第十五章《轴对称》 期中复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章《轴对称》 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 轴对称图形的识别（常考点） 题型9 等边对等角（重点） 题型2 线段垂直平分线的性质与判定（重点） 题型10 根据等角对等边证明与求值（重点） 题型3 命题与逆命题 题型11 含30度角的直角三角形（重点） 题型4 作垂线（尺规作图）（常考点） 题型12 等腰三角形的性质和判定及综合（难点） 题型5 画轴对称图形 题型13 等边三角形性质和判定及综合（难点） 题型6 钟表的镜面对称 题型14 最值问题（难点） 题型7 坐标与图形变化——轴对称（重点） 题型15 折叠问题（难点） 题型8 面积问题(轴对称综合题)（重点） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 轴对称及其性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【针对训练】 【典例精讲】如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练】方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（    ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③ 知识点2 线段的垂直平分线 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 小结：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 【针对训练】 【典例精讲】（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【变式训练】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 知识点3 画轴对称图形 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1) 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(，)关于直线x =m 对称的点为(2m－，)； (2)点(，)关于直线y =n 对称的点为(，2n－)； (3)点(，)关于原点对称的点为(－，－). 3.在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3)连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 【针对训练】 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)写出点，，的坐标：__________，__________，__________； (3)求的面积． 【变式训练】如图，已知． (1)分别画出与关于x轴、y轴对称的图形和； (2)写出和各顶点的坐标； (3)求的面积． 知识点4 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【针对训练】 【典例精讲】如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数． 【变式训练】如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G． （1）求证：△CEG为等腰三角形； （2）求证：． 知识点5 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 文字描述 数学语言 图示 定义法 三条边都相等的三角形 是等边三角形 ∵AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形 等角法 三个角都相等的三角形 是等边三角形 ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 等腰三角形法 有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形 ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形 【针对训练】 【典例精讲】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【变式训练】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 知识点6 含30°角的直角三角形 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何表述：如图，在Rt△ABC中，若∠B=30°，则AC=AB. 【针对训练】 【典例精讲】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝8cm，那么CE＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【变式训练】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，D为BC上一点，连接AD． （1）若CD＝AB，求∠ADC的度数； （2）若点D是BC的中点，AB＝4，求AD的长． 典例精析 题型一 轴对称图形的识别 【典例1】下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二 线段垂直平分线的性质与判定 【典例2】在中，，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且． 求证：； 求证：点在的垂直平分线上； ___________； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则___________； (3)如图，过点的直线，若，，点在内部，且点到三边的距离相等，则点到直线的距离是___________． 题型三 命题与逆命题 【典例3】命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 题型四 作垂线（尺规作图） 【典例4】如图，在中，．    (1)利用尺规，作边的垂直平分线交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中，连接，若，，求的周长． 题型五 画轴对称图形 【典例5】如图，在“”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四幅图不能重复） 题型六 钟表的镜面对称 【典例6】在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将沿y轴正方向平移3个单位得到，画出，并写出点坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (3)用尺规在x轴上找一点P，使（保留作图痕迹）． 题型七 坐标与图形变化——轴对称 【典例7】在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将沿y轴正方向平移3个单位得到，画出，并写出点坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (3)用尺规在x轴上找一点P，使（保留作图痕迹）． 题型八 面积问题(轴对称综合题) 【典例8】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型九 等边对等角（共6小题） 【典例9】如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 题型十 根据等角对等边证明与求值 【典例10】如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 题型十一 含30度角的直角三角形 【典例11】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 题型十二 等腰三角形的性质和判定及综合 【典例12】（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 题型十三 等边三角形性质和判定及综合 66．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 题型十四 最值问题 【典例15】已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． 题型十五 折叠问题 【典例15】数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出： ． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明. 1．古人将对称之美融入书法之中，空间分割均衡与对称是篆书的独特魅力．下列四个选项中的字分别为“盛、京、沈、阳”四字的篆书形式，其中可以看成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知与关于直线l对称，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（   ） A． B． C． D． 5．如图，将沿直线折叠，使点与点重合，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，连接交于点O，得到了如下结论，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．若点关于轴的对称点是，则______________． 8．如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 9．如图，在中，，，点在边上，连接，，若，则的长为________． 10．如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线交于点，交于点，点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 11．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 12．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 13．如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（       ） A． B． C． D． 14．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 15．如图，在中，，垂直平分，是边的中线，若分别交，于点，点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．已知：如图，在和中，，，，连接，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 17．如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 18．如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的度数为____． 19．如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 20．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 21．如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在等腰三角形纸片中，，，D是斜边的中点，E是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点G．已知下列哪条线段的长度可以求出的周长（    ） A． B． C． D． 24．如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A．2025 B．4052 C． D． 25．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且有下列结论：①；②；③；④其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 26．如图，将一块直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．已知，，若，，则的长为_____________． 27．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 28．在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为_____． 29．综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章《轴对称》 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 轴对称图形的识别（常考点） 题型9 等边对等角（重点） 题型2 线段垂直平分线的性质与判定（重点） 题型10 根据等角对等边证明与求值（重点） 题型3 命题与逆命题 题型11 含30度角的直角三角形（重点） 题型4 作垂线（尺规作图）（常考点） 题型12 等腰三角形的性质和判定及综合（难点） 题型5 画轴对称图形 题型13 等边三角形性质和判定及综合（难点） 题型6 钟表的镜面对称 题型14 最值问题（难点） 题型7 坐标与图形变化——轴对称（重点） 题型15 折叠问题（难点） 题型8 面积问题(轴对称综合题)（重点） A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 轴对称及其性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【针对训练】 【典例精讲】如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解答】解：正方形的面积=4×4=16cm2， AC是正方形的对角线， ∴阴影部分的面积==8 cm2； 故选：B． 【变式训练】方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（    ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③ 【答案】B 【解答】解：擦去①和②，②和③，②和④，剩下的图形是轴对称图形； 擦去①和③，剩下的图形不是轴对称图形； 故选：B． 知识点2 线段的垂直平分线 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 小结：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 【针对训练】 【典例精讲】（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）见解析 【解答】（1）证明：∵，， 直线垂直平分； 故答案为，； （2）如图，连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），则为的垂直平分线． 理由如下： ， ， ，， ， ， ， 而， 垂直平分； （3）如图（3），为所作． 【变式训练】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】见解析 【解答】解：如图，点P即为所求． 知识点3 画轴对称图形 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1) 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(，)关于直线x =m 对称的点为(2m－，)； (2)点(，)关于直线y =n 对称的点为(，2n－)； (3)点(，)关于原点对称的点为(－，－). 3.在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3)连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 【针对训练】 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)写出点，，的坐标：__________，__________，__________； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【解答】（1）解：如图，即为所作， （2）解：由图可得，，； （3）解：由图可得：的面积为． 【变式训练】如图，已知． (1)分别画出与关于x轴、y轴对称的图形和； (2)写出和各顶点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)三个顶点坐标分别为；三个顶点坐标分别为 (3)5 【解答】（1）解：作出的图形如下： （2）解：由图知，三个顶点坐标分别为；三个顶点坐标分别为； （3）解：． 知识点4 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【针对训练】 【典例精讲】如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC， ∴∠DAF＝∠CAF， ∵AF∥BC， ∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠ACB＝∠B＝40°， ∴∠BAC＝100°， ∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°， ∵CG平分∠ACE， ∴ACE＝70°， ∵AF∥BC， ∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°． 【变式训练】如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G． （1）求证：△CEG为等腰三角形； （2）求证：． 【答案】见解答 【解答】（1）证明：在△ABC中，CA＝CB， ∴∠B＝∠CAB， ∵EF⊥AB， ∴△BEF和△AGF都是直角三角形， 在Et△BEF中，∠B+∠BEF＝90°， 在Rt△AGF中，∠CAB+∠AGF＝90°， ∴∠BEF＝∠AGF， ∵∠CGE＝∠AGF， ∴∠BEF＝∠CGE， 即∠CEG＝∠CGE， ∴△CEG为等腰三角形； （2）证明：在Rt△AEF中，∠AEF＝90°﹣∠EAF， ∴∠AEF＝90°﹣（∠CAB+∠EAC）， 在△ABD中，∠D＝180°﹣（∠B+∠DAB）， ∵AE平分∠CAD交CD于点E， ∴∠CAD＝2∠EAC， 又∵∠B＝∠CAB， ∴∠B+∠DAB＝∠CAB+∠CAB+∠CAD＝2（∠CAB+∠EAC）， ∴∠D＝180°﹣2（∠CAB+∠EAC）， ∴． 知识点5 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 文字描述 数学语言 图示 定义法 三条边都相等的三角形 是等边三角形 ∵AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形 等角法 三个角都相等的三角形 是等边三角形 ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 等腰三角形法 有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形 ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形 【针对训练】 【典例精讲】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【变式训练】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒 知识点6 含30°角的直角三角形 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何表述：如图，在Rt△ABC中，若∠B=30°，则AC=AB. 【针对训练】 【典例精讲】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝8cm，那么CE＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴EC⊥BC， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB， ∴DE＝CE， ∵∠A＝30°， ∴DEAE＝4cm， ∴CE＝4cm． 故选：A． 【变式训练】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，D为BC上一点，连接AD． （1）若CD＝AB，求∠ADC的度数； （2）若点D是BC的中点，AB＝4，求AD的长． 【答案】（1）75°； （2）2． 【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝30°， ∴AC＝AB， ∵CD＝AB， ∴CD＝AC， ∴∠ADC＝∠DAC75°； （2）∵点D是BC的中点，AC＝AB， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝30°， ∴， 即AD的长为2． 典例精析 题型一 轴对称图形的识别 【典例1】下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 题型二 线段垂直平分线的性质与判定 【典例2】在中，，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且． 求证：； 求证：点在的垂直平分线上； ___________； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则___________； (3)如图，过点的直线，若，，点在内部，且点到三边的距离相等，则点到直线的距离是___________． 【答案】(1)见解析；见解析；； (2)； (3)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练使用各性质定理是解题的关键． （）证出； 由角平分线性质可得出，证明，得到，即可证明点在的垂直平分线上； 由得出，即可得出； （）先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； （）画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； 解：由知， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当点在内部时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点到直线的距离是． 题型三 命题与逆命题 【典例3】命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果，那么， 假 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：如果，那么，假． 题型四 作垂线（尺规作图） 【典例4】如图，在中，．    (1)利用尺规，作边的垂直平分线交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中，连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法． （1）依据线段垂直平分线的作图方法，即可得到边的垂直平分线； （2）依据线段垂直平分线的性质，即可得到，进而得出的周长等于． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；   ； （2）解：垂直平分， ， 的周长为： ． 题型五 画轴对称图形 【典例5】如图，在“”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四幅图不能重复） 【答案】见解析 【知识点】画轴对称图形、设计轴对称图案 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称图形：沿着一直线折叠后，直线两旁的部分完全重合画图即可． 【详解】解：在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影如下图所示：（答案不唯一） 题型六 钟表的镜面对称 【典例6】如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题主要考查了镜面反射的原理与性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒成为解题的关键． 根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：． 故答案为：． 题型七 坐标与图形变化——轴对称 【典例7】在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将沿y轴正方向平移3个单位得到，画出，并写出点坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (3)用尺规在x轴上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)作图见解析，点坐标 (2)作图见解析，点的坐标 (3)见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、画轴对称图形、平移(作图)、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，作线段的垂直平分线，坐标与图形； （1）分别确定沿y轴正方向平移3个单位的对应点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标； （2）分别确定关于y轴对称的对称点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标； （3）作线段的垂直平分线交x轴于P即可. 【详解】（1）解：如图所示，点坐标； （2）解：如图所示，点的坐标； （3）解：如图所示，点P即为所求． ； 题型八 面积问题(轴对称综合题) 【典例8】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)存在，或 【知识点】画轴对称图形、面积问题(轴对称综合题)、坐标系中的对称 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于y轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图所示： 的面积为； （3）存在，理由如下 设点P的坐标为， 由（1）得，， 则以为底边时，高为到轴的距离，即2， ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 所以点P的坐标为或． 题型九 等边对等角 46．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点；③画射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤画射线．射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴（ ）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)；；内错角相等，两直线平行． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、内错角相等两直线平行、等边对等角 【分析】本题考查尺规作图，等边对等角，平行线的判定，解题的关键是正确理解作图过程． （1）根据题意依作法补全图形即可； （2）根据角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，补全证明过程即可． 【详解】（1）解：依作法补全图形如下图： （2）证明： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行． 题型十 根据等角对等边证明与求值 【典例10】如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 【答案】11 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，根据、分别是、的平分线，且，推出可得出，，进而得到，，则可得的周长为，据此即可求得答案． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ，， ∵， ，， ，， ，， ∵，， 的周长为： 故答案为：11． 题型十一 含30度角的直角三角形 【典例11】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 题型十二 等腰三角形的性质和判定及综合 【典例12】（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 【答案】（1），理由见解析（2）；理由见解析（3） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）由，得，由，得，即可证明； （2）延长交于点G，先证明，得，再证明，则； （3）作交于点L，延长交于点H，先证明，得，再证明，则． 【详解】解：（1）与全等；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）与之间的数量关系为；理由如下： 如图②，延长交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图③，作交于点L，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长是． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型十三 等边三角形性质和判定及综合 【典例13】如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，再由，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形，再由圆周角求出，继而确定为等腰直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 是的等边三角形； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：若，则， 则，， ∴， ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ． 综上：当为或或，是等腰三角形． 题型十五 最值问题 【典例15】已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、面积问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可求出a，b的值，得到点A的坐标，从而可判断的形状； （2）由点C是的中点，可得，过点D作轴于点F，根据同角的余角相等可得，又有，，从而证得，因此，，，又，，证得，从而得到，得证； 【详解】（1）∵，，且， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标， ∵轴于点B， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2） ∵，点C是的中点， ∴， 过点D作轴于点F， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴在和中 ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，最短路径问题，三角形的面积，综合运用各个知识，在第（3）题中利用面积求出的长是解题的关键． 题型十六 折叠问题 【典例15】数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出： ． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1）9；（2），证明见解析 【知识点】折叠问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证． 【详解】解：（1）如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）， 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键. 1．古人将对称之美融入书法之中，空间分割均衡与对称是篆书的独特魅力．下列四个选项中的字分别为“盛、京、沈、阳”四字的篆书形式，其中可以看成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形的定义：就是沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形. 【详解】A：“盛”找不到对称轴，对折后两侧无法重合，不是轴对称图形； B：“京”沿中间竖直直线对折后，左右两侧完全重合，是轴对称图形； C：“沈”是左右结构，左右部分不对等，无法对折重合，不是轴对称图形； D：“阳”是左右结构，左右部分不对等，无法对折重合，不是轴对称图形. 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于x轴的对称点是． 故选：C． 3．如图，已知与关于直线l对称，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和为180度求出，再根据轴对称图形的性质可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵与关于直线l对称， ∴， 故选C． 4．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，过点作，垂足为D，根据垂直定义可得，再利用旋转的性质可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为D， ∴， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴栏杆A端升高了， 故选：A． 5．如图，将沿直线折叠，使点与点重合，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质，利用翻折变换的性质得出，进而利用得出即可．根据题意得出是解题关键． 【详解】解：因为将沿直线折叠，使点与点重合， 所以， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 6．如图，四边形中，连接交于点O，得到了如下结论，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定， 先根据线段垂直平分线的判定得直线是线段的垂直平分线，可判断A，B，再根据“边边边”证明全等说明C，不能说明的关系，判断D即可． 【详解】∵， ∴点D在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴． 则A，B正确； ∵， ∴． 可知C正确； 不能确定的关系， 所以D不正确． 故选：D． 7．若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求出的值. 【详解】解：点与点关于轴对称， . 8．如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 9．如图，在中，，，点在边上，连接，，若，则的长为________． 【答案】 【分析】先由三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余求出相关角度，再由所对的直角边是斜边的一半求出，然后得出，进而由等腰三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在中，，，则， 在中，，，则， ， ， ， ， 即， ． 10．如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线交于点，交于点，点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】7 【分析】连接，，由垂直平分线的性质可得，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：连接，， 是线段的垂直平分线，点在线段上， ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，，， ，， ， ， 周长， 周长的最小值为7． 11．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ； (2)9 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和证明，可得，再利用三角形的外角性质即得结论； （2）先利用角的直角三角形的性质求出的长，进而可得的长，再利用（1）的结论即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， ， ， ， 由（1）得， ． 12．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质推出，，，利用外角的性质求出，通过等量代换求出，最后根据三角形的内角和求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ． ， ， ，，， ， ． ， ， ． 13．如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用等边三角形的性质求出，然后利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵经旋转后到达的位置，旋转到， ∴旋转了． 14．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 15．如图，在中，，垂直平分，是边的中线，若分别交，于点，点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是斜边的中线，所以根据直角三角形斜边中线定理，可得到．因为垂直平分，所以，结合上一步结论，可推出，即是等边三角形，进而得到的度数，进而求出的度数，再结合三角形内角和定理求出． 【详解】解：在中，，是的中线， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 在中，． 在中， ， ∴的度数为． 16．已知：如图，在和中，，，，连接，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，证明是解题的关键，并灵活运用全等三角形的性质．由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，即可判断结论①；已知条件无法证明，即可判断结论②；利用周角减去两个直角可得，即可判断结论③；结合全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可判断结论④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； 已知条件无法证明，故结论②错误； ∵， ∴，故结论③正确； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 故选：C． 17．如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线与平行线的性质推出，，然后等量代换求解即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， 的周长 ． 故答案为：14． 18．如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的度数为____． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，由尺规作图可知，垂直平分，则，从而得到，因此． 【详解】解：∵，， ∴， 由尺规作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 【答案】或或． 【分析】分三种情况：当时，再根据等边对等角得，进而求出，然后根据，可得；当时，当时，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 分三种情况：当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以的度数为或或． 20．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 【答案】(1)证明：①，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点H，使，连接，构造等边，再证，推出，可得； （2）连接，作于点M，交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【详解】（1）①略．②略． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ` 21．如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据作图方式得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，继而根据三角形外角的性质得到，通过证明垂直平分，得到，进而根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：如图，连接， 根据作图方式可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再由直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在等腰三角形纸片中，，，D是斜边的中点，E是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点G．已知下列哪条线段的长度可以求出的周长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，于点，于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，所以可得，即可． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，于点，于点，连接，， ，， ， 点是的中点， 平分， ，， 由折叠的性质可得：，，， ，， 平分， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ； 故只需要知道的长即可求出的周长； 故选B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 24．如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A．2025 B．4052 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识．根据为等边三角形得到，根据，求出．同理可得，，……，得到规律即可求出边长为． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 同理可得，，…… ∴ ∴边长为． 故选：D 25．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且有下列结论：①；②；③；④其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】由，，，得，则，所以，可判断①正确；延长交于点Q，由于点M，得，可证明，进而证明≌，则，，，可判断②正确；再证明≌，得，则，所以，由，得，则，可判断③错误；再证明≌，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：、分别是的高和角平分线，平分交于E， ，，， ， ， ， ， 故①正确； 延长交于点Q， 于点M， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，，， 故②正确； 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 是钝角， ， ， ， 故③错误； ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 故④正确 26．如图，将一块直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．已知，，若，，则的长为_____________． 【答案】6 【分析】先根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再根据平移的性质得到，根据求得的长． 【详解】解：在中，，， ， ， 由平移的性质可知，， ． 27．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【分析】令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 令， ∵和关于直线对称， ， ， ，且平分， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ， 当时，，即， 解得：， ； 当时，； 当时，； 综上所述，的度数为：或或． 28．在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】8 【分析】连接，先求出的长，再得出，进而可得当三点共线时，的值最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为12， ∴， 解得， ∵直线垂直平分， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， ∴周长的最小值为． 29．综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $