此时H在线段AC内部。 若H在直线AC上、A的异于C的一侧，则∠BAC=180°-∠BAH=150°。 分别作30°与150°的角，并在两边上截取AB=AC=10,均有点B到直线AC的距离为5，所以两种 情况都能实现。 第4页共21页 变式1-1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D。已知BD=3CD,求∠B、∠C 的度数。 B D 分析 BD:CD=3:1并不是半斜边条件。先用三个直角三角形的勾股关系求出AC=2CD,再反求角。 解答 设CD=x、AD=h,其中x>0、h>0。则BD=3x,BC=4x。 在Rt△ACD、Rt△ABD中，分别有AC2=h2+x2,AB=h2+9x2。 又∠BAC=90°，所以AB+AC2=BC2,即2h2+10x2=16x2,得h2=3x2。 因此AC2=4X2,AC=2X=2CD。在R△ACD中，CD=2AC,故∠CAD=30°，∠C=60。 于是∠B=90°-60=30。 变式1一2在△ABC中，AB=AC,点B到直线AC的距离等于BC的一半。求∠BAC的度数。 B 分析 本题的一半对应BC,不是腰AB。逆定理先给出C处的小角，再用等腰三角形底角必须为锐角排 除补角。 解答 作BH⊥直线AC于H,则BH=号BC。在R△BCH中，∠BCH=30。 由AB=AC,知两个底角相等，且均小于90°。若射线CH与CA反向，则∠BCA=150°，不符合底 角为锐角，所以射线CH与CA同向。 故∠BCA=30°，∠ABC=30°，从而∠BAC=120°。 第5页共21页 2作高联结两个三角形 本组在一般三角形中作高，借同一条高联结两边的长度或两个角。求线段时须确定垂足内外； 两边一角确定的三角形也可能有不同配置。 例2在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=10。求AB、BC的长。 A B H 分析 从A向BC作高，能让同一条AH分别进入含30的直角三角形与等腰直角三角形。最后由垂足在 线段内部确定相加。 解答 作AH⊥BC于H。因为∠B、∠C均为锐角，所以H在线段BC内部。 在△ACH中，∠C=30,所以AH=AC=5.由勾股定理，GH=VAC-AF=53。 在Rt△ABH中，∠B=45°，故BH=AH=5。由勾股定理，AB=5V2。 所以BC=BH+HC=5+5V3。 第6页共21页 变式2-1在△ABC中，∠B=135,∠C=30°，AC=10。求AB、BC的长。 A H C B 分析 作高的方向与内垂足情形一致，但135迫使垂足越过B。必须重新确定点序，再将CH拆成 CB+BH。 解答 作AH⊥直线BC于H。因为∠B=135°，所以H在CB的延长线上，点序为H,B,C,且 ∠ABH=45。 在Rt△ACH中，AH=号AC=5,CH=102-5=53。 在Rt△ABH中，∠ABH=45°，故BH=AH=5,AB=5V2。 因此BC=CH-BH=5V3-5。 第7页共21页 例3在△ABC中，∠B=30°，AB=8,AC=5。求BC的所有可能值。 A B B ------ H C 分析 给定AB和∠B后，高AH已确定。条件AC=5只确定CH=3,并未规定C在垂足的哪一侧；还须 检查两个候选点是否都位于指定射线上。 解答 作AH⊥直线BC于H。由∠B=30,可知H在射线BC上。在Rt△ABH中，AH=号AB=4。 由勾股定理，BH=V82-42=4V3,CH=V5-4=3。 若点序为B,H,C,则BC=BH+HC=4V3+3。 若点序为B,C,H,则BC=BH-HC=4V3-3。因为4V3>3,后一种情况下C仍在射线BH上，且 不同于B。 两种配置均有AC=5、AB=8和∠B=30°，故两种长度都能取得。 变式2-2在△ABC中，∠B=30°，AB=8,AC=4。求BC的长及∠ACB的度数。 B 分析 此时AC恰好等于已确定的高，左右两种端点位置合并到垂足。不能仍列出两个互不相同的三角 形。 解答 作AH⊥直线BC于H。在Rt△ABH中，AH=AB=4。 因为AC=AH=4,而从点A到直线BC的垂线段最短，所以点C只能与垂足H重合。 因此∠ACB=90°，且BC=BH=V82-4=4V3。 第8页共21页 3双垂足与线段和差 本组利用等边或等腰三角形提供的特殊角，在不同小直角三角形中建立半长关系，再结合共线 点的次序处理线段和差。 例4如图，等边三角形ABC的边长为6，点P在线段BC内部。PD⊥AB于D,PE⊥AC于E。求 证：AD+AE=9。 分析 两条垂线分别产生半长关系。把BD与CE换成BP与PC的一半后，利用BP+PC=BC消去动点位 置。 解答 由△ABC为等边三角形，得∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=6。点P在BC内部，故D、E分别在 AB、AC内部。 在△BPD中，∠PBD-60,故∠BPD=30,所以BD=号BP。 同理，在△CPE中，∠CPE=30,所以CE=CP。 AD+AE=(AB-BD)+(AC-CE)=12-(BP+PC)=12-3=9. 第9页共21页 变式3一1等边三角形ABC的边长为6。点P在射线BC上，PD⊥直线AB于D,PE⊥直线AC于 E。若AD+AE=12,求BP的长。 D A B 分析 关键不只在P是否越过C:当BP继续增大到12时，垂足D才越过A,AD的表达式由“整段减去投 影”改为“投影减去整段”。 解答 先排除P=B、P=C,这两种情况下，分别有(AD,AE)=(6,3)或(3,6)，均不满足AD+AE=12。 以下设P≠B,C,记BP=t>0。 由于∠PBD=60,在ABPD中有BD=. 若P在BC内部，则CB=CP=6-t),故AE=6-CE=3+t。若P在BC过C的延长线上，则E 在AC过C的延长线上，CE=L-6),故AE=6+CB=3+。 当0<t≤12时，BD≤BA,点D在线段BA上，故AD=6-t。于是AD+AE=9,不符合题意。这 里t=12时D=A,上述线段等式仍成立。 当t>12时，点序为B,A,D,故AD=t-6。于是AD+AE=t-3=12,解得=15。 取BP=15时，AD-号，AE-号，满足题意，因比BP=15. 第10页共21页 变式3-2在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。点P在线段BC内部，PD⊥直线AB于D, PE⊥直线AC于E。求证：PD+PE=号BC。 2 E B P C 分析 底角由60°变为30°后，等于半条斜边的不再是两腰上的截段，而是两条垂距。垂足是否越过A不 影响本题两条半长关系。 解答 由AB=AC及∠BAC=120°，得∠B=∠C=30°。 P在BC内部，从P向直线AB作垂线，其垂足D在射线BA上。因此∠PBD=30°，在Rt△BPD 中.PD-即。 同理，在R△CPE中，PE=CP. 所以PD+PE=BP+PC=}BC。 第11页共21页 4转移长度后判定特殊角 本组的倍长条件最初不在同一个直角三角形中。通过角平分线的等距或三角形全等，把长度移 到适当的斜边与直角边上，再由边长关系判定角度。 例5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。AD平分∠BAC,交BC于D,且BD=2DC。求∠A、 ∠B的度数。 B 分析 BD和DC虽有倍长关系，却不是同一个现成直角三角形中的斜边与直角边。补出DE后，利用角 平分线把DC转移为DE,才能逆用半斜边性质。 解答 作DE⊥AB于E。在△AED与△ACD中， ∠AED=∠ACD=90 ∠EAD=∠CAD AD-AD △AED=△ACD(AAS)O 所以DE=DC。又BD=2DC,故BD=2DE。 在R△BDE中，DE=BD,所以∠DBE=30。 D在BC上，E在AB上，所以∠B=∠DBE=30°，∠A=60°。 第12页共21页 变式4一1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至F,AD平分∠FAC,交BC过C的延 长线于D。已知CD=BC,求∠BAC的度数。 F E D B 分析 外角平分线仍能提供到两边所在直线的等距。本题的半长关系来自BD=BC+CD,而不是沿用 内角平分线交边时的分段关系。 解答 作DE⊥直线AB于E。因为D在∠FAC的平分线上，所以D到两边所在直线的距离相等，即 DE=DC。 点序为B,C,D,又CD=BC,所以BD=BC+CD=2CD=2DE。 在R△BDE中，DE=BD,故∠DBE=30。 E在射线BA上，且射线BD与BC同向，所以∠ABC=30°。因此∠BAC=60°。 第13页共21页 变式4一2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点D在线段BC内部，DE⊥AB于E,且 AE=AC,BD=2DC。求∠A、∠B的度数。 A B D 分析 题中不再给角平分线。先利用公共斜边AD和给定的直角边等长，用HL判定全等，得到 DE=DC后再转入半斜边判定。 解答 在Rt△AED与Rt△ACD中， ∠AED=ㄥACD=90 AD=AD AE=AC Rt△AED兰Rt△ACD(HL)。 所以DE=DC。由BD=2DC,得BD=2DE。 在Rt△BDE中，DE=BD,故∠DBE=30。 因为D在BC上，E在AB上，所以∠B=30°，∠A=60°。 第14页共21页 四分层练习 基础巩固 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8。求BC、AC的长。 B y 分析 先把60转换为另一个锐角的30°，再认准其对边。 解答 由直角三角形两锐角互余，得∠A=30°。 AB为斜边，BC为30角的对边，所以BC=AB=4。 由勾股定理，AC=√AB2-BC2=√64-16=4V3。 2.在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=120°。求BC的长和点A到直线BC的距离。 A B H C 分析 顶角为120°时，底角为30°，腰的一半是底边上的高，不是半条底边。 解答 作AH1BC于H。由等腰三角形的性质，BH=CH。又∠B=∠C=180,120=30。 在R△ABH中，AH=AB=4。 由勾股定理，BH=VAB-AH=4V3,故BC=2BH=8V3。 所以点A到直线BC的距离为4。 第15页共21页 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,点D在线段BC内部。已知AB=2AD,AC=V2AD,求 ∠BAC的度数。 A B 分析 两条边与同一条高的关系分别对应半斜边和等腰直角三角形，再根据内垂足相加两个角。 解答 在R△ABD中，AD=2AB,所以∠ABD=30,∠BAD=60。 在Rt△ACD中，由勾股定理，CD2=AC2-AD=AD,故CD=AD,所以∠DAC=45°。 D在BC内部，故∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°+45°=105°。 方法运用 4.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=8,AC=5。求BC的长。 A 分析 60°角使半条斜边落在AC所在直线上。先比较投影AD与AC,再确定余段CD。 解答 作BD⊥直线AC于D。由于∠BAC=60°，D在射线AC上，且在Rt△ABD中，∠ABD=30°。 所以AD-AB=4.因为AD=4<5=AC,故D在线段AC内部，CD=AC-AD=1。 由勾股定理，BD2=AB2-AD2=64-16=48,所以BC=VBD2+CD2=V48+1=7。 第16页共21页 5.等边三角形ABC的边长为6，AH⊥BC于H。点P在射线AH上，且点P到直线AB的距离为 3。求PH的长。 分析 高与腰夹30°，把点到腰所在直线的距离转为AP的一半。射线并不限制P在三角形内部，需比较 AP与AH后作差。 解答 作PD⊥直线AB于D。由题意，PD=3。等边三角形的高平分顶角，故∠BAH=30°。 P在射线AH上，所以在Rt△APD中，∠PAD=30°，从而AP=2PD=6。 又BH=2BC=3,由勾股定理，AH=√AB-BF=3V3. 因为6>3V3,所以点序为A,H,P。故PH=AP-AH=6-33。 6.如图，直线AC与BE垂直相交于D,点D分别在线段AC、BE内部。连接AB、CE。已知 AB=2BD,CE=2DE,求证：AB‖CE。 B D E 分析 半长逆定理不仅能求出数值角，也能把两个长度条件转为一组内错角相等，从而判定平行。 解答 在△ABD中，BD=克AB,所以∠BD=30,∠ABD=60。 在R△CED中，DE=CE,所以∠ECD=30,∠CED=60。 因为B,D,E共线，且A、C分居直线BE两侧，∠ABD与∠CED是一组内错角。由 ∠ABD=∠CED,得AB‖CE。 第17页共21页 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。点P在线段BC内部，AP⊥AB;过P作 PE⊥AC,垂足为E。求证：BP=4PE。 分析 第一次半长把BP转为AP,顶角减去直角又产生一个新的30°，第二次半长才得到PE。每一步都 要另认斜边。 解答 由AB=AC及∠BAC=120°，得∠ABC=∠ACB=30。 在R△ABP中，∠ABP=30°，所以AP=号BP。 AP在∠BAC内部，且AP⊥AB,故∠PAC=120°-90°=30°。 在t△APE中，PE=AP,因此BP=2AP=4PE. 第18页共21页 迁移运用 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=I20°。BD⊥直线AC于D,DE⊥BC于E。求 CE:BE。 D B C 分析 先用一腰上的外高求CD,再以CD为新斜边求底边上的投影。最后须核实E确在BC内部，才能 作减法。 解答 由等腰三角形的性质，∠B=∠C=30°。由于顶角为钝角，D在CA过A的延长线上。设 AB=AC=a>0。 在△ABD中.∠BAD=60,故∠ABD-30,从而AD20,CD-C1+D-号0. 在△cD中，BD号BC。由勾股定理，BC2=BC2+02,所以BC=V3a. 由∠DCB-30,知里足r在射线Cn上，故上DCE-30,在△CDr中，ni-CD0.再由 勾股定理，CE=CD2-DE_3 4Q。 由于0<CE<BC,可知E在BC内部，BE=BC-CE= 4 a。故CE:BE=3:1。 第19页共21页 五综合提高 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点E在线段BC内部，AE=BE,点D在线段AE内部，且 CE=DE,BD=4DE。求∠CAE+∠DBE的度数。 A D B H 分析 辅助垂线同时提供两种转移：全等把CE转为EH,使DH成为BD的一半；还把∠CAE转为 ∠EBH,使所求角和恰好合成一个30角。 解答 作BH⊥直线AE于H。因为∠AEC<90°，而EC与EB反向，所以∠AEB>90°。因此H在AE过E 的延长线上，点序为A,D,E,H。 在△ACE与△BHE中， ∠ACE=∠BHE=90 ∠AEC=∠BEH AE=BE △ACE≌△BHE(AAS)。 所以EH=CE,且∠CAE=∠EBH。由CE=DE,得DH=DE+EH=2DE。 又BD=4DE,故DH=号BD。在Rt△BDH中，∠DBH=30。 点E在线段DH内部，所以射线BE位于∠DBH内部。因此 ∠CAE+∠DBE=∠EBH+∠DBE=∠DBH=30。 第20页共21页 2.在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=2V19。求∠BAC的度数。 H C 分析 三边条件未直接给出半长。先借垂足位置和勾股关系确定投影，再逆用半斜边恢复小角，最后 还原钝角。 解答 作BH⊥直线AC于H。因为AH≤AB=4<AC=6,所以H不可能在AC过C的延长线上。 若H=A,则BAC=90°，由原三角形的勾股关系应有BC=AB+AC=52,与BC=76矛盾， 故H≠A。 若H在线段AC内部，设AH=x>0。由勾股定理，BH=16-x2,于是 BC2=BH2+CH2=16-x2+(6-x2=52-12x<52,但已知BC2=76,矛盾。 所以H在CA过A的延长线上。设AH=x>0,则CH=6+X。由勾股定理， 76=BC2=(16-x2)+(6+x2=52+12x,解得x=2。 在R△ABH中，AH=2=号AB,故∠ABH=30,∠BAH=60。 AH与AC反向，所以∠BAC=180°-60°=120°。 第21页共21页专题二30°直角三角形的边角转化培优专题讲与练 一必备知识 本专题讨论含30°的直角三角形及其逆向判定。解题时先确定直角所在的三角形，再认准斜边和 30°角的对边；图中没有合适的直角三角形时，可作高，或把已知长度转移到新构造的直角三角 形中。 130°角所对的直角边等于斜边的一半 在△ABC中，∠ACB=90.若∠BAC=30,则BCAB。 A D 证明 延长BC至D,使CD=CB,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 CB=CD △ACB≌△ACD(SAS)。 所以AB=AD,∠BAC=∠CAD,且BD=2BC. 由∠BAC=∠CAD=30°，得∠BAD=60°。又AB=AD,故△ABD为等边三角形， AB=BD=2BC。 斜边必须是所考察的这个直角三角形中直角的对边；不能凭图的长短选择。 第1页共21页 2由半斜边判定30°角 在R△ABC中，∠ACB=90。若BC=2AB,则∠BAC=30. A 证明 延长BC至D,使CD=CB,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 CB=CD △ACB≌△ACD(SAS)。 所以AB=AD,∠BAC=∠CAD,且BD=2BC。 由BD=2BC=AB和AB=AD,得AB=AD=BD,所以△ABD为等边三角形。 因此∠BAD=60°。又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=30°。 逆向判定也必须已有直角条件。仅有两条边成1：2，不能推出30°；判定的是较短直角边所对的 角。 第2页共21页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D。已知AB=2BD,BD=3,求∠B、 ∠C的度数及CD的长。 B 分析 先在小直角三角形中逆用性质，恢复角度；再回到大直角三角形正向使用性质。两次出现的斜 边不同，30角的顶点也不同。 解 在应△ABD中，直角在D,斜边为AB。由BD号AB,得∠BMD=30。 所以∠B=90°-30°=60°。又∠BAC=90°，故∠C=30。 AB=2BD=6。在Rt△ABC中，AB为30°角所对的直角边，因此BC=2AB=12。 点D在线段BC内部，所以CD=BC-BD=12-3=9。 第3页共21页 三分类讲练 1辨认斜边与逆向求角 本组从已给出的直角或高出发，辨认半长关系究竟属于哪个直角三角形，再求角或证明平行。 垂足位置未确定时，还需把小直角三角形中的锐角还原为原图中的角。 例1在△ABC中，AB=AC=10。点B到直线AC的距离为5，求∠BAC的所有可能值。 分析 “到直线的距离”没有指定垂足在线段内部。先求小直角三角形中的锐角，再根据AH与AC同向 或反向还原原顶角。 解答 作BH⊥直线AC于H。由题意，BH=5=AB。 在Rt△ABH中，∠BAH=30。 若H在射线AC上，则∠BAC=∠BAH=30°。又在Rt△ABH中，斜边AB>AH,而AB=AC,所 以AH<AC,此时H在线段AC内部。 若H在直线AC上、A的异于C的一侧，则∠BAC=180°-∠BAH=150°。 分别作30°与150°的角，并在两边上截取AB=AC=10,均有点B到直线AC的距离为5，所以两种 情况都能实现。 第4页共21页 变式1一1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D。已知BD=3CD,求∠B、∠C 的度数。 A B 分析 BD:CD=3:1并不是半斜边条件。先用三个直角三角形的勾股关系求出AC=2CD,再反求角。 解答 设CD=X、AD=h,其中x>0、h>0。则BD=3x,BC=4x。 在Rt△ACD、Rt△ABD中，分别有AC2=h2+x2,AB2=h2+9x。 又∠BAC=90°，所以AB+AC2=BC2,即2h2+10x2=16x2,得h2=3x2。 因此AC2=4X,AC=2X=2CD。在R△ACD中，CD=2AC,故∠CAD-30,∠C=60。 于是∠B=90°-60°=30°。 变式1一2在△ABC中，AB=AC,点B到直线AC的距离等于BC的一半。求∠BAC的度数。 H B 分析 本题的一半对应BC,不是腰AB。逆定理先给出C处的小角，再用等腰三角形底角必须为锐角 排除补角。 解答 作BHL直线AC于H,则B1=BC.在Rt△BCH中，∠BCH=30。 由AB=AC,知两个底角相等，且均小于90°。若射线CH与CA反向，则∠BCA=150,不符合 底角为锐角，所以射线CH与CA同向。 故∠BCA=30°，∠ABC=30°，从而∠BAC=120°。 第5页共21页 2作高联结两个三角形 本组在一般三角形中作高，借同一条高联结两边的长度或两个角。求线段时须确定垂足内外； 两边一角确定的三角形也可能有不同配置。 例2在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=10。求AB、BC的长。 y B 分析 从A向BC作高，能让同一条AH分别进入含30°的直角三角形与等腰直角三角形。最后由垂足在 线段内部确定相加。 解答 作AH⊥BC于H。因为∠B、∠C均为锐角，所以H在线段BC内部。 在△ACH中，∠C=30,所以AH=2AC=5。由勾股定理，CH=AC2-AH=53。 在Rt△ABH中，∠B=45°，故BH=AH=5。由勾股定理，AB=5V2。 所以BC=BH+HC=5+5V3。, 第6页共21页 变式2-1在△ABC中，∠B=135°，∠C=30°，AC=10。求AB、BC的长。 A H、 B C 分析 作高的方向与内垂足情形一致，但135迫使垂足越过B。必须重新确定点序，再将CH拆成 CB+BH。 解答 作AH⊥直线BC于H。因为∠B=135°，所以H在CB的延长线上，点序为H,B,C,且 ∠ABH=45。 在△ACH中，AH=AC=5,CH=102-5=53. 在Rt△ABH中，∠ABH=45,故BH=AH=5,AB=5V2。 因此BC=CH-BH=5V3-5。 第7页共21页 例3在△ABC中，∠B=30°，AB=8,AC=5。求BC的所有可能值。 A B H B H 分析 给定AB和∠B后，高AH已确定。条件AC=5只确定CH=3,并未规定C在垂足的哪一侧；还须 检查两个候选点是否都位于指定射线上。 解答 作AHL直线BC于H。由∠B=30,可知H在射线BC上。在Rt△ABH中，AH=号AB=4。 由勾股定理，BH=V82-4=43,CH=52-42=3。 若点序为B,H,C,则BC=BH+HC=4V3+3。 若点序为B,C,H,则BC=BH-HC=4V3-3。因为4V3>3,后一种情况下C仍在射线BH上， 且不同于B。 两种配置均有AC=5、AB=8和∠B=30°，故两种长度都能取得。 变式2一2在△ABC中，∠B=30°，AB=8,AC=4。求BC的长及∠ACB的度数。 B 分析 此时AC恰好等于已确定的高，左右两种端点位置合并到垂足。不能仍列出两个互不相同的三角 形。 解答 作AH⊥直线BC于H。在Rt△ABH中，AH=AB=4。 因为AC=AH=4,而从点A到直线BC的垂线段最短，所以点C只能与垂足H重合。 因此∠ACB=90°，且BC=BH=82-42=49V3。 第8页共21页 3双垂足与线段和差 本组利用等边或等腰三角形提供的特殊角，在不同小直角三角形中建立半长关系，再结合共线 点的次序处理线段和差。 例4如图，等边三角形ABC的边长为6，点P在线段BC内部。PD⊥AB于D,PE⊥AC于E。 求证：AD+AE=9。 D B 分析 两条垂线分别产生半长关系。把BD与CE换成BP与PC的一半后，利用BP+PC=BC消去动点位 置。 解答 由△ABC为等边三角形，得∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=6。点P在BC内部，故D、E分别在 AB、AC内部。 在t△BPD中，∠PBD=60,故∠BPD=30,所以BDBP. 同理，在R△CPE中，∠CPE=30,所以CE=CP. AD+AE=(AB-BD)+(AC-CE)=12-(BP+PC)=12-3-9. 第9页共21页 变式3一1等边三角形ABC的边长为6。点P在射线BC上，PD⊥直线AB于D,PE⊥直线AC于 E。若AD+AE=12,求BP的长。 D A B 分析 关键不只在P是否越过C:当BP继续增大到12时，垂足D才越过A,AD的表达式由“整段减去投 影”改为“投影减去整段”。 解答 先排除P=B、P=C:这两种情况下，分别有(AD,AE)=(6,3)或(3,6)，均不满足AD+AE=12。 以下设P≠B,C,记BP=t>0。 由于∠PBD-60,在R△BPD中有BD=t. 若P在BC内部，则CE=CP=号(6-t),故AE=6-CE=3+t。若P在BC过C的延长线上，则E 2 在AC过C的延长线上，CE=t-6),故AE=6+CE=3+t。 当0<t≤12时，BDSPA,点D在线段A上，故AD=6。于是AD+AB=9,不符合题意。这 里t=12时D=A,上述线段等式仍成立。 当>12时，点序为B,A,D,故AD=-6。于是AD+AE=t-3=12,解得=15· 取BP=15时，AD-号A-分，满足题意，因此BP=15. 第10页共21页 变式3-2在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。点P在线段BC内部，PD⊥直线AB于D, PE⊥直线AC于E。求证：PD+PE=DC。 E B C 分析 底角由60°变为30°后，等于半条斜边的不再是两腰上的截段，而是两条垂距。垂足是否越过A不 影响本题两条半长关系。 解答 由AB=AC及∠BAC=120°，得∠B=∠C=30。 P在BC内部，从P向直线AB作垂线，其垂足D在射线BA上。因此∠PBD=30°；在Rt△BPD 中，PD=BP. 同理，在R△CPE中，PE=CP, 所以PD+PE=BP+PC)-BC。 第11页共21页 4转移长度后判定特殊角 本组的倍长条件最初不在同一个直角三角形中。通过角平分线的等距或三角形全等，把长度移 到适当的斜边与直角边上，再由边长关系判定角度。 例5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。AD平分∠BAC,交BC于D,且BD=2DC。求 ∠A、∠B的度数。 B 分析 BD和DC虽有倍长关系，却不是同一个现成直角三角形中的斜边与直角边。补出DE后，利用角 平分线把DC转移为DE,才能逆用半斜边性质。 解答 作DE⊥AB于E。在△AED与△ACD中， ∠AED=∠ACD=90 ∠EAD=∠CAD AD-AD △AED≌△ACD(AAS)。 所以DE=DC。又BD=2DC,故BD=2DE。 在Rt△BDE中，DE=BD,所以∠DBE=30。 D在BC上，E在AB上，所以∠B=∠DBE=30°，∠A=60°。 第12页共21页 变式4一1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至F,AD平分∠FAC,交BC过C的延 长线于D。已知CD=BC,求∠BAC的度数。 F E D B 分析 外角平分线仍能提供到两边所在直线的等距。本题的半长关系来自BD=BC+CD,而不是沿用 内角平分线交边时的分段关系。 解答 作DE⊥直线AB于E。因为D在∠FAC的平分线上，所以D到两边所在直线的距离相等，即 DE=DC。 点序为B,C,D,又CD=BC,所以BD=BC+CD=2CD=2DE。 在△BDE中，DE=号BD,故∠DBE=30。 E在射线BA上，且射线BD与BC同向，所以∠ABC=30°。因此∠BAC=60°。 第13页共21页 变式4一2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点D在线段BC内部，DE⊥AB于E,且 AE=AC,BD=2DC。求∠A、∠B的度数。 A E B D 分析 题中不再给角平分线。先利用公共斜边AD和给定的直角边等长，用HL判定全等，得到 DE=DC后再转入半斜边判定。 解答 在Rt△AED与Rt△ACD中， ∠AED=∠ACD=90 AD=AD AE=AC Rt△AED≌Rt△ACD(HL)。 所以DE=DC。由BD=2DC,得BD=2DE。 在△BDE中，DE=BD,故∠DBE=30。 因为D在BC上，E在AB上，所以∠B=30°，∠A=60°。 第14页共21页 四分层练习 基础巩固 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8。求BC、AC的长。 B y 分析 先把60°转换为另一个锐角的30°，再认准其对边。 解答 由直角三角形两锐角互余，得∠A=30°。 AB为斜边，BC为30角的对边，所以BC=AB=4. 由勾股定理，AC=AB-BC2=V64-16=43。 2.在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=120°。求BC的长和点A到直线BC的距离。 A B H 分析 顶角为120°时，底角为30°，腰的一半是底边上的高，不是半条底边。 解答 作AH1BC于H。由等腰三角形的性质，BH=CH。又∠B=∠C=180,120=30。 2 在△ABH中，AH=AB=4: 由勾股定理，BH=VAB2-AH=43,故BC=2BH=8V3。 所以点A到直线BC的距离为4。 第15页共21页 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,点D在线段BC内部。已知AB=2AD,AC=V2AD,求 ∠BAC的度数。 B 分析 两条边与同一条高的关系分别对应半斜边和等腰直角三角形，再根据内垂足相加两个角。 解答 在Rt△ABD中，AD=号AB,所以∠ABD=30°，∠BAD=60°。 在Rt△ACD中，由勾股定理，CD=AC2-AD=AD,故CD=AD,所以∠DAC=45°。 D在BC内部，故∠BAC=∠BAD+∠DAC=60+45=105。 方法运用 4.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=8,AC=5。求BC的长。 D 分析 60°角使半条斜边落在AC所在直线上。先比较投影AD与AC,再确定余段CD。 解答 作BD⊥直线AC于D。由于∠BAC=60°，D在射线AC上，且在Rt△ABD中，∠ABD=30°。 所以AD号AB=4。因为AD=4<5=AC,故D在线段AC内部，CD=AC-AD=1. 由勾股定理，BD2=AB2-AD2=64-16=48,所以BC=VBD+CD2=V48+1=7。 第16页共21页 5.等边三角形ABC的边长为6，AH⊥BC于H。点P在射线AH上，且点P到直线AB的距离为 3。求PH的长。 分析 高与腰夹30°，把点到腰所在直线的距离转为AP的一半。射线并不限制P在三角形内部，需比较 AP与AH后作差。 解答 作PD⊥直线AB于D。由题意，PD=3。等边三角形的高平分顶角，故∠BAH=30°。 P在射线AH上，所以在Rt△APD中，∠PAD=30,从而AP=2PD=6。 又BH=2BC=3,由勾股定理，AH=AB-BF=33。 因为6>3V3,所以点序为A,H,P。故PH=AP-AH=6-3V3。 6.如图，直线AC与BE垂直相交于D,点D分别在线段AC、BE内部。连接AB、CE。已知 AB=2BD,CE=2DE,求证：AB‖CE。 B D E 分析 半长逆定理不仅能求出数值角，也能把两个长度条件转为一组内错角相等，从而判定平行。 解答 在Rt△ABD中，BD=号AB,所以∠BAD=30°，∠ABD=60°。 在R△CED中，DE=2CE,所以∠ECD=30,∠CED=60。 因为B,D,E共线，且A、C分居直线BE两侧，∠ABD与∠CED是一组内错角。由 ∠ABD=∠CED,得AB‖CE。 第17页共21页 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。点P在线段BC内部，AP⊥AB;过P作 PE⊥AC,垂足为E。求证：BP=4PE。 A B 分析 第一次半长把BP转为AP;顶角减去直角又产生一个新的30°，第二次半长才得到PE。每一步都 要另认斜边。 解答 由AB=AC及∠BAC=120°，得∠ABC=∠ACB=30°。 在Rt△ABP中，∠ABP=30,所以AP=号BP. AP在∠BAC内部，且AP⊥AB,故∠PAC=120°-90=30。 在△APE中，PE=号AP,因此BP=2AP=4PE。 第18页共21页 迁移运用 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。BD⊥直线AC于D,DE⊥BC于E。求 CE:BE。 D B C 分析 先用一腰上的外高求CD,再以CD为新斜边求底边上的投影。最后须核实E确在BC内部，才能 作减法。 解答 由等腰三角形的性质，∠B=∠C=30°。由于顶角为钝角，D在CA过A的延长线上。设 AB=AC=a>0。 在应△ABD中，∠BAD=60,故∠ABD-30,从而AD=0,CD=CA+AD=号0. 在Rt△BCD中，BD=号BC。由勾股定理，BC2=BC2+9a,所以BC=3a. 4 由∠DCB-30,知毫足E在射线CB上，故∠DCE-30,在△CDE中，Dn-CD-子.再 由勾股定理，CE-CD-DE=3 4。 由于0<CE<BC,可知E在BC内部，BE=BC-CE=4Q。故CE:BE=3: 第19页共21页 五综合提高 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点E在线段BC内部，AE=BE:点D在线段AE内部， 且CE=DE,BD=4DE。求∠CAE+∠DBE的度数。 E B H 分析 辅助垂线同时提供两种转移：全等把CE转为EH,使DH成为BD的一半；还把∠CAE转为 ∠EBH,使所求角和恰好合成一个30°角。 解答 作BH⊥直线AE于H。因为∠AEC<90°，而EC与EB反向，所以∠AEB>90°。因此H在AE过E 的延长线上，点序为A,D,E,H。 在△ACE与△BHE中， ∠ACE=∠BHE=90 ∠AEC=∠BEH AE=BE △ACE≌△BHE(AAS)· 所以EH=CE,且∠CAE=∠EBH。由CE=DE,得DH=DE+EH=2DE。 又BD=4DE,故DH=BD。在R△BDH中，∠DBH=-30°。 点E在线段DH内部，所以射线BE位于∠DBH内部。因此 ∠CAE+∠DBE=∠EBH+∠DBE=∠DBH=30。 第20页共21页 2.在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=2V19。求∠BAC的度数。 B A C 分析 三边条件未直接给出半长。先借垂足位置和勾股关系确定投影，再逆用半斜边恢复小角，最后 还原钝角。 解答 作BH⊥直线AC于H。因为AH≤AB=4<AC=6,所以H不可能在AC过C的延长线上。 若H=A,则∠BAC=90°，由原三角形的勾股关系应有BC=AB+AC2=52,与BC2=76矛盾， 故H≠A。 若H在线段AC内部，设AH=x>0。由勾股定理，BH=16-x,于是 BC2=BH+CH2=16-x2+(6-x=52-12x<52;但已知BC2=76,矛盾。 所以H在CA过A的延长线上。设AH=x>0,则CH=6+X。由勾股定理， 76=BC2=(16-x2)+(6+x2=52+12x,解得x=2。 在△ABH中，AH=2=号AB,故∠ABH=30,∠BAH=60。 AH与AC反向，所以∠BAC=180°-60°=120°。 第21页共21页专题二30°直角三角形的边角转化培优专题讲与练 一必备知识 本专题讨论含30°的直角三角形及其逆向判定。解题时先确定直角所在的三角形，再认准斜边和 30°角的对边；图中没有合适的直角三角形时，可作高，或把已知长度转移到新构造的直角三角 形中。 130°角所对的直角边等于斜边的一半 在R△ABC中，∠ACB=90.若∠BAC=30,则BC=号AB。 A 证明 延长BC至D,使CD=CB,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 CB=CD △ACB兰△ACD(SAS)。 所以AB=AD,∠BAC=∠CAD,且BD=2BC。 由∠BAC=∠CAD=30°，得∠BAD=60°。又AB=AD,故△ABD为等边三角形， AB=BD=2BC。 斜边必须是所考察的这个直角三角形中直角的对边；不能凭图的长短选择。 第1页共16页 2由半斜边判定30°角 在△ABC中，∠ACB=90,若C=AB,则∠BAC=30。 A 证明 延长BC至D,使CD=CB,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 CB=CD △ACB=△ACD(SAS)。 所以AB=AD,∠BAC=∠CAD,且BD=2BC。 由BD=2BC=AB和AB=AD,得AB=AD=BD,所以△ABD为等边三角形。 因此∠BAD=60°。又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=30。 逆向判定也必须已有直角条件。仅有两条边成1：2，不能推出30°，判定的是较短直角边所对的 角。 第2页共16页 二典例精讲 例题如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D。已知AB=2BD,BD=3,求∠B、 ∠C的度数及CD的长。 A B D C 分析 先在小直角三角形中逆用性质，恢复角度；再回到大直角三角形正向使用性质。两次出现的斜 边不同，30°角的顶点也不同。 解 在△ABD中，直角在D,斜边为AB。由BD号AB,得∠BAD=30。 所以∠B=90°-30=60°。又∠BAC=90°，故∠C=30°。 AB=2BD=6。在Rt△ABC中，AB为30°角所对的直角边，因此BC=2AB=12。 点D在线段BC内部，所以CD=BC-BD=12-3=9。 第3页共16页 三分类讲练 1辨认斜边与逆向求角 本组从已给出的直角或高出发，辨认半长关系究竞属于哪个直角三角形，再求角或证明平行。 垂足位置未确定时，还需把小直角三角形中的锐角还原为原图中的角。 例1在△ABC中，AB=AC=10。点B到直线AC的距离为5，求∠BAC的所有可能值。 B y C 变式1-1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D。已知BD=3CD,求∠B、∠C 的度数。 A B 0 第4页共16页 变式1一2在△ABC中，AB=AC,点B到直线AC的距离等于BC的一半。求∠BAC的度数。 A C 2作高联结两个三角形 本组在一般三角形中作高，借同一条高联结两边的长度或两个角。求线段时须确定垂足内外； 两边一角确定的三角形也可能有不同配置。 例2在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=10。求AB、BC的长。 y C 第5页共16页 变式2-1在△ABC中，∠B=135,∠C=30°，AC=10。求AB、BC的长。 A B 例3在△ABC中，∠B=30°，AB=8,AC=5。求BC的所有可能值。 A C 第6页共16页 变式2-2在△ABC中，∠B=30°，AB=8,AC=4。求BC的长及∠ACB的度数。 B C 3双垂足与线段和差 本组利用等边或等腰三角形提供的特殊角，在不同小直角三角形中建立半长关系，再结合共线 点的次序处理线段和差。 例4如图，等边三角形ABC的边长为6，点P在线段BC内部。PD⊥AB于D,PE⊥AC于E。求 证：AD+AE=9。 A E 第7页共16页 变式3-1等边三角形ABC的边长为6。点P在射线BC上，PD⊥直线AB于D,PE⊥直线AC于 E。若AD+AE=12,求BP的长。 y B C 第8页共16页 变式3-2在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。点P在线段BC内部，PD⊥直线AB于D, PE⊥直线AC于E。求证：PD+PE=BC。 0A E 4转移长度后判定特殊角 本组的倍长条件最初不在同一个直角三角形中。通过角平分线的等距或三角形全等，把长度移 到适当的斜边与直角边上，再由边长关系判定角度。 例5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。AD平分∠BAC,交BC于D,且BD=2DC。求∠A、 ∠B的度数。 y 第9页共16页 变式4-1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至F,AD平分∠AC,交BC过C的延 长线于D。已知CD=BC,求∠BAC的度数。 F D B C 变式4一2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点D在线段BC内部，DE⊥AB于E,且 AE=AC,BD=2DC。求∠A、∠B的度数。 E B 第10页共16页 四分层练习 基础巩固 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8。求BC、AC的长。 B C A 2.在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=120°。求BC的长和点A到直线BC的距离。 A B C 第11页共16页 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,点D在线段BC内部。已知AB=2AD,AC=V2AD,求 ∠BAC的度数。 A B D 方法运用 4.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=8,AC=5。求BC的长。 B 第12页共16页 5.等边三角形ABC的边长为6，AH⊥BC于H。点P在射线AH上，且点P到直线AB的距离为 3。求PH的长。 A 6,如图，直线AC与BE垂直相交于D,点D分别在线段AC、BE内部。连接AB、CE。已知 AB=2BD,CE=2DE,求证：AB‖CE。 夕 A D 第13页共16页 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。点P在线段BC内部，AP1AB,过P作 PE⊥AC,垂足为E。求证：BP=4PE。 A E B 迁移运用 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。BD⊥直线AC于D,DE⊥BC于E。求 CE:BE。 0 A B C 第14页共16页 五综合提高 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。点E在线段BC内部，AE=BE,点D在线段AE内部，且 CE=DE,BD=4DE。求∠CAE+∠DBE的度数。 A D 第15页共16页 2.在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=2V19。求∠BAC的度数。 C 第16页共16页