1.1.1 空间向量及其线性运算 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教学目标

（1）认识空间向量的实际背景，理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法，理解零向量、单位向量、相反向量、相等向量与共线向量等相关概念；

（2）能类比平面向量的线性运算，掌握空间向量加法、减法与数乘运算的法则及运算律，并能正确进行空间向量的线性运算；

（3）掌握空间向量共线的充要条件，并能用它判断空间向量的共线关系；

（4）经历“类比—推广”学习空间向量的过程，体会研究几何量的一般方法，发展数学抽象、直观想象与数学运算素养。

教学重难点

教学重点：空间向量的概念与线性运算。

教学难点：空间向量概念的准确把握和空间向量线性运算的熟练运用。

教学准备

PPT课件、多媒体演示

一 问题引入

章前图展示的是一个滑翔伞运动的场景。可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等（如图1）。显然，这些力不在同一个平面内。我们知道，力是既有大小又有方向的量，在数学中，这样的量可以用向量来刻画。

图1  滑翔伞运动中飞行员受到的力

问题1：我们已经用平面向量刻画了同一平面内的力、速度等量，并利用平面向量解决了平面几何中的许多问题。当这些量不在同一个平面内时，已有的平面向量知识还能直接使用吗？

师生活动：学生观察图形、思考并回答问题；教师引导学生发现，平面内的向量只能刻画同一平面内的量，要刻画空间中的力、位移等量，就需要把平面向量推广到空间，从而引出课题——空间向量及其线性运算。

二 创设情境，探究发现

（一）空间向量的相关概念

问题2：请同学们回顾平面向量的概念与表示，类比平面向量完成下表，给出空间向量的概念及表示。

师生活动：学生先独立回忆平面向量的相关概念并完成表格左侧，再通过小组合作类比完成表格右侧部分，教师用多媒体展示结果并完善。

由上表可以发现，空间向量的概念及其表示与平面向量完全一致。空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示。

图2  空间向量用有向线段表示

问题3：空间向量是平面向量的推广，除了上表中的概念，规定零向量与任意向量平行。同时，方向相同且模相等的向量叫做相等向量。任意的两个空间向量之间有什么关系呢？

师生活动：学生讨论后发现，由于任意两个空间向量都可以通过平移移到同一个平面内，所以任意两个空间向量都是共面的。

（二）空间向量的线性运算

引言：数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算。由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此任意两个空间向量的运算都可以转化为平面向量的运算。由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算。

1. 空间向量的加法与减法

（1）加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在空间中任取一点O，作，则以O为起点的合成向量就是a与b的和，记作a＋b。

两向量首尾相接时，连接第一个向量的起点与第二个向量的终点，所得向量就是两向量的和，简称“首尾相接，首尾连”。

（2）加法的平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线所表示的向量就是a与b的和。应用平行四边形法则的前提是两个向量“共起点”。

（3）减法的三角形法则：具有公共起点的两个向量a，b，其差a－b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量，简称“共起点，连终点，方向指向被减向量”。

图3  正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量

探究：如图3，观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量a，b，c，类似平面向量的加法运算，如何计算a＋b＋c？

提示：借助三角形法则或平行四边形法则，先求其中任意两个向量的和，再与第三个向量相加。

2. 空间向量的数乘运算

一般地，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，它的长度与方向规定如下：

（1）λa的长度：；

（2）λa的方向：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa为零向量。

注意：λa仍然是一个向量；实数与向量之间只能进行数乘运算，不能相加减。

3. 线性运算的运算律

空间向量的加、减、数乘运算统称为空间向量的线性运算。空间向量的线性运算满足以下运算律（其中λ，μ是实数）：

（1）交换律：a＋b＝b＋a；

（2）结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；λ(μa)＝(λμ)a；

（3）分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb。

追问：你能类比平面向量运算律的证明方法证明这些运算律吗？证明结合律时与平面向量有什么不同？

师生活动：请学生根据加法与数乘的定义完成交换律、分配律以及数乘结合律的证明，并在课堂上展示、交流。教师引导学生发现：由于任意两个空间向量都可平移到同一平面内，两个向量的运算与平面向量完全一致；而三个向量的加法结合律需要考虑三个向量可能不共面的情形，这是与平面向量的不同之处。