3.4 圆心角（第2课时）课件 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第3章　圆的基本性质 3.4 圆心角（第2课时） 圆心角、弧、弦和弦心距的关系 数学新教材浙教版　九年级上册 新知讲授 相等关系能反推吗 已有 同圆或等圆中，相等圆心角对应等弧、等弦、等弦心距。 探索 如果已知弧、弦或弦心距相等，能否反推圆心角相等？ 新知讲授 由等弧到等圆心角 重合 把一条弧绕圆心转到另一条弧的位置，端点随之重合。 结论 两组半径构成的圆心角重合，所以相等。 新知讲授 由等弦到等圆心角 连半径 OA＝OB＝OC＝OD，且AB＝CD。 全等 △AOB与△COD三边分别相等，所以全等，得到∠AOB＝∠COD。 新知讲授 由等弦心距到等弦 构造 OE⊥AB、OF⊥CD。半径OA＝OC，弦心距OE＝OF。 全等 Rt△OEA≌Rt△OFC，得到AE＝CF。再由垂径定理得AB＝CD。 新知讲授 四种量的对应关系 定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 新知讲授 每次对应同一条弦 对应 弦AB、劣弧AB、圆心角∠AOB、弦心距OE构成一组。 限制 弧比较时要选同类弧；不能拿一条优弧与一条劣弧混作对应。 例题讲解 例3 等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA、OB、OC，延长AO，分别交BC于P，交弧BC于D。连结BD、CD。判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并给出证明。 O A B C D P 答：四边形BDCO是菱形。 三条弦AB、BC、CA相等，故三个圆心角均为120°。 ∠BOD＝∠COD＝60°；两三角形均为等边三角形。 所以OB＝BD＝DC＝CO。 例题讲解 例4 已知△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于D、E。求证：弧AD＝弧DE＝弧EB。 O A B C D E 答：弧AD＝弧DE＝弧EB。 连结OD、OE。由∠A＝∠B＝60°及OA＝OD、OB＝OE，得两个等边三角形。 ∠AOD＝∠BOE＝60°，所以∠DOE＝180°－120°＝60°。 由等圆心角所对弧相等得证。 新知讲授 内接等边三角形的半径 构造 连结OB、OC，作OP⊥BC，则BP＝PC，且∠BOC＝120°。 计算 在Rt△BOP中，∠BOP＝60°，得，。 结论 内接等边三角形边长为。 O A B C D P 课内练习 1 求半径为r的圆的内接等边三角形的边长。 O A B C D P 答：。 圆心到一边的垂线把120°圆心角平分成60°。 半弦，边长为其2倍。 课内练习 2 已知：如图，在⊙O中，AB＝CD。求证：AD＝BC。 答：AD＝BC。 AB＝CD，故劣弧AB＝劣弧CD。 两边分别减去公共弧BD，得劣弧AD＝劣弧BC。 由等弧所对弦相等，得AD＝BC。 新知讲授 由条件选择最短的路 给弦 可连接半径，用等弦对应等圆心角。 给弧 先看有无公共弧，作弧的和差。 给距离 作弦心距构造直角三角形，再比较半弦。 O A B H 课堂总结 圆中四量关系 适用范围 同圆或等圆 四量对应 圆心角、弧、弦、弦心距 等量转换 其中一对等，其余对都等 等边三角形 三等分圆，边长为√3r 针对训练 练1 同圆中AB＝CD，∠AOB＝74°，求∠COD。 答：74°。 同圆中等弦所对的圆心角相等。 确认两圆心角对应的就是已知两弦。 针对训练 练2 半径10cm的圆中，两弦心距都为6cm。一条弦AB长多少？另一条弦CD长多少？ O A B H C D 答：AB＝CD＝16cm。 半弦cm。 等弦心距所对弦相等。 等距先推出等弦，再统一计算。 针对训练 练3 圆的半径为4cm，求内接等边三角形的边长。 O A B C 答：cm。 内接等边三角形边长等于。 使用结论时说明是内接等边三角形。 针对训练 练4 圆内接等边三角形边长为cm，求圆的半径。 O A B C 答：9cm。 ，所以r＝9。 边长与半径不是相等关系。 针对训练 练5 同圆中两条弦的弦心距相等，能确定两弦平行吗？ 答：不能。 等弦心距只能推出弦长相等；弦可绕圆心旋转到不同方向。 等长不代表平行。 针对训练 练6 圆盘半径6cm，三个支架端点把圆周三等分。三角支架三边各需多长材料？ O A B C 答：cm。 三个对应圆心角均120°，三弦相等。 内接等边三角形边长cm。 三等分圆周能得到等边三角形。 针对训练 练7 圆形舞台两条直线灯带距中心都是8m，舞台半径为17m。两条灯带各有多长？ O A B H 答：各30m。 等弦心距推出两条灯带等长。 每条长m。 实际线段两端都应在圆周上。 针对训练 练8 圆形板中心O也是内接等边三角形孔的外心。孔边长mm，求板的直径。 O A B C 答：24mm。 由得r＝12mm。 直径2r＝24mm。 最后从半径还原直径。 方法总结 关系转换法 ① 把给定等量转为所需的角、弧、弦或弦心距。 ② 优先用公共弧的加减，保持对应一致。 连半径法 ① 相等半径构成等腰或等边三角形。 ② 结合垂径定理与勾股定理求长度。 $