专题25.2 二次函数的图象与性质（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级下册

专题25.2 二次函数的图象与性质 教学目标 1.会用描点法画二次函数的图象，理解抛物线、对称轴、顶点等概念。 2.掌握二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性）。 3.掌握二次函数图象的平移规律，理解图象与各项系数的关系。 4.会用待定系数法求二次函数解析式（一般式、顶点式、交点式）。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的图象与性质 （2）二次函数图象的平移 （3）用待定系数法求二次函数解析式 2.难点 （1）配方法化顶点式及性质的灵活运用 （2）图象与各项系数关系的判断 （3）根据条件选择合适形式求解析式 知识点01：二次函数 y=ax²（a≠0）的图象与性质 1.图象：二次函数的图象是 。 2.性质：顶点坐标为（0，0），对称轴是 ；当a＞0时，抛物线开口向上，当x＝0时，y有最小值 ；当a＜0时，开口向下，当x＝0时，y有最大值 。 3.增减性：当a＞0时，在对称轴左侧y随x的 ，在右侧y随x的 ；当a＜0时相反。 4.|a|越大，抛物线的开口越小。 【即学即练】 1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．当时，随增大而增大 C．对称轴是轴 D．有最大值0 知识点02：二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与性质 1.配方法化顶点式：。 2.对称轴：直线 ；顶点坐标： 。 3.最值：当a＞0时，在处y有最小值；当a＜0时，在处y有最大值。 4.增减性：当a＞0时，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；当a＜0时相反。 【即学即练】 1．关于二次函数 下列说法正确的是（    ） A．其图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．其最小值为5 D．其图象的对称轴为直线 知识点03：二次函数图象的平移 1.平移规律：" 。向左平移h个单位用替换x，向右平移h个单位用替换x；向上平移k个单位函数值加k，向下平移k个单位函数值减k。 2.抛物线平移后形状不变，故a不变；可通过求平移后顶点坐标用顶点式求解析式。 【即学即练】 1．将抛物线，先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线是（     ） A． B． C． D． 知识点04：二次函数的图象与各项系数的关系 代数式 图象特征 符号判定 a（开口方向） 开口向上 / 向下 a＞0 / a＜0 b（对称轴位置） 对称轴在y轴右侧 / 左侧 a、b异号 / a、b同号；b＝0时对称轴为y轴 c（与y轴交点） 交于y轴正半轴 / 负半轴 / 原点 c＞0 / c＜0 / c＝0 b²－4ac（与x轴交点） 两个交点 / 一个交点 / 无交点 ＞0 / ＝0 / ＜0 【即学即练】 1．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 知识点05：用待定系数法求二次函数解析式 1.一般式： ，已知图象上任意三个点的坐标，代入解方程组求a、b、c。 2.顶点式： ，已知顶点（h，k）或对称轴、最值时选用；顶点在原点时设。 3.交点式： ，已知抛物线与x轴的两个交点坐标（，0）、（，0）时选用。 4.原则：根据已知条件的特点选择最合适的解析式形式，代入坐标解方程（组）。 【即学即练】 1．已知抛物线过点，，求它的解析式及顶点坐标． 题型01 用配方法化顶点式 提取二次项系数，配方成，读出顶点坐标与对称轴。 【典例1】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）用配方法把写成顶点式，则原函数的对称轴是直线___________． 【变式1】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数的顶点坐标是___________． 【变式2】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）抛物线的对称轴是________________． 【变式3】. （26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知二次函数，先用配方法转化成，再写出函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 题型02 五点绘图法画二次函数的图象 以顶点为中心对称取点，列表、描点、用平滑曲线连线，注意两端无限延伸。 【典例2】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的解析式． (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，x的取值范围是_________． 【变式1】. （26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数． (1)请填写表中空格处的数值； … 0 1 2 3 4 … … … (2)结合表格，画出这个二次函数的图象； (3)根据图象，当时，的取值范围______． … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 【变式2】. （26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）已知二次函数． x …… 0 1 3 5 6 …… y …… 5 0 －4 ______ ______ …… (1)补全表格，在如图的平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象； (2)观察图象，直接写出当时，的取值范围是______． 【变式3】. （26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数． (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴； (2)用描点法在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象． x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 1 4 5 4 1 …… 题型03 二次函数图象上点的坐标特征 把点的坐标代入解析式，验证点是否在图象上，或由自变量求对应函数值。 【典例3】. （26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）下列各点中，在二次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若点 在抛物线 上，则 a 的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】. （26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的图象经过点，则的值为________． 题型04 根据图象识别二次函数的性质 由开口方向定a的符号，由对称轴、顶点、最值、增减性结合图象特征进行判断。 【典例4】. （26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）抛物线的开口方向是______． 【变式1】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数的图象经过的象限是（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式2】. （26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向下，对称轴 B．开口向上，有最大值3 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，有最小值3 【变式3】. （26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知二次函数，当x______时，y随x的增大而增大． 题型05 根据二次函数的性质比较大小 将点横坐标与对称轴比较，结合开口方向与增减性判断函数值大小；或代入直接计算。 【典例5】. （26-27九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】. （25-26九年级上·云南德宏·期末）若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·江西新余·阶段检测）已知，，是二次函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （2026九年级上·上海·专题练习）抛物线过三点，，，则（　　） A． B． C． D． 题型06 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 由开口方向、对称轴及增减区间，列不等式或方程求参数范围。 【典例6】. （26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为______． 【变式1】. （26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）二次函数 ，当时，二次函数的最大值是，则的值是_________ 【变式2】. （26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（     ） A． B． C． D．2 题型07 二次函数图象的平移 按"左加右减、上加下减"平移，先化顶点式看顶点变化，或平移后顶点用顶点式求解析式。 【典例7】. （26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______． 【变式1】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，则，，的值计算正确的是（     ） A． ，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）已知抛物线． (1)若，抛物线经过怎样平移，顶点恰好落在原点处？ (2)已知点，在该抛物线上，当时，求与的大小关系． 【变式3】. （26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标； (2)如果将该抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度得到新的抛物线，写出平移后的抛物线的解析式． 题型08 二次函数图象与各项系数的关系 由开口定a、由对称轴位置定b的符号、由与y轴交点定c，由判别式定与x轴交点个数。 【典例8】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是二次函数的图象，则，的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】. （26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】. （26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】. （26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 题型09 二次函数图象与一次函数图象共存问题 先由一次函数确定k、b符号，再判断二次函数的开口与对称轴位置是否一致。 【典例9】. （26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026九年级上·上海·专题练习）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 题型10 用待定系数法求二次函数解析式 根据条件选择一般式、顶点式或交点式，代入已知点坐标解方程（组）求系数。 【典例10】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数的图象经过点、、，求这个二次函数的解析式． 【变式1】. （26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【变式2】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的表达式． 【变式3】. （26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)为任意实数，试判断点是否在这个二次函数的图象上． 题型11 二次函数图象的对称与旋转变换 关于x轴、y轴对称或绕顶点旋转，由对称性确定对应点坐标，再用待定系数法求新解析式。 【典例11】. （25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线绕顶点旋转，所得抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线绕原点旋转得抛物线_____________． 【变式2】. （25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象关于直线对称，且与轴交于． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； (3)若是该函数图象上的两个点，且，求的取值范围． 【变式3】. （26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（为常数）关于直线对称． (1)求常数的值； (2)平面直角坐标系中，已知点与点，且点在抛物线上． ①若点也在抛物线上，当时，比较的大小； ②若点在抛物线上，，求的最大值． 题型12 二次函数性质的综合应用 综合运用对称轴、顶点、最值、增减性与最值求参数，结合对称性求最短路径或函数值。 【典例12】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． (1)若，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)已知点，是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求n的最大值． 【变式1】. （26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）已知关于x的二次函数的图象，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作点B关于对称轴对称的点P； (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使的周长最短． 【变式2】. （26-27九年级上·上海静安·阶段检测）已知关于的二次函数为． (1)若此二次函数的图像过点，求该函数的表达式； (2)若点、为抛物线上两个不同的点，且当时，，求的值． 【变式3】. （26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线过，，三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 二、填空题 4．已知点，在抛物线 上，则 ________．（填“”或“”或“”） 5．抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后抛物线的解析式是_______． 6．当时，二次函数的最大值为______． 三、解答题 7．已知二次函数的图象经过点，两点． (1)试求b、c的值； (2)能否通过上下平移二次函数的图象，使得到的新函数的图象过点．若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 8．已知二次函数过点和点． (1)求这个二次函数的解析式，并写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． (2)写出当为何值时，随的增大而增大． (3)当________时，二次函数有最________值，其值为________． 9．抛物线上有一点， x轴上两点． (1)请用无刻度的直尺在图①作出点； (2)如图②，翻折抛物线 得．请用无刻度直尺作正方形 且使E、F在上． 1．如图，二次函数的图象（未画出）与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（      ） A． B．图象的对称轴为直线 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 2．如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 3．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，比如：，．我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式． 例如：可变形为 请结合所学的数学知识解决下列问题： 已知抛物线的对称轴是直线． (1)求的值； (2)已知点（）在抛物线上，求证：． 4．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知为抛物线的动点，若，直接写出n的取值范围； (3)当时，y的最大值与最小值的差为3，求t的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2 二次函数的图象与性质 教学目标 1.会用描点法画二次函数的图象，理解抛物线、对称轴、顶点等概念。 2.掌握二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性）。 3.掌握二次函数图象的平移规律，理解图象与各项系数的关系。 4.会用待定系数法求二次函数解析式（一般式、顶点式、交点式）。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的图象与性质 （2）二次函数图象的平移 （3）用待定系数法求二次函数解析式 2.难点 （1）配方法化顶点式及性质的灵活运用 （2）图象与各项系数关系的判断 （3）根据条件选择合适形式求解析式 知识点01：二次函数 y=ax²（a≠0）的图象与性质 1.图象：二次函数的图象是一条抛物线。 2.性质：顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，当x＝0时，y有最小值0；当a＜0时，开口向下，当x＝0时，y有最大值0。 3.增减性：当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在右侧y随x的增大而增大；当a＜0时相反。 4.|a|越大，抛物线的开口越小。 【即学即练】 1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．当时，随增大而增大 C．对称轴是轴 D．有最大值0 【答案】B 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴二次项系数 ，顶点坐标为，对称轴为轴， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，当时，有最大值， ∵ 开口向下，对称轴为轴， ∴ 当时，随的增大而减小，故选项A，C，D正确，B错误． 知识点02：二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与性质 1.配方法化顶点式：。 2.对称轴：直线；顶点坐标：。 3.最值：当a＞0时，在处y有最小值；当a＜0时，在处y有最大值。 4.增减性：当a＞0时，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；当a＜0时相反。 【即学即练】 1．关于二次函数 下列说法正确的是（    ） A．其图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．其最小值为5 D．其图象的对称轴为直线 【答案】B 【分析】该二次函数为顶点式，可直接确定开口方向、对称轴、最值，进而判断各选项． 【详解】解： ， ，图象开口向下，A错误． 对称轴为直线，D错误． 当时，有最大值5，C错误． 图象开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，B正确． 知识点03：二次函数图象的平移 1.平移规律："左加右减，上加下减"。向左平移h个单位用替换x，向右平移h个单位用替换x；向上平移k个单位函数值加k，向下平移k个单位函数值减k。 2.抛物线平移后形状不变，故a不变；可通过求平移后顶点坐标用顶点式求解析式。 【即学即练】 1．将抛物线，先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得，再向下平移个单位长度，得． 知识点04：二次函数的图象与各项系数的关系 代数式 图象特征 符号判定 a（开口方向） 开口向上 / 向下 a＞0 / a＜0 b（对称轴位置） 对称轴在y轴右侧 / 左侧 a、b异号 / a、b同号；b＝0时对称轴为y轴 c（与y轴交点） 交于y轴正半轴 / 负半轴 / 原点 c＞0 / c＜0 / c＝0 b²－4ac（与x轴交点） 两个交点 / 一个交点 / 无交点 ＞0 / ＝0 / ＜0 【即学即练】 1．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 【答案】B 【分析】根据图象获取顶点坐标及与轴交点范围，利用二次函数性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则． 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为． 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为． 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为， ∴对任意实数，， ，当时取等号，故C错误； 对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 抛物线开口向下，， 点离对称轴更远，即， 解得，故D错误． 知识点05：用待定系数法求二次函数解析式 1.一般式： ，已知图象上任意三个点的坐标，代入解方程组求a、b、c。 2.顶点式： ，已知顶点（h，k）或对称轴、最值时选用；顶点在原点时设。 3.交点式： ，已知抛物线与x轴的两个交点坐标（，0）、（，0）时选用。 4.原则：根据已知条件的特点选择最合适的解析式形式，代入坐标解方程（组）。 【即学即练】 1．已知抛物线过点，，求它的解析式及顶点坐标． 【答案】抛物线的解析式为，顶点坐标为 【分析】设抛物线的解析式为：，利用待定系数法解得抛物线的解析式，并将解析式的一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， 由题意把点代入抛物线的解析式得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， ， 抛物线的顶点坐标为． 题型01 用配方法化顶点式 提取二次项系数，配方成，读出顶点坐标与对称轴。 【典例1】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）用配方法把写成顶点式，则原函数的对称轴是直线___________． 【答案】2 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵用配方法把写成顶点式， ∴原函数的对称轴是直线． 【变式1】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】 【详解】解：， ∴顶点坐标为． 【变式2】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）抛物线的对称轴是________________． 【答案】直线 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线． 【变式3】. （26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知二次函数，先用配方法转化成，再写出函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】 转化后的顶点式为；函数开口方向向下；顶点坐标为；对称轴为直线 【分析】先提取二次项系数，对含的项配方，将一般式转化为顶点式，再根据二次项系数的符号判断开口方向，从顶点式直接得到顶点坐标与对称轴． 【详解】解： ， ∵， ∴ 函数开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 题型02 五点绘图法画二次函数的图象 以顶点为中心对称取点，列表、描点、用平滑曲线连线，注意两端无限延伸。 【典例2】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的解析式． (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，x的取值范围是_________． 【答案】(1)如图， (2) 【分析】（1）根据函数的解析式列表，描点，连线； （2）根据函数图象得出的取值范围． 【详解】（1）解：已知， 列表如下： 画图略； （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是． 【变式1】. （26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数． (1)请填写表中空格处的数值； … 0 1 2 3 4 … … … (2)结合表格，画出这个二次函数的图象； (3)根据图象，当时，的取值范围______． 【答案】(1)3，0，，0，3 (2) (3) 【分析】（1）将表格内自变量取值代入函数解析式计算； （2）根据表格内的数据描点连线画图； （3）根据函数图象作答． 【详解】（1）解： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （2）略 （3）解：由函数图象可知，当时，函数图象的最低点在范围内，则函数值的最小值为， 当时，；当时，， 则当时，的取值范围为． 【变式2】. （26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）已知二次函数． x …… 0 1 3 5 6 …… y …… 5 0 －4 ______ ______ …… (1)补全表格，在如图的平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象； (2)观察图象，直接写出当时，的取值范围是______． 【答案】(1)，，图象如下： (2) 【分析】（1）先列表，再描点，再画图即可； （2）根据函数的图象得到当时，y的最大值与最小值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：根据图象可得当时，当时，最小，最小值为， 当时，， ∴． 【变式3】. （26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数． (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴； (2)用描点法在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)描点，连线如图： 【分析】（1）把函数解析式用配方法化为顶点式即可解答； （2）用列表，描点，连线作出图像即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：列表： x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 1 4 5 4 1 …… 描点、连线，如图： 题型03 二次函数图象上点的坐标特征 把点的坐标代入解析式，验证点是否在图象上，或由自变量求对应函数值。 【典例3】. （26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）下列各点中，在二次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、当时，， ∴点在二次函数的图象上； B、当时，， ∴点不在二次函数的图象上； C、当时，， ∴点不在二次函数的图象上； D、当时，， ∴点不在二次函数的图象上． 【变式1】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若点 在抛物线 上，则 a 的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】把代入中，计算即可． 【详解】解：把 代入，得，解得． 【变式2】. （26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数图象关于y轴对称的性质求解． 【详解】解：∵二次函数的图象关于y轴对称， ∴点关于y轴的对称点必在该函数图象上； ∵点关于y轴的对称点为， ∴该图象必经过点． 【变式3】. （26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，即可求解的值． 【详解】∵点在二次函数的图象上， ∴将，代入解析式得， 整理得， 解得． 题型04 根据图象识别二次函数的性质 由开口方向定a的符号，由对称轴、顶点、最值、增减性结合图象特征进行判断。 【典例4】. （26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）抛物线的开口方向是______． 【答案】向下 【分析】根据题意得此抛物线的二次项系数为，即可得开口方向. 【详解】解：根据抛物线的解析式得此抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的开口方向是向下. 【变式1】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数的图象经过的象限是（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】D 【分析】根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，结合顶点位置确定图象经过的象限． 【详解】解：二次函数的一般形式为（），二次项系数a的符号决定开口方向：当时，抛物线开口向下．本题中函数为，其中，因此抛物线开口向下． 对于形式的二次函数，对称轴为直线（即y轴），顶点坐标为，即原点． 抛物线开口向下，顶点在原点，因此当时，函数值： 当时，对应点横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限； 当时，对应点横坐标为负、纵坐标为负，位于第三象限． 因此该二次函数图象经过第三、四象限． 【变式2】. （26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向下，对称轴 B．开口向上，有最大值3 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，有最小值3 【答案】C 【详解】已知抛物线解析式为，， 则的开口向下，有最大值3， 故选项B、D错误． 的顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，C正确． 【变式3】. （26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知二次函数，当x______时，y随x的增大而增大． 【答案】 【分析】由二次函数的性质可得二次函数的开口向上，对称轴为直线（即轴），从而即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线（即轴）， ∴当时，y随x的增大而增大． 题型05 根据二次函数的性质比较大小 将点横坐标与对称轴比较，结合开口方向与增减性判断函数值大小；或代入直接计算。 【典例5】. （26-27九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由得抛物线对称轴为直线． ∵，即点、到对称轴的距离相等， ∴点、关于抛物线对称轴对称， ∴． 【变式1】. （25-26九年级上·云南德宏·期末）若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别将，，代入算出结果，进行比较即可． 【详解】解：分别将，，代入，得 ，，， ， ． 【变式2】. （26-27九年级上·江西新余·阶段检测）已知，，是二次函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将代入，得； 将代入，得； 将代入，得； ∵， ∴. 【变式3】. （2026九年级上·上海·专题练习）抛物线过三点，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式可知：抛物线开口向上，对称轴为直线，利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； ∵点关于对称轴的对称点的坐标为，， ∴， 即． 题型06 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 由开口方向、对称轴及增减区间，列不等式或方程求参数范围。 【典例6】. （26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可知，函数对称轴为直线，在和之间，可确定的最大值在处取得，再求出和时的值，可得出的最小值，即可确定的范围． 【详解】解：由二次函数得，二次项系数，抛物线开口向下，且， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 【变式1】. （26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）二次函数 ，当时，二次函数的最大值是，则的值是_________ 【答案】或4 【分析】由可得对称轴为直线，开口向上，再根据与对称轴的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向上， ∴①当，即时，在上，随的增大而增大， ∴时，取得最大值，此时， 解得，， ∵，不符合，舍去， 符合， ∴； ②当，即时，在上，时，取得最大值， 同理①可得，，， 均不符合，舍去； ③当，即时，在上，时，取得最大值，即， 解得，， 均不符合，舍去； ④当，即时，在上，随的增大而减小， ∴时，取得最大值，即， 解得（舍去），， ∴； 综上所述，的值是或4． 【变式2】. （26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从二次函数增减性与对称轴的关系入手，推导的取值范围后对照选项判断． 【详解】解：∵二次函数中二次项系数为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵当时，随的增大而减小 又∵当时，随的增大而减小 ∴ ∴的取值可以是2． 【变式3】. （26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据二次函数的开口方向与对称轴，判断区间内最小值对应的自变量取值，代入解析式求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在范围内，离对称轴越远的点函数值越小， ∵， ∴当时，取最小值，代入得 ， 解得． 题型07 二次函数图象的平移 按"左加右减、上加下减"平移，先化顶点式看顶点变化，或平移后顶点用顶点式求解析式。 【典例7】. （26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______． 【答案】 【分析】根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为． 【变式1】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，则，，的值计算正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可． 【详解】解：由题意得向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到原抛物线， ∴原抛物线解析式为， ∴， ∴，，． 【变式2】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）已知抛物线． (1)若，抛物线经过怎样平移，顶点恰好落在原点处？ (2)已知点，在该抛物线上，当时，求与的大小关系． 【答案】(1)向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度（答案不唯一，合理即可）． (2)当时，；当时，． 【分析】（1）代入，将抛物线解析式化为顶点式得到顶点坐标，根据顶点的平移规律确定抛物线的平移方式． （2）先求出抛物线的对称轴，再结合开口方向分情况讨论时的函数增减性，进而比较函数值大小． 【详解】（1）解：∵当时，抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵要使顶点落在原点，需将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度， ∴将该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，顶点恰好落在原点处（或者将该抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，顶点恰好落在原点处）． （2）解：∵抛物线存在， ∴，抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，随的增大而减小． ∵， ∴． 当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大． ∵， ∴． 综上所述，当时，；当时，． 【变式3】. （26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标； (2)如果将该抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度得到新的抛物线，写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)平移后的抛物线解析式为（或） 【分析】（1）将二次函数一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标； （2）根据平移后顶点的坐标变化，结合二次项系数不变求解新解析式． 【详解】（1）解： ， ∴ 此抛物线的顶点坐标为； （2）∵ 原抛物线顶点坐标为，抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度， ∴ 新顶点坐标为，即， ∵ 平移前后抛物线的二次项系数不变， ∴ 平移后的抛物线解析式为，即． 题型08 二次函数图象与各项系数的关系 由开口定a、由对称轴位置定b的符号、由与y轴交点定c，由判别式定与x轴交点个数。 【典例8】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是二次函数的图象，则，的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点判断的符号． 【详解】解：根据题图可知，抛物线的对称轴在轴右侧，则， 解得， 抛物线与轴的交点在轴上方， 可得， 故选项满足题意． 【变式1】. （26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线对称轴公式得，结合开口方向、顶点位置、函数增减性逐一判断各结论． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线，，顶点在轴下方， ∵， ∴，即，故①正确； 当时，为顶点纵坐标， ∵顶点在轴下方， ∴，故②正确； ∵点关于对称轴的对称点为， 又∵抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，， ∴，故③错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故④正确． 综上，正确结论是①②④，共3个． 【变式2】. （26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向得出，由对称轴的位置得出，由抛物线与轴交点的位置得出，即可判断①；由，即可判断②；由抛物线经过点，且开口向上，即可判断③；由，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴大于且小于， ∴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴②错误； ∵抛物线经过点，且开口向上， ∴当时，， ∴当时，， ∴③正确； ∵抛物线经过点， ∴， 又∵， ∴，即， ∴④正确； 综上：正确的结论有2个． 【变式3】. （26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 题型09 二次函数图象与一次函数图象共存问题 先由一次函数确定k、b符号，再判断二次函数的开口与对称轴位置是否一致。 【典例9】. （26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求； D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求； 故选：C． 【变式1】. （26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 的符号判断直线经过的象限及抛物线开口方向、对称轴位置，逐一排查选项． 【详解】解： 由二次函数 可知对称轴为直线 ． 选项A中：抛物线开口向下， ， 对称轴 ，应在 轴右侧，与图象矛盾． 选项B中：抛物线开口向上， ， ∵对称轴为直线 ， 对称轴应在 轴左侧，与图象矛盾． 选项C中： 抛物线开口向下， ， 直线 应随 增大而减小，与图象矛盾． 选项D中： 抛物线开口向上， ， 对称轴 ，且直线 随 增大而增大，与 轴交点 在负半轴，与图象相符． 故选：． 【变式2】. （2026九年级上·上海·专题练习）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点为，即交于y轴，且抛物线开口向上， A、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴ ∴， 又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； B、抛物线开口应朝上，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴， ∵又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项正确； D、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴， ∵又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误． 【变式3】. （26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向确定 的符号，结合对称轴位置确定 的符号，再根据直线的增减性判断 的符号、根据与 轴交点判断 的符号，看是否一致. 【详解】解： A、由抛物线开口向上可知 ，由直线从左下到右上可知 即 ，矛盾，故本选项错误； B、由抛物线开口向下可知 ，对称轴在 轴右侧可知 ，因 故 ，由直线从左下到右上可知 即 ，与 轴交于正半轴可知 ，一致，故本选项正确； C、由抛物线开口向上可知 ，对称轴在 轴右侧可知 ，因 故 ，由直线与 轴交于正半轴可知 ，矛盾，故本选项错误； D、由抛物线开口向下可知 ，由直线从左上到右下可知 即 ，矛盾，故本选项错误. 题型10 用待定系数法求二次函数解析式 根据条件选择一般式、顶点式或交点式，代入已知点坐标解方程（组）求系数。 【典例10】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数的图象经过点、、，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、、， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【变式1】. （26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为 【分析】（1）将三个已知点的坐标代入二次函数一般式，列方程组求解待定系数，，，再回代即可； （2）先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合的取值范围，比较顶点和取值范围两端点的函数值，得到最值． 【详解】（1）解：把点，，代入解析式，得 ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由（1）得该二次函数的解析式为， ∴，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，； 当时，； ∵， ∴函数的最小值为； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为． 【变式2】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的表达式． 【答案】 【分析】设抛物线一般式，代入三个已知点的坐标，列方程组求解系数即可得表达式． 【详解】解：设抛物线的表达式为， 将，，分别代入表达式，得 ， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 【变式3】. （26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)为任意实数，试判断点是否在这个二次函数的图象上． 【答案】(1)； (2)点在这个二次函数的图象上． 【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，再将代入求出的值，即可得解； （2）将代入函数解析式判断即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式： 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：把代入得，， 故点在这个二次函数的图象上． 题型11 二次函数图象的对称与旋转变换 关于x轴、y轴对称或绕顶点旋转，由对称性确定对应点坐标，再用待定系数法求新解析式。 【典例11】. （25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线绕顶点旋转，所得抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的旋转变换，先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论． 【详解】解：∵原抛物线可化为顶点式，顶点为， ∴绕顶点旋转后，新抛物线解析式为， 令，则， ∴与轴交点坐标为 故选：D． 【变式1】. （26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线绕原点旋转得抛物线_____________． 【答案】 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，根据绕原点旋转的性质，得到旋转后新抛物线的顶点坐标和二次项系数，进而写出新抛物线的表达式． 【详解】解：∵原抛物线表达式为， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点对称，开口方向相反， ∴关于原点的对称点为，二次项系数变为， ∴旋转后得到的抛物线表达式为． 【变式2】. （25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象关于直线对称，且与轴交于． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； (3)若是该函数图象上的两个点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法列式求出即可得到答案； （2）由二次函数图象与性质求出当时，二次函数的最大值与最小值，从而由题意列一元二次方程求解即可得到答案； （3）先求出二次函数图象与轴的交点坐标，再根据，由与两个交点的位置关系分类列不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象关于直线对称， ，解得； 二次函数的图象与轴交于， ； 则该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为，开口向上、对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 则当时，二次函数的最小值为；当时，二次函数的最大值为； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为， ， 即， ， 解得或（由可知，此值不满足条件，舍去）， ； （3）解：由（1）知二次函数的表达式为， 令，则， 解得或， 二次函数的图象与轴的交点坐标为和， 是该函数图象上的两个点，且， 或， 解不等式组得或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质求最值、解一元二次方程、二次函数与轴的交点位置求参数范围等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【变式3】. （26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（为常数）关于直线对称． (1)求常数的值； (2)平面直角坐标系中，已知点与点，且点在抛物线上． ①若点也在抛物线上，当时，比较的大小； ②若点在抛物线上，，求的最大值． 【答案】(1) (2)①；②最大值为 【分析】（1）首先求得两条抛物线的对称轴，再根据图象的对称性，得到对称轴之间的关系，求解即可； （2）①根据抛物线的增减性，求得，解答即可． ②构造二次函数，根据二次函数的最值，求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线为 对称轴为直线， ， 对称轴为直线， 又抛物线与关于直线对称， ， 解得； （2）①解：由题意，抛物线的对称轴为直线． ， ． 在抛物线中的系数为，且距离对称轴越远，函数值越小， ； ②解：， ． 将点代入，得 ． 将点代入，得 ． ， ， 当时，取最大值，为． 题型12 二次函数性质的综合应用 综合运用对称轴、顶点、最值、增减性与最值求参数，结合对称性求最短路径或函数值。 【典例12】. （26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． (1)若，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)已知点，是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求n的最大值． 【答案】(1)，开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为； (2)6 【分析】（1）将代入函数解析式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据函数解析式得出对称轴为：，，然后建立方程得出，代入函数解析式利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∵， ∴开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）∵， ∴对称轴为：， ∵点，都在该二次函数图象上， ∴对称轴为：， ∴， ∴， ∴， ∴，即n的最大值为6． 【变式1】. （26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）已知关于x的二次函数的图象，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作点B关于对称轴对称的点P； (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使的周长最短． 【答案】(1)如图中，点P即为所求 (2)如图中，点Q即为所求 【分析】（1）根据对称性，连接交对称轴于点，连接并延长交抛物线于点即可； （2）根据对称性，的周长为，当三点共线时，的周长最短，故连接交对称轴于点，即可. 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】. （26-27九年级上·上海静安·阶段检测）已知关于的二次函数为． (1)若此二次函数的图像过点，求该函数的表达式； (2)若点、为抛物线上两个不同的点，且当时，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入到二次函数表达式中求解即可； （2）根据抛物线的对称性，当两点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， 解得， 将代入中， 得． （2）解：∵， ∴点、关于对称轴对称， ∴对称轴为， 又∵二次函数中，，对称轴为， ∴． 【变式3】. （26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积直接计算的值； （2）根据抛物线开口向上且对称轴在轴右侧的性质，分类讨论对称轴与区间的位置关系，结合最值差列方程求解，舍去不符合范围的解即可． 【详解】（1）解： ∵ 抛物线与轴交点为，，且，， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴ ； （2）∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ， ∴ ， 分情况讨论： ① 当，即时， ∵ 在范围内，随的增大而减小， ∴ （时取得），（时取得）， ∵ 最大值与最小值的差为， ∴ ， 解得， ∵ ，与矛盾， ∴ 该情况舍去； ② 当，即时， ∵ 抛物线开口向上， ∴ 最小值在对称轴处取得，， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 整理得， 解得，； ∵ ， ∴ 符合条件， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 解得， ∵ ， ∴ 符合条件； 综上所述，的值为或 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的顶点坐标为． 2．抛物线过，，三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找到二次函数的对称轴以及确定开口方向，再分析三个点横坐标到对称轴的距离，结合函数在对称轴两侧的增减性，即可判断的大小关系． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，开口向上， 三点横坐标到对称轴的距离分别为，，， ∵函数开口向上，越靠近对称轴，函数值越小， ∴． 3．如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 【答案】C 【详解】解：根据二次函数(a，b是常数)的图象知，， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， 观察四个选项，只有选项C符合题意． 二、填空题 4．已知点，在抛物线 上，则 ________．（填“”或“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵点，在抛物线 上， ∴， ∵， ∴． 5．抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后抛物线的解析式是_______． 【答案】 【详解】解：抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后抛物线的解析式是． 6．当时，二次函数的最大值为______． 【答案】10 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据开口方向向上，结合x的取值范围，与对称轴距离越大的函数值越大，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵，，，且， ∴时，函数取得最大值，最大值为． 三、解答题 7．已知二次函数的图象经过点，两点． (1)试求b、c的值； (2)能否通过上下平移二次函数的图象，使得到的新函数的图象过点．若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，将原二次函数图象向下平移个单位长度． 【分析】（1）代入两点坐标列方程组，求解b,c的值即可； （2）设平移后的函数解析式，代入目标点坐标求平移量，判断平移方向与距离． 【详解】（1）解：∵ 二次函数的图象经过点，， ∴ 将两点坐标代入解析式，得 解得 ； （2）能，理由如下： 由（1）得原函数解析式为， 设将原函数图象向上平移个单位长度后，新函数解析式为. ∵ 新函数图象过点， ∴将，代入解析式，得 ， 解得， ∵ ， ∴平移方向为向下，平移距离为个单位长度. 综上所述，将原二次函数图象向下平移个单位长度，可使新函数图象过点． 8．已知二次函数过点和点． (1)求这个二次函数的解析式，并写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． (2)写出当为何值时，随的增大而增大． (3)当________时，二次函数有最________值，其值为________． 【答案】(1)；二次函数图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大 (3)；大； 【分析】（1）用待定系数法将点和点代入二次函数中，求解即可，然后根据求得的解析式即可得出二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）根据二次函数，其图象的开口向下，关于轴对称，即可得出结果； （3）根据二次函数，其图象的开口向下，关于轴对称，顶点坐标为，即可得出结果． 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数中得： ，解得：， ∴二次函数解析式为， ∵二次函数，且， ∴二次函数图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为． （2）解：∵二次函数，其图象的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大． （3）解：∵二次函数，其图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为， ∴当时，二次函数有最大值，其值为． 9．抛物线上有一点， x轴上两点． (1)请用无刻度的直尺在图①作出点； (2)如图②，翻折抛物线 得．请用无刻度直尺作正方形 且使E、F在上． 【答案】(1)解：如图：点D即为所求． (2)解：如图：作正方形即为所求． 【分析】（1）如图：连接交y轴于G，连接并延长与抛物线的交点为，由点关于轴对称和抛物线关于轴对称可得关于轴对轴，利用轴对称的性质即可得到； （2）如图：连接交y轴于G，连接并延长与抛物线的交点即为点D，可得，连接并延长分别交抛物线于F、E，利用轴对称性质可得，，然后顺次连接即可得正方形 且使E、F在上． 【详解】（1）略； （2）略． 1．如图，二次函数的图象（未画出）与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（      ） A． B．图象的对称轴为直线 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式确定对称轴和顶点，结合图象开口方向及对称性逐一判断即可． 【详解】解：由二次函数解析式可知，图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故选项B说法正确； 顶点在轴上方，且图象与轴交于、两点， 抛物线开口向下，即，故选项A说法正确； 抛物线对称轴为直线，点坐标为， 点与点关于直线对称， 设点坐标为，则， 解得， 点的坐标为，故选项C说法正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，m 选项D说法错误，符合题意． 2．如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】对于①，由二次函数的开口方向与对称轴位置确定、的符号；对于②，观察时，函数图象的位置即可；对于③，将点和代入解析式，化简可得；对于④，将③的结论代入可得，原式；对于⑤，先计算出抛物线的对称轴，再结合函数的图象与性质将比较函数值大小转化为到对称轴的距离问题，解不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图可知，当时，抛物线在轴下方， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象过点， ∴，即， 又∵二次函数的图象过点， ∴， 将代入，得， 整理，得， 由图可知，， ∴， ∴，故③错误； ， ∵， ，， ∴， ∵二次函数的图象交轴于正半轴， ∴，即， ∴，即，故④正确； 对于⑤：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的图象开口向下， ∴点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵， ∴， 不等式两边平方，得， 解得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 3．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，比如：，．我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式． 例如：可变形为 请结合所学的数学知识解决下列问题： 已知抛物线的对称轴是直线． (1)求的值； (2)已知点（）在抛物线上，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵点在抛物线上 ∴，且 ∴ ∴， ∴ ． 【分析】（1）利用对称轴公式求解； （2）将代入得到，，，然后代入逐步化简即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线 ∴ ∴； （2）略 4．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知为抛物线的动点，若，直接写出n的取值范围； (3)当时，y的最大值与最小值的差为3，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为和 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）抛物线的动点M在的范围中包含顶点，则可知n的最小值，再根据抛物线的轴对称性，可求得n的最大值，即得答案； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， 把代入，得， 解得， 该抛物线的函数关系式为； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 二次函数的最小值为， ， 当时，二次函数取得最大值， ． （3）解：当时，， 由y的最大值与最小值的差为3，可得 解得，不合题意，舍去； 当时，， 若，即时， 解得 结合，可得； 若，即时， 解得 结合，可得； 当时， 解得，不合题意，舍去； 综上所述，符合条件的t的值为和． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $