4.5 相似三角形的性质及其应用（第2课时）2026-2027学年数学浙教版九年级上册

第4章　相似三角形 4.5 相似三角形的性质及其应用（第2课时） 周长比与面积比 数学新教材浙教版　九年级上册 新知探究 放大10倍，面积也是10倍吗？ 背景 在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，边长、周长、角、面积中，哪些被放大10倍？ 试算 直角边3、4的三角形面积为6；把直角边都放大10倍，新面积为600。面积变成100倍。 新知探究 合作学习 任意画两个相似三角形，选择合适的方法探索：（1）两个三角形的周长之比与相似比有什么关系？（2）面积之比与相似比有什么关系？ 答：周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方。 可以画两组直角边为3、4与6、8的三角形，计算验证；一般结论还需要证明。 新知探究 相似三角形周长与面积的性质 性质 相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 符号表达 若相似比为，则，。 新知探究 周长比的证明 对应边同比例 。 求和 。 结论 把三个边长同时乘，它们的和也乘。 新知探究 面积比的证明 对应高的比 作高，由两角判定，故。 面积公式 。 新知探究 对应高线 性质 两个相似三角形的对应高线长之比也等于相似比. 原因 含对应高线的直角三角形，由一对直角和一对原三角形的对应角判定相似。 新知探究 做一做 如图，分别是上的点，于，于。若，求： （1） 。 （2） 与的周长之比。 （3） 与的面积之比。 （1） 答：。 ，小大相似比为；对应高反向之比为。 新知探究 做一做 如图，分别是上的点，于，于。若，求： （1） 。 （2） 与的周长之比。 （3） 与的面积之比。 （2） 答：。 周长之比等于小大三角形的相似比。 新知探究 做一做 如图，分别是上的点，于，于。若，求： （1） 。 （2） 与的周长之比。 （3） 与的面积之比。 （3） 答：。 面积之比为。 例题讲解 例3 图是某市部分街道图，比例尺为。请估计三条道路围成的三角形地块的实际周长和面积。 答：周长约千米，面积约平方千米。 量得图上三边约厘米，周长厘米；底厘米、高厘米，面积平方厘米。 实际周长为厘米，即千米。 实际面积为平方厘米，即平方千米。 例题讲解 例4 如图，在中，，分别交于。若要使与四边形的面积相等，与的比应取多少？ 答：。 ，所以。 ，。 边长比为正，得。 课内练习 练习1 把一个三角形的三边同比例放大，填空。 （1） 如果边长扩大到原来的100倍，周长扩大到原来的____倍，面积扩大到原来的____倍。 （2） 如果周长扩大到原来的100倍，边长扩大到原来的____倍。 （3） 如果面积扩大到原来的100倍，边长扩大到原来的____倍。 （1） 答：。 周长乘，面积乘。 课内练习 练习1 把一个三角形的三边同比例放大，填空。 （1） 如果边长扩大到原来的100倍，周长扩大到原来的____倍，面积扩大到原来的____倍。 （2） 如果周长扩大到原来的100倍，边长扩大到原来的____倍。 （3） 如果面积扩大到原来的100倍，边长扩大到原来的____倍。 （2） 答：。 周长之比等于相似比。 课内练习 练习1 把一个三角形的三边同比例放大，填空。 （1） 如果边长扩大到原来的100倍，周长扩大到原来的____倍，面积扩大到原来的____倍。 （2） 如果周长扩大到原来的100倍，边长扩大到原来的____倍。 （3） 如果面积扩大到原来的100倍，边长扩大到原来的____倍。 （3） 答：。 ，取正数。 课内练习 练习2 如图，在等边三角形中，分别在上，。若厘米，，求的周长与面积。 答：周长厘米，面积平方厘米。 ，所以，小三角形为边长2的等边三角形。 高为，面积。 课堂总结 周长与面积 长度比 对应边、对应高之比为 周长比 面积比 反求相似比 由面积比开算术平方根 针对训练 训练1 相似比为的两个三角形，周长比与面积比分别是多少？ 答：与。 周长用一次比，面积用平方比。 针对训练 训练2 两个相似三角形的面积为，较小三角形周长为20，求较大三角形周长。 答：。 相似比为，周长。 针对训练 训练3 图中，原三角形面积为75，求四边形面积。 A B C D E 答：。 小大边比，小三角形面积；剩余。 针对训练 训练4 在三角形中作平行于底边的线，把三角形分成面积比为的小三角形与四边形。小三角形与原三角形的边长比是多少？ A B C D E 答：。 小三角形占整体的，边长比为。 针对训练 应用1 一块三角形标志按边长比放大，原面积平方厘米，放大后面积是多少？ 答：平方厘米。 。 针对训练 应用2 地图比例尺为，某三角形地块图上面积为平方厘米，实际面积是多少平方千米？ 答：平方千米。 图上1厘米对应实际千米，面积乘，所以。 方法总结 按量选择比例 ① 长度和周长用相似比，面积用相似比的平方。 ② 已知面积比反求边长比时取正平方根。 处理分割面积 ① 先把局部与剩余部分的比换成局部与整体的比。 ② 由面积比求边比后，才确定平行线的位置。 $