专题10.3 二项式定理（9重难点题型+高考真题）专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题10-3 二项式定理 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由项的系数确定参数 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 3．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 【答案】 【难度】0.86 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 4．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 6．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 7．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 8．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、求指定项的系数 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 9．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 10．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______. 【答案】15 【难度】0.94 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果. 【详解】 展开式中令的项为， 所以 展开式中的系数为15. 故答案为：15 重难点题型1 求二项展开式中指定项的系数或二项式系数 1．（2026·广东广州·模拟预测）的展开式的第项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】利用二项展开式的通项公式，先确定第项对应的参数取值，代入计算即可得到该项的系数 【详解】由二项式的展开式通项为，其中， 因为求第项的系数，令，解得， 将代入通项的系数部分，可得第项的系数为. 2．（2026·福建泉州·模拟预测）展开式中，项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】写出二项展开通项，令的指数等于解出，回代计算系数． 【详解】的通项公式为， 令，得， 所以． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的常数项为（  ） A．15 B．20 C．40 D．60 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】利用展开式通项求解. 【详解】展开式通项为． 令，得． 所以常数项为． 4．（2026·北京丰台·三模）在的展开式中，常数项为（ ） A．4 B． C．12 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】利用二项展开式的通项公式，再令通项中的指数为0取得的值，最后代入计算求得常数项即可. 【详解】因为， 所以，， 因为常数项的次数为0，所以，解得， 代入得. 5．（2026·云南昭通·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A． B．9 C． D．1 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令的次数为3，求出的值，从而可求得结果. 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为． 6．（2026·广东深圳·模拟预测）在的展开式中，的系数为_______.（用数字作答） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项、组合数的计算、求指定项的系数 【详解】 当时，， 则的系数为. 7．（2026·江苏·模拟预测）的展开式中，的系数为_____________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项公式，进而求得展开式中的系数. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 令，可得，所以展开式中的系数为. 8．（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）展开式中项的系数为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【详解】的通项为，令，解得， ，故展开式中项的系数为． 9．（2026·四川巴中·模拟预测）的展开式中，的系数为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【详解】展开式的通项为, 令得的展开式中，的系数为. 重难点题型2 求三项展开式中指定项的系数或二项式系数 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 1．（2026·云南·三模）的展开式中常数项为（    ） A．-20 B．20 C．-924 D．924 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】将整理为，利用二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】因为， 展开式的通项公式为， 则当时为常数项. 2．（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中的系数是（   ） A．270 B． C．630 D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】表示5个因式相乘的乘积，分类讨论因式的搭配即可得解. 【详解】表示5个因式的乘积，的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供3， 此时的系数为； 从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供3，此时的系数为， 所以展开式中的系数为． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【详解】由题意可知的通项为，， 可知的通项为， 令，，解得，，所以的系数为． 4．（25-26高二下·江苏南京·期中）的展开式中含项的系数为（     ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】求指定项的系数 【分析】由，利用二项式定理求解即可. 【详解】化简得到， 展开式通项为， 令，得到，代入得到， 故展开式中含项的系数为. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）的展开式中的系数为______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】求指定项的系数 【详解】中，任意一个因式选取，该项式的中的指数必为负数，不可能得出， 求展开式中的系数等价于求中的系数， 的通项公式为， 令，，故展开式中的系数为． 6．（2026·贵州毕节·三模）的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据多项式乘法的计数规则，分步选取因式中的对应项，结合组合数计算指定项的系数. 【详解】表示5个因式相乘，要得到含的项， 首先，从5个因式中任选3个取其中的，选法种数为，对应系数为； 再从剩余的个因式中任选1个取其中的，选法种数为，对应系数为； 最后剩余的1个因式取其中的常数项，对应系数为. 因此的系数为. 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）的展开式中的系数为___________． 【答案】40 【难度】0.75 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【详解】的展开式通项为， 且. 对于，令，解得， 故这部分的系数为. 对于，令，解得， 故这部分的系数为. ∴ 展开式中的系数为. 重难点题型3 求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 1．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的系数为（     ） A． B． C．48 D．288 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【详解】的展开式通项为：， 要得到的展开式中的系数，分两类讨论： ①取1乘的项：令，解得，对应系数为， ②取乘的项：令，解得，对应系数为， 将两类系数求和，得的总系数为. 2．（2026·河北邢台·三模）已知 的展开式中x³的系数为m，所有项的系数之和为n，若 则a=（    ） A．2 B．1 C．- 2 D．- 1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式的展开式，求出指定项，令，求出所有项的系数之和即可求解. 【详解】已知，展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以含的项为，可得含的项的系数, 令，则所有项的系数之和 由于若 所以，解得： 3．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【详解】，其中的展开式通项为， 展开式中项来自两部分，当，，当，， 由题意可得，解得. 4．（2026·山东·模拟预测）展开式中含项的系数为（     ） A．150 B．160 C．170 D．180 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【详解】， 则展开式中含项为， 故展开式中含项的系数为． 5．（2026·安徽·模拟预测）在的展开式中，的系数为____________．（用数字作答） 【答案】 【难度】0.7 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、组合数的计算、求指定项的系数 【分析】将原式拆分为两个部分分别计算含的项的系数，再相加得到最终结果. 【详解】原式变形为： ； 展开式的通项公式： 令，解得，代入通项得对应系数为， 中的系数： 要得到，则中对应项需满足的指数为，的指数为， 令，解得，中的系数为， 因此该部分贡献的系数为， 将两部分系数相加：，即的系数为. 6．（2026·上海浦东新·三模）展开式中的系数为______________． 【答案】0 【难度】0.75 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】由，写出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中含项有，即展开式中的系数为. 重难点题型4 求二项式系数的最值 1．（25-26高三下·吉林长春·期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的性质来确定的值。 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以二项式的展开式共7项，即，得. 2．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】分为偶数和为奇数两种情况，分析二项式系数最大的项，结合题意求出的可能值. 【详解】当为偶数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项， 令，得； 当为奇数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项和第项， 令，得； 令，得. 所以结合选项可知的值不可能是. 3．（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求有理项或其系数 【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可． 【详解】因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以仅有最大，则， 的通项公式， 其中，当时， 是有理项，所以， 即的展开式中有理项的项数是5． 故选：A． 4．（2026·安徽六安·模拟预测）已知的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】根据二项式系数的性质及二项展开式的公式求解即可. 【详解】由展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，得，解得. 展开式通项公式为. 令，则，故常数项为. 5．（2026·安徽芜湖·模拟预测）二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则___________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】组合数方程和不等式、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据已知有，结合组合数公式求不等式的解，即可得. 【详解】由展开式中只有第4项的二项式系数最大，即且， 所以，则，得且，故. 重难点题型5 求项的系数的最值 有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小． 1．（2026·浙江金华·三模）的二项展开式中系数最大的项为（   ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项 【详解】的二项展开式的通项为. 由，得， 由①得，； 由②得，. 又，所以，所以的二项展开式中系数最大的项为第3项. 2．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 3．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值. 【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， 故最大，因此第七项的系数最大， 故选：C． 4．（2023·江西南昌·三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值 【分析】先利用二项式系数的增减性求出的值，再根据展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大， 所以，解得， 则的展开式通项为， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 所以展开式中系数最大时，为偶数， 由展开式通项可知，，， ，， 所以展开式中系数最大的是第三项， 故选：B 5．（2026·天津河西·三模）在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】根据二项式系数的性质及二项展开式通项公式求解. 【详解】对于二项式，当为偶数时，中间项（第项）的二项式系数最大. 本题中（偶数），因此第项的二项式系数最大，此时. 二项式的通项为 将代入通项 因此，该项的系数为. 6．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二项式的展开式中，系数最大的一项为_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】应用二项式的展开式判断各项系数的符号，进而确定系数最大项. 【详解】由题设，二项式的展开式通项为，， 易知时对应项系数为正，时对应项系数为负， 又，，， 所以系数最大的一项为. 故答案为：. 7．（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是________． 【答案】32 【难度】0.85 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】设第项系数最大，由第项系数不小于第项和第项系数，列不等式组解之可得项数即可得解． 【详解】展开式第项系数为，设第项系数最大，则 ，解得，∴， ∴系数的最大值是：． 故答案为：32. 8．在的展开式中，若的系数为，则______；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是______． 【答案】 －1 【难度】0.4 【知识点】求系数最大（小）的项、由项的系数确定参数、二项式系数的增减性和最值 【分析】第一空，根据二项式展开式中的系数，列式求解，可得a的值；第二空，讨论a的取值范围，结合题意，列出不等式组，求解即可得答案. 【详解】由题意知在的展开式中，的系数为， 即， 若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意， 当时，所以项的系数均为正数，则需满足， 即得； 当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数， 则此时需满足，解得， 综合可得的取值范围是， 故答案为：-1； 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，注意时，二项展开式中系数的正负情况，从而列式得解. 重难点题型6 求二项展开式中二项式系数和、各项系数和 二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：． 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为（    ） A．1 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】先写出二项展开式的通项公式，根据第项是常数项，建立关于的方程求解，利用二项式系数和的性质，计算结果. 【详解】二项式的展开式的第项， 因为第项为常数项， 所以，解得， 所以二项展开式的所有二项式系数和为. 2．（2026·河北邢台·二模）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】利用二项式定理系数的性质，求出，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可． 【详解】由题意知，，解得， 展开式通项公式为， 令，则，所以. 3．（2026·北京·模拟预测）在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则各项系数的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和 【分析】利用二项式展开式中的二项式系数和的计算方法与各项系数的求法即可得出. 【详解】由二项式知，展开式的二项式系数和为，又所有二项式系数的和为32，所以，，展开式中第项：，； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 所以各项系数最大值为. 4．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选题）已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 【答案】ABC 【难度】0.62 【知识点】二项展开式各项的系数和、简单复合函数的导数、整除和余数问题、二项式的系数和 【详解】令，得，再令，得， ，A选项正确. 根据二项式系数和的性质，对于二项式，所有二项式系数和为， 且奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，都为， 的展开式中，对于所有含的偶数次项的二项式系数和， 即为展开式中奇数项的二项式系数和，为，B选项正确. 而. 可得除了最后一项外，其余各项均能被8整除，故被8除所得的余数是，C选项正确. 对两边分别求导， 可得. 令，得，D选项错误. 5．（2026·江苏苏州·模拟预测）（多选题）已知二项式，则下列说法正确的有（   ） A．展开式中系数大于的项共有项 B．展开式中所有项的二项式系数之和为 C．展开式中的常数项为 D．展开式中所有项的系数的绝对值之和为 【答案】BCD 【难度】0.75 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】本题考查二项式定理的应用，需结合通项公式、二项式系数性质、系数和的计算方法逐一分析选项． 【详解】二项式的展开式通项为，其中． 对于A，系数大于0时需满足，即为偶数，可取，共项，A错误； 对于B：展开式所有项的二项式系数之和为，B正确； 对于C：令，解得，代入得常数项为，C正确； 对于D：展开式所有项系数的绝对值之和等价于的所有项系数和，令，得，D正确． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选题）已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、由项的系数确定参数、由二项展开式各项系数和求参数、二项式的系数和 【分析】令可判断A；由二项式的系数和可判断B；利用展开式的通项可判断C；在通项中令可判断D. 【详解】对于，令，得，解得，故A正确； 二项式系数的和为，故B错误； 展开式的通项为，因为1314为偶数，所以展开式中每一项的指数都是偶数，故C正确； 令，得，所以展开式中存在常数项，故D错误. 故选：AC. 7．（25-26高二下·北京平谷·期中）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为________. 【答案】1 【难度】0.75 【知识点】二项式系数的增减性和最值、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】先依据二项式系数的对称性确定的取值，再用赋值法计算展开式的各项系数之和. 【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开式共9项，即，解得， 取，得展开式各项系数之和为. 8．（2026·福建厦门·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数之和为81，则此展开式中常数项为______. 【答案】24 【难度】0.75 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、求指定项的系数 【详解】因为的展开式中所有项的系数之和为81，所以，即，解得， 二项式展开式的通项公式为，， 令，解得，所以二项式的展开式第三项为常数项，常数项为. 9．已知二项式的二项式系数的和为，则_____________.试估算时，的值为_____________.（精确到） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】近似计算问题、二项式的系数和 【分析】利用二项式系数和求出的值，再利用二项式定理可求出的近似值.（精确到） 【详解】二项式的二项式系数的和为，解得， 当时， . 故答案为：；. 重难点题型7 求奇数项或偶数项系数和 ，令得系数和：①； 令得奇数项系数和减去偶数项系数和：②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和． 1．（2026·北京·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．122 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】利用赋值法分别令和得到两个等式，相加后除以2即可求得偶数次项的系数之和. 【详解】令，则 ， 即 ① 令，则 ， 即 ② ①+②得： ，所以. 2．（25-26高二下·贵州黔西南·期中）已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再通过对进行赋值，结合已知等式求出的值，进而求出的值. 【详解】，故， 令，则， . 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 4．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、由项的系数确定参数、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数 【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得. 【详解】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 5．（2026·福建泉州·一模）（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数 【分析】对于A，令和求解判定；对于B，令和，再结合平方差公式求解判定；对于C，令，求导并令求解判断；对于D，由题知，，都大于0，，，都小于0，再令即可求解判断． 【详解】对于选项A，因为，令，可得， 令，，所以，故选项A不正确； 对于选项B，令，； 令，； 所以．故选项B正确； 对于选项C，令， 则． 再令，，故选项C错误； 对于选项D， 解法一：展开式的通项为，由通项可知：，所以都大于0，都小于0， ， 令，可得， 所以，故选项D正确． 解法二：令，由 得． 令可得，故选项D正确． 6．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D．除以8所得的余数是7 【答案】BCD 【难度】0.76 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、导数的加减法、整除和余数问题、求指定项的系数 【详解】A：二项式的通项公式为， ，所以本选项不成立； B：在中， 令，得， 令，得， 两式相加，得 ，所以本选项成立； C：对等式两边同时求导，得 ， 令，得，所以本选项成立； D： ， 所以除以8所得的余数是7，因此本选项说法正确. 7．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】导数的运算法则、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】对于A，注意到，据此可判断选项正误；对于BC，由赋值法可判断选项正误；对于D，利用导数知识结合赋值法可判断选项正误. 【详解】对于A选项，，所以，A选项正确； 对于B选项，令，可得，B选项正确； 对于C选项，令，可得，与B选项分析中的式子相加，可得，所以，C选项错误； 对于D选项，设， 则， 令，可得，D选项正确． 故选：ABD. 重难点题型8 二项式定理与数列求和 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】分别赋值及，结合二项展开式即可得出答案. 【详解】令，则， 令，可得， 所以， 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0. 2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、整除和余数问题、求指定项的系数 【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案. 【详解】对于A，令，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 因为，所以，所以B错误； 对于C，由，所以除以5所得的余数是，所以C正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 可得为正数，为负数， 所以， 令，可得， 因为，所以，所以D错误. 3．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、整除和余数问题 【分析】分别赋值以及，可推得，然后将展开即可得出答案. 【详解】令，由已知可得，， 令，可得， 所以. 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0， 故选：D. 4．（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如和被除得的余数都是，则记.若，且，则的值可以是（    ） A．4021 B．4022 C．4023 D．4024 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理化简得，再利用二项式定理说明被除得的余数为，即可判断. 【详解】 ， 即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为. 故选：A. 5．若，则被5除所得的余数为________． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题、二项式的系数和 【分析】取，可以求得，进而根据二项式定理展开，判断被5除得的余数. 【详解】由题知时，， ， 故 所以被5除得的余数是1. 故答案为：1. 重难点题型9 杨辉三角 1．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、杨辉三角 【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误； 对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和， 因，故，故C正确； 对于选项D，因为 ， 则，故D错误； 故选：C. 2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角 【分析】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解. 【详解】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和， 因此，即D正确，ABC错误. 故选：D 3．（2023·吉林·模拟预测）在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角 【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果. 【详解】由杨辉三角中观察得可得. 推广，得到 即 由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为 故选:B 4．（2025·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角 【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【详解】第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； 第行是二项式的展开式的系数， 故第行中第个数为，第个数为，又，B正确； “杨辉三角”第行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； 第34行是二项式的展开式的系数，所以第15个数与第16个数之比为，D不正确. 故选：D. 5．（2026·山东泰安·模拟预测）将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．    【答案】240 【难度】0.55 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、杨辉三角 【分析】利用次二项式系数对应杨辉三角形的第行，然后令得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】次二项式系数对应杨辉三角形的第行， 例如，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行， 令，就可以求出该行的系数之和，第1行为，第2行为，第3行为， 以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前项和为， 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，， 可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则， 可得当，去除两端的“1”可得， 则此数列前21项的和为． 6．（25-26高二上·福建漳州·期末）“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、杨辉三角 【分析】先根据杨辉三角的行号与位置对应关系，确定数列的通项，再对通项进行裂项，最后通过裂项相消法求出前项和 ，代入得到结果. 【详解】在杨辉三角中，第行的第个数（从第行开始计数）为， ， 所以， 所以, 故答案为：. 7．（2023·安徽黄山·二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、裂项相消法求和、杨辉三角 【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值. 【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知，，，， 所以，，所以， 所以，. 故答案为：. 8．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是____________；若，则____________(用含n的代数式作答). 【答案】 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】类比杨辉三角，根据“莱布尼茨三角形”的特点求解即可． 【详解】由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形为“莱布尼茨三角形”，观察表中数字，题中要求第8行第5个数，所以，，所以第8行第5个数为. 由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和， ∵， ， ，…， ，， 将上述各式相加，得， ∴， . 故答案为：； 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10-3 二项式定理 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 4．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 6．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 7．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 8．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 9．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______． 10．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______. 重难点题型1 求二项展开式中指定项的系数或二项式系数 1．（2026·广东广州·模拟预测）的展开式的第项的系数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）展开式中，项的系数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的常数项为（  ） A．15 B．20 C．40 D．60 4．（2026·北京丰台·三模）在的展开式中，常数项为（ ） A．4 B． C．12 D． 5．（2026·云南昭通·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A． B．9 C． D．1 6．（2026·广东深圳·模拟预测）在的展开式中，的系数为_______.（用数字作答） 7．（2026·江苏·模拟预测）的展开式中，的系数为_____________． 8．（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）展开式中项的系数为___________． 9．（2026·四川巴中·模拟预测）的展开式中，的系数为________． 重难点题型2 求三项展开式中指定项的系数或二项式系数 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 1．（2026·云南·三模）的展开式中常数项为（    ） A．-20 B．20 C．-924 D．924 2．（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中的系数是（   ） A．270 B． C．630 D． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 4．（25-26高二下·江苏南京·期中）的展开式中含项的系数为（     ） A．1 B．6 C．15 D．20 5．（2026·陕西西安·模拟预测）的展开式中的系数为______． 6．（2026·贵州毕节·三模）的展开式中的系数为______.（用数字作答） 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）的展开式中的系数为___________． 重难点题型3 求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 1．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的系数为（     ） A． B． C．48 D．288 2．（2026·河北邢台·三模）已知 的展开式中x³的系数为m，所有项的系数之和为n，若 则a=（    ） A．2 B．1 C．- 2 D．- 1 3．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 4．（2026·山东·模拟预测）展开式中含项的系数为（     ） A．150 B．160 C．170 D．180 5．（2026·安徽·模拟预测）在的展开式中，的系数为____________．（用数字作答） 6．（2026·上海浦东新·三模）展开式中的系数为______________． 重难点题型4 求二项式系数的最值 1．（25-26高三下·吉林长春·期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2026·安徽六安·模拟预测）已知的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______. 5．（2026·安徽芜湖·模拟预测）二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则___________． 重难点题型5 求项的系数的最值 有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小． 1．（2026·浙江金华·三模）的二项展开式中系数最大的项为（   ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 2．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 3．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 4．（2023·江西南昌·三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 5．（2026·天津河西·三模）在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 6．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二项式的展开式中，系数最大的一项为_______. 7．（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是________． 8．在的展开式中，若的系数为，则______；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是______． 重难点题型6 求二项展开式中二项式系数和、各项系数和 二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：． 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为（    ） A．1 B．32 C．64 D．128 2．（2026·河北邢台·二模）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·模拟预测）在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则各项系数的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．10 4．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选题）已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 5．（2026·江苏苏州·模拟预测）（多选题）已知二项式，则下列说法正确的有（   ） A．展开式中系数大于的项共有项 B．展开式中所有项的二项式系数之和为 C．展开式中的常数项为 D．展开式中所有项的系数的绝对值之和为 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选题）已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 7．（25-26高二下·北京平谷·期中）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为________. 8．（2026·福建厦门·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数之和为81，则此展开式中常数项为______. 9．已知二项式的二项式系数的和为，则_____________.试估算时，的值为_____________.（精确到） 重难点题型7 求奇数项或偶数项系数和 ，令得系数和：①； 令得奇数项系数和减去偶数项系数和：②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和． 1．（2026·北京·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．122 2．（25-26高二下·贵州黔西南·期中）已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 5．（2026·福建泉州·一模）（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D．除以8所得的余数是7 7．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 重难点题型8 二项式定理与数列求和 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 3．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如和被除得的余数都是，则记.若，且，则的值可以是（    ） A．4021 B．4022 C．4023 D．4024 5．若，则被5除所得的余数为________． 重难点题型9 杨辉三角 1．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·吉林·模拟预测）在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 5．（2026·山东泰安·模拟预测）将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．    6．（25-26高二上·福建漳州·期末）“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_____. 7．（2023·安徽黄山·二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则___________. 8．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是____________；若，则____________(用含n的代数式作答). 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $