河南郑州市荥阳市高级中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷（A卷）

2026-2027学年高三上学期10月月考（A卷) 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知全集U=R,集合A={xlx≤5}，B={xx>2},则AU(C,B)=() A.{xx≤5} B.{xx<5} C.{xx≤2，或x≥5} D.{x|-5≤x≤2 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S7=35,42=1,则数列{an}的公差为() A.3 B.2 C.1 D.-2 3.曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为() A.y=3x+2 B.y=5x C.y=8x-3D.y=13x-8 4.已知m=log,10,n=l1og10 则4m.9”=() A.1 B 1 c. 3 01 6 5.若函数f(x)=2 cosx(v3sinx-cosx的图象关于直线x=m对称，则tan2m=() A.5 B.V3 C.-1 D.-V5 3 6.已知函数∫(x)=(x2-4x-m)e在[2,3]上单调递增，则实数m的取值范围为() A.m<4 B.m≤-4 C.m<-1 D.m≤-1 7.己知等差数列{an}前n项和Sn存在最大值，且a3+ao<0,a6a,<0,当Sn取得最大值时n为k,使得Sn>0 成立的最大n值为m,则m-k=() A.14 B.15 C.16 D.17 &.己知函数f(x)=sin 君@>0)在-号处取到最小值，且在区间0， 上存在极大值，①的最 6 小整数解是() A.2 B.8 C.10 D.14 第1页/共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f(x)=Asin(ox+p) 4>0@>0-受<<引的部分闲象如闲所示。) A.f(x)的最小正周期为π B.当xe 5元 22 12 C.将函数f(x的图象向右平移 个单位长度可得函数g(x)=sin2x的图象 12 5π D.将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 6 对称 10.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n,则() A.{an}不是等差数列 B.a =2n-5 C.数列 是等差数列 D.la+a2+…+ao=6 n 11.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos(B-C)十cosA= √bsin Ccos A,a=2,以下结论正确的是() A.tan 2A=-2 B.△ABC外接圆的半径为25 C.b的取值范围为(2W5,43) D.b十c的取值范围为(2√3,4] 3 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知sin0-cos0=i 0,则sin2g 13.复数z=(3+4)(2-)的虚部为 14.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,其中△ABC的面积为4，b=4a,则c的 最小值为 第2页/共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3c0SC(acos B+bC0SA)=C. (1)求cosC的值； (2)若C=2√2，△ABC的面积为V2,求△ABC的周长. 16已知函藏/(=微-2hx- (1)若m=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)若f(x)在区间(0，+o)上单调递增，求实数m的取值范围. 1.已知函数f=os(ox一习仙>0)的图象关于直线x=石对称，且f(y在区间0)上单调 6 (1)求ω的值； a若g())ae得别 有两个零点，求a的取值范围. 第3页/共4页 18设正项数列{a,}的前以项和S,满足瓦。=a,+), (1)求数列{an}的通项公式： （2设众=2c,么.+刊0+门求数列c,}的前n项和7 19.设函数f(x)=3-(a+1)x2+x,g(x)=x+m,其中a≥0，k,m∈R,若任意x∈[0，]均有 f(x)≤g(x),则称函数y=g(x)是函数y=f(x)的控制函数”，且对于所有满足条件的函数y=g(x)在 x处取得的最小值记为f(x). (1)若a=2,g(x)=x,试问y=g(x)是否为y=f(x)的“控制函数”： (2)若a=0,使得直线y=h(x)是曲线y=f(x)在x=二处的切线，证明：函数y=h(x)为函数y=f(x) 的“控制函数”，并求) 的值： 4 (3)若曲线y=f(x)在x=x(x∈(0，)处的切线过点(L,0),且c∈[x,,证明：当且仅当c=x或 c=1时，f(c)=f(c). 第4页/共4页2026-2027学年高三上学期10月月考（A卷)答案 1.A【详解】依题意，A={-5≤x≤5}，，B={x≤2}，故AU(GB)={x≤5}.故选A 2B【详解】记等差数列a,}的公差为d,依题点，S,=7a+a）_7×20=70,=35,放a,-5,则 2 2 d=a,-=2.故选：B 4-2 3.D【解答】解：y'=5+受所以×=1时，y′=5+8=13，所以切线方程斜率为13，设切线方程为y=13xb, 则5=13+b,所以b=-8,所以切线方程为y=13x-8.故选：D. 4因为m=lbg,10,n=log影10所以 4少=49市-0-2m3帝=000=1选，A D()-2/3sinwco-2co+--3cin2x-cos2x-1-2simx-1 令2r-名-受+ak∈Z列.期2x-否+a(keZ列.则am2m=a 2π=-√3故选：D B【详解】求导得到f'(x)=(2x-4)e+(x2-4x-m)e=e(x2-2x-4-m),因为函数f(x)=（x2-4x-m)e 在[2,3]上单调递增，所以f()≥0在[2,3]上恒成立，即x2-2x-4-m≥0在[2,3]上恒成立， 即m≤x2-2x-4在[2,3]上恒成立，函数g(x)=x2-2x-4,在区间[2,3]上单调递增，最小值为g(2)=-4; 所以m≤-4，故选：B. 7B【详解】等差数列{an}中，有a4+ao=a6+a,由a43+a0<0,a6a,<0可得a16+a,<0,a6a,<0, 由于Sn存在最大值，故{an}为单调递减的数列，即公差d<0,故a6>0,a,<0，,因此S6为Sn的最大值，即 k=16,又S-31a+al=3as>0.S。32(a,+a）=16a+a)<0, 2 2 故使得Sn>0成立的最大的n为31，即m=31,故m-k=15 8B【详解】因为f()在写处取到最小值，所以m 0+=-1 所以-0+亚=-元+2，k∈Z,所以0=2-6k,k∈Z,又0>0，所以k≤0. 362 6 6上存在极大值，所以)<Q心+2， 十 议%>}所以0>2，即2-6>2，解得k<0,所以0=2-6k,k∈Zk≤ -> 当k=-1时，0=8，所以0的最小整数解是8故选：B. 9.ACD详解】由图可知，A=1,函数f(x)的最小正周期T=4× (5π_刀=元，故A正确：由T= 126 0>0, 2π 知a-行-2证-2，因为得)-1，所以im2x名+p1,所以骨+0=2红+受e2.即 Tπ p=2版+名ke7.又<p<受所以p名所以f闭=m2+】 6 e引2+[+ 所以f(x)的值域为 故B错误；对于C,将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到 3 g=(:-哥}得s加2：的图家，改c正确：对于D,将唇数/的图家上所有点的损坐标#长为 原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sinx+刀 的图象，因为当x= =sinπ=0，所 6 5时，y=sim+ 66 5π 以得到的函数图象关于点 对称，故D正确.故选：ACD. 10.Bc【详解】因为Sn=n2-4n,当n≥2时，Sn1=(n-l)2-4(n-1), 所以n≥2时，an=Sn-Sn1=n2-4n-(n-1)2+4(n-1)=2n-5, 又a=S1=1-4=-3,满足an=2n-5，,所以an=2n-5,故B正确， 对于A,因为a1-an=2(n+)-5-2n+5=2为常数，所以{an}是等差数列，故A错误， 对 于C, n(-3+2n-5) 因为S=2 2-4’则出-S2三n+1-4)=(n-4)=1为常数 n+l n n 所以数列 是等差数列，故C正确， n 对于D,因为an=2n-5,则n≤2时，an<0,n≥3时，an>0, 所以a+a,+…+ao=-a-a2+a+…+a0=-2(a+a)+S0=-S2+So 又Sn=n(n-4),所以a+a2+…+ao=8+60=68, 【解析】由题知A,BC∈(0，受），所以simA>0,smB>0,simC>0,对于A,周为cos(B-C0+cosA= √5 bsin Ccos A,所以cos(B-C)-cos(B+C)=√5 bsin Ccos A,化简得2 sin Bsin C=√3 bsin Ccos A,所以 11BCD 2sinB-√5 bcos A=0.由a=2,得asin B-√5 bcos A=0.根据正弦定理，得sin Asin B-√5 sin Bcos A=0,所以 s血A-5osA=0,则nA=月，所以A=子所以m2A=一，A错昆对于B,由正弦定理得品=2r 为△ABC外接国的半径)，即二=2，解得，=25，B正确.对于C,因为△ABC为锐角三角形，所以 3 0<BK受， 专<B<受时宁<血B<1.由正张定理后=品得6~- b 0<c=-K受， sin A 3 sn号 9nB,所以6E(5,)即6的取值花周为(25，)C正确，对于D.设B=号-9，C=音+8，由 A2得-京停小为欢益品点专合 则气方n8一后mC所以叶一后[m(骨-+（骨+）]-言×2哥osg-4o0c (2√5,4幻，即b+c的取值范围是(25,4].D正确.故选BCD 12. 【详解1已知sn0-o0- ,将等式两边同时平方，可得(sin0-cos) 10 5 2 因为sin20=2sin0cos0,因此有1-sin20-号，则sim20=1 23 55 13.5【详解】复数z=(3+4)(2-i)由复数乘法运算化简可得 z=(3+4)(2-)=6-3i+8i-4i2=10+5i由复数定义可得虚部为5故答案为：5 14V30【详解】依题意，}absinC=4,而b=4a. sin=32 则a2=2 sin C+2abcosC=34-16cosC sinC'ab=8 sinC 则c2sinC+16cosC=Ve+16sin(C+p）=34,其中tan0=。2, 16 故Vc4+162≥34，则c≥√30，故c的最小值为V30.故答案为：√30 15.(1)因为3c0sC(ac0sB+bc0sA)=c, 由正弦定理可得：3cosC(sin Acos B+sin Bcos A)=sinC, 且sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sinC,可得3 sin C cos C=sinC, 且C∈(0，)，可知sinC≠0，可得cosC=} 3 @南》可知：Ce(0,x刘.cosC=有则sinC=-eosC-2 因为△ABC的面积为SAMC-=) Iabsin C=abx2 2 2 x22=N2,可得ab=3 3 由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosC=(a+b}-2ab-2 abcosC,即8=(a+b}-6-2x3x5,可 得a+b=4,所以△ABC的周长为a+b+c=4+2√2 160当m=2时，f-2x-2hx至则10=2-2h1子0，f)-2子是则 2号+22，m以，所求切线方程为y-0=2x-,即生 a/)=m子+gxe0◆儿≥0，m子g+)是0，个+}是 m≥，2x2 1+=1恒成立，所以m≥ 1 -+x 因为x+-≥2，x =2,当且仅当x=1时等号成立， 21 2 所以1 即 =1,所以m≥1，即实数m的取值范围为1，+o). -+x 1 一+X (r /max 17.(1)由愿意可知亚0死=kx(k∈Z),则0=5亚+km(k∈Z）, 6 6 6 6 放m=5+6(eZ.又f倒在区同0)上单调，则子≥及2马 2-121 0-12 则0<0≤12，故0=5或0=11.当0=5时，f(x)在区间 0 上单调递增，符合题意： 12 当w=11时，f(x)在区 0,66 上单调递增，在区间 5元元 6612 上单调递减，不合题意，舍去 综上所述，0=5. (2)令g(x)=0,则f(x)=a, 台a可a-om5x}-m5x-》x[引.5x[ 4π13π 作出函数y=sinx在区间 上的大致图象如下所示， X 3’6 4 13元 因为sin 4πV3 ,所以a的取值范围为 3 2 2 18@面瓦=a,+)何G+2a,+1=45,可知+2a+1=45 两式相减得a1-a+2(a1-an)=4a41,即2(an1+an)=al-a=(a+a,)(al-an), an>0,∴a+1-4n=2,:当n=1时，a+2a+1=4a,.a=1,则{an}是首项为1，公差d=2的等 差数列，∴.{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1: 4" -11-1 (②6，=2=2"=4,4+04+可34+14m+ 石-66s+e-1】 g 19.(1)当a=2,g(x)=x时，令m(x)=f(x)-g(x)=2x3-3x2,所以m'(x)=6x2-6x=6x(x-1),令 m'(x)=0解得x=0或1，所以m(x)在(0,1)单调递减，又因为m(0)=0,所以m(x)在[0,1]上小于等于0恒 成立，即f(x)≤g(x)在[O,]上恒成立，所以由题意y=g(x)是y=f(x)的控制函数 e当a=0时，f=+,fe到=-2x+1,所uf4)6f日2 所以曲线y=f(x)在 ，令m)=f)-h)=-x+x-1 一X一 216 则)=-2x+分多()=0都得x子所以()在（ 单调递增，在 单调递减，又 =0,所以n(x)在[0,1]上小于等于0恒成立，即f(x)≤h(x)在[0，]上恒成立，所以y=h(x)是 y=f闭的制圣数由题意f(得)日)启 (3)由题意f(x)=ax3-(a+1)x2+x,f'(x)=3ax2-2(a+l)x+1, 设y=f(x)在x=x(x,∈(0,1)处的切线方程为y=t(x), 则(x)=f'(x)x-x)+f(x),因为(x)=f(xo),(四)=0且f四=0， 所f'(xo)=3a-2(a+1)x+1→f'(x)1-x)=f()-f(x)=(a。-1(1-x) -2a+k1--5--=a1a2文经r小%元 -a-2e+k+1--2a+021- 分-o+x2+a2 1 以©=cXc-+G民46w--m )+ yf(x)=ax-(a+1)x2+x=x(x-1)(ax-1), 当xeo训.ef创=-m-+a)a0-a】 ≥0恒成立， 函数y=1(x)必是函数y=f(x)的“控制函数”。 若c=x,则f(c)≤f(c)=f(xo)=min{G(x)函数y=G(x)为函数y=f(x)的“控制函 数”}≤t(x)=f(o)=f(c),即f(c)≤f(c)sf(c),得f(c)=f(c) 若c=l,则f(c)sf(c)=f()=min{G()函数y=G(x)为函数y=f(x)的“控制函 数”}≤i()=f()=f(c),即f(c)sf(c)sf(c),得f(c)=f(c) 若c≠x且c≠l,则c∈(xo,l),假设函数y=f(x)存在“控制函数”y=n(x),满足f(c)=f(c)=n(c), ®国-4闭则pe)=o=e-fa=a-ea>ofo》 又()=f(I),n()2f(),∴p(1)=()-n(1)=f(1)-n(1)≤0， ∴p(c)>p(),显然y=p(x)是一次函数，函数y=p(x)单调递减， ∴.p(x)>p(c)>0, 又t(x)f(xo)=0,∴.0<p(x)=t(xo)-n(xo)=f(x)n(x)与n(xo)≥f(x)矛盾综上，当且仅当 c=o或c=l时，f(c)=f(c)