第3章 二次根式（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级上册

第3章 二次根式（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断式子是否为二次根式】 2 【题型2 二次根式有意义的条件】 2 【题型3 利用=|a|化简】 2 【题型4 二次根式的非负性求字母值】 3 【题型5 二次根式乘法法则计算】 3 【题型6 二次根式除法法则计算】 3 【题型7 判断最简二次根式】 3 【题型8 化简二次根式】 4 【题型9 判断同类二次根式】 4 【题型10 二次根式加减运算】 4 【题型11 二次根式的混合运算】 5 【进阶拔高】 5 【题型12 求二次根式中的参数】 5 【题型13 根号外的因式移入根号内】 6 【题型14 二次根式乘除混合运算】 6 【题型15 二次根式与数轴化简】 7 【题型16 分母有理化】 7 【题型17 已知字母值化简求值】 8 【题型18 已知条件式化简求值】 8 【题型19 利用非负性求多个字母值】 9 【题型20 同类二次根式求参数】 9 【题型21 最简二次根式求参数】 10 【题型22 二次根式大小比较】 10 【创新思辨】 10 【题型23 复杂二次根式化简求值】 10 【题型24 二次根式中的新定义运算】 11 【题型25 复合二次根式化简】 12 【题型26 二次根式实际生活应用】 12 【题型27 二次根式应用（面积）】 13 【夯实基础】 【题型1 判断式子是否为二次根式】 【例1】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【变式1-1】（26-27九年级·全国·暑假作业）二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）若二次根式有意义，写出一个满足条件的a的值_______________． 【变式2-1】（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【变式2-3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）当x满足______时，在实数范围内有意义． 【题型3 利用=|a|化简】 【例3】（26-27九年级上·广东广州·开学考试）计算：________． 【变式3-1】（25-26八年级下·吉林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果，那么满足的条件是__________． 【变式3-3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）化简___________（所有字母为非负数）． 【题型4 二次根式的非负性求字母值】 【例4】（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）已知，则的值为____________ 【变式4-1】（25-26八年级下·甘肃武威·期末）若有意义，则的平方根是______． 【变式4-2】（25-26八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为_____． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【题型5 二次根式乘法法则计算】 【例5】（25-26八年级下·云南红河·期末）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式5-1】（25-26八年级下·四川德阳·期中）计算的结果是_____． 【变式5-2】（25-26八年级下·上海·期中）如果，那么______． 【变式5-3】（25-26八年级下·重庆·期末）已知n为整数，且，则______． 【题型6 二次根式除法法则计算】 【例6】（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 【变式6-1】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【变式6-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【变式6-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）把化去分母中的根号后得______． 【题型7 判断最简二次根式】 【例7】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【变式7-3】（25-26八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型8 化简二次根式】 【例8】（26-27九年级上·全国·单元复习）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）将化成最简二次根式的结果是________． 【变式8-2】（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【变式8-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 【题型9 判断同类二次根式】 【例9】（25-26八年级下·重庆江津·期中）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【变式9-3】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 【题型10 二次根式加减运算】 【例10】（25-26七年级下·北京丰台·期末）计算：． 【变式10-1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【变式10-3】（25-26八年级上·上海·期中）计算：．（） 【题型11 二次根式的混合运算】 【例11】（25-26八年级下·天津东丽·期末）计算 (1)； (2)． 【变式11-1】（25-26八年级下·山西大同·期末）计算 (1)． (2)． 【变式11-2】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）计算： (1)； (2) 【变式11-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 【进阶拔高】 【题型12 求二次根式中的参数】 【例12】（25-26八年级下·北京·期中）若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【变式12-1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26八年级下·河南新乡·阶段检测）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【变式12-3】（25-26八年级下·全国·期末）已知a为整数，且满足，则a的值为__________． 【题型13 根号外的因式移入根号内】 【例13】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）把中根号外的移入根号内得________． 【变式13-1】（25-26八年级上·上海·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是___________ 【变式13-2】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）把根号外的因式移入根号内，得________ 【题型14 二次根式乘除混合运算】 【例14】（25-26八年级下·山东威海·期末）设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 【变式14-2】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【变式14-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【题型15 二次根式与数轴化简】 【例15】（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【变式15-1】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【变式15-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 【变式15-3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【题型16 分母有理化】 【例16】（25-26八年级上·上海·阶段检测）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【变式16-2】（25-26八年级下·河南新乡·期末）定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【变式16-3】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）例如：像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的（     ）个 ①； ②若是的小数部分，则； ③比较大小：； ④计算：． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型17 已知字母值化简求值】 【例17】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 【变式17-1】（25-26八年级下·河南许昌·期末）已知，． (1)求的值． (2)求的值． 【变式17-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）化简求值：，其中． 【变式17-3】（25-26八年级下·河南周口·期末）计算及化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【题型18 已知条件式化简求值】 【例18】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，求的值． 【变式18-1】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【变式18-2】（25-26九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 【变式18-3】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【题型19 利用非负性求多个字母值】 【例19】（25-26七年级下·陕西·期末）若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【变式19-1】（25-26八年级下·广西河池·期中）如果式子，那么______． 【变式19-2】若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 【变式19-3】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【题型20 同类二次根式求参数】 【例20】（25-26八年级下·北京西城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【变式20-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【变式20-2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【变式20-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）最简二次根式与是同类二次根式，则________，________． 【题型21 最简二次根式求参数】 【例21】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）与最简二次根式能合并，则__________． 【变式21-1】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 【变式21-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【变式21-3】（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 【题型22 二次根式大小比较】 【例22】（25-26八年级下·北京·期末）比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【变式22-1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 【变式22-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【变式22-3】（25-26八年级下·广东珠海·期中）比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，． 阅读以上材料，解决下面问题： (1)已知，，则_______（填写“”“”或“”）． (2)比较，的大小，并说明理由． (3)判断，（，且为正整数）的大小，并说明理由． 【创新思辨】 【题型23 复杂二次根式化简求值】 【例23】（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【变式23-1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 【变式23-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【变式23-3】（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知，求的值． 【题型24 二次根式中的新定义运算】 【例24】（24-25八年级下·山东青岛·期中）定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． (1)请你写出一对共轭实数：________和__________； (2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； (3)已知，求代数式的值． 【变式24-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，， 试解决下列问题： ①__________；②__________； ③__________． 【变式24-2】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【变式24-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【题型25 复合二次根式化简】 【例25】（25-26七年级下·上海·期末）化简 (1)； (2)； (3)． 【变式25-1】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【变式25-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【变式25-3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）方程的解是______． 【题型26 二次根式实际生活应用】 【例26】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 【变式26-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 【变式26-2】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示重力加速度，取，表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得，，该汽车的车速（单位：）最接近的数值为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 【变式26-3】（25-26八年级下·广东江门·期末）“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔，这座山顶部到海边的最短距离约为，天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能否看到大海？请说明理由． 【题型27 二次根式应用（面积）】 【例27】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【变式27-1】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式27-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【变式27-3】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 二次根式（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断式子是否为二次根式】 2 【题型2 二次根式有意义的条件】 3 【题型3 利用=|a|化简】 4 【题型4 二次根式的非负性求字母值】 5 【题型5 二次根式乘法法则计算】 6 【题型6 二次根式除法法则计算】 7 【题型7 判断最简二次根式】 8 【题型8 化简二次根式】 10 【题型9 判断同类二次根式】 11 【题型10 二次根式加减运算】 13 【题型11 二次根式的混合运算】 14 【进阶拔高】 18 【题型12 求二次根式中的参数】 18 【题型13 根号外的因式移入根号内】 19 【题型14 二次根式乘除混合运算】 21 【题型15 二次根式与数轴化简】 23 【题型16 分母有理化】 25 【题型17 已知字母值化简求值】 28 【题型18 已知条件式化简求值】 31 【题型19 利用非负性求多个字母值】 34 【题型20 同类二次根式求参数】 36 【题型21 最简二次根式求参数】 37 【题型22 二次根式大小比较】 39 【创新思辨】 42 【题型23 复杂二次根式化简求值】 42 【题型24 二次根式中的新定义运算】 45 【题型25 复合二次根式化简】 50 【题型26 二次根式实际生活应用】 53 【题型27 二次根式应用（面积）】 55 【夯实基础】 【题型1 判断式子是否为二次根式】 【例1】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 【变式1-1】（26-27九年级·全国·暑假作业）二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【答案】 / 2 【详解】解：根据二次根式的定义，在中，根号内的式子为被开方数，为二次根式的系数，二次根式的根指数为； ∴由可得被开方数是，系数是，根指数是． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）若二次根式有意义，写出一个满足条件的a的值_______________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，先求出的取值范围，再选取范围内任意一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 因此满足条件的可以取，答案不唯一． 【变式2-1】（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意得，解得． 【变式2-2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：∵且， ∴． 【变式2-3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）当x满足______时，在实数范围内有意义． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式，取所有条件的公共范围即可求解． 【详解】解：∵要使在实数范围内有意义， ∴，且， 解不等式，得； 解不等式，得； ∴当且时，在实数范围内有意义． 【题型3 利用=|a|化简】 【例3】（26-27九年级上·广东广州·开学考试）计算：________． 【答案】 【分析】利用二次根式性质化简，先判断的正负，再去掉绝对值符号得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得． ∵． ∴ ∴ 即原式结果为． 【变式3-1】（25-26八年级下·吉林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 【变式3-2】（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果，那么满足的条件是__________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简可得，再根据绝对值的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 【变式3-3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）化简___________（所有字母为非负数）． 【答案】 【详解】解：． 【题型4 二次根式的非负性求字母值】 【例4】（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）已知，则的值为____________ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义知，被开方数大于等于，据此列出一元一次不等式组，解得，再将代入中求出，将值代入求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 将代入， 解得， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级下·甘肃武威·期末）若有意义，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式组求出的值，再代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵要使有意义， ∴， 解得， 将代入得， ∴的平方根为． 【变式4-2】（25-26八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件确定的取值，然后代入二次根式化简． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 【题型5 二次根式乘法法则计算】 【例5】（25-26八年级下·云南红河·期末）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】利用二次根式的运算法则化简所求式子，再确定其中的近似取值范围，从而得到所求式子的取值范围． 【详解】解：， ， ， ． 【变式5-1】（25-26八年级下·四川德阳·期中）计算的结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，利用二次根式乘法法则，先合并被开方数相乘，再化简得到结果． 【详解】解：根据二次根式乘法法则可得 ． 【变式5-2】（25-26八年级下·上海·期中）如果，那么______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·重庆·期末）已知n为整数，且，则______． 【答案】 【分析】先计算出的结果，再估算所得无理数的大小，即可得到整数的值. 【详解】解：， ，即， n为整数，且， ． 【题型6 二次根式除法法则计算】 【例6】（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 【变式6-1】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 【变式6-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 【变式6-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）把化去分母中的根号后得______． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式 ． 【题型7 判断最简二次根式】 【例7】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义分别对A、B、C、D各选项的二次根式进行判断即可得答案. 【详解】解：A. ，可以化简，不是最简二次根式，故A选项错误. B. ，可以化简，不是最简二次根式，故B选项错误. C. ，可以化简，不是最简二次根式，故C选项错误. D. 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故D选项正确. 【变式7-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】解题思路是先将整数1和3化为二次根式形式，再找出被开方数介于1和9之间的最简二次根式即可． 【详解】解：，， 所求最简二次根式的被开方数只需满足大于1且小于9，且的因数中没有除1以外的完全平方数即可，其中符合条件的一个最简二次根式是(答案不唯一)． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【变式7-3】（25-26八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． 【题型8 化简二次根式】 【例8】（26-27九年级上·全国·单元复习）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算出根号内算式的结果，再把被开方数拆成平方数乘另一个数进行开方化简． 【详解】解：． 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）将化成最简二次根式的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的化简，解题思路是先分解被开方数，分离出能开得尽方的完全平方因数，再利用二次根式的性质化简得到结果． 【详解】解：． 【变式8-2】（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式8-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9 判断同类二次根式】 【例9】（25-26八年级下·重庆江津·期中）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】把各个二次根式化为最简二次根式后，看它们的被开方数是否相同，被开方数相同的二次根式即为同类二次根式． 【详解】解： ，与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； 所以与是同类二次根式的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式化简、同类二次根式判断，解题关键是先化成最简二次根式，再判断同类二次根式． 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将化为最简二次根式，再把各选项化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义判断，只有同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式）才能合并； 【详解】解：，化简后被开方数为 A选项 是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； B选项 ，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； C选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； D选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； 【变式9-2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【答案】③④ 【分析】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：① 化简得：，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ② 化简得：为最简二次根式，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ③ 化简得：为最简二次根式，二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； ④ 由二次根式有意义可知，得， 化简得：， 二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； 故化简后其中是同类二次根式的是③④． 【变式9-3】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 【题型10 二次根式加减运算】 【例10】（25-26七年级下·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 【变式10-1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 【变式10-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知： ． 【变式10-3】（25-26八年级上·上海·期中）计算：．（） 【答案】 【详解】解： ． 【题型11 二次根式的混合运算】 【例11】（25-26八年级下·天津东丽·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再加减运算即可解答； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-1】（25-26八年级下·山西大同·期末）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内． （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式11-2】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得 ∴ ． 【变式11-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法以及立方根和算术平方根的性质化简，再合并即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可 （3）根据二次根式的运算法则化简即可； （4）根据二次根式的运算法则化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【进阶拔高】 【题型12 求二次根式中的参数】 【例12】（25-26八年级下·北京·期中）若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设为正整数，将等式平方整理得到关于的表达式，根据为正整数，即可找出符合条件的的取值． 【详解】解：设，其中为正整数， 等式两边平方得：， 整理得：， 为正整数， 为正整数，且为的倍数， 令，得，是正整数，符合题意， 正整数可能取值为（答案不唯一）． 【变式12-1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 【变式12-2】（25-26八年级下·河南新乡·阶段检测）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 【变式12-3】（25-26八年级下·全国·期末）已知a为整数，且满足，则a的值为__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解． 【详解】解：， ， ， 又∵为整数， ． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键． 【题型13 根号外的因式移入根号内】 【例13】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）把中根号外的移入根号内得________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再将根号外的因式移入根号化简，注意保留符号． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 【变式13-1】（25-26八年级上·上海·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是___________ 【答案】 【分析】利用二次根式有意义的条件可知：，则即可解答. 【详解】∵二次根号下被开方数≥0 ∴，则 ∴ 故答案为 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的变化，注意符号即可. 【变式13-2】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 【变式13-3】（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）把根号外的因式移入根号内，得________ 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键． 【题型14 二次根式乘除混合运算】 【例14】（25-26八年级下·山东威海·期末）设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分解变形为含有和的形式，再代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：， 又， ， ． 【变式14-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 【变式14-2】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 【变式14-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 【题型15 二次根式与数轴化简】 【例15】（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 【变式15-1】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 【变式15-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ． 【变式15-3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、二次根式的性质、二次根式的非负性、求一个数的平方根等，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据两点间的距离公式即可得解； （2）由可推得，即，再利用绝对值和二次根式的性质化简，即可求解； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：依题意得，蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示， 点所表示的数为； （2）解：， ， ， 即， ，， ， ， ， ； （法二：， ， ， ， ， ， ）； （3）解：由题可知， ，， ，， ， 的平方根为． 【题型16 分母有理化】 【例16】（25-26八年级上·上海·阶段检测）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理化因式，有理化因式是指与给定表达式相乘后结果为有理式的表达式．对于单个平方根表达式 ，其自身即为有理化因式，因为相乘后可得有理式 ． 【详解】∵ （有理式）， ∴ 是自身的一个有理化因式． 故选：D． 【变式16-1】（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式． 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 【变式16-2】（25-26八年级下·河南新乡·期末）定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 【变式16-3】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）例如：像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的（     ）个 ①； ②若是的小数部分，则； ③比较大小：； ④计算：． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查分母有理化的应用，解题关键是掌握分母有理化方法，利用平方差公式化简，裂项相消求和，依次判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①∵ ∴ ①正确； ②∵ ，是的小数部分， ∴ 则 ∴ ②错误； ③对两个式子变形： ∵ ，分子为时，分母越大分数越小， ∴ ，即 ∴ ③错误； ④对通项拆分：每一项可以表示为：， ， ， 与结论一致，∴ ④正确； 综上，正确的结论共2个． 【题型17 已知字母值化简求值】 【例17】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平方差公式对、进行分母有理化，再借助的性质，求出和；接着运用完全平方公式将分子配成，由于、均大于，从而约分，最后将已经求得的的值代入计算即可得到最终结果． （2）先对进行分母有理化，通过移项再两边平方，推导出，随后对四次多项式分组、提取公因式进行降次，把整体替换为，再利用推论进一步降低代数式次数，逐步化简多项式，最后代入化简后的值计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， 移项得， 两边平方得， ， ， ． 【变式17-1】（25-26八年级下·河南许昌·期末）已知，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，再将所求式子进行因式分解，整体代入计算即可得出结果； （2）求出，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ，， ∴ （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴． 【变式17-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先进行开方、分母有理化，再合并同类项，最后代入，即可求解． 【详解】解： 当时，上式． 【变式17-3】（25-26八年级下·河南周口·期末）计算及化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【分析】（1）把括号内的每一项分别除以，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式，最后计算，再整体代入计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴原式. 【题型18 已知条件式化简求值】 【例18】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 【变式18-1】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 【变式18-2】（25-26九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴， 又∵分式有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式18-3】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【答案】， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 【题型19 利用非负性求多个字母值】 【例19】（25-26七年级下·陕西·期末）若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】 7 【分析】解题的关键在于要利用分类讨论思想对等腰三角形三边情况进行分类，并利用三角形三边之间的关系进行验证．先根据的性质化简原等式，再利用绝对值的非负性列式求出a、b的值，最后，分a的值是等腰三角形的腰长还是底边这两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意； 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去； ∴等腰三角形的周长为：． 【变式19-1】（25-26八年级下·广西河池·期中）如果式子，那么______． 【答案】 【分析】先由非负数的性质求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 【变式19-2】若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点为非负数的性质以及解二元一次方程组．本题先依据非负数的性质(算术平方根和绝对值均为非负数，其和为时各自为)列出关于的二元一次方程组，再求解方程组得到的值，最后将其代入结合负数奇次幂的性质算出结果． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴， ①＋②，得：， 把代入方程①： ， 解得：， 将，代入． 故选：A． 【变式19-3】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【题型20 同类二次根式求参数】 【例20】（25-26八年级下·北京西城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【答案】6 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出，的值，最后计算即可. 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 【变式20-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 【变式20-2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【分析】由题意列出方程组，整理得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式， ∴，整理得：， 解得：， ∴， ∴的值为． 【变式20-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）最简二次根式与是同类二次根式，则________，________． 【答案】 1 【分析】根据同类二次根式的定义，得，解答即可． 本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【题型21 最简二次根式求参数】 【例21】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）与最简二次根式能合并，则__________． 【答案】4 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得： 【变式21-1】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 【答案】 【分析】两个最简二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． 移项得． 合并同类项得． 系数化为得． 【变式21-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 【变式21-3】（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 【答案】 4 76 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据可以合并的最简二次根式是同类二次根式，列方程求出a、b，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次方根式与可以合并， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，4，76． 【题型22 二次根式大小比较】 【例22】（25-26八年级下·北京·期末）比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【答案】< 【分析】对于两个正无理数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】，， ， ， 又， ， ． 【变式22-1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式22-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式22-3】（25-26八年级下·广东珠海·期中）比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，． 阅读以上材料，解决下面问题： (1)已知，，则_______（填写“”“”或“”）． (2)比较，的大小，并说明理由． (3)判断，（，且为正整数）的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再结合即可得； （2）先求出，再得出，结合即可得； （3）先求出，再计算可得，结合即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ， 又∵，，且， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． 【创新思辨】 【题型23 复杂二次根式化简求值】 【例23】（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 【变式23-1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 【变式23-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 【变式23-3】（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求得，易得，再运用二次根式的混合运算法则化简原式，最后将、代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ． 【题型24 二次根式中的新定义运算】 【例24】（24-25八年级下·山东青岛·期中）定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． (1)请你写出一对共轭实数：________和__________； (2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)， (3) 【分析】本题考查了实数的新定义，二次根式的加法和乘法运算，二次根式的化简求值，理解新定义是解题的关键． （）根据共轭实数的定义解答即可； （）根据二次根式的加法和乘法运算法则计算即可； （）求出和的值，再代入代数式计算即可； 【详解】（1）解：写出的一对共轭实数可以是和， 故答案为：，； （2）解：， ； （3）解：∵， ∴， ， ∴原式 ． 【变式24-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，， 试解决下列问题： ①__________；②__________； ③__________． 【答案】 2 3 /0.9995044599 【分析】①直接根据新定义，即可求解； ②根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ③根据，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：①； ②∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴：， ∴， ∴． ③∵， ∴ ． 故答案为①2；② 3；③ ． 【点睛】解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题③的要点是：当n为正整数时，． 【变式24-2】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 【变式24-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义结合二次根式的性质进行化简即可； （3）①根据新定义推出，进而推出或或，进而得到当的值最小时，有最小值，即可得出结果；②将转化为，根据是整数，得到，得到，再进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； 故满足要求的是①③； （2）解：原式 ； （3）解：① 是“完全平方根式”， ， 又，且为正整数 或或， 当的值最小时，有最小值， ， ， ②， 为正整数，是整数， ，即， ， ， ， ， 当时，，原式； 当时，，原式． 【题型25 复合二次根式化简】 【例25】（25-26七年级下·上海·期末）化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式25-1】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 【变式25-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 【详解】解：， 原式 【变式25-3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）方程的解是______． 【答案】 【分析】先将原方程化为，则，然后换元，分类讨论求解即可． 【详解】解： ， ， 令， 则， 当时，，解得，不满足，舍去； 当时，，即恒成立，此时的符合题意； 当时，，解得，不满足，舍去； ∵， ∴ ， 解得， ∴方程的解是． 【题型26 二次根式实际生活应用】 【例26】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 【答案】 【详解】解：当时，代入中， 可得 ， 当时，代入中， 可得 ， 所以 ， 则是的倍． 【变式26-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将改写为的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算，保留两位小数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，． ，． 将表示为，此时． 若取，则，． 因此取，． 代入近似公式，得： ． 【变式26-2】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示重力加速度，取，表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得，，该汽车的车速（单位：）最接近的数值为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】将已知数值代入公式求出被开方数，再通过比较平方数估算车速即可． 【详解】解：， 将，，代入公式， ， 得， ，， ∴， 最接近． 【变式26-3】（25-26八年级下·广东江门·期末）“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔，这座山顶部到海边的最短距离约为，天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海，理由如下： 当时， ， ∵， ∴天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海． 【分析】（1）把代入中，求解d的值即可； （2）把代入中，求解d的值，再与60比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）略 【题型27 二次根式应用（面积）】 【例27】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 【变式27-1】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，求出两个正方形的边长，进而求出空白矩形的长和宽，利用矩形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， ∴空白矩形的长为，宽为， ∴空白部分的面积为； 故选：A． 【变式27-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； (2)花坛的绿化面积变成平方米． 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简． （1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解； （2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米， 花坛的边长为米． 所以周长一共是：（米） 答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； （2）解：新喷水池的边长为米， 新喷水池的面积为（平方米）， 花坛的绿化面积变成（平方米）， 答：花坛的绿化面积变成平方米． 【变式27-3】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，且， ∴，即， ∴，即， ∴； (3)证明：∵为正整数，且， ∴， 又∵， ∴利用探究的结论可以得到， ∴． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据且可得，再利用探究的结论即可证明； （3）将与进行比较，再根据和已知结论即可证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $