培优04 圆锥曲线定点、定值、圆与切线综合问题（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题04 定点、定值、圆与切线综合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线过定点 题型二、斜率关系与定值 题型三、设点代点与交轨 题型四、圆与圆锥曲线 题型五、切线、切点弦与阿基米德三角形 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 定点、定值是圆锥曲线压轴题最稳定的考法：题面给出动直线、动点或斜率关系，要求证明某条直线过定点、某个量为定值，或判断动点是否在定直线上．破解的关键只有一句话——把几何条件代数化，把参数整体消掉．设线时优先选择 或 ，联立后写出韦达定理，再把条件整理成 、 的对称式；若条件直接落在动点坐标上，则改用设点代点，往往比联立整条曲线更省力． 圆与切线是本讲的另一条主线：以弦为直径的圆过定点、动圆与定圆相切、过一点作两条切线所得切点弦（极线），都可以用“圆心距与半径”或“切点弦方程”统一处理．特别注意阿基米德三角形：抛物线弦的两端切线交于一点，弦过焦点时交点落在准线上，这是选择、填空的高频结论． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线过定点 典例1 已知椭圆 ， 为 上一点，直线 与 交于 两点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ．若 ，其中 为坐标原点，证明： 过定点． 题型模版 1.特征：动直线随参数变化，证明其恒过某个定点，或由定点条件反求参数． 2.方法：设 （或 ），联立后写出韦达定理，把题设条件整理成关于 的恒等式；也可先取两条特殊直线求出定点，再证明一般情形． 3.提醒：斜率不存在的情形要单独讨论；定点多落在坐标轴上；最后要用 检验直线与曲线确实有两个交点． 变式1-1 已知椭圆 ， 为 上一点，直线 不经过 且与 交于 两点．若直线 与 的斜率之和为 ，证明： 过定点． 变式1-2 已知椭圆 ， 分别为 的左、右顶点， 为直线 上的动点， 与 的另一个交点为 ， 与 的另一个交点为 ．证明：直线 过定点． 变式1-3 已知椭圆 的离心率为 ，点 和点 都在 上，直线 交 轴于点 ． (1) 求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 表示）； (2) 设 为坐标原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ．问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 题型二、斜率关系与定值 典例2 已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 ，其中 为原点． (1) 求 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2) 求证： 为线段 的中点． 题型模版 1.特征：题设给出斜率之和（积）、向量数量积、线段比或中点，证明其为定值，或由定值反求参数． 2.方法：联立消元、韦达定理，把目标量写成 、 的对称式，代入后消去参数；若含参数 ，可整理成“ 的各次项系数全为 ”． 3.提醒：向量 中 可正可负，注意方向；定值可先取特殊位置猜出，再作一般证明． 变式2-1 已知椭圆 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 ． (1) 证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； (2) 若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由． 变式2-2 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 ． (1) 当 与 轴垂直时，求直线 的方程； (2) 设 为坐标原点，证明：． 变式2-3 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，求证： 为定值． 题型三、设点代点与交轨 典例3 已知椭圆 ， 分别为 的左、右顶点，过点 的直线与 交于 两点，直线 与 交于点 ，证明：点 在定直线上． 题型模版 1.特征：动点是两条动直线的交点，或条件直接给出点与点的向量、斜率关系；此时联立整条曲线往往繁琐． 2.方法：设点 直接代入条件，消参得 的关系；交轨问题把两条直线方程联立，消去参数得定直线或定圆． 3.提醒：参数范围（左支、第二象限等）会筛掉增根；定直线常垂直于坐标轴，定圆常以某定点为圆心． 变式3-1 设 为坐标原点，动点 在椭圆 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ． (1) 求点 的轨迹方程； (2) 设点 在直线 上，且 ，证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 变式3-2 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． (1) 求 的方程； (2) 点 在 上，且 ，， 为垂足，证明：存在定点 ，使得 为定值． 题型四、圆与圆锥曲线 典例4 已知抛物线 经过点 ． (1) 求抛物线 的方程及其准线方程； (2) 设 为原点，过抛物线 的焦点作斜率不为 的直线 交抛物线于 两点，直线 分别交直线 于点 和点 ．求证：以 为直径的圆经过 轴上的两个定点． 题型模版 1.特征：以弦为直径的圆、圆过定点、圆与曲线相切或相交、动圆与定圆相切． 2.方法：圆过定点可写出直径式方程或圆系方程，令 解 ；两圆相交用方程相减得公共弦；相切用圆心距与半径的关系． 3.提醒：定点通常在坐标轴上，可先猜后证；注意圆存在的条件（半径为正、）． 变式4-1 已知椭圆 ． (1) 求 的离心率； (2) 设 为原点，点 在 上，点 在直线 上，且 ，求证：直线 与圆 相切． 变式4-2 已知椭圆 ，过点 作圆 的切线 ， 交椭圆 于 两点． (1) 求椭圆 的焦点坐标和离心率； (2) 将 表示为 的函数，并求 的最大值． 变式4-3 已知椭圆 ， 为平面内一点，过 作 的两条切线 （ 为切点），且 ，求点 的轨迹方程． 题型五、切线、切点弦与阿基米德三角形 典例5 已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ． (1) 求 ； (2) 若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值． 题型模版 1.特征：过点作切线、求切点弦、两切线与弦构成阿基米德三角形． 2.方法：抛物线 在 处的切线为 ；椭圆 的切点弦为 ．面积以切点弦为底、点到直线距离为高． 3.提醒：先判断点在曲线外（切线存在）；阿基米德三角形中，弦过焦点时两切线交点在准线上． 变式5-1 已知曲线 ， 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为 ． (1) 证明：直线 过定点； (2) 若 的面积为 ，求点 的坐标． 变式5-2 已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点在 轴上，直线 交 于 两点，且 ．已知点 ，且 与 相切． (1) 求 与 的方程； (2) 设 是 上的三个点，直线 均与 相切，判断直线 与 的位置关系，并说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知椭圆 ，过平面内一点 作 的两条切线，若这两条切线互相垂直，则点 的轨迹圆的半径为 （　　） A． B． C． D． 2．过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的斜率为 （　　） A． B． C． D． 3．已知椭圆 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的点，若直线 的斜率都存在，则  （　　） A． B． C． D． 4．已知双曲线 的一条渐近线与圆 相切，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 5．过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，则 的面积为           ． 6．已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 的两端点分别作 的切线，两切线交于点 ，则点 在定直线            上． 7．已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过 ， 两点． (1) 求 的方程； (2) 设过点 的直线交 于 两点，过点 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 ，证明：直线 过定点． 8．已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点． (1) 求 的方程； (2) 设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程． 9．设 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ． (1) 若直线 的斜率为 ，求 的离心率； (2) 若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 定点、定值、圆与切线综合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线过定点 题型二、斜率关系与定值 题型三、设点代点与交轨 题型四、圆与圆锥曲线 题型五、切线、切点弦与阿基米德三角形 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 定点、定值是圆锥曲线压轴题最稳定的考法：题面给出动直线、动点或斜率关系，要求证明某条直线过定点、某个量为定值，或判断动点是否在定直线上．破解的关键只有一句话——把几何条件代数化，把参数整体消掉．设线时优先选择 或 ，联立后写出韦达定理，再把条件整理成 、 的对称式；若条件直接落在动点坐标上，则改用设点代点，往往比联立整条曲线更省力． 圆与切线是本讲的另一条主线：以弦为直径的圆过定点、动圆与定圆相切、过一点作两条切线所得切点弦（极线），都可以用“圆心距与半径”或“切点弦方程”统一处理．特别注意阿基米德三角形：抛物线弦的两端切线交于一点，弦过焦点时交点落在准线上，这是选择、填空的高频结论． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线过定点 典例1 已知椭圆 ， 为 上一点，直线 与 交于 两点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ．若 ，其中 为坐标原点，证明： 过定点． 【答案】定点 【分析】用 表示 的横坐标，把 化为 的函数，再解出 ． 【详解】证明：设 ，．联立 与 得 ， ，． 在直线 中令 得 ，同理 ． 又 ，所以 ． 由条件得 ，即 ，解得 （ 舍去）． 所以 ，恒过定点 ． 题型模版 1.特征：动直线随参数变化，证明其恒过某个定点，或由定点条件反求参数． 2.方法：设 （或 ），联立后写出韦达定理，把题设条件整理成关于 的恒等式；也可先取两条特殊直线求出定点，再证明一般情形． 3.提醒：斜率不存在的情形要单独讨论；定点多落在坐标轴上；最后要用 检验直线与曲线确实有两个交点． 变式1-1 已知椭圆 ， 为 上一点，直线 不经过 且与 交于 两点．若直线 与 的斜率之和为 ，证明： 过定点． 【答案】定点 【分析】设 ，把斜率和写成韦达定理的对称式，得到 与 的一次关系． 【详解】证明：设 ，，．因 不过 ，所以 ． 联立 得 ， ，． 由 得 ，即 ， 代入韦达定理得 ，即 ，所以 ． 于是 ，恒过定点 ． 当 的斜率不存在时，设 ，由对称性 得 ，但 与椭圆无交点，故该情形不成立． 变式1-2 已知椭圆 ， 分别为 的左、右顶点， 为直线 上的动点， 与 的另一个交点为 ， 与 的另一个交点为 ．证明：直线 过定点． 【答案】定点 【分析】设 ，分别写出 的方程并与椭圆联立，求出 的坐标，再求 与 轴的交点． 【详解】证明：设 ，则 ，． 直线 ，代入 ，整理得 ． 是它的一个根，故 ，． 同理，直线 ，代入椭圆得 ，． 设 交 轴于点 ，则 ． ， 所以直线 恒过定点 ． 变式1-3 已知椭圆 的离心率为 ，点 和点 都在 上，直线 交 轴于点 ． (1) 求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 表示）； (2) 设 为坐标原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ．问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，；(2) 存在， 或 【分析】(1) 由 得 ，再由离心率求 ；(2) 把角相等转化为两个直角三角形中正切相等，即 ． 【详解】解：(1) 由 在椭圆上得 ；又 ，所以 ，故 ． 直线 ，令 得 ，即 ． (2) 由对称性 ，直线 ，令 得 ． 存在．设 ，在直角三角形 与 中， ，， 故 ． 而 ， 又 在椭圆上，，所以 ，． 故存在点 或 ． 题型二、斜率关系与定值 典例2 已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 ，其中 为原点． (1) 求 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2) 求证： 为线段 的中点． 【答案】(1)，焦点 ，准线 ；(2) 证明见解析 【分析】(1) 代点求 ；(2) 设 ，用韦达定理证明 ． 【详解】解：(1) 把 代入 得 ，故 ， 焦点为 ，准线为 ． (2) 证明：设 ，，． 代入 得 ，所以 ． 直线 ，故 ；直线 ，故 ． 要证 为 的中点，只需证 ，即 ， 也就是 ． 代入韦达定理，左边 ，右边 ，等式成立． 所以 为线段 的中点． 题型模版 1.特征：题设给出斜率之和（积）、向量数量积、线段比或中点，证明其为定值，或由定值反求参数． 2.方法：联立消元、韦达定理，把目标量写成 、 的对称式，代入后消去参数；若含参数 ，可整理成“ 的各次项系数全为 ”． 3.提醒：向量 中 可正可负，注意方向；定值可先取特殊位置猜出，再作一般证明． 变式2-1 已知椭圆 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 ． (1) 证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； (2) 若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由． 【答案】(1) 定值 ；(2) 能， 【分析】(1) 点差法；(2) 作代换 ， 把椭圆化为圆，利用平行四边形对角线互相平分得 ． 【详解】(1) 证明：设 ，，则 ，．两式相减得 ， 所以 ，为定值． (2) 能．设 ．作代换 ，，则 变为圆 ， 变为 ．令 ，，则弦 的中点 满足 ，． 若 为平行四边形，则对角线 与 互相平分， 为 的中点，即 ． 由 在 上得 ，即 ， 所以 ，解得 ，． 此时 ， 不过 ，且与 有两个交点，符合题意． 变式2-2 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 ． (1) 当 与 轴垂直时，求直线 的方程； (2) 设 为坐标原点，证明：． 【答案】(1)；(2) 证明见解析 【分析】(1) 直接求交点；(2) 角相等等价于 ，设 避开斜率不存在． 【详解】解：(1) ．当 轴时 ，代入得 ， 所以直线 ． (2) 证明：当 轴时，由对称性结论成立． 当 不与 轴垂直时，设 ，代入 得 ， ，． 因为 ，而 ， 所以 ． 变式2-3 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，求证： 为定值． 【答案】定值 【分析】设 ，用韦达定理表示 与 ，再用抛物线定义 ． 【详解】证明：设 ，代入 得 ，所以 ，． 于是 ，． 由抛物线定义 ，，所以 ． 当 轴时 ，结论也成立．故定值为 ． 题型三、设点代点与交轨 典例3 已知椭圆 ， 分别为 的左、右顶点，过点 的直线与 交于 两点，直线 与 交于点 ，证明：点 在定直线上． 【答案】 在定直线 上 【分析】设 ，把 与 的方程联立，利用韦达定理消去 ． 【详解】证明：，．设 ，，． 代入椭圆方程得 ，由 与椭圆有两个交点得 ，且 ． 直线 ，直线 ． 设 ，联立两式消去 得 ， 整理得 ． 又 ，代入得 ． 所以点 在定直线 上． 题型模版 1.特征：动点是两条动直线的交点，或条件直接给出点与点的向量、斜率关系；此时联立整条曲线往往繁琐． 2.方法：设点 直接代入条件，消参得 的关系；交轨问题把两条直线方程联立，消去参数得定直线或定圆． 3.提醒：参数范围（左支、第二象限等）会筛掉增根；定直线常垂直于坐标轴，定圆常以某定点为圆心． 变式3-1 设 为坐标原点，动点 在椭圆 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ． (1) 求点 的轨迹方程； (2) 设点 在直线 上，且 ，证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 【答案】(1)；(2) 证明见解析 【分析】(1) 用 的坐标表示 ，再代入椭圆；(2) 由数量积把 的纵坐标用 表示，验证 在 上． 【详解】解：(1) 设 ，则 ，． 由 得 ，故 的轨迹方程为 ． (2) 证明：设 ，．由 得 ，又 ，所以 ． 直线 过 且垂直于 ，其方向向量可取 ，方程为 ． 令 ， 得 ，所以 在 上． 故直线 过 的左焦点 ． 变式3-2 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． (1) 求 的方程； (2) 点 在 上，且 ，， 为垂足，证明：存在定点 ，使得 为定值． 【答案】(1)；(2) ， 【分析】(1) 由离心率与点 求 ；(2) 设 ，由 得 ，再求垂足 的轨迹圆． 【详解】解：(1) 由 得 ；代入 得 ，所以 ，， 故 ． (2) 证明：设 ，代入 得 ， ，． 由 得 ， 代入韦达定理化简得 ，即 ． 因 不过 ，，所以 ． 设 ，由 得 为 到 的垂足，计算得 ， 所以 ． 故 在以 为圆心、 为半径的圆上， 为定值 ． 题型四、圆与圆锥曲线 典例4 已知抛物线 经过点 ． (1) 求抛物线 的方程及其准线方程； (2) 设 为原点，过抛物线 的焦点作斜率不为 的直线 交抛物线于 两点，直线 分别交直线 于点 和点 ．求证：以 为直径的圆经过 轴上的两个定点． 【答案】(1)，准线 ；(2) 定点 ， 【分析】(1) 代点求 ；(2) 设 ，用韦达定理求 的横坐标，再写出以 为直径的圆在 轴上的截距． 【详解】解：(1) 把 代入得 ，，故 ，准线为 ，焦点为 ． (2) 证明：设 ，代入 得 ， ，． 直线 ，令 得 ；又 ，所以 ，同理 ． 以 为直径的圆圆心为 ，半径 ． 令 ，得 ， 所以 或 ，即圆恒过 轴上的定点 ，． 题型模版 1.特征：以弦为直径的圆、圆过定点、圆与曲线相切或相交、动圆与定圆相切． 2.方法：圆过定点可写出直径式方程或圆系方程，令 解 ；两圆相交用方程相减得公共弦；相切用圆心距与半径的关系． 3.提醒：定点通常在坐标轴上，可先猜后证；注意圆存在的条件（半径为正、）． 变式4-1 已知椭圆 ． (1) 求 的离心率； (2) 设 为原点，点 在 上，点 在直线 上，且 ，求证：直线 与圆 相切． 【答案】(1)；(2) 证明见解析 【分析】(1) 化为标准方程求 ；(2) 设 ，，由 消去 ，再算原点到 的距离． 【详解】解：(1) ，，，，所以 ． (2) 证明：设 ，．由 得 ，即 （）． 原点 到直线 的距离 ． 把 代入，得 ， ． 于是 ． 又 ，代入化简得 ，即 ． 所以直线 与圆 相切． 变式4-2 已知椭圆 ，过点 作圆 的切线 ， 交椭圆 于 两点． (1) 求椭圆 的焦点坐标和离心率； (2) 将 表示为 的函数，并求 的最大值． 【答案】(1) 焦点 ，；(2)，最大值 【分析】(1) 直接由 求；(2) 由相切得 ，联立后用弦长公式，最后用基本不等式求最值． 【详解】解：(1) ，，，焦点为 ，． (2) 设 ．由 与单位圆相切得 ，所以 ，故 ． 代入 得 ， ，． 由 ，代入 化简得 ． 因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号．故 的最大值为 ． 变式4-3 已知椭圆 ， 为平面内一点，过 作 的两条切线 （ 为切点），且 ，求点 的轨迹方程． 【答案】 【分析】设切线斜率，写出相切条件，得到关于 的二次方程，再用 消参． 【详解】解：设 ，切线 ，即 ． 与 相切的条件为 ，整理得 ． 两条切线互相垂直，故 ，即 ，所以 ． 当 时，一条切线为 ，另一条斜率满足上式，结论同样成立． 故 的轨迹为圆 （蒙日圆）． 题型五、切线、切点弦与阿基米德三角形 典例5 已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ． (1) 求 ； (2) 若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1) 用 ；(2) 设切点参数，得切点弦方程，把面积写成 的函数，再用圆的条件求最值． 【详解】解：(1) ，圆心 ，则 ，所以 ，解得 ． (2) 此时 ．设 ，切点 ，． 切线 ，代入 的坐标得 ，所以 ，． 切点弦 ，与 联立得 ， 所以 ，， ． 由 得 ，其中 ． 该式在 上单调递减，故 时取最大值 ，此时 ． 题型模版 1.特征：过点作切线、求切点弦、两切线与弦构成阿基米德三角形． 2.方法：抛物线 在 处的切线为 ；椭圆 的切点弦为 ．面积以切点弦为底、点到直线距离为高． 3.提醒：先判断点在曲线外（切线存在）；阿基米德三角形中，弦过焦点时两切线交点在准线上． 变式5-1 已知曲线 ， 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为 ． (1) 证明：直线 过定点； (2) 若 的面积为 ，求点 的坐标． 【答案】(1) 定点 ；(2) 或 【分析】(1) 写出切线方程，得切点参数满足的二次方程，再写切点弦方程；(2) 用 表示弦长与高，面积化为 的形式． 【详解】(1) 证明：设 ，切点 ，，切线 ． 代入 得 ，所以 ，． 直线 的方程为 ，恒过定点 ． (2) ，． 点 到 的距离 ， 所以 ， 解得 ，即 或 ． 变式5-2 已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点在 轴上，直线 交 于 两点，且 ．已知点 ，且 与 相切． (1) 求 与 的方程； (2) 设 是 上的三个点，直线 均与 相切，判断直线 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，；(2) 相切 【分析】(1) 用 求 ，圆心到 的距离为半径；(2) 设点参数，把“弦与圆相切”写成条件，再用两根之和、之积验证 也满足． 【详解】解：(1) 设 ，则 ，． 由 得 ，，故 ． 与 相切，半径 ，故 ． (2) 相切．设 ，则弦 的方程为 ． 与 相切 ． 由 、 均与 相切知 是方程 的两根，所以 ，． 于是 ，， 所以 ，即 与 相切． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知椭圆 ，过平面内一点 作 的两条切线，若这两条切线互相垂直，则点 的轨迹圆的半径为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切线斜率，利用相切条件得到关于 的二次方程，由 消参． 【详解】解：设 ，切线 ，与 相切得 ， 即 ． 由 得 ，所以 ，半径 ．故选 A． 2．过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的斜率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ，由过 得 ；用韦达定理表示 ，由 求 ． 【详解】解：设 ，过 得 ．代入 得 ，． 由 得 ，即 ，所以 ． 于是 ，解得 ．故选 A． 3．已知椭圆 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的点，若直线 的斜率都存在，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点作差，利用 关于原点对称，把 的坐标写成 ． 【详解】解：设 ，，则 ．由 与 相减得 ， 所以 ．故选 A． 4．已知双曲线 的一条渐近线与圆 相切，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】渐近线为 ，由圆心到渐近线的距离等于半径建立 的关系． 【详解】解：渐近线 ，即 ．圆心 到它的距离为 ， 所以 ，，．故选 A． 5．过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，则 的面积为           ． 【答案】 【分析】设切点参数，写出切线方程，代入 的坐标求两个切点，再求面积． 【详解】解：设切点 ，，切线 ． 代入 得 ，所以 ，，即 ，． ， 到 （即 轴）的距离为 ，所以 ．故答案为 ． 6．已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 的两端点分别作 的切线，两切线交于点 ，则点 在定直线            上． 【答案】 【分析】设 的参数坐标，写出两切线方程求交点，再由弦过焦点得 ． 【详解】解：设 ，，切线分别为 ，． 两式相减得 ，即 ；代回得 ． 弦 的方程为 ，过 得 ． 所以 ，即 在定直线 上．故答案为 ． 7．已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过 ， 两点． (1) 求 的方程； (2) 设过点 的直线交 于 两点，过点 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 ，证明：直线 过定点． 【答案】(1)；(2) 定点 【分析】(1) 设标准方程代点求 ；(2) 设 ，用 表示 ，证明 共线． 【详解】解：(1) 设 ．由 得 ； 由 得 ，所以 ．故 ． (2) 证明：线段 ．设 ，，． 代入 得 ， 所以 ，． 由 知 为 的中点，而 ，所以 ． 要证 共线，只需证 ．代入 得 ， 代入韦达定理，该式恒为 ．所以 三点共线，直线 恒过定点 ． 8．已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点． (1) 求 的方程； (2) 设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1) 由 的斜率求 ，再由离心率求 ；(2) 设 ，把面积化为 的函数，换元求最值． 【详解】解：(1) 设 ，则 ，所以 ． 由 得 ，，故 ． (2) 设 ，代入得 ，由 得 ． ，． 因为 ，所以 ． 令 ，则 ，当 时取最大值 ． 所以 ，直线 ． 9．设 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ． (1) 若直线 的斜率为 ，求 的离心率； (2) 若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 ． 【答案】(1)；(2)， 【分析】(1) 写出 的坐标，用 表示 的斜率；(2) 由截距得斜率，结合 (1) 中的斜率式得 ，再用 求 的坐标． 【详解】解：(1) ，，所以 ． 即 ，代入 得 ，所以 ，解得 ． (2) 直线 在 轴上的截距为 ，故其斜率为 ． 又 ，所以 ，即 ． 设 ，，则 对应 ， 对应 ． 由 得 ，所以 ，即 ． 代入椭圆方程得 ．又 ，，所以 ， 解得 ，，即 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $