精品解析：江苏省扬州市南京师范大学第二附属高级中学2026～2027学年高一上学期月考数学试卷（10月份）

高一年级第一学期 10 月数学学情调研 命题人：杜丽　　审核人：朱斌 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，“的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. {或} C. D. {或} 4. 若，，则是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 6. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（     ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若正实数满足，则的最小值是 A. 12 B. 6 C. 16 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合中只有一个元素，则的值（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______． 13. 已知关于的不等式的解集为{或}，则的解集为____________. 14. 某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是二次函数，若，且，求函数的解析式． （2）画出函数，的图象，并求其值域． 16. （1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　 ②． 17. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 18. 已知二次函数，其中. （1）当时，求不等式的解集； （2）若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第一学期 10 月数学学情调研 命题人：杜丽　　审核人：朱斌 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，“的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】原命题：， 量词改为，结论否定为， 命题，的否定是，. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图确定阴影部分为，然后再由集合的运算求解. 【详解】由已知得， 所以阴影部分为. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. {或} C. D. {或} 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为{或}. 故选：B 4. 若，，则是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出是的真子集，得到答案. 【详解】因为是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A 5. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数， . 6. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（     ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以，可得，即，则，故D错误. 7. 若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 8. 若正实数满足，则的最小值是 A. 12 B. 6 C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式以及对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，正实数满足， ， 所以， ， 当且仅当时等号成立. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合中只有一个元素，则的值（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由，讨论即可． 【详解】当，，满足条件； 当，由，则得，此时只有一个元素， 所以当或时，集合中只有一个元素. 故选：BC 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于选项A，， 当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于选项B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于选项C，， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于选项D，． 因为，所以，即最小值为，没有最大值，故D错误． 11. 已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】因式分解后按、、讨论解集，利用解集中的整数即可得的值． 【详解】不等式可化为，即． 当时，解集为，若只有一个整数解，则整数解只能是，故； 当时，，无解； 当时，解集为，若只有一个整数解，则整数解只能是，故． 综上，的可能取值为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得且，解得且， 所以函数的定义域为． 13. 已知关于的不等式的解集为{或}，则的解集为____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为关于的不等式的解集为{或}， 所以，且为方程的两根， 所以. 所以不等式可化为. 又，所以. 即不等式的解集为. 14. 某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是二次函数，若，且，求函数的解析式． （2）画出函数，的图象，并求其值域． 【答案】（1）； （2），值域为． 【解析】 【详解】（1）是二次函数，设． 由，得，即. 由，得； ，即，解得，． ． （2）函数，的图象如下： 函数是开口向上的二次函数，对称轴为； 由图象可知，当时，取得最小值1；时，． 函数的值域为． 16. （1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　 ②． 【答案】（1）①；②．（2）①；②． 【解析】 【详解】（1）①原式． ②原式． （2）①因为，两边平方得 ，所以． ②设，则，且 ， 所以，即． 17. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由“”是“”的充分条件可得，列出不等式组求解即可. （2）由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，    则 ，解得，则实数的取值范围是. 【小问2详解】 由于集合B为非空集合，所以，解得，      由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，        所以 ，解得，所以，        当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 18. 已知二次函数，其中. （1）当时，求不等式的解集； （2）若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）. （3）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】将代入二次函数解析式，转化为一元二次不等式，因式分解后求解不等式； 将恒成立问题分离参数，转化为求二次函数在给定区间上的最大值，进而确定参数的取值范围； 对不等式移项整理，因式分解得到两根，依据两根大小关系分类讨论，求解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 当时，， 不等式，即， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得，对任意恒成立， 变形得在时恒成立， 设，， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，， 要使恒成立，只需， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 ，即， 整理： ， ， ， 方程的两根为，，对应的二次函数开口向上， ①当时，不等式解集为或， ②当时，不等式为，解集为， ③当时，不等式解集为或， 综上： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 【答案】（1） 或或 （2） （3）证明:假设是“等差集”， 则存在,成立， 化简可得, 因为,所以, 所以与集合的互异性矛盾， 所以不是“等差集”． 【解析】 【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可； （2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可； （3）应用反证法证明集合不是等差集. 【小问1详解】 因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得， 则或或. 【小问2详解】 因为集合是“等差集”， 所以或或, 计算可得或或或， 又因为正整数,所以. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $