专题01 几何体的结构特征、截面与展开图问题（专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题01 几何体的结构特征、截面与展开图问题 常考题型·精准突破 考点一 几何体的结构与截面 ◆题型1 几何体的结构特征辨析 1．【答案】A 【详解】对于①， 面数最少的棱柱为三棱柱，三棱柱有2个底面、3个侧面，共5个面，所以一个棱柱至少有五个面，①正确. 对于②，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台，若平面不与底面平行，则截得的部分不是棱台， ②错误. 对于③，仅正棱台的侧面为等腰梯形，普通棱台的侧面是梯形，但不一定为等腰梯形，③错误. 对于④，根据棱柱的定义，棱柱的侧面均为平行四边形，④正确. 综上，①④正确. 2．【答案】C 【详解】对于A：有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体， 不一定满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，故A错误； 对于B：直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱， 棱长都相等的直四棱柱，其底面不一定是正方形， 可能是其它四边形，所以不一定是正方体，故B错误； 对于C：根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 由于棱台是由棱锥截得的，所以棱台的侧棱延长后一定交于同一点，故C正确； 对于D：底面是正多边形的棱锥，其顶点在底面的射影不一定是底面中心，所以不一定是正棱锥，故D错误. 3．【答案】C 【详解】正四棱台上下底面均为正方形，对应边互相平行，， 又，由平行传递性可得，故A正确； 上底面4条棱、下底面4条棱、侧棱4条，总计条棱，故B正确； 棱台的侧棱延长后会交于同一点，因此，，，四点共面，故C错误； 棱台的定义就是用平行于底面的平面截取棱锥得到，上下底面互相平行， 即平面平面，故D正确． 4．【答案】C 【详解】正棱台共有条棱，所以，解得． 5．【答案】①③ 【详解】棱锥中棱最少的是三棱锥，有六条棱，故①正确； 圆柱是以矩形的一边为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体， 母线一定和轴平行，故②错误； 长方体是底面为长方形的四棱柱，一定是平行六面体，故③正确. ◆题型2 旋转体的轴截面 6．【详解】（1）由题可知圆台的高为. （2）圆台的体积为. 7．【详解】如图，设圆台上、下底面半径分别为，，延长交的延长线于， 在中，，则， 所以，，所以． 又，所以． 所以圆台的高，母线长， 两底面半径分别为，． ◆题型3 几何体的截面（正方体截面、球的截面） 8．【答案】B 【详解】根据题意，取的中点分别为，连接，如下图所示：    易知，且，所以四边形是平行四边形； 即，又平面，平面， 所以平面； 同理可得平面； ，平面， 所以平面平面平行， 即过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为平面； 显然，，且，； 所以四边形是边长为的菱形，即所求截面面积即为菱形的面积； 易知，所以其面积为. 故选：B 9．【答案】C 【详解】 在中，两直角边长分别为6和8，则斜边长为， 由于直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，即， 因球的半径，故球心在平面内，球心到平面的距离是0. 10．【答案】②③ 【详解】①平行六面体的底面是矩形，但侧棱可能与底面不垂直，此时侧面仍为平行四边形，因此不一定是长方体.长方体要求所有面均为矩形，故①错误. ②设正四面体棱长为，底面正三角形的高为，重心到顶点的距离为.由勾股定理，正四面体的高为：，故②正确； ③用平面切割正方体时，若平面依次经过五个面（如从一个顶点出发，切割相邻五个面），截面为五边形.如图所示，为五边形截面，故③正确. ④过圆锥顶点的截面为等腰三角形且两腰长为母线长，设圆锥的母线长为l，等腰三角形的顶角为，则过圆锥顶点的截面面积为，所以当，即时，截面面积最大.当轴截面的顶角大于时，轴截面面积不是最大截面面积，故④错误. 故答案为：②③ 11．【详解】延长交于，延长交于， 连接交于，连接交于， 连接， 所得到的五边形就是截面． 考点二 展开图与最短路径 ◆题型4 侧面展开图 12．【答案】B 【详解】设圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为（单位：弧度）。 根据圆锥侧面积公式，底面半径，侧面积， 代入得：，解得， 圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，而圆锥底面周长； 扇形弧长为，因此：，解得. 13．【答案】C 【详解】设圆台的上下底面半径分别为，，由题知扇面的外径为，内径为， 所以圆台的母线长，上弧长，则， 下弧长，则， 则圆台的高. 14．【答案】 【详解】由题可得，所以为正三角形， 连接，则由题， 所以O为的外心也是内心， 所以， 所以， 所以， 所以由. 故答案为： 15．【答案】/ 【详解】 设扇形的半径与弧长分别为,则由扇形周长得，即； 由扇形面积公式得：，得； 联立两方程，消去，可得，即，解得或， 因为为有理数，故，. 设圆锥底面半径为，则，解得，圆锥的高， 所以圆锥体积. ◆题型5 表面最短路径 16．【答案】10 【详解】圆柱的侧面展开图是矩形 ， 如图所示， 则爬行的最短路程是 ． 所以 ，， 所以 ， 即爬行的最短路程是. 17．【答案】 【详解】 将正四棱柱从到的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有本质不同的展开方式可归为以下两类． 情况1：经过相邻两个侧面． 将侧面与（或侧面与）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的长为，宽为． 所以，此时的最短路程为． 情况2：经过一个侧面与一个底面． 将侧面与上底面（或侧面与上底面）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的一边为，另一边为． 所以，此时的最短路程为． 比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此． 所以，蚂蚁爬行的最短路程为． 18．【答案】 【详解】如图，三棱柱表面由点到的展开图有如下情况， 如图，若过时，此时， 若过时，与过一样，此时； 第二种情况，当过时，，，， 若过与过一样，此时， 由 所以从到的最短路程是. 故答案为： 19．【详解】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长， 由，可得，即母线， 在中，由余弦定理可得 所以爬行的最短路程为； （2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为， 从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为， 又圆锥的表面积为， 所以剩下几何体的表面积， 剩下几何体的体积为. 20．【详解】（1）将圆锥的侧面自母线剪开展开在平面内，得到扇形，则点为弧的中点，如图，    依题意，弧长为， 而为中点，在中，由余弦定理得 ， 所以两点的距离的最小值为. （2）依题意，得到的正方体新工件体积最大时，正方体的一个面在圆锥的底面圆内，且为圆锥的内接正方体， 设正方体的棱长为，沿正方体的对角面作圆锥的轴截面，如图，    则，显然，有，而， 因此，解得，则正方体工件体积. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．D 二、填空题 2．【答案】 【详解】由题意知,，又，故. 则. 当时，可知， 又，则， 故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)， 当时，过点作的平行线交于点， 可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图), 当时，过点作的平行线交的延长线于， 交于点，连接交于点， 可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时, 即的范围为. 3．【答案】/ 【详解】因为平面，平面，平面平面，则， 同理可得，则， 设，则， 可得，，，，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得， 则，，，， 可知四边形为等腰梯形，高， 所以四边形的面积为. 4．【答案】 【详解】将此圆柱沿剪开并展开，设点关于的对称点为，如图所示： 易知蚂蚁需经过的最短路程为, 由题意可知此圆柱的底面半径，高， 所以， 又因为是中点， 所以, 所以, 在中， 三、解答题 5．【详解】（1） 将正三棱台补形为如图1所示的正三棱锥． 因为，所以正三棱锥的每个侧面都是全等的正三角形． 因为，所以， 因为，，所以，所以． 因为该正三棱台的高为， 所以正三棱台的体积． （2） 将正三棱锥、正三棱台的侧面展开，得到图2． 在中，， 由余弦定理得． 在中，， 由余弦定理得． 当为和的交点时，取得最小值． 6．【详解】（1）握把的侧面积为平方厘米． （2）如图所示是圆柱侧面的展开图，胶条覆盖部分为一个直角梯形． 设第二次落在上的胶条为，过G作垂直于，垂足为J， 即为胶条宽，．．， 因此． 根据梯形面积公式，胶条覆盖握把部分的面积为 ． （3）如下图所示，结合（2），第i圈（）中，胶条回到母线时， 可见部分（图中蓝色实线）与的公共点高度（到底面的距离）均上升； 而第9圈缠绕完毕时，回到时， 由于少了下一圈的遮挡，E相对F上升的高度为． 而由于中点在上底面圆周上，其高度应为19， 因此，整理得． 根据平面几何知识，． 根据同角三角函数关系，， 利用计算器求得． 应恰为底面周长的9倍， 故． 因此，118厘米长的胶条已经够用了． 7．【详解】    如图所示展开三棱锥得五边形，连接分别交于点， 则此时的周长最小为， 由题意易知，则， 且， 所以， 由， 故在分别为线段上的靠近C、D的一个四等分点时， 截面周长最小，最小值为. 8．【详解】（1）当时，得出为的中点，则 （2）将矩形沿展开，与共面， 如图所示，，    ∴， 故的最小值为7 中，由正弦定理得：， 因为， ∴， 所以 ∴， 则. 9．【详解】如图，依次将正方体各面展开，从正方形出发， 依次为，，，，， 则截面六边形的周长， 所以六边形的周长的最小值为． 10．【详解】（1）解：沿侧棱将正三棱锥的侧面展开，如图，则即为质点移动路程的最小值， 依题意，，且， 由余弦定理得， 所以， 所以质点移动路程的最小值为. （2）解：正三棱锥的所有棱长均为2，则为正四面体，设其高为，正内切圆的半径为， 由，解得， 正四面体的斜高为，，依题意，圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 几何体的结构特征、截面与展开图问题 常考题型·精准突破 考点一 几何体的结构与截面 题型1 几何体的结构特征辨析（高频） 题型2 旋转体的轴截面 题型3 几何体的截面（正方体截面、球的截面）（重） 考点二 展开图与最短路径 题型4 侧面展开图 题型5 表面最短路径（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何体的结构与截面 ◆题型1 几何体的结构特征辨析 1．（26-27高二·全国·学业考试复习）下列说法中正确的是（   ） ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【详解】对于①， 面数最少的棱柱为三棱柱，三棱柱有2个底面、3个侧面，共5个面，所以一个棱柱至少有五个面，①正确. 对于②，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台，若平面不与底面平行，则截得的部分不是棱台， ②错误. 对于③，仅正棱台的侧面为等腰梯形，普通棱台的侧面是梯形，但不一定为等腰梯形，③错误. 对于④，根据棱柱的定义，棱柱的侧面均为平行四边形，④正确. 综上，①④正确. 2．（25-26高一下·河南省直辖县级单位·期末）下列四个选项中正确的是（    ） A．有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱长都相等的直四棱柱是正方体 C．棱台的侧棱延长后交于同一点 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】C 【详解】对于A：有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体， 不一定满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，故A错误； 对于B：直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱， 棱长都相等的直四棱柱，其底面不一定是正方形， 可能是其它四边形，所以不一定是正方体，故B错误； 对于C：根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 由于棱台是由棱锥截得的，所以棱台的侧棱延长后一定交于同一点，故C正确； 对于D：底面是正多边形的棱锥，其顶点在底面的射影不一定是底面中心，所以不一定是正棱锥，故D错误. 3．（25-26高一下·甘肃定西·期末）在正四棱台中，下列判断错误的是（     ） A． B．该棱台有条棱 C．，，，四点不共面 D．平面平面 【答案】C 【详解】正四棱台上下底面均为正方形，对应边互相平行，， 又，由平行传递性可得，故A正确； 上底面4条棱、下底面4条棱、侧棱4条，总计条棱，故B正确； 棱台的侧棱延长后会交于同一点，因此，，，四点共面，故C错误； 棱台的定义就是用平行于底面的平面截取棱锥得到，上下底面互相平行， 即平面平面，故D正确． 4．（25-26高一下·甘肃白银·期末）若一个正n棱台共有18条棱，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】正棱台共有条棱，所以，解得． 5．（25-26高一下·河北衡水·期中）给出以下说法： ①棱锥最少有六条棱； ②圆柱的母线和轴不平行； ③长方体一定是平行六面体. 以上所有正确说法的序号是__________. 【答案】①③ 【详解】棱锥中棱最少的是三棱锥，有六条棱，故①正确； 圆柱是以矩形的一边为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体， 母线一定和轴平行，故②错误； 长方体是底面为长方形的四棱柱，一定是平行六面体，故③正确. ◆题型2 旋转体的轴截面 6．（26-27高二上·陕西商洛·阶段检测）已知圆台的上下底面半径分别是2和5，母线长为5，求： (1)圆台的高； (2)圆台的体积. 【详解】（1）由题可知圆台的高为. （2）圆台的体积为. 7．（25-26高二·全国·暑假作业）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求这个圆台的高、母线长和两底面半径． 【详解】如图，设圆台上、下底面半径分别为，，延长交的延长线于， 在中，，则， 所以，，所以． 又，所以． 所以圆台的高，母线长， 两底面半径分别为，． ◆题型3 几何体的截面（正方体截面、球的截面） 8．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，取的中点分别为，连接，如下图所示：    易知，且，所以四边形是平行四边形； 即，又平面，平面， 所以平面； 同理可得平面； ，平面， 所以平面平面平行， 即过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为平面； 显然，，且，； 所以四边形是边长为的菱形，即所求截面面积即为菱形的面积； 易知，所以其面积为. 故选：B 9．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）的三个顶点在半径为5的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离是（    ） A．2 B．3 C．0 D．5 【答案】C 【详解】 在中，两直角边长分别为6和8，则斜边长为， 由于直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，即， 因球的半径，故球心在平面内，球心到平面的距离是0. 10．（25-26高二上·上海普陀·期中）下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】②③ 【详解】①平行六面体的底面是矩形，但侧棱可能与底面不垂直，此时侧面仍为平行四边形，因此不一定是长方体.长方体要求所有面均为矩形，故①错误. ②设正四面体棱长为，底面正三角形的高为，重心到顶点的距离为.由勾股定理，正四面体的高为：，故②正确； ③用平面切割正方体时，若平面依次经过五个面（如从一个顶点出发，切割相邻五个面），截面为五边形.如图所示，为五边形截面，故③正确. ④过圆锥顶点的截面为等腰三角形且两腰长为母线长，设圆锥的母线长为l，等腰三角形的顶角为，则过圆锥顶点的截面面积为，所以当，即时，截面面积最大.当轴截面的顶角大于时，轴截面面积不是最大截面面积，故④错误. 故答案为：②③ 11．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面． 【详解】延长交于，延长交于， 连接交于，连接交于， 连接， 所得到的五边形就是截面． 考点二 展开图与最短路径 ◆题型4 侧面展开图 12．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为（单位：弧度）。 根据圆锥侧面积公式，底面半径，侧面积， 代入得：，解得， 圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，而圆锥底面周长； 扇形弧长为，因此：，解得. 13．（25-26高一下·安徽六安·期末）现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的上下底面半径分别为，，由题知扇面的外径为，内径为， 所以圆台的母线长，上弧长，则， 下弧长，则， 则圆台的高. 14．（25-26高一上·黑龙江大庆·开学考试）有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径________. 【答案】 【详解】由题可得，所以为正三角形， 连接，则由题， 所以O为的外心也是内心， 所以， 所以， 所以， 所以由. 故答案为： 15．（2026·湖南长沙·三模）将圆锥的侧面展开得到一个面积为，周长为的扇形，且该扇形的半径为有理数，则该圆锥的体积为________． 【答案】/ 【详解】 设扇形的半径与弧长分别为,则由扇形周长得，即； 由扇形面积公式得：，得； 联立两方程，消去，可得，即，解得或， 因为为有理数，故，. 设圆锥底面半径为，则，解得，圆锥的高， 所以圆锥体积. ◆题型5 表面最短路径 16．（26-27高二上·上海崇明·期中）已知底面圆的半径为，母线长为的圆柱， 是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从绕圆柱一周爬到，则该蜘蛛爬行的最短路程为________________． 【答案】10 【详解】圆柱的侧面展开图是矩形 ， 如图所示， 则爬行的最短路程是 ． 所以 ，， 所以 ， 即爬行的最短路程是. 17．（2026·云南·三模）正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 【答案】 【详解】 将正四棱柱从到的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有本质不同的展开方式可归为以下两类． 情况1：经过相邻两个侧面． 将侧面与（或侧面与）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的长为，宽为． 所以，此时的最短路程为． 情况2：经过一个侧面与一个底面． 将侧面与上底面（或侧面与上底面）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的一边为，另一边为． 所以，此时的最短路程为． 比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此． 所以，蚂蚁爬行的最短路程为． 18．（24-25高二·上海·课堂例题）正三棱柱的底边长侧棱长都是2，为的中点，为的中点，则在棱柱表面上，从到的最短路程是________． 【答案】 【详解】如图，三棱柱表面由点到的展开图有如下情况， 如图，若过时，此时， 若过时，与过一样，此时； 第二种情况，当过时，，，， 若过与过一样，此时， 由 所以从到的最短路程是. 故答案为： 19．（24-25高一下·浙江·期中）圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 【详解】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长， 由，可得，即母线， 在中，由余弦定理可得 所以爬行的最短路程为； （2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为， 从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为， 又圆锥的表面积为， 所以剩下几何体的表面积， 剩下几何体的体积为. 20．（23-24高一下·吉林白山·期中）下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径，母线，    (1)是圆的一条直径的两个端点，母线的中点，用软尺沿着圆锥面测量两点的距离，求这个距离的最小值； (2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求这个正方体体积. 【详解】（1）将圆锥的侧面自母线剪开展开在平面内，得到扇形，则点为弧的中点，如图，    依题意，弧长为， 而为中点，在中，由余弦定理得 ， 所以两点的距离的最小值为. （2）依题意，得到的正方体新工件体积最大时，正方体的一个面在圆锥的底面圆内，且为圆锥的内接正方体， 设正方体的棱长为，沿正方体的对角面作圆锥的轴截面，如图，    则，显然，有，而， 因此，解得，则正方体工件体积. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（22-23高一下·河南洛阳·期中）在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（    ） A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【答案】D 【详解】根据题意，取的中点E，的中点F，连接， 则，所以，且, 故在同一平面内， 连接，因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为梯形； 又由梯形中， ， 即平面截该正方体所得截面为等腰梯形, 故选：D 二、填空题 2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意知,，又，故. 则. 当时，可知， 又，则， 故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)， 当时，过点作的平行线交于点， 可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图), 当时，过点作的平行线交的延长线于， 交于点，连接交于点， 可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时, 即的范围为. 3．（26-27高三上·江苏·阶段检测）在棱长为3的正四面体中，是棱上一点，且，过点作平面使得，且平面分别交，，于点，，．若，则四边形的面积为________． 【答案】/ 【详解】因为平面，平面，平面平面，则， 同理可得，则， 设，则， 可得，，，，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得， 则，，，， 可知四边形为等腰梯形，高， 所以四边形的面积为. 4．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 【答案】 【详解】将此圆柱沿剪开并展开，设点关于的对称点为，如图所示： 易知蚂蚁需经过的最短路程为, 由题意可知此圆柱的底面半径，高， 所以， 又因为是中点， 所以, 所以, 在中， 三、解答题 5．（25-26高一下·河南郑州·期中）在正三棱台中，，，，且该正三棱台的高为． (1)求正三棱台的体积； (2)若为的中点，为上一点，连接，，，求的最小值． 【详解】（1） 将正三棱台补形为如图1所示的正三棱锥． 因为，所以正三棱锥的每个侧面都是全等的正三角形． 因为，所以， 因为，，所以，所以． 因为该正三棱台的高为， 所以正三棱台的体积． （2） 将正三棱锥、正三棱台的侧面展开，得到图2． 在中，， 由余弦定理得． 在中，， 由余弦定理得． 当为和的交点时，取得最小值． 6．（25-26高二下·上海·期中）小杨同学给网球拍握把缠手胶胶条，如图所示．将胶条展开在一个平面上，可视其为一个直角梯形和一个平行四边形，胶条长为线段的长，宽2.5厘米（宽度为与之间的距离），与延长线的夹角可作小范围调整，如图1所示（点线部分表示省略）．小杨同学为研究需用多长的胶条才能完成缠绕，做出如下假设： 假设1：网球拍握把视为底面半径为2厘米、高为19厘米的圆柱； 假设2：缠绕胶条时，胶条紧贴握把表面；小范围调整时，在胶条的展开图中，仍视D、C、E在同一直线上； 假设3：取定握把的一条母线．缠绕胶条时，将贴合，贴合圆柱下底面圆周，恰好又落在上（此时B与A重合）；此后，胶条每次回到（与平行的某条线段再次落到上）视为缠绕一圈，如图2所示；胶条梯形段缠绕握把视为第1圈； 根据以上假设： (1)求网球拍握把的侧面积（精确到0.1平方厘米）； (2)设，小杨同学先缠绕2圈进行尝试，求这2圈胶条覆盖握把的面积（精确到0.1平方厘米）； (3)实际缠绕胶条时，从第二圈起，每一圈总会覆盖上一圈的一部分，为此小杨同学补充如下假设： 假设4：胶条在缠绕时重叠部分为厘米（即可见部分宽度从未缠绕时的2.5厘米变为d厘米）．小杨同学设计的缠绕方案中，其中一种是将胶条缠绕握把9圈，使得胶条边界落在上，且中点恰落在圆柱上底面圆周上．若某款胶条长118厘米，试问：该方案中这款胶条是否够用？ 【详解】（1）握把的侧面积为平方厘米． （2）如图所示是圆柱侧面的展开图，胶条覆盖部分为一个直角梯形． 设第二次落在上的胶条为，过G作垂直于，垂足为J， 即为胶条宽，．．， 因此． 根据梯形面积公式，胶条覆盖握把部分的面积为 ． （3）如下图所示，结合（2），第i圈（）中，胶条回到母线时， 可见部分（图中蓝色实线）与的公共点高度（到底面的距离）均上升； 而第9圈缠绕完毕时，回到时， 由于少了下一圈的遮挡，E相对F上升的高度为． 而由于中点在上底面圆周上，其高度应为19， 因此，整理得． 根据平面几何知识，． 根据同角三角函数关系，， 利用计算器求得． 应恰为底面周长的9倍， 故． 因此，118厘米长的胶条已经够用了． 7．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    【详解】    如图所示展开三棱锥得五边形，连接分别交于点， 则此时的周长最小为， 由题意易知，则， 且， 所以， 由， 故在分别为线段上的靠近C、D的一个四等分点时， 截面周长最小，最小值为. 8．（22-23高一下·湖北·阶段检测）在正三棱柱中，，，为线段上的动点，设，.      (1)当时，求三棱锥的体积； (2)求的最小值，并求取最小值时的值. 【详解】（1）当时，得出为的中点，则 （2）将矩形沿展开，与共面， 如图所示，，    ∴， 故的最小值为7 中，由正弦定理得：， 因为， ∴， 所以 ∴， 则. 9．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形，求此六边形的周长的最小值． 【详解】如图，依次将正方体各面展开，从正方形出发， 依次为，，，，， 则截面六边形的周长， 所以六边形的周长的最小值为． 10．（21-22高一下·江苏苏州·期中）已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形． (1)若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值； (2)若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积． 【详解】（1）解：沿侧棱将正三棱锥的侧面展开，如图，则即为质点移动路程的最小值， 依题意，，且， 由余弦定理得， 所以， 所以质点移动路程的最小值为. （2）解：正三棱锥的所有棱长均为2，则为正四面体，设其高为，正内切圆的半径为， 由，解得， 正四面体的斜高为，，依题意，圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 几何体的结构特征、截面与展开图问题 常考题型·精准突破 考点一 几何体的结构与截面 题型1 几何体的结构特征辨析（高频） 题型2 旋转体的轴截面 题型3 几何体的截面（正方体截面、球的截面）（重） 考点二 展开图与最短路径 题型4 侧面展开图 题型5 表面最短路径（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何体的结构与截面 ◆题型1 几何体的结构特征辨析 1．（26-27高二·全国·学业考试复习）下列说法中正确的是（   ） ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 2．（25-26高一下·河南省直辖县级单位·期末）下列四个选项中正确的是（    ） A．有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱长都相等的直四棱柱是正方体 C．棱台的侧棱延长后交于同一点 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 3．（25-26高一下·甘肃定西·期末）在正四棱台中，下列判断错误的是（     ） A． B．该棱台有条棱 C．，，，四点不共面 D．平面平面 4．（25-26高一下·甘肃白银·期末）若一个正n棱台共有18条棱，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（25-26高一下·河北衡水·期中）给出以下说法： ①棱锥最少有六条棱； ②圆柱的母线和轴不平行； ③长方体一定是平行六面体. 以上所有正确说法的序号是__________. ◆题型2 旋转体的轴截面 6．（26-27高二上·陕西商洛·阶段检测）已知圆台的上下底面半径分别是2和5，母线长为5，求： (1)圆台的高； (2)圆台的体积. 7．（25-26高二·全国·暑假作业）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求这个圆台的高、母线长和两底面半径． ◆题型3 几何体的截面（正方体截面、球的截面） 8．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　）    A． B． C． D． 9．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）的三个顶点在半径为5的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离是（    ） A．2 B．3 C．0 D．5 10．（25-26高二上·上海普陀·期中）下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 11．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面． 考点二 展开图与最短路径 ◆题型4 侧面展开图 12．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·安徽六安·期末）现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·黑龙江大庆·开学考试）有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径________. 15．（2026·湖南长沙·三模）将圆锥的侧面展开得到一个面积为，周长为的扇形，且该扇形的半径为有理数，则该圆锥的体积为________． ◆题型5 表面最短路径 16．（26-27高二上·上海崇明·期中）已知底面圆的半径为，母线长为的圆柱， 是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从绕圆柱一周爬到，则该蜘蛛爬行的最短路程为________________． 17．（2026·云南·三模）正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 18．（24-25高二·上海·课堂例题）正三棱柱的底边长侧棱长都是2，为的中点，为的中点，则在棱柱表面上，从到的最短路程是________． 19．（24-25高一下·浙江·期中）圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 20．（23-24高一下·吉林白山·期中）下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径，母线，    (1)是圆的一条直径的两个端点，母线的中点，用软尺沿着圆锥面测量两点的距离，求这个距离的最小值； (2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求这个正方体体积. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（22-23高一下·河南洛阳·期中）在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（    ） A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形 二、填空题 2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 3．（26-27高三上·江苏·阶段检测）在棱长为3的正四面体中，是棱上一点，且，过点作平面使得，且平面分别交，，于点，，．若，则四边形的面积为________． 4．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 三、解答题 5．（25-26高一下·河南郑州·期中）在正三棱台中，，，，且该正三棱台的高为． (1)求正三棱台的体积； (2)若为的中点，为上一点，连接，，，求的最小值． 6．（25-26高二下·上海·期中）小杨同学给网球拍握把缠手胶胶条，如图所示．将胶条展开在一个平面上，可视其为一个直角梯形和一个平行四边形，胶条长为线段的长，宽2.5厘米（宽度为与之间的距离），与延长线的夹角可作小范围调整，如图1所示（点线部分表示省略）．小杨同学为研究需用多长的胶条才能完成缠绕，做出如下假设： 假设1：网球拍握把视为底面半径为2厘米、高为19厘米的圆柱； 假设2：缠绕胶条时，胶条紧贴握把表面；小范围调整时，在胶条的展开图中，仍视D、C、E在同一直线上； 假设3：取定握把的一条母线．缠绕胶条时，将贴合，贴合圆柱下底面圆周，恰好又落在上（此时B与A重合）；此后，胶条每次回到（与平行的某条线段再次落到上）视为缠绕一圈，如图2所示；胶条梯形段缠绕握把视为第1圈； 根据以上假设： (1)求网球拍握把的侧面积（精确到0.1平方厘米）； (2)设，小杨同学先缠绕2圈进行尝试，求这2圈胶条覆盖握把的面积（精确到0.1平方厘米）； (3)实际缠绕胶条时，从第二圈起，每一圈总会覆盖上一圈的一部分，为此小杨同学补充如下假设： 假设4：胶条在缠绕时重叠部分为厘米（即可见部分宽度从未缠绕时的2.5厘米变为d厘米）．小杨同学设计的缠绕方案中，其中一种是将胶条缠绕握把9圈，使得胶条边界落在上，且中点恰落在圆柱上底面圆周上．若某款胶条长118厘米，试问：该方案中这款胶条是否够用？ 7．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    8．（22-23高一下·湖北·阶段检测）在正三棱柱中，，，为线段上的动点，设，.      (1)当时，求三棱锥的体积； (2)求的最小值，并求取最小值时的值. 9．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形，求此六边形的周长的最小值． 10．（21-22高一下·江苏苏州·期中）已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形． (1)若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值； (2)若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $