1.2 空间向量基本定理 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 教学设计

（人教A版选择性必修 第一册）

一、教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，是在学生学习了空间向量的概念、线性运算与数量积运算之后安排的重要内容．空间向量基本定理也叫空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”，证明的思路与步骤也基本相同．定理通过选定一组三个不共面的基向量，把空间中的任意向量表示为这组基底的线性组合，由于这种表示具有唯一确定性，实际上建立了空间向量与三维有序实数组的一一对应．

空间向量基本定理是空间向量与立体几何之间的桥梁，它表明任意空间向量都可以用三个不共面的基向量表示，从而使空间结构变得简单明了．定理中蕴含的重要数学思想——“基”的思想，可以把空间中向量的运算问题转化为基向量的运算问题，为后续用向量方法解决立体几何问题奠定基础．

二、教学目标与核心素养

（一）课程目标

1、了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解，并能用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量；

2、能根据问题背景恰当选择基底表示相关向量，能运用空间向量基本定理解决一些简单的立体几何问题；

3、通过类比平面向量基本定理研究空间向量基本定理，体会由特殊到一般、由低维到高维的思想方法，感悟转化与化归、数形结合等数学思想．

（二）数学学科素养

1.数学抽象：空间向量基本定理、基底、基向量与单位正交基底的概念；

2.逻辑推理：基底恰当性的判断与空间向量表示的唯一性；

3.数学运算：用基底表示空间向量；

4.直观想象：空间向量的正交分解与几何表示．

三、教学重难点

重点：空间向量基本定理的理解及简单应用．

难点：空间向量基本定理的证明思路的发现，基底的恰当选择．

四、教学方法和工具

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用类比探究式教学，精讲多练．

教学工具：多媒体．

五、教学过程

（一）情景导入

提问1：平面向量基本定理的内容是什么？

提问2：在教室中，以墙角为起点，沿两条墙缝作两个不共线的向量，它们能表示天花板上某盏灯的位置所对应的向量吗？

要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察、研探，发现两个不共线的向量只能表示与之共面的向量，从而引发认知冲突：要表示空间中的任意向量，需要几个向量呢？由此导入新课．

（二）预习课本，引入新课

阅读课本第11—14页，思考并完成以下问题

1、空间向量基本定理的内容是什么？

2、什么是基底与基向量？

3、什么是单位正交基底？什么是空间向量的正交分解？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题．

（三）新知探究

1.空间向量基本定理的探究过程

探究：我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论．如图1，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量，设为在所确定的平面上的投影向量，则（三角形法则）．又向量与共线，因此存在唯一的实数z，使得，从而．而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得．从而．