3.6 圆内接四边形（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第3章　圆的基本性质 3.6 圆内接四边形（第1课时） 圆内接四边形的对角互补 数学新教材浙教版　九年级上册 新知讲授 圆木怎样锯成方材 情境 把圆柱形原木锯成正方形截面的木材，希望尽可能多保留木料。 问题 最大的正方形应处在什么位置？它的顶点和圆周有什么关系？ 新知讲授 测量两组对角 操作 在圆上依次取A、B、C、D，连结组成四边形。 测量 量出∠A＋∠C与∠B＋∠D，改变顶点位置后再比较。 发现 每一组对角的和都约为180°。 新知讲授 圆的内接四边形 定义 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形（cyclic quadrilateral），这个圆叫做四边形的外接圆（circumscribed circle）。 新知讲授 对角互补 性质 圆内接四边形的对角互补。 表达 ∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°。 新知讲授 为什么两组对角都互补 弧度数 ∠A所对弧BCD与∠C所对弧BAD组成一整圆，度数和360°。 圆周角 两圆周角分别为所对弧的一半，所以和为180°；另一组同理。 做一做 1 已知圆内接四边形有一个内角是50°，求它的对角的度数。 答：130°。 两对角互补，180°－50°＝130°。 做一做 2 若⊙O的内接四边形ABCD满足∠A＝∠C，∠B＝∠D，则四边形ABCD是怎样的特殊平行四边形？ O A B C D 答：矩形。 相等且互补的一组角各为90°。 两组对角均相等，所以四个角都是直角。 例题讲解 例1 已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于D。求证：DB＝DC。 O A B C D E 答：DB＝DC。 ∠DAC＝∠DAE，且同弧所对∠DAC＝∠DBC。 ∠BAD与∠DCB互补，∠BAD与∠DAE也互补，故∠DCB＝∠DAE。 所以∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC。 例题讲解 例2 把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果原木长15m，锯出的木材体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ O A B C D 答：沿内接正方形的四边锯；体积0.675m³。 作两条互相垂直的直径，顺次连接端点得到内接正方形。 截面积cm²＝0.045m²。 体积V＝0.045×15＝0.675m³。 面积先统一成m²，再乘以米制长度。 课内练习 1 AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°。求∠D的大小。 答：130°。 ∠ACB＝90°，所以∠ABC＝50°。 四边形ADCB内接于圆，∠D＋∠ABC＝180°，得∠D＝130°。 课内练习 2 已知圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7。求∠D的大小。 答：120°。 设∠A＝2x、∠B＝3x、∠C＝7x。 2x＋7x＝180°，解得x＝20°；∠D＝180°－60°＝120°。 课内练习 3 任意画一个矩形，再画出它的外接圆。 O A B C D 答：以两条对角线的交点为圆心，以它到顶点的距离为半径画圆。 矩形对角线相等且互相平分，所以交点到四个顶点等距。 所画的圆经过四个顶点。 课堂总结 圆内接四边形 定义 四个顶点在同一个圆上 性质 两组对角分别互补 转角 外角可借同角的补角转换 正方形 垂直直径确定内接正方形 针对训练 练1 圆内接四边形ABCD中，∠A＝68°，求∠C。 答：112°。 ∠C＝180°－68°＝112°。 先配对A与C。 针对训练 练2 圆内接四边形ABCD中，∠A＝82°，∠B＝105°，求∠C、∠D。 答：∠C＝98°，∠D＝75°。 ∠C＝180°－82°；∠D＝180°－105°。 对角互补不是邻角互补。 针对训练 练3 圆内接四边形中，∠A＝2∠C，求∠A、∠C。 答：∠A＝120°，∠C＝60°。 设∠C＝x，则2x＋x＝180°。 把比例条件与互补条件联立。 针对训练 练4 圆内接四边形ABCD中，∠B－∠D＝36°，求∠B、∠D。 答：∠B＝108°，∠D＝72°。 两角和180°，差36°。 ∠B＝(180°＋36°)÷2＝108°。 和差法适用于同一组对角。 针对训练 练5 一个平行四边形的四个顶点在同一圆上，证明它是矩形。 O A B C D 答：它的四个角都是直角，所以是矩形。 平行四边形对角相等，圆内接四边形对角互补。 相等且互补的角各为90°。 把两类图形的性质叠加使用。 针对训练 练6 一个正方形内接于直径为20cm的圆，求正方形面积。 O A B C D 答：200cm²。 对角线为圆的直径20cm。 面积为对角线平方的一半，即cm²。 内接正方形对角线就是直径。 针对训练 练7 直径40cm、长2m的圆木锯成最大正方形截面的方材，求方材体积。 O A B C D 答：0.16m³。 截面积cm²＝0.08m²。 体积0.08×2＝0.16m³。 平方厘米转平方米需除以10000。 针对训练 练8 一块圆形玻璃直径60cm，现裁一块宽36cm的矩形广告牌，使另一边尽可能长。求另一边的长度。 O A B C D 答：48cm。 矩形四顶点在圆上，对角线为60cm。 另一边cm。 矩形的外接圆直径等于对角线。 方法总结 对角方程法 ① 先配出两组对角并写出和为180°。 ② 把倍数、比例或差值条件代入求解。 圆中转角法 ① 利用同弧圆周角与对角互补连接角。 ② 证明等角后，再用等角对等边。 $