第05讲 直线、平面垂直的判定与性质（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义围绕直线与平面垂直、面面垂直及空间角与距离等核心考点，按知识梳理-重难突破-分层集训的逻辑架构整合内容，通过考情分析明确要求，知识归纳夯实基础，方法指导突破重难，真题训练提升能力，形成系统针对性的复习体系。 资料突出垂直关系转化的逻辑推理，如“线线垂直推线面垂直”链条，结合几何法求角步骤培养空间想象。设计典例精讲与考法预测，分层练习含基础、能力、真题层，助力学生高效突破，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升应考能力。

第05讲 直线、平面垂直的判定与性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 直线与平面垂直 知识2 直线与平面所成角 知识3 平面与平面垂直 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 线面垂直的判定与证明 考点02 线线垂直的判定与证明 考点03 面面垂直的判定与证明 考点04 空间垂直关系的探索性问题 考点05 几何法求空间线面角 考点06 几何法求空间二面角 考点07 几何法求空间距离 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．借助长方体，直观感知空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直位置关系，抽象出垂直关系的数学定义． 2．归纳并证明空间线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，能运用垂直相关定理证明空间图形位置关系的简单命题，体会空间垂直关系的相互转化思想． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 线面垂直的判定与性质 全国I卷T10 全国II卷T16 全国I卷T9 全国II卷T17 面面垂直的判定与性质 全国I卷T17 直线与平面所成角 全国II卷T16 全国I卷T17 全国II卷T7 平面与平面所成角 全国II卷T17 全国I卷T17 全国II卷T17 全国甲卷（理）T19 空间距离的求解 全国I卷T15 全国甲卷（文）T19 考情解读 直线与平面垂直是新高考立体几何核心高频必考考点，是立体几何证明、空间角与距离计算的核心基础．小题多以命题真假判断、位置关系辨析为主，考查垂直定理的精准理解；解答题固定作为立体几何大题核心设问，常单独考查线面垂直、面面垂直证明，或结合平行关系综合考查． 命题多以棱柱、棱锥、棱台为载体，重点考查逻辑推理与空间想象能力，解题核心是线线、线面、面面垂直的相互转化．相比平行关系，垂直考点综合性更强，是后续二面角、体积计算、空间向量解题的前提，属于高考必须熟练掌握的中档核心题型． 备考策略 1．熟记线线、线面、面面垂直的判定与性质定理，精准掌握定理全部条件，杜绝漏条件解题． 2．掌握垂直转化核心逻辑，牢记“由线线垂直推线面垂直、由线面垂直推面面垂直”的常规解题链条． 3．熟练常用找垂线方法，重点练习几何图形中中位线、高线、等腰三角形三线合一、矩形邻边垂直等基础模型． 4．规范几何证明书写步骤，规避空间与平面结论混用、定理条件不全等高频易错点，保证大题步骤满分． 知识・归纳梳理 知识1 直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2、判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识2 直线与平面所成角 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. 2、线面角的范围：. 知识3 平面与平面垂直 1、二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． 2、平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 3、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 重难・核心突破 考点01 线面垂直的判定与证明 典例1．（2026·四川巴中·模拟预测改）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点．(1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）证明：因为，所以，又，点是的中点， 在中，，，所以， 因为是边长为2的等边三角形，点是的中点， 所以， 已知，在中，， 因为，所以， 因为平面，所以平面 典例2．（25-26高二下·广东潮州·期末改）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点．(1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【解析】（1）取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． 【考法预测1】（2026·云南·三模改）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，.(1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. 【考法预测2】（2026·安徽合肥·模拟预测改）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且， 为线段的中点．现沿着 将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．(1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）由题意可知，，， 所以，， ， 又因为， 为线段的中点， 所以，所以四边形 为正方形， 由翻折可知，，， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形 为正方形，所以，所以， 因为， 为线段的中点，所以， 又因为平面，所以平面． 方法技巧 线面垂直的证明方法 1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α． 2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β． 3、性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α 4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) 考点02 线线垂直的判定与证明 典例1．如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点．证明：． 【解析】因为底面平面， 所以 因为，所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 典例2．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，.(1)求证：直线 【答案】(1)证明见解析； 【解析】（1）因为平面，平面， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 因为，所以， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以； 【考法预测1】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测改）已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【解析】（1）由四边形为菱形，， 得为正三角形，因为为的中点， 所以，又，因此， 因为平面，平面，所以， 而平面，平面且， 所以平面，又平面， 所以． 【考法预测2】（26-27高三上·山东滨州·开学考试改）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知．(1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【解析】（1）是等边三角形，是中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以， 因为，是等边三角形，所以，又，所以， 而，所以，所以，即， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 考点03 面面垂直的判定与证明 典例1．（2026·湖南湘潭·一模改）如图在四棱锥中，，，，，．(1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【解析】（1）证明：连结，过作，垂足为，于． ，中，，．     中，，，即， 所以，又，,平面,平面， 平面，又因为平面， 平面平面． 典例2．（26-27高三上·广东深圳·开学考试改）如图，在圆台中，，下底面圆的直径，点在圆上，点在圆上，直线，与底面所成角均为，圆台的体积为．(1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）证明：由题意，圆台体积， 得，解得或（舍），     因点到底面的距离即，又直线，与底面所成角均为， 所以．     因为平面，所以，由勾股定理， 由，可得，同理， 由，，平面，所以平面，     设直线与平面交于点，因为上下底面平行，且分别与平面交于直线与，所以，     则平面，因为平面，所以平面平面． 方法技巧 面面垂直的证明方法 法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题． 法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决． 【考法预测1】（26-27高三上·福建泉州·开学考试改）如图，三棱锥中，，是的中点，平面平面，．(1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 【解析】（1）证明：因为，是的中点， 所以,又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. 【考法预测2】（2026·海南·模拟预测改）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，分别为，上的动点，且平面．(1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【解析】（1）取的中点，连接，， 因为为等腰直角三角形，，所以⊥， 因为，，所以， 因为为等边三角形，所以⊥，且， 由⊥与⊥可得为二面角的平面角， 因为，由勾股定理得，所以⊥， 所以，所以平面平面； 考点04 空间垂直关系的探索性问题 典例1．如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)点M为棱的中点. 【解析】（1）在直四棱柱中，平面，平面，则， 而，且平面， 于是平面， 而平面，所以． （2）当点M为棱的中点时，平面平面． 如图，取的中点，的中点，连接交于点，连接，， 显然，则O是的中点，由N是DC的中点，，得， 在直四棱柱中，平面，平面， 于是平面平面，而平面平面，平面， 则平面，当点M为棱的中点时，，且， 因此是平行四边形，即，有平面， 又平面，则平面平面， 所以点M为棱的中点时，有平面平面. 典例2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接， 于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则， 又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 【考法预测1】（24-25高三上·广东东莞·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，证明见解析 【解析】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB （2） 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得，又， 即，又， 所以，所以， 故当时，平面BMN， 【考法预测2】（2026·河北邯郸·一模）如图，在三棱台中，平面，，，，，是棱上一点（不含端点）． (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． (2)是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)不存在，证明见解析 【解析】（1）由平面，，可得两两垂直． 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，． 由为的中点，可得， ，，． 设平面的法向量为， 由，可得，令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． （2）不存在，理由如下： （方法一）连接，如图， 由， 可得． 假设存在点（异于），使得，则， 解得，则与重合， 这与假设矛盾，则假设不成立，故不存在点，使得． （方法二）假设存在点（异于），使得． 因为平面，平面，所以．又， 所以． 连接．由，可得， 则，，则． 因为，，平面，所以平面． 又平面，所以． 因为，，，平面，所以平面． 又平面，所以， 又，平面，从而平面， 这与平面矛盾，则假设不成立， 故不存在点，使得． 考点05 几何法求空间线面角 典例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可将该正三棱台补成一个正四面体，平面即为平面． 正四面体进一步又可以放到一个正方体内研究， 设正方体棱长为2，， 设点到平面的距离为，则， 所以，则. 设与平面所成角为，则． 典例2．（26-27高三上·贵州·阶段检测）如图，已知三棱柱的侧面是长方形．底面是等腰直角三角形且是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为四边形是矩形，所以， 又，所以． 又因为是的中点，所以． 又因为平面， 所以平面． （2）连接，由（1）知平面，平面，则， 因为为的中点，所以． 又，所以，所以，所以， 所以，所以． 由题意可知， 设点到平面的距离为， 根据，解得． 记直线与平面所成角为，所以． 【考法预测1】（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面，所以， 平面，，所以平面，所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【考法预测2】（26-27高三上·河北·开学考试）如图，已知菱形中，，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：在菱形中，，， 所以，均为等边三角形． 因为，为的中点， 所以． 因为，， 所以，所以． 如图，连接，则． 又因为，， 所以， 所以，所以． 又因为， 所以，所以． 又，且，平面， 所以平面． （2）解法一：设点到平面的距离为， 因为菱形的边长为， 所以， 所以， ． 由（1）知平面，， 所以，所以． 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：由（1）知，，，两两相互垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则即，可取． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 考点06 几何法求空间二面角 典例1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】如图所示，连接交于点，则为正方形的中心. 连接，则平面，所以. 取的中点，连接， 则，且. 因为平面，所以. 由，得； 所以为侧面与底面所成二面角的平面角. 所以. 典例2．（26-27高三上·湖北·开学考试）如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，． (1)求二面角的余弦值； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）取的中点，连接． 四边形为菱形，， 与是等边三角形，． ． ， 是二面角的平面角． 又，平面，平面平面． 平面． ． ． 所以二面角的余弦值为． （2）过作于点，则，， 平面，平面，． 且平面面． 所以． 所以三棱柱的体积为． 【考法预测1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点． (1)证明：平面与平面的交线平面； (2)若，二面角的正切值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为分别是的中点，所以， 因为平面，平面，则平面， 又因为平面，而平面平面，所以， 而平面，平面，所以平面． （2）延长，过作于点，连接，过作于点， 由， ，则 ， 又面，且，则面， 又平面，则， 所以为二面角的平面角， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 设，又二面角的正切值为，则，得， 在中，， 则为等腰直角三角形， 又分别是的中点，则，所以， 在中，，代入得，解得． 所以. 【考法预测2】（26-27高三上·山西太原·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，则，，， 而为等腰直角三角形，所以， 故，所以. 考点07 几何法求空间距离 典例1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知平行六面体的体积为8，的面积为，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由平行六面体的体积为8，得， 设到平面的距离为，由，得， 而的面积为，解得， 所以到平面的距离为. 典例2．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：与底面成相等的角，设点在平面上射影为， 则有， ∴ 且， ∴是的外心. 是直角三角形，且是斜边的中点， ∴点和点重合， ∴平面. （2）法一：由（1）平面，平面，则， 又，，平面， ∴平面，又平面，则①. 且，又， 也是等腰直角三角形，，， 截面，过的平面与平面交于， ，则②， 由①②，都在面内，则平面， ∴点到平面的距离即， ，且由知是中点， ∴.点到平面的距离为. ∴平面， ∴到平面的距离即为点到面的距离，即为. 法二：截面，过的平面与平面交于， ∴，是中点，则是中点，故， 由（1）平面，又平面， ∴，又，，平面， ∴平面，平面， ，且， ， ∵， 因为是中点，平面， 所以点到平面的距离为， 设点到面的距离为， ， ∴，故， ∵平面， ∴到平面的距离即为C点到面的距离，即为. 【考法预测1】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知正方形的边长为，平面，，，分别是，的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正方形的边长为，，分别是，的中点， 则，，， 又平面，平面，所以， 又，所以，易知， 取中点，连接，易知，则， 所以， 设点到平面的距离为，由，得到，解得. 【考法预测2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为．故选：B. 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：如图所示，在长方体中，满足：，， 此时不垂直平面，故不满足充分性. 必要性：可推出，满足必要性. 所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B 2．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【解析】因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，， 取的中点，连接， 是中点，是中点，， 底面，故底面， 是在底面的射影，是直线与底面所成角， 则，，， . 底面，底面， ，即是直角三角形， ． 4．（2026·广东广州·三模）正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中，，， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 5．（2026·吉林·三模）（多选）若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【解析】根据面面垂直的判定定理，，，推出，正确. 已知，由线面平行的性质，可得内存在直线满足； 又，因此，结合面面垂直判定可得，正确. 已知，，由面面平行的性质，推出，正确. 若，，则与可以平行，也可以相交，且相交时不一定垂直，无法推出，错误. 6．（2026·湖南株洲·二模）（多选）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 【答案】ACD 【解析】对于选项A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于选项B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于选项C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于选项D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确.故选：ACD． 7．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）如图，在三棱台中，平面，，，． (1)证明：平面． (2)若H为的中点，求与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以． 因为，，， 所以由可得， 则，所以． 因为，所以平面． （2）因为平面平面， 所以与平面所成的角即为与平面所成的角． 如图，取上靠近点A的三等分点M，连接，， 则，， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角． 因为，，， 所以， 即与平面所成角的正切值为． 8．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）在三棱柱中，，且棱长均为1. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取中点为，连接， 因为三棱柱中棱长均为1，且， 所以和为正三角形，所以， 又平面，且，所以平面. 又平面，故. （2）由（1）可知， 所以即为平面与平面所成的角（或其补角）， 因为、、为正三角形且边长均为1，所以， 在中，由余弦定理可知, 所以，则. 所以平面与平面夹角的正切值为. 9．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直. (1)证明: 平面平面; (2)若为上一点，且平面,，求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）由，得，又平面平面， 平面平面平面，则平面， 由平行四边形，得，则平面，又平面， 所以平面平面． （2）由平面，得到平面的距离等于点到平面的距离， 连接交于点，连接，如图， 由平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，由，得， 在Rt中，，则，且，为等边三角形， 因此，而平面，则平面， 的长即为点到平面的距离，而， 所以到平面的距离为. 能力进阶 1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为分别为棱的中点，所以， 在棱上取点，使得，连结， 则四边形为平行四边形，故， 又因为关于的对称点为，连结，则， 因此， 当三点共线时，取得最小值，此时， 由于底面，连结，则直线与底面所成的角为， 而此时， 故当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为． 2．（24-25高三上·河北衡水·阶段检测）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别取的中点，连接， 根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形； 根据题意可知， 而平面， 故平面，又平面， 故平面平面，则平面平面， 作，垂足为S，平面平面， 平面，故平面， 则梯形的高即为平面与平面之间的距离； ， 故， 即平面与平面之间的距离为，故选：B 3．（2026·河北沧州·三模）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【解析】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 4．（26-27高三上·湖北·开学考试）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对任意点，直线与直线异面 D．存在点，使得 【答案】AD 【解析】对于选项A，在矩形中，，，，所以四边形为正方形.所以. 又因为平面，平面，所以. 当为点时，，从而可证得平面. 又平面，所以，故A正确； 对于选项B，当点位于点时，与相交；当点在线段上除点的其他位置时， 因为平面，平面，，平面， 所以，与为异面直线，故B错误； 对于选项C，当点为点时，与相交，故C错误； 对于选项D，当为的中点时，取的中点，连接， 在中，分别为中点，所以. 又，所以.同理可得. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以，故D正确． 5．（2026·浙江·三模）（多选）如图，在正三棱台中，为的中点，是上的动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则下列关于的大小，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】取的中点为，连接 ，作，垂足为，连接 ，如下图所示： 根据正三棱台性质可得 ，又因为 ，且 平面 ， 所以平面 ， 又平面 ，所以， 又因为 ， ，且 平面， 所以平面， 依题意可知直线与直线所成角为 ， 直线与平面所成角为 ，二面角的平面角为 ； 易知，且， 即可得 ，所以 ，因此可得A正确，D正确； 又因为当三棱台趋近于三棱柱，且点趋近于点时，此时 ，可得； 当三棱台的高趋近于0，且点趋近于点时，此时 ，可得； 所以的大小无法比较，因此选项B错误，C错误. 6．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在符合题意的点， 【解析】（1）证明如下： 连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则， 另一方面， 故，综上所述，存在符合题意的点，. 7．（2026·山东潍坊·三模）如图，在三棱锥中，为上一点，，，． (1)证明：线段上存在一点，使得平面平面； (2)若，，三棱锥的外接球的表面积为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取中点， 由，得，由，得， 由，且都在平面内，故平面， 又平面，所以平面平面， 综上，存在点，使得平面平面； （2） 由，，知为等边三角形，，， 取中点，则，且，又，则， 由平面，平面，则二面角的平面角为， 由（1）平面，平面，则， 又，且都在平面内，则平面， 由平面，则，而， 在中，在中， 所以，则，故在中， 综上，两两垂直，且的斜边为， 故三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 易知平面，且， 三棱锥的外接球半径为，则，可得，即， 由平面，则，故，则， 所以，， 在中，，， 由余弦定理得， 故二面角的正弦值为. 8．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）如图，三棱台中，，，平面平面，，，，设与相交于点D，，且平面. (1)求三棱锥的体积. (2)已知平面与平面的夹角为，与平面所成的角为，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为平面平面，且交线为， 又，所以平面. 又平面，所以. 又因为，，平面， 所以平面. 连接，因为平面， 平面，平面平面 所以， 因为，所以. 所以点到平面的距离为， 由相似三角形性质得，从而，. 于是，所以. （2）因为，平面，平面， 所以平面， 设平面平面， 因为平面，所以，即， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为平面与平面的夹角，即. 因为，，，平面， 所以平面， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以在平面上的射影在直线上，得. 在直角梯形中，，，所以. 因此. 真题实战 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 2．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（    ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 【答案】BC 【解析】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【解析】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 4．（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)距离为1. 【解析】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 5．（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即，解得：. 所以. 6．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【解析】（1）证明：由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2：由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即：解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 7．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 8．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 11．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 直线、平面垂直的判定与性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 直线与平面垂直 知识2 直线与平面所成角 知识3 平面与平面垂直 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 线面垂直的判定与证明 考点02 线线垂直的判定与证明 考点03 面面垂直的判定与证明 考点04 空间垂直关系的探索性问题 考点05 几何法求空间线面角 考点06 几何法求空间二面角 考点07 几何法求空间距离 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．借助长方体，直观感知空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直位置关系，抽象出垂直关系的数学定义． 2．归纳并证明空间线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，能运用垂直相关定理证明空间图形位置关系的简单命题，体会空间垂直关系的相互转化思想． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 线面垂直的判定与性质 全国I卷T10 全国II卷T16 全国I卷T9 全国II卷T17 面面垂直的判定与性质 全国I卷T17 直线与平面所成角 全国II卷T16 全国I卷T17 全国II卷T7 平面与平面所成角 全国II卷T17 全国I卷T17 全国II卷T17 全国甲卷（理）T19 空间距离的求解 全国I卷T15 全国甲卷（文）T19 考情解读 直线与平面垂直是新高考立体几何核心高频必考考点，是立体几何证明、空间角与距离计算的核心基础．小题多以命题真假判断、位置关系辨析为主，考查垂直定理的精准理解；解答题固定作为立体几何大题核心设问，常单独考查线面垂直、面面垂直证明，或结合平行关系综合考查． 命题多以棱柱、棱锥、棱台为载体，重点考查逻辑推理与空间想象能力，解题核心是线线、线面、面面垂直的相互转化．相比平行关系，垂直考点综合性更强，是后续二面角、体积计算、空间向量解题的前提，属于高考必须熟练掌握的中档核心题型． 备考策略 1．熟记线线、线面、面面垂直的判定与性质定理，精准掌握定理全部条件，杜绝漏条件解题． 2．掌握垂直转化核心逻辑，牢记“由线线垂直推线面垂直、由线面垂直推面面垂直”的常规解题链条． 3．熟练常用找垂线方法，重点练习几何图形中中位线、高线、等腰三角形三线合一、矩形邻边垂直等基础模型． 4．规范几何证明书写步骤，规避空间与平面结论混用、定理条件不全等高频易错点，保证大题步骤满分． 知识・归纳梳理 知识1 直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2、判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识2 直线与平面所成角 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. 2、线面角的范围：. 知识3 平面与平面垂直 1、二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． 2、平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 3、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 重难・核心突破 考点01 线面垂直的判定与证明 典例1．（2026·四川巴中·模拟预测改）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点．(1)求证：平面； 典例2．（25-26高二下·广东潮州·期末改）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点．(1)证明：平面； 方法技巧 线面垂直的证明方法 1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α． 2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β． 3、性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α 4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) 【考法预测1】（2026·云南·三模改）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，.(1)证明：平面； 【考法预测2】（2026·安徽合肥·模拟预测改）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且， 为线段的中点．现沿着 将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．(1)求证：平面； 考点02 线线垂直的判定与证明 典例1．如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点．证明：． 典例2．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，.(1)求证：直线 【考法预测1】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测改）已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； 【考法预测2】（26-27高三上·山东滨州·开学考试改）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知．(1)证明：； 考点03 面面垂直的判定与证明 典例1．（2026·湖南湘潭·一模改）如图在四棱锥中，，，，，．(1)证明：平面平面； 典例2．（26-27高三上·广东深圳·开学考试改）如图，在圆台中，，下底面圆的直径，点在圆上，点在圆上，直线，与底面所成角均为，圆台的体积为．(1)证明：平面平面； 方法技巧 面面垂直的证明方法 法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题． 法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决． 【考法预测1】（26-27高三上·福建泉州·开学考试改）如图，三棱锥中，，是的中点，平面平面，．(1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【考法预测2】（2026·海南·模拟预测改）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，分别为，上的动点，且平面．(1)证明：平面平面； 考点04 空间垂直关系的探索性问题 典例1．如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 典例2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【考法预测1】（24-25高三上·广东东莞·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【考法预测2】（2026·河北邯郸·一模）如图，在三棱台中，平面，，，，，是棱上一点（不含端点）． (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． (2)是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 考点05 几何法求空间线面角 典例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 典例2．（26-27高三上·贵州·阶段检测）如图，已知三棱柱的侧面是长方形．底面是等腰直角三角形且是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【考法预测1】（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（26-27高三上·河北·开学考试）如图，已知菱形中，，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 考点06 几何法求空间二面角 典例1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 典例2．（26-27高三上·湖北·开学考试）如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，． (1)求二面角的余弦值； (2)求三棱柱的体积． 【考法预测1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点． (1)证明：平面与平面的交线平面； (2)若，二面角的正切值为，求的长． 【考法预测2】（26-27高三上·山西太原·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且，求二面角的正弦值． 考点07 几何法求空间距离 典例1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知平行六面体的体积为8，的面积为，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 典例2．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【考法预测1】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知正方形的边长为，平面，，，分别是，的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为（    ） A． B． C． D． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2026·广东广州·三模）正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·吉林·三模）（多选）若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2026·湖南株洲·二模）（多选）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 7．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）如图，在三棱台中，平面，，，． (1)证明：平面． (2)若H为的中点，求与平面所成角的正切值． 8．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）在三棱柱中，，且棱长均为1. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的正切值. 9．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直. (1)证明: 平面平面; (2)若为上一点，且平面,，求直线到平面的距离. 能力进阶 1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北衡水·阶段检测）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北沧州·三模）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 4．（26-27高三上·湖北·开学考试）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对任意点，直线与直线异面 D．存在点，使得 5．（2026·浙江·三模）（多选）如图，在正三棱台中，为的中点，是上的动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则下列关于的大小，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 7．（2026·山东潍坊·三模）如图，在三棱锥中，为上一点，，，． (1)证明：线段上存在一点，使得平面平面； (2)若，，三棱锥的外接球的表面积为，求二面角的正弦值． 8．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）如图，三棱台中，，，平面平面，，，，设与相交于点D，，且平面. (1)求三棱锥的体积. (2)已知平面与平面的夹角为，与平面所成的角为，求证：. 真题实战 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（    ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 4．（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 5．（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 7．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面夹角的正弦值． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 11．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $