3.6 正多边形（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

3.6 正多边形 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 浙教版九年级上册 教学目标 1.理解正多边形的定义，能说出正多边形需要同时满足各边相等、各内角相等两个条件；知道正多边形外接圆、圆内接正多边形的概念，记住任意正多边形都存在外接圆。 2.能识别正三角形、正方形、正五边形、正六边形等常见正多边形，会判断一个多边形是否为正多边形，初步感知正多边形与圆之间的内在联系。 3.通过认识正多边形及其外接圆，感受几何图形的对称美，提升观察、归纳几何概念的能力，建立正多边形和圆相互关联的几何观念。 教学重点 正多边形的定义及其双重条件； 正多边形与圆的关系，包括外接圆、圆内接正多边形、中心、半径、边心距、中心角等概念。 教学难点 理解“任意正多边形都存在外接圆”及正多边形与圆的内在联系； 运用半径、边心距与边长之半构成的直角三角形模型进行作图与计算，并解决正多边形与圆结合的综合问题。 教材分析 本节教学内容源于浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》第六节《正多边形》。核心内容包括：正多边形的定义及“各边相等、各角相等”的双重条件；正三角形、正方形、正五边形、正六边形等常见正多边形的识别与判断；正多边形的外接圆、圆内接正多边形的概念，以及任意正多边形都存在外接圆；正多边形的中心、半径、边心距、中心角等核心概念；利用垂直平分线找圆心、等分圆周作正 边形的方法；正多边形与圆关系的简单计算与应用。 本节是在学生学习了圆的基本性质后，由生活实例抽象正多边形概念，突出“各边相等、各角相等”缺一不可，并通过菱形、矩形等反例强化概念辨析。教材由正多边形顶点共圆引出外接圆和圆内接正多边形，揭示正多边形与圆的内在联系，再用中心、半径、边心距、中心角刻画其几何结构，中心角为 。作图方法将概念学习与尺规作图结合，体现“找圆心”和“等分圆周”两条路径。其知识价值在于完善圆与多边形的关系认识，发展几何直观、归纳概括、推理和作图能力，为后续圆的计算与综合应用奠基。教学重点是正多边形定义及正多边形与圆的关系，尤其是外接圆、中心、半径、边心距、中心角等核心概念。 学情分析 九年级学生已学习圆的基本性质，掌握弦、弧、圆心角、圆周角、垂径定理等知识，具备三角形内角和、多边形内角和、等腰三角形、勾股定理及基本尺规作图经验；生活中对正三角形、正方形、正六边形等有直观认识。学习本节时，正多边形的定义和常见图形识别相对容易，中心角公式 也较易接受；但学生容易忽略“各边相等、各角相等”需同时满足，对“任意正多边形都有外接圆”的理解需要借助对称性和作图验证。将半径、边心距、边长之半转化为直角三角形模型，并进行综合计算和等分圆周作图，是学习中的主要困难。因此，教学应多借助实物情境、图形辨析和作图操作，帮助学生建立正多边形与圆相互关联的几何观念，突破综合应用难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情境，引入新课】 展示蜂巢、雪花、建筑六边形纹样、足球表面等图片， 提问：这些图案中你看到了哪些多边形？它们的边和角有什么共同特点？为什么蜂巢多用正六边形、足球由正五边形与正六边形拼接？ 【复习回顾】 回顾圆的旋转对称性： 把圆等分并依次连接各分点，会得到怎样的图形？ 由此引出“正多边形”及正多边形与圆的内在联系，明确本节课将学习正多边形的定义、外接圆、中心角和相关作图。 从生活情境激发兴趣，引导学生观察“边等、角等”的共同特征，明确学习方向；通过圆与正多边形的联系，落实识别常见正多边形、感知正多边形与圆关系、感受几何对称美的目标。 探究点1：正多边形的定义与命名 【问题引入】 观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们的边和角分别有什么关系？菱形各边相等，矩形各角相等，它们一定是正多边形吗？ 【师生活动】 教师展示常见正多边形和反例，提问“仅边等可以吗？仅角等可以吗？”； 学生观察、度量、举例辨析；教师归纳定义并板书。 【详细过程】 从生活图形抽象出“各边相等、各角也相等”的共同属性，得到定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 强调两个条件缺一不可：菱形仅各边相等，矩形仅各角相等，均不一定为正多边形。 若正多边形有 条边（， 为整数），称为正 边形，如正三角形、正方形、正五边形、正六边形。 【例题巩固】 【典例1】从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是 ，那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到 ，其中 取 ） 解：设圆半径为 ，正方形边长为 。 由 ，取 ，得 。 最大圆的直径等于正方形边长，故 。 于是 ，。 所以 。 所以正方形的面积比圆的面积约多 %。 通过正例与反例辨析，突破“边等、角等需同时满足”的概念理解难点，培养观察、归纳和抽象能力。 探究点2：正多边形与圆的关系及中心角 【问题引入】 任意正多边形是否都能放在一个圆中，使各顶点在圆上？正多边形的中心、外接圆半径、边心距、中心角分别指什么？ 【师生活动】 教师演示作正多边形外接圆，标出中心 、半径 、边心距 ； 学生观察正多边形与圆的位置关系，计算正三角形、正方形、正六边形的中心角。 【新知导出】 经过正多边形各顶点的圆叫做它的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形。任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心，圆心为正多边形的中心。中心到顶点的距离为外接圆半径 ，中心到边的垂直距离为边心距 。正 边形每一边所对的外接圆圆心角为中心角，中心角 ；正 边形内角为 ，内角与中心角互补。 【例题巩固】 如图是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是？ 解：如图，边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形， ∴∠BAG= =135°, ∠CAG= =120° ∴∠BAC=360°-135°-120°=105°, S阴影部分= = π 通过外接圆、中心角与内角关系的学习，建立正多边形与圆相互关联的几何观念，并用中心角解决扇形面积问题。 探究点3：正六边形中的面积与对角线计算 【问题引入】 正六边形可以分成怎样的特殊三角形？ 已知正六边形半径或边长，如何求面积、对角线长？ 【师生活动】 教师引导连接中心与各顶点，学生发现正六边形可分成 个全等等边三角形； 分组推导正六边形面积公式和隔顶点对角线长。 【详细过程】 正六边形中心角为 ，中心与相邻两顶点构成等边三角形，故正六边形外接圆半径等于边长。 若边长为 ，则每个等边三角形高为 ，正六边形面积 。 【例题巩固】 【典例2】中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔。如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为 的正六边形，则此正六边形的面积是？ 解：设中心为 ，一边为 ，过 作 于 。正六边形中心角 ， 又 ， 故 为等边三角形，边长 ，。 于是 ，。 正六边形由 个这样的三角形组成，故 。 【变式】正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高，用材最少、空间最大、也最为坚固。如图，某蜂巢的房孔是边长为 的正六边形 ，则 的长为？ 解：由正六边形内角公式，，且 。 作 于 ，则 ，，。 在 中，， 所以 。 通过正六边形的等边三角形分割，突破面积与对角线计算难点，培养模型识别和推理计算能力。 探究点4：圆内接正方形及正多边形作图 【问题引入】 正方形内接于圆时，圆心在什么位置？ 如何利用垂直平分线作正多边形的外接圆？ 已知圆，如何作它的内接正 边形？ 【师生活动】 教师演示用垂直平分线确定圆心并画外接圆，演示等分圆周作正六边形； 学生分组用尺规作图，互相检验各边、各角是否相等。 【详细过程】 方法一： 在正多边形中任选两条不平行的边，分别作其垂直平分线，交点即中心 ，也是外接圆圆心；以 到任意顶点的距离为半径画圆。 方法二： 已知圆，作内接正 边形时，先画基础圆，再按中心角 等分圆周（量角器法），或用圆规截取等弧（正六边形可保持半径不变连续截取），最后依次连接各等分点。等分精度决定正多边形规整度。圆内接正方形中，圆心为正方形中心，对角线为圆的直径，弦等可推弧等。 【例题巩固】 【典例3】如图，正方形 内接于 ， 为 上的一点，连接 ，。 （1）若 ，求证： 为 的中点。 （2）若正方形的面积为 ，请直接写出 的半径。 解：（1）因为四边形 是正方形， 所以 ，故 。 又 ，故 。 于是 ，即 ， 所以 为 的中点。 （2）正方形面积为 ，边长为 。 连接 ， 为等腰直角三角形，， 故 ，即 ，。 【变式】如图，正方形 内接于 ， 为 中点，连接 ，。 （1）求证：； （2）连接 、，求 的度数。 解：（1）因为四边形 是正方形， 所以 ，。 因为 为 的中点， 所以 。 于是 ， 故 。 （2）连接 、、。 正方形内接于圆，中心角 。 为 中点， 故 。 所以 。 通过圆内接正方形中的弦、弧、角关系及尺规作图活动，强化“等弦对等弧”等圆的性质，提升作图技能和空间想象能力，落实正多边形与圆相互关联的几何观念。 课堂小结 板书设计 3.6 正多边形 一、定义 各边相等、各角也相等 → 正多边形 正 边形（，整数） 二、正多边形与圆 正多边形 ↔ 外接圆、内切圆 外接圆半径： 内切圆半径（边心距）： 中心：外接圆与内切圆的公共圆心 中心角： 每个内角： 三、作图 1.作两条边的垂直平分线 → 确定圆心 → 作外接圆 2.已知圆： 等分圆周 → 依次连接各分点 四、常用模型 正六边形：中心角 ，可分成6个全等等边三角形 正方形内接于圆：半径、弦心距、边长之半构成直角三角形 弧、弦关系：同圆中弧等 ⇔ 弦等 五、思想方法 数形结合、转化思想、方程思想、分类讨论 随堂练习 1.如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ A ） A. B. C. D. 2.在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征。下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成。已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ D ） A. B. C. D. 3.五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同分子中的微粒像足球一样团结在一起，一个分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）。如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（ B ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 4.如图是个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和触碰装置组成，且，将阀门绕其中心旋转，当正六边形的顶点恰好与重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了（ A ）度。 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 5.如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆。若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是______。 答案： 6.如图，已知正六边形的边长为2cm，是它的外接圆，则阴影部分的面积______。 答案： 教学反思 本课概念理解目标通过定义辨析、生活情境和正多边形识别基本达成，学生能说出“各边相等、各角相等”的双重条件，并初步建立正多边形与外接圆的联系。难点主要在正多边形与圆中核心量的转化，如正六边形面积计算、正方形内接圆中半径与边长的关系，以及弧中点相关证明。部分学生能模仿辅助线，但独立构造直角三角形或利用弧弦关系仍不够熟练。今后教学中应增加动手作图与小组交流时间，先让学生观察图形、标注中心角和半径，再总结“正多边形问题常转化为等腰三角形或直角三角形”。同时可补充变式训练，强化中心角、内角、边心距之间的关联，减少机械套题。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $