3.4.1 圆周角（第1课时）（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

3.4.1 圆周角（第1课时） 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 浙教版九年级上册 教学目标 1.通过画图观察、分类讨论与逻辑推理，经历圆周角定理的探究与证明过程，能准确表述圆周角定理，知道圆心与圆周角存在三种位置关系。 2.掌握圆周角定理的证明思路，会利用“作直径构造基础模型”的方法进行推理，理解圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径，分清定理与推论的条件和结论。 3.能运用圆周角定理及其推论进行角度计算与简单几何证明，会识别直径构造的直角三角形模型，解决圆中基础角度、线段相关问题。 教学重点 圆周角的定义、圆周角定理及其推论的理解与应用。 教学难点 圆周角定理证明中的分类讨论与“作直径构造基础模型”的转化； 推论在综合图形中的灵活应用。 教材分析 本节教学内容源于浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》第四节《圆周角》（第1课时）。核心内容为圆周角定义、圆周角定理及推论：直径所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。 本课时从足球射门情境抽象出顶点在圆上、两边与圆相交的角，形成圆周角概念；再通过测量、观察归纳“同弧所对圆周角相等，圆周角等于同弧所对圆心角的一半”，并以“圆心在角的一边上”为基础模型，借作直径实现分类转化证明定理；最后由定理推出直径与直角的互判关系。圆周角定理揭示圆中角度关系的核心结构，是后续圆内角度计算、相似与三角函数应用的重要基础。教学重点是圆周角定义、圆周角定理及其推论；教学中应突出“观察—猜想—分类—转化—证明—应用”的概念形成逻辑，发展学生的几何直观与推理能力。 学情分析 学生已学习圆的基本概念、半径相等、圆心角、垂径定理，具备等腰三角形性质、三角形外角定理、直角三角形和勾股定理等知识，有观察、测量和简单推理经验。圆周角定义识别和测量猜想相对容易，但定理证明需对圆心与圆周角的位置关系进行完备分类，并通过作直径把复杂情形转化为已证模型，对分类讨论和化归能力要求较高；应用推论时还需准确识别直径与直角关系，避免混淆条件和结论。因此教学中应借助动态图形、问题链和变式练习，帮助学生突破“为何分类、如何转化、怎样应用”的学习难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 情境呈现：足球射门。 假设球门的两个门柱为点和点，禁区边缘是一个圆弧。当球员站在圆弧上的三个不同位置时，虽然站位不同，但对球门的观察视角却有着惊人的规律。 课堂思考：发现几何规律。 01. 角度大小关系：球员在三点对球门的张角大小是否相等？它们之间存在怎样的数量关系？ 02. 几何特征归纳：这些角的顶点都在圆上，且两边都与圆相交，它们有什么共同的几何特征？这揭示了圆的什么重要性质？ 【师生活动】 教师展示足球射门情境，提出问题； 学生观察图形、猜想角度关系，并尝试用圆上点和两边与圆相交的特征描述这些角。 【详细过程】 由“球门—禁区圆弧—不同射门点”的现实情境，抽象出圆上一点与球门两端点所成角的问题； 引导学生发现这些角的共同特征：顶点在圆上，两边都与圆相交； 为定义圆周角作准备。 以足球射门情境激发兴趣，引导学生在现实问题中发现几何规律，明确本节课研究“圆上点对同一弦所成角”的学习方向。 探究点1 圆周角的定义 【问题引入】 由导入中的共同特征，抽象出圆周角概念。 【师生活动】 教师板书定义并强调两个条件； 学生画图辨认，用定义判断角是否为圆周角。 【详细过程】 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 条件①：顶点在圆上，不能落在圆内或圆外； 条件②：两边都与圆相交，即角的两边都是圆的弦。 【例题巩固】 判断圆周角。 （1）（2）（3）（4） 解：（1）是圆周角。理由：角的顶点在圆上，且角的两边都与圆相交，完全符合圆周角的定义特征。 （2）不是圆周角。理由：虽然角的两边与圆相交，但顶点位于圆内而非圆上，不满足圆周角的构成条件。 （3）不是圆周角。理由：并非与圆相交于两个点，不满足“两边都与圆相交”的关键条件。 （4）不是圆周角。理由：角的顶点在圆外，而非圆上，直接违背了圆周角定义中“顶点在圆上”的核心要素。 通过正反例辨析，突出“顶点在圆上、两边都与圆相交”两个核心条件，突破概念理解难点，培养抽象概括能力。 探究点2 圆周角定理的猜想 【问题引入】 在圆中任取弧，在弧所对的圆周上取点，画圆周角，探究同弧所对圆周角之间以及圆周角与圆心角之间的关系。 【师生活动】 学生动手画图、测量； 小组交流数据； 教师引导归纳共同规律。 【详细过程】 （1）测量角度：用量角器测量，记录数据，观察数值特征。 （2）对比圆心角：找到弧所对的圆心角，与圆周角度数对比，寻找倍数关系。 （3）归纳规律：同弧所对的圆周角相等；圆周角的度数恰好等于它所对弧上圆心角度数的一半。 初步猜想：。 经历“画图—测量—对比—归纳”的过程，培养合情推理与数据观察能力，为定理证明提供方向。 探究点3 圆周角定理的证明 【问题引入】 圆周角与圆心的位置关系有几种？如何证明？ 【师生活动】 教师引导分类讨论，学生作图并尝试证明； 教师演示“作直径构造基础模型”的辅助线方法。 【详细过程】 情况一：圆心在圆周角的一边上。 （均为圆的半径）， 为等腰三角形， 。 是的外角， 。 ，即。 情况二：圆心在圆周角的内部。 过点作直径，将拆分为和。 由情况一：，。 两式相加得，即。 情况三：圆心在圆周角的外部。 过点作圆的直径，。 由情况一：，。 。 【新知导出】 定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 【例题巩固】 【典例1】如图，在中，弦垂直于半径，垂足为，是优弧上一点，连接，。 （1）求的度数； （2）若，，求的长。 解：（1）连接。 ，且为的半径， ，。 ， ， 。 （2），， ， 。 【变式】如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上。 （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，若，求的半径。 解：（1）连接。 ∵， ∴， ∴， ∴。 （2）∵，且， ∴， ∴。 ∵， ∴。 设，则。 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）。 即的半径为。 通过分类讨论和“作直径”转化，分散证明难点，渗透转化与化归思想，提升逻辑推理能力。 探究点4 圆周角定理的推论 【问题引入】 由圆周角定理出发，探究直径与直角之间的特殊关系。 【师生活动】 教师引导设直径并计算圆心角； 学生用几何语言表达推论，完成证明。 【详细过程】 推论1：直径所对的圆周角是直角。 设为的直径，则圆心角。 根据圆周角定理，。 几何语言： 是的直径， 。 推论2：的圆周角所对的弦是直径。 已知，根据圆周角定理，其对应圆心角。 平角，说明点三点共线，弦经过圆心，因此是的直径。 几何语言： 在中，， 弦是的直径。 【例题巩固】 【典例2】如图所示，是半圆的直径，垂直于点，，与交于点。 （1）求证：； （2）求证：。 解：（1）是半圆的直径， ， 。 又， ， ， 。 （2）， 。 由（1）得， ， 。 【变式】如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连接，交于点。 （1）求证：； （2）若，，求的面积。 解：（1）∵， ∴。 ∵， ∴， ∴， ∴。 ∵是的直径， ∴， ∴， ∴。 （2）∵， ∴，。 设，则。 在中，， ∴，解得。 ∴。 ∴。 【典例3】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：今有圆形板材（如图所示的），直径为寸，要做成矩形板材，矩形的顶点均在上，使其宽达到寸，则的长是_____寸。 解： 连接。 四边形是矩形， ， 是圆的直径， 。 在直角三角形中，由勾股定理得， 即，解得（寸），负值舍去。 【变式】如图，用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为10cm的圆中，则这根铁丝的长度为_____cm(=1.414，精确到0.1cm) 解：如图所示，连接BD, ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°,AD=AB, ∴BD是正方形ABCD的外接圆的直径， ∴BD=10cm, 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD²+AB²=BD²,2AB²=10², AB=5cm或AB=-5cm(舍去) 这根铁丝的长度为4AB=20≈28.3cm 建立“直径—直角”的双向联系，形成圆中直角三角形模型，发展逻辑推理与几何建模能力。 课堂小结 板书设计 3.4.1 圆周角（第1课时） 一、圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交。 关键词：顶点在圆上；两边与圆相交。 二、圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 符号：∠BAC＝∠BOC。 同弧或等弧所对的圆周角相等。 三、定理证明 1.圆心在圆周角一边上——等腰三角形＋外角定理； 2.圆心在圆周角内部——作直径，拆分后相加； 3.圆心在圆周角外部——作直径，拆分后相减。 核心方法：作直径构造基础模型；分类讨论、转化化归。 四、推论 1.直径所对的圆周角是直角。 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°。 2.90°的圆周角所对的弦是直径。 ∵∠ACB＝90°， ∴AB是⊙O的直径。 五、应用模型 圆中见直径 → 构造直角三角形； 圆中见90°圆周角 → 判断直径为弦。 随堂练习 1.如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点，已知，，则的长为（ A ） A. B. C. D. 2.如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为。若，则的长为（ A ） A. B. C. D. 3.如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（ A ） A. B. C. D. 4.以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么度。 答案：。 5.如图，在给定的圆上依次取点、、、，连结、，，设、交于点。 （1）求证：； （2）若的度数为，，求的度数。 解：（1）∵， ∴， ∴，即， ∴。 （2）∵， ∴。 ∵，且由（1）， ∴， ∴， ∴， ∴。 由（1）知 ∴。 教学反思 本节课围绕圆周角定义、定理证明及两个推论展开。概念理解目标通过“判断圆周角”的即时辨析基本达成，学生能抓住“顶点在圆上、两边与圆相交”两个要素。定理证明中，学生对“作直径构造基础模型”的转化思路接受较好，但圆心在角内、角外的拆分与相加、相减过程仍需借助图形反复对照，个别学生容易混淆角与弧的对应关系。应用环节中，直径构造直角三角形的模型识别较顺，但综合题中从已知角转化到目标角、再结合勾股定理计算的步骤仍需加强引导。后续可增加小组合作画图与说理的时间，让学生先口述三种位置关系的证明框架，再进行变式训练；同时加强对“定理条件与结论”的对比辨析，减少机械套用。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $