2.2 简单随机事件的概率（第1课时）（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

2.2 简单随机事件的概率（第1课时） 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 浙教版九年级上册 教学目标 1.经历抛掷均匀骰子、竞猜摸箱子、抽取扑克牌等可能随机试验，完整感知随机事件发生可能性存在大小差异，具象理解概率的实际含义，精准识别等可能试验的三大核心特征。 2.掌握概率的文字定义、字母符号表示；区分必然事件、随机事件、不可能事件对应的概率取值范围；熟练运用等可能随机事件概率公式 规范书写解题步骤，会利用数轴可视化表达概率取值区间；能使用列表法完整列举两次试验所有等可能结果并统计数量。 3.体验概率知识在生活天气预报、答题竞猜、扑克牌游戏、抽奖活动中的实际应用；培养严谨的数据分析与逻辑推理能力，养成逐字审题、完整列举结果、分数化为最简形式的规范答题习惯。 教学重点 概率的定义与符号表示，三类事件概率取值范围，等可能事件概率公式 的理解与简单应用。 教学难点 等可能试验三大特征的辨析； 多步试验中基础等可能结果的完备枚举与计数； 区分“分类结果”与“基础等可能结果”，避免漏数、重复计数。 教材分析 本节教学内容源于浙教版九年级上册第二章《随机事件的概率》第二节《简单随机事件的概率》第1课时。核心知识点包括：概率的定义与符号表示，必然事件、随机事件、不可能事件的概率取值范围，等可能随机事件概率公式 ，用数轴表示概率取值区间，用列表法完整列举两次试验所有等可能结果并统计数量。 本课时由“可能性大小”的定性比较走向概率的定量刻画。教材以掷骰子、竞猜摸箱、抽扑克牌等试验为载体，引导学生经历“试验情境—等可能判断—结果计数—概率表达”的概念形成过程，归纳概率定义及公式 ，并用数轴呈现三类事件概率取值规律。其知识价值在于：概率是刻画随机现象的重要数学模型，为后续学习频率估计概率、复杂事件概率及统计推断奠基；列表法枚举则发展有序思维与数据分析能力。教学重点为概率的意义、等可能试验三大特征及简单事件概率计算，尤其要让学生理解公式使用前提，准确确定全部等可能结果数 与目标事件结果数 。 学情分析 九年级学生已学习必然事件、不可能事件和随机事件，能定性比较可能性大小，具备分数运算、一元一次方程及多项式等知识，能由摸球、抽牌等熟悉情境归纳概率概念，概念引入较易。但概率是新增的定量刻画随机性的数学量，学生易将“可能性大”与“概率大”简单等同，对公式 的适用前提重视不足。简单摸球抽牌问题中列式较易；在“已知红球概率求黄球个数”等问题中，需要设未知数、列方程建模，对等量关系理解要求较高。两次掷骰子、不放回抽奖等多步试验需列表枚举，学生易漏数、重复计数，或把“点数和有11类”误认为11种等可能结果。因此教学难点为等可能试验特征辨析及多步试验基础结果的完备枚举与计数。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾】 有些事情我们事先肯定它一定会发生，这些事件称为必然事件； 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件； 一件事情我们事先无法肯定它会不会发生，这样的事件称为不确定事件，也称为随机事件。 发生可能性大小可以比较：一定会发生，可能性最大；一定不会发生，可能性最小；总情况数目相同情况下，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；若包含的情况相同，那么它们的可能性就相等。 【练一练】 1、一个不透明的盒子中装有1个红球和2个白球，它们除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ C ） A．摸到白球是必然事件 B．摸到白球和红球的可能性相等 C．摸到黑球是不可能事件 D．摸到红球的可能性是 2、袋子里有8个红球，个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能是（ D ） A．1 B．3 C．5 D．10 3下列说法正确的是（ B ） A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上 B．从1、2、3、4、5中随机抽取一个数，抽出奇数的可能性较大 C．某彩票的中奖率为35%，说明买100张彩票，有35张获奖 D．打开电视，中央一台一定在播放新闻联播 4、桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃。从中随机抽取1张。 （1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？ （2）你认为抽到哪种花色的可能性大？ （3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？ 解：（1）事先不能确定； （2）因为5张牌里面黑桃有3张，所以抽到黑桃的可能性大； （3）可以。方法1：去掉一张黑桃，这样黑桃和红桃张数都是2张，可能性相同； 方法2：增加一张红桃，这样黑桃和红桃张数都是3张，可能性相同。 【创设情景，引入新课】 随机抛掷一枚均匀的骰子，结果朝上一面的点数为3的可能性是多少？朝上一面的点数为6呢？朝上一面的点数为3的倍数呢？ 均匀骰子抛掷后，朝上点数只会出现1、2、3、4、5、6，共6种机会完全均等的结果，每种结果出现的可能性一样大。 有没有统一的数值来描述可能性，定量描述问题中其他随机事件发生可能性的大小？今天我们学习用来量化可能性的数学量——概率。 【师生活动】 教师提问事件类型与可能性大小，学生口答练一练； 教师演示骰子并追问“能否用数刻画可能性”， 学生观察、比较并产生学习需求。 通过复习事件类型与可能性比较，激活旧知；借助摸球、抽牌、骰子等生活化随机试验，引发“如何定量描述可能性”的思考，明确学习方向，激发兴趣。 探究点1 概率的定义与符号表示 【问题引入】 随机抛掷一枚均匀的骰子，结果朝上一面的点数为3的可能性是多少？朝上一面的点数为3的倍数的可能性是多少？ 【师生活动】 教师演示均匀骰子，提问“向上一面点数有几种可能？每种点数出现可能性是否相同？”；学生观察、口答，并尝试用分数刻画事件发生的可能性。 【详细过程】 掷一枚骰子，向上一面的点数有6种可能，即1，2，3，4，5，6。因为骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所以每种点数出现的可能性相同。 事件“朝上一面的点数为3”是结果6种情况里的一种，其可能性可用数值来刻画，“”称为事件“朝上一面的点数为3”的概率。 事件“朝上一面的点数为3的倍数”的结果有两种，即3，6，是结果6种情况里的2种，其可能性可用数值来刻画，“”称为事件“朝上一面的点数为3的倍数”的概率。 在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用表示，事件A发生的概率记为。用数值刻画概率：事件所包含的各种可能的结果个数在全部可能的结果总数中所占的比，表示事件发生的概率。随机抛掷一枚均匀的硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，记正面朝上的事件为A，反面朝上的事件为B。 两种结果总数量，正面朝上仅占1种结果，记作；同理。 【例题巩固】 随机抛掷一枚均匀的骰子，结果朝上一面的点数为3的概率是多少？朝上一面的点数为6呢？朝上一面的点数为3的倍数呢？ 解：抛掷均匀骰子，总等可能结果，点数集合。 事件1“朝上一面的点数为3”包含结果仅数字3，，； 事件2“朝上一面的点数为6”包含结果仅数字6，，； 事件3“朝上一面的点数为3的倍数”符合条件点数3、6，共2种，，。 答：，，。 通过骰子、硬币等等可能试验，使学生经历“具体结果→分数刻画→概率定义”的抽象过程，突破“概率是可能性大小的数值刻画”这一理解难点，培养抽象概括能力。 探究点2 概率计算公式与取值规律 【问题引入】 有一项答题竞猜活动，在6个完全相同的箱子中，有且只有一个箱子里藏有礼物。规则：（1）参与选手将回答5道题目，每答对一道题，主持人就从剩下的箱子中去掉一个空箱子；（2）如果答错，即取消后面的答题资格，选手从剩下的箱子中随机选取一个箱子。试一试，求出下列事件发生的概率。 （1）事件A：答对全部 5 道题的选手，选中藏有礼物的箱子； （2）事件B：连续答对 4 道题的选手，选中藏有礼物的箱子； （3）事件C：连续答对 3 道题的选手，选中藏有礼物的箱子。 （4）答对题目数量越多，选中礼物的概率如何变化？ （5）猜想随机事件发生的概率在什么范围内？ （6）你能在数轴表示出P(A)、P(B)、P(C)概率吗？ 【师生活动】 教师引导学生逐题分析“剩余箱子数”和“藏礼物箱数”，学生分组讨论事件A、B、C的结果数，并口答概率； 教师追问“答对题目数量越多，概率如何变化”，学生归纳取值规律。 【详细过程】 （1）事件A：答对全部5道题的选手，选中藏有礼物的箱子。选手答对全部5道题，拿走5个空箱，只剩下1个藏有礼物的箱子，他选中藏有礼物的箱子的可能性是百分之百，事件A一定会发生，属于确定事件，=1。 （2）事件B：连续答对4道题的选手，选中藏有礼物的箱子。还剩下2个箱子，即事件B发生所有可能的结果数为2，其中只有一个箱子中藏有礼物，即藏有礼物的结果数为1。选中藏有礼物的箱子是个随机事件，由于选手不知道礼物藏在哪一个箱子里，每一个箱子被选取的可能性大小相等，各占，所以。 （3）事件C：连续答对3道题的选手，选中藏有礼物的箱子。还剩下3个箱子，其中只有一个箱子中藏有礼物。每个箱子被选取的可能性大小都相等，各占，所以。（4）答对题目数量越多，剩余总箱子数越小，符合条件的结果数恒为1，选中礼物的概率越来越大。 （5）随机事件发生的概率范围：。 （6）在数轴上，0表示不可能事件，1表示必然事件，随机事件概率位于0与1之间；，，。 【知识归纳】 必然事件发生的概率为100%，1； 不可能事件发生的概率为0，； 随机事件发生的概率介于0与1之间，。 用数轴上的0表示不可能事件，1表示必然事件，随机事件发生的可能性的大小在0—1之间表示。 【例题巩固】 小明说：“明天百分之百是晴天。”在小明看来，明天是晴天的概率是多少？如果小明的判断是正确的，那么明天下雨的概率是多少？ 解：“百分之百是晴天”代表明天晴天是必然事件，因此； 若判断正确，则明天一定不下雨，下雨是不可能事件，因此。 通过“答题竞猜、减少箱子”的动态情境，让学生体会概率随结果总数变化而变化，直观建立三类事件概率取值规律，并用数轴可视化，培养数形结合思想。 探究点3 等可能随机事件通用概率公式 【问题引入，新知导出】 一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的（）种结果，那么事件A发生的概率为。 （1）为什么随机事件的概率只能在 0 和 1 之间，不能等于 0 或者 1？ （2）公式规定m⩽n，m能否大于n？m=0、m=n分别对应哪类事件？ 【师生活动】 教师引导学生观察骰子、硬币、摸箱子中的共同特征，提问“公式使用需要满足什么条件”； 学生分组讨论，归纳“有限个结果、等可能性、互相排斥”三大前提，并解释及、对应的特殊事件。 【详细过程】 数学上把具备元素有限且出现可能性相等的数学模型称为古典概型。 注意满足公式使用的三大前提： ①有限个结果：试验结束后只会出现有限种情况； ②等可能性：每种结果出现机会完全相同； ③互相排斥：一次试验只会出现其中一种结果，不会同时出现两种。 【详细过程】 （1）随机事件的概率只能在0和1之间，不能等于0或者1，因为等于0代表事件一定不发生，属于不可能事件；等于1代表事件一定发生，属于必然事件，二者都不属于随机事件。 （2）公式规定，不能大于；是事件包含的结果数量，不可能超过全部试验结果总数；：事件不含任何结果，属于不可能事件，；：事件包含全部结果，属于必然事件，。 【例题巩固】 求下列事件发生的概率。 （1）事件A：从一副扑克牌中任抽1张牌，抽出的这张牌是红桃A。 （2）事件B：先从一副扑克牌中去掉2张王牌，然后任抽1张牌，抽出的这张牌是红桃。 解：（1）一副扑克牌共有54张牌，从中任抽1张牌，所有可能性相等的结果总数。抽到红桃A只有1种可能，也就是，所以事件A发生的概率。 （2）去掉2张王牌后，一副扑克牌还剩下52张牌，从中任抽1张牌，所有可能性相等的结果总数。因为红桃花色的牌有13张，则事件B包含其中的结果数，所以。 答案总结：，。 通过扑克牌抽牌例题，规范“先定、再定、后算、结果约分”的书写步骤，突出公式三大前提，培养学生严谨审题与规范表达的能力。 探究点4 等可能性随机试验设计与列表法 【问题引入，新知导出】 随机抛掷一枚均匀的骰子两次，结果两次朝上面的点数之和为2～12之间的整数，这11个事件是互相排斥的。 有的同学认为：随机抛掷一枚均匀的骰子两次，朝上面的点数之和为5和9的概率都是。（1）你同意这个说法吗？为什么？ （2）你能通过做试验来检验你的想法吗？ （3）你还能找到概率相同的事件吗？ 【师生活动】 教师引导学生先判断“11类点数和是否等可能”，再组织学生用列表法完整列举两次骰子的36种基础结果； 学生分组统计和为5、和为9的结果数，列式验证，并尝试寻找其他概率相同的事件。 【详细过程】 （1）不同意该说法。两次抛掷骰子总等可能基础结果共种，点数和2～12共11类，但每一类点数和包含的基础等可能结果数量不相等，不能直接用计算概率。列表如下： 结论：点数和为5的组合：、、、，共4种，点数和为9的组合：、、、，共4种，；二者概率相等，但数值不是，因此同学说法错误。 （2）试验检验方法：重复大量次数抛掷两枚骰子，记录每一次点数之和，分别统计和为5、和为9出现的次数，计算对应频率；随着试验次数不断增多，两类事件的频率都会稳定在附近，验证计算结果。 （3）还能找到概率相同的事件：和为2与和为12，各1种组合，概率相等； 和为3与和为11，各2种组合，概率相等； 和为4与和为10，各3种组合，概率相等； 和为5与和为9，各4种组合，概率相等； 和为6与和为8，各5种组合，概率相等。 通过“两次骰子点数和”的辨析与列表枚举，突破“分类结果不等同于基础等可能结果”的易错点，让学生掌握列表法完整列举、准确统计与的方法，培养数据分析与逻辑推理能力。 课堂小结 板书设计 2.2 简单随机事件的概率（第1课时） 一、事件类型与概率范围 必然事件： 不可能事件： 随机事件： 数轴：——随机事件—— 二、概率定义 事件 发生的可能性大小，记作 。 三、等可能事件概率公式 前提：①结果有限；②可能性相等；③互相排斥。 ：全部等可能结果数；：事件 包含的结果数。 四、例题要点 红桃 A： 去掉王牌后抽红桃： 五、列表法 两次骰子点数和： 种基础结果。 和为 5：4 种，； 和为 9：4 种，。 六、规范书写 审清限制条件→确定 →代入公式→分数约成最简。 随堂练习 【新知巩固1】有这样一道选择题：大熊猫一只前掌趾的根数是（　　）。 三个选项中有且只有一个正确。如果你不知道熊猫前掌趾的根数，任选一个选项，那么你答对这道题的概率是多少？如果你知道熊猫前掌趾的根数呢？ 解：不知道答案时：总等可能选项，正确选项仅个，，所以； 知道正确答案时：一定会选出正确选项，答对为必然事件，所以． 答案：不知道时；知道时． 【拓展提升1】在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黄三种颜色的球．其中红球个，白球个，黄球若干个． （1）若黄球有个，则从中任意摸出一个球是黄球的概率是__________； （2）若任意摸出一个球是红球的概率为，求黄球的个数． 解：（1）从中任意摸出一个球是黄球的概率是 . （2）设黄球有个，则 解得，经检验：是原方程的解． 【拓展提升2】在用模拟试验估计名同学中有两个同学是同一天生日的概率中，将小球每次搅匀的目的是__________． 解：每次模拟试验后将小球搅匀，是为了使每个球出现的机会均等． 答案：使每个球出现的机会均等． 【拓展提升3】一个不透明的袋子中仅有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（　A　） A．　　B．　　C．　　D． 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸出的球是白球的结果有种， 所以摸出的球是白球的概率为． 【拓展提升4】箱子内有分别标示号码的球，每个号码各颗，总共颗．已知小茹先从箱内抽出颗球且不将球放回箱内，这颗球的号码分别是．今阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出颗球，若箱内剩下的每颗球被他抽出的机会相等，则他抽出的球的号码，与小茹已抽出的颗球中任意一颗球的号码相同的概率是多少？（　C　） A．　　B．　　C．　　D． 解：箱内剩下的球中的号码为，与小茹已抽出的颗球中任意一颗球的号码相同的号码是，共颗， 所以所求概率是． 【真题感知】若事件表示“买一张彩票，中了特等奖”，则下列说法中，不正确的是（　D　） A． B．接近 C．对于不同类型的彩票，的值可能不一样 D．若小明买了张彩票后中了特等奖，则可计算得 解：根据概率的意义，若事件表示“买一张彩票，中了特等奖”， A．，故该选项正确，不符合题意； B．接近，故该选项正确，不符合题意； C．对于不同类型的彩票，的值可能不一样，故该选项正确，不符合题意； D．根据实际情况接近，若小明买了张彩票后中了特等奖，不能得出，故该选项不正确，符合题意． 【课堂练习1】随机写出一个偶数和一个奇数。两数之和是奇数的概率是________，两数之和是偶数的概率是________。 解：偶数+奇数=奇数，不存在和为偶数的情况； 和为奇数是必然事件，概率为1； 和为偶数是不可能事件，概率为0。 【课堂练习2】20 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期。从 20 瓶饮料中任取 1 瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？ 解：总等可能结果数n=20， 过期饮料数量m=2； P(取到过期饮料) = = 【课堂练习3】有 6 张扑克牌,把它们背面朝上，从中任抽一张。求： （1）抽到方块 8 的概率； （2）抽到方块的概率； （3）抽到方块或红桃的概率。 解：总牌数n=6； （1）方块 8 仅有 1 张，m=1，P=； （2）方块牌：方块 8、方块 7，共 2 张， m=2，P= = ； （3）方块 2 张+红桃 2 张，合计 4 张， m=4，P= = 。 【课堂练习4】下列说法正确吗？请说明理由。 （1）从分别写有 1，2，3，4 的四张卡片中任抽一张，卡片上的数是质数的概率是1/2。 （2）自由转动如图三色转盘一次，事件 “指针所指区域为红色” 的概率为1/3。 解：（1）说法正确。四张卡片数字：1、2、3、4； 质数为 2、3，共 2 个； 总结果n=4，m=2； P= =，与题干描述一致。 （2）说法错误。 三色转盘三个扇形区域面积不相等，指针落在每个区域的可能性不相等，不满足等可能试验条件，不能直接用计算红色区域概率。 【课堂练习5】有一种 “21 点” 游戏，规则是，游戏者从一副扑克牌（大、小王除外，共 52 张）中每次任意抽出一张牌，手中的牌的点数之和不超过 21 点且最接近 21 点的游戏者胜（牌面 A 视为 1 点，J，Q，K 均视为 10 点）。如果手中牌的点数之和超过 21 点，属于 “爆牌”，直接判负。小聪已经抽到点数分别为 6，8 的两张牌，他打算再抽一张，那么他抽第三张牌后，不爆牌的概率是多少？爆牌的概率是多少？ 解：现有点数和：6+8=14； 爆牌要求点数>7（8、9、10、J、Q、K）。 总剩余牌数：52−2=50张； 点数 1~7：每种数字 4 张，减去抽到的6，共7×4-1=27张（不爆牌）； 点数 8、9、10、J、Q、K：每种 4 张，减去抽到的8，共6×4-1=23张（爆牌）； P(不爆牌)= ，P(爆牌)= 。 【课堂练习6】一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同。红球、黄球、黑球的个数之比为5:3:1。用P1,P2,P3分别表示从布袋里任意摸出 1 个球，是红球、黄球、黑球的概率，求P1,P2,P3，以及它们的和。 解：设红球5k个，黄球3k个，黑球k个， 布袋总球数：5k+3k+k=9k； P1= = ，P2= = ，P3= = ； 三者之和： + + = =1。 【课堂练习7】一次抽奖游戏，共 5 张券，其中只有 2 张有奖品，另 3 张没有奖品。每人可抽 2 次，每次抽取 1 张（不放回）。问：这个游戏获奖的概率是多少？ 解：用对立事件求解，“获奖” 的对立事件为 “两次都没抽到奖品”。 总不放回抽取等可能结果：5×4=20种； 空白奖券 3 张，两次都抽空白的结果数：3×2=6种； P(两次都未获奖)= = ； P(获奖)=1−P(两次都未获奖)=1− = 。 教学反思 本课概念理解目标通过骰子、摸箱、扑克牌等实例基本达成，学生能说出概率含义并判断三类事件的概率范围。公式应用中，多数学生能正确确定 ，但部分学生对“等可能试验三大前提”理解不牢，易把分类结果当作基础等可能结果，如两次骰子点数和问题中误认为 11 类结果概率均等。列表法列举两次试验结果仍是难点，需加强示范与小组合作，让学生完整、有序列举并统计。改进方向：增加小组合作列表和数轴表达的时间；增设“去掉王牌”“不放回抽取”等变式审题训练；强化公式书写步骤和最简分数要求，促进规范答题。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $