4.4 两个三角形相似的判定（第2课时）2026-2027学年数学浙教版九年级上册

第4章　相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定（第2课时） 两边成比例且夹角相等 数学新教材浙教版　九年级上册 新知探究 卡钳的两端为什么能帮助测量内径？ 背景 容器内部难以直接放入直尺，可把卡钳两端张开贴住内壁，量另一端的距离。 观察 卡钳的两杆交于一点，对顶角相等。已知交点两侧杆长的比，能否把端点距离联系起来？ 新知探究 两边成比例，夹角相等 判定定理 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 关键词 夹角必须是所用两条边共同形成的角。不能任取一个相等角。 新知探究 判定定理的证明 已知，。求证。 答：利用平行线构造与一个三角形全等的小三角形。 在上截取，过作交于。 ，，故。 由两边及夹角，，所以原两三角形相似。 新知探究 判定前先把比例式对应到角 比例中的两边 夹着，夹着。 完整条件 两边的比相等与夹角相等，必须同时具备。 例题讲解 例2 如图是用卡钳测量容器内径的示意图。现量得卡钳上两端点的距离为5厘米，。求容器的内径。 答：厘米。 （对顶角），。 ，。 ，得。 例题讲解 例3 已知：如图，点分别在上，且。求证：。 答：。 ，由两边成比例且夹角相等得。 ，所以。 课内练习 练习1 分别判断如图各对三角形是否相似。 （1） （1）与相交于，。 （2） （2），。 （1） 答：相似，。 ，。 （对顶角）。 课内练习 练习1 分别判断如图各对三角形是否相似。 （1） （1）与相交于，。 （2） （2），。 （2） 答：相似，。 ，。 分别是这两边的夹角。 课内练习 练习2 如图，为的边上一点。若要使与相似，可添加什么条件？你有几种不同方法？ 答：例如添加，或，或。 公共角。前两种条件分别使用两角判定。 第三种条件可写成，使用两边及夹角判定。 新知探究 比例式也能用乘积式呈现 等价改写 。 观察夹角 两组三角形的和夹着同一个。 新知探究 用相似反过来证明平行 第一步 先找公共角与两组边比，判定小三角形与大三角形相似。 第二步 利用相似得到对应角相等，再根据同位角或内错角相等证明平行。 A B C D E 课堂总结 边角判定 两边 两组对应边的比相等 夹角 恰是这两条边所夹的角 证明相似 写清对应顺序与所用条件 后续应用 求边长、证角等、证平行 针对训练 训练1 两个三角形的一组夹角均为，夹角两边分别长与，能否判定相似？ 答：能。 ，夹角也相等。 针对训练 训练2 两组三角形的两边分别为与，夹角相等，能否用本课定理判定？ 答：不能。 ，两边不对应成比例。 针对训练 训练3 与中，。若，求。 答：。 ，夹角相等，故相似。 ，。 针对训练 训练4 如图，在上，。证明。 A B C D E 答：。 ，公共角相等，故。 对应角相等，推出平行。 针对训练 训练5 如图，在上，。若，求。 答：。 ，由公共角与两边比例得。 所以对应角相等。 针对训练 训练6 在上，。是否有？ A B C D E 答：有。 ，由两边与夹角可证明小大三角形相似。 针对训练 训练7 只知且，一定能使用两边夹角判定吗？ 答：不能。 两组已知边的夹角是，已知的不是夹角。 针对训练 应用1 卡钳两端张口为厘米，交点到外侧两端与内侧两端的距离比均为，求容器内径。 答：厘米。 对顶角相等，夹角两边之比均为，故相似。 内径厘米。 针对训练 应用2 三角形支架顶点为，在两斜杆上分别从量取全长的得到。连杆长1.2米，底杆长多少米？ A B C D E 答：米。 ，，所以。 方法总结 用边与夹角判相似 ① 把给定乘积式或分段比改写成对应边比例。 ② 明确相等角是两条比例边的夹角。 从相似推出平行 ① 先通过比例和公共角证明小大三角形相似。 ② 再找一对对应角相等，引用平行线判定。 $