3.2.1 圆心角（第1课时）（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

3.2.1 圆心角（第1课时） 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 浙教版九年级上册 教学目标 1.理解圆心角定义，牢记圆心角定理，明确定理适用条件为同圆或等圆，掌握相等圆心角、弧、弦之间的等量关系。 2.认识弦心距概念，能证明“同圆或等圆中，相等圆心角所对弦的弦心距相等”这一推论。 3.综合运用圆心角定理及弦心距推论，完成相关几何证明与线段、弧长等量计算。 教学重点 圆心角定理及弦心距推论的理解与应用。 教学难点 明确定理“同圆或等圆”的适用条件； 在综合问题中灵活实现圆心角、弧、弦、弦心距之间的等量转化。 教材分析 本节教学内容源于浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》第二节《圆心角》（第1课时）。内容包括：圆的旋转不变性、圆心角定义、圆心角定理、的弧、弦心距概念，以及“同圆或等圆中，相等圆心角所对弦的弦心距相等”的推论，并运用这些知识进行证明与计算。 本课从圆的旋转不变性出发，引导学生经历“动手操作—观察发现—归纳定理—推理证明—应用拓展”的过程，形成圆心角概念，理解在同圆或等圆中相等圆心角、弧、弦之间的等量关系，并进一步认识弦心距及其与圆心角的联系。圆心角定理揭示了圆中角、弧、弦之间的内在联系，是研究圆的性质的重要基础，也为后续学习圆周角、弧长、扇形面积等内容作铺垫。教学重点是圆心角定理及弦心距推论，难点是“同圆或等圆”前提条件的辨析和综合证明中的辅助线构造与等量转化。 学情分析 九年级学生已学习圆的基本概念、中心对称与旋转、等腰三角形、全等三角形、垂径定理和勾股定理，具备一定的操作观察、归纳猜想和推理证明能力。本课中圆心角概念和定理的发现较易通过纸片旋转、图形观察获得，但学生容易忽略“同圆或等圆”这一前提，对弧的度数表示、弦心距概念及综合证明中辅助线的构造和等量转化仍存在困难。因此教学中应借助具体操作和变式辨析强化条件意识，通过例题分层示范、证明过程对比和课堂练习反馈，帮助学生突破综合应用难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 生活情境：出示摩天轮、钟面、圆形风扇等图片，提问：这些物体中的圆绕圆心旋转后，为什么能与自身重合？钟面上指针与圆心形成的角有什么共同特征？ 动手操作：请学生拿出圆形纸片，用图钉固定圆心。 活动1：将圆绕圆心旋转，观察旋转后的圆和原来的圆能否完全重合。 归纳：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 活动2：继续将圆绕圆心随意旋转任意小角度，再次观察。 归纳：圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。 设问过渡：利用圆的旋转不变性，可以研究圆中一类特殊的角。 观察教师画图：顶点固定在圆心，两条边与圆相交形成的角，它有什么特征？ 引出定义：顶点在圆心，两条边都与圆周相交的角叫做圆心角，如图。核心两个条件缺一不可：①角的顶点必须是圆的圆心；②角的两条边都是圆的半径。 由生活情境和圆形纸片操作激活已有经验，使学生直观感受圆的旋转不变性；由“旋转重合”抽象出“顶点在圆心的角”，明确学习方向，激发探究兴趣。 探究点1：圆心角的概念 【问题引入】 教师提问：圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，那么圆上一点绕圆心旋转到另一点时，会形成怎样的角？ 出示圆心角图形，引导学生观察：角的顶点在哪里？角的两边与圆有什么关系？ 阶梯追问：①顶点在圆周上的角是圆心角吗？②一边是半径、另一边不是半径的角是圆心角吗？ 【师生活动】 教师演示画，标出顶点和两边； 学生观察、讨论并归纳圆心角特征。 学生完成“做一做”，教师组织互评，强调判断圆心角必须同时满足两个条件。 【详细过程】 现实操作：圆绕圆心旋转，圆上点绕圆心转动。 数学抽象：顶点固定在圆心，两边与圆周相交于，形成。 概念形成：顶点在圆心，两条边都与圆周相交的角叫做圆心角。 判断要点：①顶点在圆心；②两边都是圆的半径，即另外两个端点在圆上。 【例题巩固】 做一做：下图中是圆心角的有哪些？如果不是，请说明理由。 提示1：圆心角的顶点要在圆心。 提示2：圆心角的另外两个端点要在圆上。 解：逐一检查每个角：先看顶点是否为圆心，再看两边是否都为半径。 答案总结：只有同时满足“顶点在圆心”和“两边都是半径”的角才是圆心角；缺少任一条件均不是。 通过观察、操作和辨析，突破圆心角“两个条件缺一不可”的理解难点，培养学生的图形抽象能力和严谨表述能力。 探究点2：圆心角定理及的弧 【问题引入】 教师提问：在中，若，将扇形绕圆心旋转，使与重合，那么与、点与点、点与点会怎样？ 追问：相等的圆心角所对的弧、弦有什么关系？ 进一步设问：把周角等分，每一份圆心角是多少度？它所对的弧叫什么？ 【师生活动】 学生动手旋转扇形模型，观察重合关系； 教师板书“旋转—重合—等量”。 教师作条射线，将周角等分； 学生数形结合理解的弧。 【详细过程】 因为，旋转后与完全重合。 落到，落到，因此弧与弧完全重合，弦与弦完全重合。 【新知导出】 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 核心要点：前提条件是“同圆或等圆”；等量传递为“圆心角相等弧相等弦相等”。 的弧：以圆心为端点作条射线，把周角等分，根据圆心角定理，这些射线也把圆等分。每相邻两条射线所成的圆心角是，圆心角所对的弧叫做的弧；的圆心角所对的弧就是的弧。 【例题巩固】 【典例1】如图，在扇形中，点在上，连接，，若，则的度数是多少？ 解：由，，得，。 所以。 因为， 所以， 所以。 因为，所以。 答案总结：的度数为。 关键思路：利用同圆半径构造等腰三角形，转化角的关系，再由圆心角与弧的度数对应求解。 【变式】如图所示，O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数是多少？ 解：连接OB、OC，如图， ∵OA=OB，OC=OD， ∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°， ∴∠AOB=180°-2×65°=50°，∠COD=180°-2×60°=60°， ∴∠BOC=∠AOD -∠AOB -∠COD=150°-50°-60°=40°，的度数为40°. 通过旋转重合实验抽象出圆心角定理，建立“圆心角—弧—弦”的等量联系；通过弧的引入，把角度与弧的度量统一起来，培养归纳概括和转化能力。 探究点3：弦心距概念及推论 【问题引入】 教师提问：如图，是的弦，过圆心作，垂足为，线段表示什么？ 追问：若，分别是弦的弦心距，那么与有什么关系？ 引导建立关系式：连接半径，得到。 设半径，弦心距，弦长， 由垂径定理，由勾股定理得。 【师生活动】 教师示范过圆心作弦的垂线段，给出弦心距定义； 学生画图识别弦心距。 学生分组讨论：如何由相等圆心角推出弦心距相等？ 教师引导用“圆心角定理+三线合一+全等”证明。 【详细过程】 弦心距定义：圆心到一条弦的垂线段的长度，叫做这条弦的弦心距，如。 已知：在中，，是弦的弦心距，是弦的弦心距。求证：。 证明：因为，所以（圆心角定理）。 因为，， 所以（等腰三角形“三线合一”）。 同理，由，得。 所以。 又因为，可得， 所以。 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。 【例题巩固】 【典例2】已知，在中，，，垂足为，，垂足为。求证：。 解：在和中，，，， 所以。 所以，。 因为，， 所以。 在和中，，，， 所以。 所以。 关键思路：先用SAS证圆心角所在三角形全等，得到弦等和角等，再用AAS证弦心距所在直角三角形全等。 【变式】已知在中，于，于，且。求证：。 解：因为，，所以。 在和中，，， 所以， 所以。 同理可证，。 在与中，，，， 所以。 所以。 关键思路：由HL得角等，再结合同圆半径用ASA证三角形全等，实现弦心距相等到圆心角相等的逆向转化。 【典例3】如图，中，，以为半径的与相交于点。 （1）若，求的度数； （2）若，，求的长。 解：（1）连接。 ∵，， ∴。 ∵， ∴。 ∴， ∴的度数为。 （2）作于。 ∵，，， ∴。 由面积法：，得。 ∴。 由垂径定理得， ∴。 ∴。 【变式】如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，分别交AD、BC于点E、F，延长BA交☉A于点G. (1)求证：= (2)若F为的中点，求∠C的度数. 解：(1)证明：如图，连接AF. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC, ∴∠DAF=∠AFB，∠GAD=∠B. ∵AB=AF， ∴∠B=∠AFB， ∴∠GAD=∠DAF， ∴= (2)解：∵F为的中点， ==，:∠BAF=60° ∵AB=AF, ∠B=∠AFB=(180°-∠BAF)=60° ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD, ∴∠C=180°-∠B=120°. 由弦心距的垂线段模型出发，建立弦心距、半弦、半径之间的勾股关系；通过正、逆两个方向的证明，突出全等三角形和转化思想，发展学生的几何推理与综合运用能力。 课堂小结 板书设计 3.2.1 圆心角（第1课时） 一、圆心角 顶点在圆心，两边与圆相交（两条半径）∠AOB 条件：①顶点在圆心；②两边为半径（缺一不可） 二、圆心角定理 在同圆或等圆中： ∠AOB=∠COD ⇒ 弧AB=弧CD，AB=CD 注意：前提“同圆或等圆” 三、1°的弧 1°圆心角所对的弧叫1°的弧； n°圆心角所对的弧是n°的弧。 四、弦心距 定义：圆心到弦的垂线段长度（OE⊥AB，OE为弦心距） 推论：同圆或等圆中，∠AOB=∠COD，OE⊥AB，OF⊥CD ⇒ OE=OF 证明路径：圆心角等→弦等→半弦等→Rt△全等 逆向拓展：OE=OF ⇒ ∠AOB=∠COD（同圆或等圆） 五、例题要点 连半径构造等腰三角形； 弧的度数=圆心角度数； 综合计算注意勾股定理与面积法。 随堂练习 1.如图，已知为的直径，点为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（ C ） A.　　B.　　C.　　D. 2.如图，、是的直径，，若，则的度数是（ D ） A.　　B.　　C.　　D. 3.如图，是的直径，点、依次在上，连接、、。若，则图中与相等的弧是________。 答案：。 4.有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分。请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：________。 答案：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 5.如图，已知、分别为半径、的中点，为的中点。 （1）求证：； （2）若，，求的面积。 解：（1）证明：连接。 ∵为的中点， ∴。 ∵、分别为半径、的中点，， ∴。 在和中， ∴（SAS）， ∴。 （2）过作于点。 ∵，为的中点， ∴。 在Rt中，，， ∴，。 ∴。 教学反思 本节课围绕圆心角定义、圆心角定理及弦心距推论展开，概念理解目标通过“做一做”正反例辨析基本达成；多数学生能在同圆或等圆中完成“圆心角相等→弧相等→弦相等”的等量转换。难点在于学生易忽略“同圆或等圆”前提，弦心距证明中全等三角形对应关系及辅助线构造仍需引导，逆向拓展的综合书写不够规范。改进方向：增设条件辨析与变式训练，增加小组合作旋转操作和证明说理时间；对弦心距问题采用“先找半弦、再证全等”的支架，强化证明书写；作业分层，关注学困生概念巩固与学优生逆向迁移。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $