25.2.2公式法 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2.2公式法 一、选择题 1．（2026·义乌期中）关于x的方程的两实数根为x1，x2，若则m的（　　） A．-3 B．-1 C．-3或3 D．-1或3 2．若关于x的一元二次方程 有实数根，则a的取值范围是(　　) A． B． C．且a≠0 D． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 4．对于一元二次方程，有下列说法：①若方程有两实数根为1，，则 分解因式得；②若 ，则方程有两个不相等的实数根；③若，则方程一定有一个根为；④若方程有两个不等于0的实数根，则方程 一定有两实数根 ，．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程 章末检测基础卷）若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是(　　) A．a=1，c=4 B．a=-1，c=-5 C．a=3，c=1 D．a=2，c=2 7．（2026八下·平湖期中）嘉嘉在解关于 x的一元二次方程 时，不小心将一次项系数写成了-b，解出其中一个根是 x=1，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是-1； 乙：当 a≠3时，原方程有两个不相等的实数根. 则下列判断正确的是(　　) A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 8．（2026八下·余姚期中）若关于x的一元二次方程（a-1）x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 9．（2024·泸州）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2026·岳池三模）下列一元二次方程，没有实数根的是(　　) A． B．x2-2x-3=0 C． D． 二、填空题 11．（2025九上·嵊州期中）我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为　 　． 12．（2025九上·保定月考）已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为　 　． 13．（2025·丽水期末）在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是　 　 14．（2025·杭州月考）如果关于x的一元二次方程a2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　（填序号） ①方程x2-x-2=0是倍根方程； ②若（x-2)（mx+n)=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0； ③若p，q满足pq=2，则关于x的方程叔px2+3x+q=0是倍根方程； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac· 15．（2025·义乌月考）如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则　 　． 16．（2025·浦江月考）若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为　 　． 17．（2025·武汉月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为　 　． 三、解答题 18．（2026·杭州月考） 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两个实数根，，且满足，求k的值． 19．（2026·义乌月考） 如图，点B为线段上一点，，以为斜边作等腰，若线段、长为关于x的一元二次方程的两个根， （1）试判定此一元二次方程的根的情况； （2）求证：； （3）若与的面积比，，则=　 　（直接写出答案）． 20．（2026·柯桥期末）我们把一元二次方程 的两根记为x1，x2，若方程的两根满足 则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为k；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对。 已知关于 x 的方程. （1）不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为5，求m的值； （3） 若 是它的互补对，求m的值. 21．（2026·嘉兴期末）定义：若关于x的一元二次方程 中的常数项c是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． （1）已知关于x的方程 是理想方程，求c的值； （2）当b，c满足什么条件时，方程是理想方程； （3）关于x的理想方程的两个实根为x1，x2，若c=2a，求 的取值范围． 答案解析 1．A 解：一元二次方程， a=1，b=-(2m-1)，c=m2， 由韦达定理： x1+x2=2m-1，x1x2=m2， 代入x1x2+x1+x2=2，得 m2+2m-1=2， m2+2m-3=0， (m+3)(m-1)=0， 解得m=-3或m=1． 方程有两个实数根，判别式△≥0： △=[-(2m-1)]2-4×1×m2 =4m2-4m+1-4m2 =-4m+1≥0 -4m+1≥0 ． ，舍去； ，符合条件． ∴m=-3． 故答案为：A． 2．A 解： 关于 的一元二次方程 有实数根， 且 ， 且 ， 且 ， 故答案为：A. 3．C 解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根， 所以 解得 又∵方程是一元二次方程， 且k≠0. 故答案为：C . 4．C 解：若方程有两实数根为1，-2，则 分解因式得a(x-1)(x+2)，故①错误； 若ac<0，则： 则方程有两个不相等的实数根；故②正确； 当x=-1时， ∴若a-b+c=0，则方程一定有一个根为-1；故③正确；由条件可知 ∴方程 为一元二次方程， 由根与系数关系可知 ∴方程 一定有两实数根 故④正确； 故选： C. 5．B ∵一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴b2-4ac＞0 ∴4-4（kb+1）＞0 解之：kb＜0 当k＞0，b＜0时，直线 y＝kx＋b 经过第一、三、四象限 故答案为；B 6．C ∵ 方程 ax2 + 4x + c = 0 是关于 x 的一元二次方程， ∴ a ≠ 0，且有两个不相等的实数根的条件是判别式Δ > 0。 Δ= b2 - 4ac = 42 - 4ac = 16 - 4ac。 由题意得 16 - 4ac > 0， 即 4ac < 16，ac < 4。 所以只要 a，c的乘积小于4，且 a ≠ 0，就符合题意。 逐项检查： A. a=1，c=4，ac=4，不满足 ac < 4，舍去； B. a=-1，c=-5，ac=5，不满足 ac < 4，舍去； C. a=3，c=1，ac=3 < 4，符合； D. a=2，c=2，ac=4，不满足 ac < 4，舍去。 故答案为：C。 7．C 由题意知原方程为 ，则错误方程为， 将x=1代入错误方程得a-b+3=0，即b=a+3. 则原方程为， 解得， 因此甲的说法是正确的； 当a≠3时，， 则方程有两个不相等的实数根，故乙的说法也正确。 故答案为：C。 8．C 解： 关于的一元二次方程有实数根 且 故选：C 9．A 解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0没有实根， ∴△=b2-4ac＜0，即22-4(1-k)＜0， 解得k＜0， ∴正比例函数y=kx得图象经过二四象限， 又∵反比例函数的图象图象两支分布在第一、三象限， ∴函数y=kx与函数的图象没有交点.即交点的个数为零. 故答案为：A. 10．C 解：A．=1 =-2 =-3，=4+12=16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误． B．=1 =2 =-3，=4+12=16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误． C．=1 =-1 =1，=1-4=-3＜0，没有实数根，故此选项正确． D．=1 =0 =-1，=4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误． 故选：C. 11．解：设函数图象上两点和 为一对“对偶点”， ∵两点在函数图象上， ∴，， ∴==2a(x1+x2)(x1-x2)①， ∵点与点为一对“对偶点”， ∴，， ∴，， ∴=x1-x2②， ∴①-②得，2a(x1+x2)=1， ∴x2=， ∴， ∴， ∴此关于的一元二次方程必有实数根， 当时，（不符合题意）， 则，解得． 故答案为：． 12．解：1. 当时，方程 可化为， 解得，不是整数，舍去； 2.当时，方程为一元二次方程 ， ∵方程至少有一个整数解， ∴，解得， 由求根公式可得，， 由题意可得，x至少有一个为整数， 则至少有一个为整数，设为整数， 化简可得：，两边平方再化简可得，，时，式子不成立， 即， 由题意可得，为整数， ∴， 解得：， 又∵为整数，且 ∴n的值为 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上，整数的值为2或10． 故答案为：2 或10． 13．解：∵关于x的方程x²+(c−4)x+ =0有两个相等的实数根， ∴△=(c−4) ²−4×1× =0， 解得：c=5或3， 当c=5时， ∵a=3，b=4， ∴a²+b²=c²， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC的面积是 ×3×4=6； 当c=3时，如图， ， AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D， 则AD=DC=2， ∵由勾股定理得：BD= ， ∴△ABC的面积是 ×4× =2 ； 故答案为：6或2 . 14．解： ① 不是倍根方程，故 ① 错误； ② ④ 设方程的两个根分别为和 当时，，化简得： 当时，，化简得： 故④正确； 故答案为：①④. 15．解：∵ 一元二次方程有两个有理根， ∴， ∵该方程有2个有理根，其中为自然数， ∴是完全平方数， 令（m为整数）， ∴， ∴将该方程看作关于的一元二次方程， ∴， ∴为完全平方数， 令（k为整数）， ∴， ∴或 解得：或 当，，解得：或（舍）； 当，，解得或， 综上：或或， 故答案为：3或6或11． 16．解：解方程得， ∵使得关于的分式方程有整数解， ∴或或或或1或2或5或10， ∴或9或6或5或3或2或或， 又∵， ∴， 解得， ∴或9或6或5或3或2或， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴，且， ∴ 或， ∴所有满足条件的整数的和为． 故答案为：． 17．解：因为 一元二次方程在范围内有且只有一个根， 可得，整理得：， 解得：， 又因为，解得，所以， 因为方程在的范围内有实数根， 可得或， 由，此时不等式无解， 由得出， 所以的取值范围为或， 故答案为：或． 18．（1）证明：由题意知，a=1，b=-4k，c=4k2-1， 所以△=(-4k)2-4×1×(4k2-1)=16k2-16k2+4=4>0， 因此无论k取何值，方程总有两个不相等实数根 （2）解：由根与系数关系得：x1+x2=4k，x1x2=4k2-1， 因为2x1=x2， 所以3x1=4k， 所以， 则 ， 解得， 又因为x1<x2，， 所以 19．（1）解：由一元二次方程x2-4kx+4k2=0可知Δ=(-4k)2-4×1×4k2=0， ∴一元二次方程有两个相等的实数根 （2）证明：由(1)可知，一元二次方程：x2-4kx+4k2=0有两个相等的实数根 ∵线段AB、CB的长为关于x的一元二次方程x2-4kx+4k2=0的两个根 ∴AB=CB 如图，连接BE，延长BD到点F，使得BF=CB=AB， ∵CB⊥AD ∴△BCF是等腰直角三角形 ∴∠F=∠BCF=45°， ∴ ∵△CDE为等腰直角三角形 ∴∠ECD=45°，CE=CD ∴同理 ∵∠ECB+∠BCD=∠DCF+∠BCD， ∴∠ECB=∠DCF， 又∵ ∴△BCE~△FCD， ∴∠CBE=∠CFD=45° ∴∠ABE=∠ABC-∠ABE=45°=∠CBE 在△ABE和△CBE中， AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE ∴△ABE≌△CBE(SAS) ∴AE=CE ∴AE=DE （3）​​​​​​​ 20．（1）证明：对于方程 ∵m为任意实数时， 恒成立. ∴不论m取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为 ∵该方程是对称根方程，且对称中心值为k=5， ∴根据定义有： 则2m+4=2×5， 则m=3； （3）解：对于方程 设它的两根为 ∵它的对称中心值为 对于方程 ∴两根之和为2m+4，所以它的对称中心值为 ∵两根之积为4m， ∴根据“互为互补对”的定义，两对称中心值之和等于两根之积的差的绝对值，则 分两种情况讨论： ①当4m-21≥0时，即 ∴m + 7 = 4 m - 2 1 . 解得 ∴此解符合题意. ②当4m-21<0时，即 ，解得 ∴此解也符合题意. 综上，m的值为 或 21．（1）解：根据理想方程的定义可知c是方程x2+2x+c=0的解 ∴c2+3c=0， 解得c=0或c=-3 （2）解：根据理想方程的定义可知c2+bc+c=c(c+b+1)=0， ∴c=0或b+c+1=0， 即当c=0或b+c+1=0时，方程x2+bx+c=0是理想方程 （3）解：由条件可知Δ=b2-4ac≥0 由理想方程的定义知c是方程ax2+bx+c=0的解， ∴ac2+bc+c=c(ac+b+1)=0 ∵c=2a，且a≠0， ∴ac+b+1=0， ∴b=-ac-1=-2a2-1 ∴(-2a2-1)2-4a·2a≥0， (2a2-1)2≥0， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由条件可知(其中a≠0)，由理想方程定义知有一根为c， 不妨设 则 ∴ ①当a>0时， ②当a<0时， 综上所述， 的取值范围是 或 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $