专题03 球的切接问题（专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题03 球的切接问题 常考题型·精准突破 考点一 球的截面性质与补形法 题型1 球的截面性质 题型2 补形法求外接球（长方体、墙角模型）（高频） 考点二 棱柱、棱锥的外接球与内切球 题型3 直棱柱、圆柱的外接球 题型4 正棱锥、圆锥的外接球（重） 题型5 内切球（轴截面法、等体积法）（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 球的截面性质与补形法 ◆题型1 球的截面性质 1．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）底面半径为的圆锥的顶点和底面圆周都在半径为2的球面上，则该圆锥的高为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 2．（2026·宁夏银川·三模）正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. ◆题型2 补形法求外接球（长方体、墙角模型） 3．（25-26高一下·广东汕头·期末）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）棱长为的正方体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 考点二 棱柱、棱锥的外接球与内切球 ◆题型3 直棱柱、圆柱的外接球 7．（26-27高三上·江苏·阶段检测）在直三棱柱中，已知，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器的半径的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，平面，若，则四面体的外接球（顶点都在球面上）的表面积为______________ 10．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． ◆题型4 正棱锥、圆锥的外接球 11．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正三棱锥的高为2，侧面与底面所成角的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）正四面体的边长为2，则该正四面体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 13．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）已知一个四面体的所有棱长均相等，且所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·福建漳州·期末）某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． ◆题型5 内切球（轴截面法、等体积法） 16．（2026·广西百色·一模）某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·云南大理·阶段检测）将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为6m，底面为直角三角形其直角边长分别为6m和8m，则该球的最大半径为________． 18．（25-26高一下·广东广州·期末）已知正四面体的棱长为1，若该正四面体的外接球表面积为，其内切球表面积为，则_____． 19．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，求该圆锥内半径最大的球的体积. 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，三棱锥内切球的表面积为，求正方体外接球的体积. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）在四面体中，，，为正三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（25-26高一下·云南文山·期末）在棱长为的正四面体内放入一大一小的2个实心球，其中，大球与正四面体的各个面都相切，则小球的最大半径为___________． 3．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）在棱长为1的正方体内放置两个半径相同的铁球，则铁球的最大半径为________． 4．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）一个底面直径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球，则铁球半径最大时，其中一个球的表面积______. 5．（25-26高一下·河南信阳·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________. 6．（26-27高三上·贵州·阶段检测）《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一种类似隧道形状的几何体．如图，在“刍甍”中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且，则这个几何体的外接球的表面积为_______． 三、解答题 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，求该球的表面积. 8．（25-26高一下·云南德宏·期中）如图，在梯形中，，，且，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． (1)求旋转体的体积与表面积； (2)求图中所示圆锥的内切球体积． 9．（23-24高二上·浙江·开学考试）在正三棱台中，已知，，三棱台的高. (1)求棱台的体积； (2)若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积. 10．（2022高三·全国·专题练习）已知正四面体的内切球的表面积为． (1)求该内切球的半径； (2)过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，求所得截面的面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 球的切接问题 常考题型·精准突破 考点一 球的截面性质与补形法 ◆题型1 球的截面性质 1．【答案】D 【详解】设该圆锥的高为. 当球的球心在圆锥高线上时， 如图是圆锥的轴截面，外接圆是圆锥外接球的大圆． 则球半径为，则，舍去， 同理当球的球心在圆锥高线的延长线上时， 则有，舍去， 综上所述：该圆锥的高为1或3. 2．【答案】 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心， 设外接球半径为，则， 在中，，且， 所以，解得，即， 在中，， 过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心， 所以，则， 所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为， 所以截面的面积. ◆题型2 补形法求外接球（长方体、墙角模型） 3．【答案】C 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体， 该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球， 外接球的直径等于长方体的体对角线长度． 已知， 则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径．球的表面积. 4．【答案】B 【详解】设正方体的外接球的半径为， 因为正方体的棱长为，可得正方体的对角线长为， 则，可得，所以外接球的表面积为. 5．【答案】/ 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：.    6．【详解】（1）由题意得， ， 以下计算， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以三棱锥的表面积. （2）因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球直径即为以长度为边长的长方体的体对角线， 根据长方体体对角线公式得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积. 考点二 棱柱、棱锥的外接球与内切球 ◆题型3 直棱柱、圆柱的外接球 7．【答案】A 【详解】由,得,所以是以为斜边的直角三角形,其外接圆半径. 设上、下底面外接圆圆心分别为,则垂直于上、下底面,直三棱柱的外接球球心为的中点,故外接球半径满足. 外接球的表面积为. 8．【答案】D 【详解】要使球形容器能容纳该鲁班锁，球的直径至少应等于鲁班锁的最长对角线，由于几何体中心对称， 外接球球心位于几何体中心，几何体上距离中心最远的点即为它的长方体的顶点， 则考虑其中一组长方体，其长，宽，高分别为6，2，1， 该长方体的体对角线长度为：， 所以，外接球的直径为，. 9．【答案】 【详解】在中，由余弦定理得， 所以. 由正弦定理得外接圆的半径满足，即. 因为平面，所以外接球的球心在过外心且垂直于平面的直线上； 又球心到、的距离相等，故球心到平面的距离为. 设外接球半径为，则，即， 所以外接球的表面积为. 10．【详解】（1）因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 （2）取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. （3）取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又 ，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面． ◆题型4 正棱锥、圆锥的外接球 11．【答案】D 【详解】如图， 底面于，延长，交于， 由正三棱锥的结构可知为的中点，，其外接球的球心在它的高上， 所以，所以侧面与底面所成的角为， 所以，即，解得. 因为为等边三角形，所以， 设球的半径为，在中， 由勾股定理得，即，解得， 故球的体积为． 12．【答案】D 【详解】    如图所示正四面体中，为底面的外心，则平面， 上所有点到三点距离相等，在上取一点使满足， 则为正四面体的外接球球心， 为半径， 因为底面为等边三角形，为底面的外心，所以， 在直角三角形中有得，设， 在直角三角形中有即， 解得，代入球的体积公式得体积为. 13．【答案】D 【详解】设该正四面体的棱长为，其外接球的半径为， 由球的体积公式，解得，即， 正四面体的高， 设正四面体的中心为，底面中心为，顶点为，底面一顶点为， 则，，， 在中，由勾股定理得， 即，代入，得：， 化简得 ，所以， 因为，所以，解得， 所以该正四面体的表面积. 14．【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则， 因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆， 所以，即，故 所以圆锥的高为， 设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为， 如图，，，， 所以，即，解得 所以圆锥形灯罩的外接球的半径为，表面积为 故选：D 15．【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. （2）设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. ◆题型5 内切球（轴截面法、等体积法） 16．【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， 侧面展开图弧长等于底面周长，即：， 由弧长公式得，，所以圆锥母线即扇形半径为2， 由勾股定理得圆锥高， 圆锥内最大球为内切球，其半径等于圆锥轴截面（边长为2的等边三角形）的内切圆半径， 轴截面面积， 轴截面半周长，所以， 所以球的表面积为． 17．【答案】 【详解】直角边长分别为6m和8m的直角三角形的面积为， 则内切圆半径为， 因直三棱柱高度为6m，，则该球的最大半径为. 故答案为： 18．【答案】9 【详解】过点作⊥平面于点，则点在的中线上，且， 由三线合一可得⊥，，， 故， 外接球球心为，设，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， ， 设内切球半径为，则，解得， 由于，所以. 19．【详解】圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球. 下图为圆锥及其内切球的轴截面图，设球心为，球半径为， 则，，则， 所以. 设的周长为，则， 由等面积法可知，解得， 所以该圆锥内半径最大的球的体积为. 20．【详解】设正方体的棱长为，则三棱锥为正四面体，且. 因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1. 设三棱锥内切球的球心为，到平面的距离为， 则，即， 所以，又 ， 所以，则， 又因为正方体外接球直径就是正方体体对角线长， 所以正方体外接球的半径为， 故该外接球的体积为. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．A 二、填空题 2．【答案】/ 【详解】设大球球心为，半径为，小球球心为，半径为， 当小球的半径最大时，小球与大球相切，且与正四面体的三个面相切，如图所示：    设正四面体的顶点在底面的射影点为，则为正的中心， 延长交于点，则为的中点， 因为是边长为的等边三角形，则，且， 所以， 所以正四面体的高为：， 易知正四面体每个面都全等，故其表面积为， 则，解得， 由题意得，， 因为，所以，即，解得. 故小球的最大半径为. 3．【答案】 【详解】如图，正方体的棱长为1，要使铁球半径最大，可将铁球的球心置于平面（或平面）内， 且其中一个铁球与该正方体的上底面、前侧面、左侧面相切，另一个铁球与该正方体的下底面、右侧面、后侧面相切． 取平面内的轴截面，问题等价于内有两个半径相等的圆M，N内切于矩形的边相切， 且圆心M，N到边的距离均为，在中，， 即，化简得，解得， 又因为，即，所以铁球的最大半径． 4．【答案】 【详解】设圆柱轴截面为矩形GDEF，因圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球， 为使球体半径最大，则球体间应尽量相切，且与圆柱相切，据此可得如下示意图. 设球体半径为r，连接AB，则.做，由对称性，. 做，过A做垂线，交于I，BJ于K， 则， 则 ，由题可得， 则，从而球体表面积为：. 故答案为： 5．【答案】 【详解】设棱台的上下底面中心分别为，设正四棱台的高为， 则正四棱台的体积为 ，则， ，， 若该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 因为，则无解； 若该正四棱台外接球球心在直线的延长线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 解得，故， 因此，该四棱台的外接球表面积为. 6．【答案】 【详解】该几何体左右、前后均对称，外接球的球心必在过底面正方形中心且垂直于底面的对称轴上， 因为底面是边长为的正方形，其对角线交点为（底面外接圆圆心），则底面外接圆半径. 设中点为，设点在底面的投影为. 因为平面且，，可知. 因为是边长为的等边三角形，所以， 在底面投影中，，故； 由勾股定理，几何体的高. 设中点为，则在对称轴上，，且. 设球心为，，则. 由外接球半径相等，得 ， 即 ，解得. 因此外接球半径， 外接球表面积为. 三、解答题 7．【详解】 由正三棱台的上、下底面边长分别为和，则它们的高分别为和， 根据等边三角形的外接圆半径等于其高的， 则可设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，即，， 设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为， 若球心在正三棱台的外部，则， 变形得：， 平方可得：，解得； 若球心在正三棱台的内部，则， 变形得：， 平方可得：，故无解； 综上可得：球的表面积为. 8．【详解】（1）由图可知，该旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的， 在直角梯形中，，过点作于点， 则四边形和四边形为矩形，，如图所示， 在中，由得：， ，所以， 因为旋转体的体积， 所以旋转体的体积， 因为旋转体的表面积， 所以. （2）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上， 设球切于点，连接，如图所示： 则，， 因为，所以， 在中，，解得， 所以圆锥的内切球的体积为：. 9．【详解】（1）因为，分别为下底面，上底面面积. . （2）因为上下底面相互平行且均与内切球相切， 故上下底面之间的距离为内切球的直径， 所以，故球O的半径. 所以球的表面积． 10．【详解】（1）设内切球半径为，由题意得，，解得， 即内切球半径为3． （2）如图，为正四面体的内切球球心，为内接圆圆心，由（1）知． 设正四面体的棱长为，由三角形的性质可得， 在中，， 正四面体外接球的球心与内接球的球心重合，， 在中，，解得， ， 在中，， 过该四面体的一条棱以及球心的截面面积为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 球的切接问题 常考题型·精准突破 考点一 球的截面性质与补形法 题型1 球的截面性质 题型2 补形法求外接球（长方体、墙角模型）（高频） 考点二 棱柱、棱锥的外接球与内切球 题型3 直棱柱、圆柱的外接球 题型4 正棱锥、圆锥的外接球（重） 题型5 内切球（轴截面法、等体积法）（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 球的截面性质与补形法 ◆题型1 球的截面性质 1．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）底面半径为的圆锥的顶点和底面圆周都在半径为2的球面上，则该圆锥的高为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 【答案】D 【详解】设该圆锥的高为. 当球的球心在圆锥高线上时， 如图是圆锥的轴截面，外接圆是圆锥外接球的大圆． 则球半径为，则，舍去， 同理当球的球心在圆锥高线的延长线上时， 则有，舍去， 综上所述：该圆锥的高为1或3. 2．（2026·宁夏银川·三模）正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心， 设外接球半径为，则， 在中，，且， 所以，解得，即， 在中，， 过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心， 所以，则， 所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为， 所以截面的面积. ◆题型2 补形法求外接球（长方体、墙角模型） 3．（25-26高一下·广东汕头·期末）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体， 该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球， 外接球的直径等于长方体的体对角线长度． 已知， 则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径．球的表面积. 4．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）棱长为的正方体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体的外接球的半径为， 因为正方体的棱长为，可得正方体的对角线长为， 则，可得，所以外接球的表面积为. 5．（2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【答案】/ 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：.    6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【详解】（1）由题意得， ， 以下计算， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以三棱锥的表面积. （2）因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球直径即为以长度为边长的长方体的体对角线， 根据长方体体对角线公式得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积. 考点二 棱柱、棱锥的外接球与内切球 ◆题型3 直棱柱、圆柱的外接球 7．（26-27高三上·江苏·阶段检测）在直三棱柱中，已知，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由,得,所以是以为斜边的直角三角形,其外接圆半径. 设上、下底面外接圆圆心分别为,则垂直于上、下底面,直三棱柱的外接球球心为的中点,故外接球半径满足. 外接球的表面积为. 8．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器的半径的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使球形容器能容纳该鲁班锁，球的直径至少应等于鲁班锁的最长对角线，由于几何体中心对称， 外接球球心位于几何体中心，几何体上距离中心最远的点即为它的长方体的顶点， 则考虑其中一组长方体，其长，宽，高分别为6，2，1， 该长方体的体对角线长度为：， 所以，外接球的直径为，. 9．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，平面，若，则四面体的外接球（顶点都在球面上）的表面积为______________ 【答案】 【详解】在中，由余弦定理得， 所以. 由正弦定理得外接圆的半径满足，即. 因为平面，所以外接球的球心在过外心且垂直于平面的直线上； 又球心到、的距离相等，故球心到平面的距离为. 设外接球半径为，则，即， 所以外接球的表面积为. 10．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 【详解】（1）因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 （2）取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. （3）取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又 ，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面． ◆题型4 正棱锥、圆锥的外接球 11．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正三棱锥的高为2，侧面与底面所成角的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 底面于，延长，交于， 由正三棱锥的结构可知为的中点，，其外接球的球心在它的高上， 所以，所以侧面与底面所成的角为， 所以，即，解得. 因为为等边三角形，所以， 设球的半径为，在中， 由勾股定理得，即，解得， 故球的体积为． 12．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）正四面体的边长为2，则该正四面体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图所示正四面体中，为底面的外心，则平面， 上所有点到三点距离相等，在上取一点使满足， 则为正四面体的外接球球心， 为半径， 因为底面为等边三角形，为底面的外心，所以， 在直角三角形中有得，设， 在直角三角形中有即， 解得，代入球的体积公式得体积为. 13．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）已知一个四面体的所有棱长均相等，且所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该正四面体的棱长为，其外接球的半径为， 由球的体积公式，解得，即， 正四面体的高， 设正四面体的中心为，底面中心为，顶点为，底面一顶点为， 则，，， 在中，由勾股定理得， 即，代入，得：， 化简得 ，所以， 因为，所以，解得， 所以该正四面体的表面积. 14．（25-26高三上·福建漳州·期末）某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则， 因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆， 所以，即，故 所以圆锥的高为， 设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为， 如图，，，， 所以，即，解得 所以圆锥形灯罩的外接球的半径为，表面积为 故选：D 15．（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. （2）设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. ◆题型5 内切球（轴截面法、等体积法） 16．（2026·广西百色·一模）某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， 侧面展开图弧长等于底面周长，即：， 由弧长公式得，，所以圆锥母线即扇形半径为2， 由勾股定理得圆锥高， 圆锥内最大球为内切球，其半径等于圆锥轴截面（边长为2的等边三角形）的内切圆半径， 轴截面面积， 轴截面半周长，所以， 所以球的表面积为． 17．（25-26高二上·云南大理·阶段检测）将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为6m，底面为直角三角形其直角边长分别为6m和8m，则该球的最大半径为________． 【答案】 【详解】直角边长分别为6m和8m的直角三角形的面积为， 则内切圆半径为， 因直三棱柱高度为6m，，则该球的最大半径为. 故答案为： 18．（25-26高一下·广东广州·期末）已知正四面体的棱长为1，若该正四面体的外接球表面积为，其内切球表面积为，则_____． 【答案】9 【详解】过点作⊥平面于点，则点在的中线上，且， 由三线合一可得⊥，，， 故， 外接球球心为，设，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， ， 设内切球半径为，则，解得， 由于，所以. 19．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，求该圆锥内半径最大的球的体积. 【详解】圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球. 下图为圆锥及其内切球的轴截面图，设球心为，球半径为， 则，，则， 所以. 设的周长为，则， 由等面积法可知，解得， 所以该圆锥内半径最大的球的体积为. 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，三棱锥内切球的表面积为，求正方体外接球的体积. 【详解】设正方体的棱长为，则三棱锥为正四面体，且. 因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1. 设三棱锥内切球的球心为，到平面的距离为， 则，即， 所以，又 ， 所以，则， 又因为正方体外接球直径就是正方体体对角线长， 所以正方体外接球的半径为， 故该外接球的体积为. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）在四面体中，，，为正三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， 记的中点为，因为，为等边三角形， 所以， 所以二面角的平面角为，则， 记的外接圆圆心为，又的外接圆圆心为， 分别过，作平面，平面的垂线，两垂线交于点， 则为四面体的外接球球心． 由，，得， 因为为等边三角形，所以，， 因为，， 所以，则， 所以，解得， 因此四面体的外接球的半径， 所以外接球的表面积为． 二、填空题 2．（25-26高一下·云南文山·期末）在棱长为的正四面体内放入一大一小的2个实心球，其中，大球与正四面体的各个面都相切，则小球的最大半径为___________． 【答案】/ 【详解】设大球球心为，半径为，小球球心为，半径为， 当小球的半径最大时，小球与大球相切，且与正四面体的三个面相切，如图所示：    设正四面体的顶点在底面的射影点为，则为正的中心， 延长交于点，则为的中点， 因为是边长为的等边三角形，则，且， 所以， 所以正四面体的高为：， 易知正四面体每个面都全等，故其表面积为， 则，解得， 由题意得，， 因为，所以，即，解得. 故小球的最大半径为. 3．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）在棱长为1的正方体内放置两个半径相同的铁球，则铁球的最大半径为________． 【答案】 【详解】如图，正方体的棱长为1，要使铁球半径最大，可将铁球的球心置于平面（或平面）内， 且其中一个铁球与该正方体的上底面、前侧面、左侧面相切，另一个铁球与该正方体的下底面、右侧面、后侧面相切． 取平面内的轴截面，问题等价于内有两个半径相等的圆M，N内切于矩形的边相切， 且圆心M，N到边的距离均为，在中，， 即，化简得，解得， 又因为，即，所以铁球的最大半径． 4．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）一个底面直径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球，则铁球半径最大时，其中一个球的表面积______. 【答案】 【详解】设圆柱轴截面为矩形GDEF，因圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球， 为使球体半径最大，则球体间应尽量相切，且与圆柱相切，据此可得如下示意图. 设球体半径为r，连接AB，则.做，由对称性，. 做，过A做垂线，交于I，BJ于K， 则， 则 ，由题可得， 则，从而球体表面积为：. 故答案为： 5．（25-26高一下·河南信阳·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________. 【答案】 【详解】设棱台的上下底面中心分别为，设正四棱台的高为， 则正四棱台的体积为 ，则， ，， 若该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 因为，则无解； 若该正四棱台外接球球心在直线的延长线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 解得，故， 因此，该四棱台的外接球表面积为. 6．（26-27高三上·贵州·阶段检测）《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一种类似隧道形状的几何体．如图，在“刍甍”中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且，则这个几何体的外接球的表面积为_______． 【答案】 【详解】该几何体左右、前后均对称，外接球的球心必在过底面正方形中心且垂直于底面的对称轴上， 因为底面是边长为的正方形，其对角线交点为（底面外接圆圆心），则底面外接圆半径. 设中点为，设点在底面的投影为. 因为平面且，，可知. 因为是边长为的等边三角形，所以， 在底面投影中，，故； 由勾股定理，几何体的高. 设中点为，则在对称轴上，，且. 设球心为，，则. 由外接球半径相等，得 ， 即 ，解得. 因此外接球半径， 外接球表面积为. 三、解答题 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，求该球的表面积. 【详解】 由正三棱台的上、下底面边长分别为和，则它们的高分别为和， 根据等边三角形的外接圆半径等于其高的， 则可设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，即，， 设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为， 若球心在正三棱台的外部，则， 变形得：， 平方可得：，解得； 若球心在正三棱台的内部，则， 变形得：， 平方可得：，故无解； 综上可得：球的表面积为. 8．（25-26高一下·云南德宏·期中）如图，在梯形中，，，且，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． (1)求旋转体的体积与表面积； (2)求图中所示圆锥的内切球体积． 【详解】（1）由图可知，该旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的， 在直角梯形中，，过点作于点， 则四边形和四边形为矩形，，如图所示， 在中，由得：， ，所以， 因为旋转体的体积， 所以旋转体的体积， 因为旋转体的表面积， 所以. （2）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上， 设球切于点，连接，如图所示： 则，， 因为，所以， 在中，，解得， 所以圆锥的内切球的体积为：. 9．（23-24高二上·浙江·开学考试）在正三棱台中，已知，，三棱台的高. (1)求棱台的体积； (2)若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积. 【详解】（1）因为，分别为下底面，上底面面积. . （2）因为上下底面相互平行且均与内切球相切， 故上下底面之间的距离为内切球的直径， 所以，故球O的半径. 所以球的表面积． 10．（2022高三·全国·专题练习）已知正四面体的内切球的表面积为． (1)求该内切球的半径； (2)过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，求所得截面的面积． 【详解】（1）设内切球半径为，由题意得，，解得， 即内切球半径为3． （2）如图，为正四面体的内切球球心，为内接圆圆心，由（1）知． 设正四面体的棱长为，由三角形的性质可得， 在中，， 正四面体外接球的球心与内接球的球心重合，， 在中，，解得， ， 在中，， 过该四面体的一条棱以及球心的截面面积为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $