第15章 轴对称 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第 15 章　轴对称 　班级__________　姓名__________　得分__________ 学习目标 本学案对应教材第 15 章，按 15.1、15.2、15.3 三节与章末“综合与实践”编排，目标共四条。 1. 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的联系和区别，掌握轴对称的性质，会用垂直平分线的性质与判定解题。（15.1） 2. 会画一个图形关于某条直线的对称图形，会用坐标表示轴对称，能由对称规律反求点的坐标。（15.2） 3. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，理解“三线合一”并能正反两用，会处理含 30° 角的直角三角形，能对等腰三角形作分类讨论。（15.3） 4. 能综合运用轴对称解决最短路径、折叠、等腰三角形存在性等综合问题，体会“翻折—重合—全等”这条主线。（章末综合与实践） 一、15.1　轴对称与轴对称图形 把一张纸对折，剪出一个图案再展开，折痕两边的部分能完全重合。这种“沿一条直线翻折后重合”的现象，就是本章要研究的轴对称。 1.1 两个概念 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时也说这个图形关于这条直线对称。 如果把一个图形沿一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线对称，也叫这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 图 1　一个图形的对称与两个图形的对称 左图是一个五角星，沿虚线对折，两旁的部分重合，所以五角星是轴对称图形，虚线是它的一条对称轴，这样的对称轴它一共有 5 条。右图是两个三角形，沿虚线对折能完全重合，所以这两个三角形关于虚线成轴对称，它们是一对对称图形，不是同一个图形。 表 1　轴对称图形与两个图形成轴对称的区别 对比项 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 描述的是什么 这个图形自身具有的形状特征 两个图形之间的位置关系 对称轴的位置 在图形内部，把图形分成能重合的两部分 在两个图形之间，可能是两个图形的公共边 对称轴的条数 可能只有 1 条，也可能有多条甚至无数条（如圆） 两个确定的图形若成轴对称，对称轴只有 1 条 两者的联系是：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴成轴对称。所以“轴对称图形”讲的是一个图形的形状特征，“两个图形成轴对称”讲的是两个图形的位置关系。 判断是不是轴对称图形，抓“一个图形、沿直线折叠、两部分重合”三件事；判断两个图形是否成轴对称，抓“两个图形、沿直线折叠、彼此重合”。全等不是判据：两个全等三角形随意摆放，不一定成轴对称。 1.2 轴对称的性质 表 2　轴对称的三条性质 性质 内容 用途 全等性 关于某条直线对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等 把未知线段、未知角转移到已知位置 垂直平分 对称轴垂直平分连接两个对称点的线段 得到垂直关系、得到中点、得到相等线段 交点位置 若两个对称点所连线段被对称轴垂直平分，则对称轴上的任意一点到这两个对称点的距离相等；两条对应线段所在直线若相交，交点一定在对称轴上 证明线段相等、确定对称轴位置 由“全等性”还能得到一个常用结论：轴对称不改变图形的形状和大小，只改变位置。所以折叠前后的两个图形全等，折痕就是对称轴。 二、15.1.2　线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 图 2　垂直平分线上的点到两端距离相等；等腰三角形的三线合一 表 3　垂直平分线的性质定理与判定定理 名称 题设与结论 符号语言 性质定理 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，则 P 到 A、B 的距离相等 l ⊥ AB 于 M，AM = BM，P 在 l 上，则 PA = PB 判定定理 点 P 满足 PA = PB，则 P 在线段 AB 的垂直平分线上，它是性质定理的逆定理 PA = PB，则 P 在 AB 的垂直平分线上 换一个角度看，线段的垂直平分线就是到这条线段两个端点距离相等的所有点组成的集合。所以“作到两点距离相等的点”与“作垂直平分线”是同一件事。 性质定理和判定定理的题设与结论正好互换，做题时先想清楚“已知相等还是要证相等”，再决定用哪一个。 2.1 尺规作垂直平分线 分别以 A、B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，这条直线就是 AB 的垂直平分线。作图的道理是：两弧的交点到 A、B 的距离都等于同一个半径，因而都在这条垂直平分线上，两点确定一条直线。 反过来，要在直线 l 上找一点 P 使它到 A、B 距离相等，就是作 AB 的垂直平分线，它与 l 的交点就是所求的点。这是“到两点距离相等”类作图题的通用做法。 2.2 三角形的三边垂直平分线 三角形三条边的垂直平分线交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。理由很直接：设两边的垂直平分线交于 O，由性质定理得 OA = OB、OB = OC，于是 OA = OC，再由判定定理知 O 也在第三边的垂直平分线上。 这个交点就是三角形外接圆的圆心。等腰三角形中，底边的垂直平分线就是顶角平分线所在的直线，所以它的三线合一与“三边垂直平分线交于一点”是同一件事的两种说法。 三、15.2　画轴对称的图形 画一个图形关于某条直线的对称图形，本质是把这个图形的每个关键点都对称过去。 1. 在原图上找关键点，一般是顶点、端点、拐点。 2. 过每个关键点作对称轴的垂线，垂足记为 M。 3. 在垂线上截取与原点到 M 等长的一段，得到对称点。 4. 按原图的连接顺序依次连接各对称点，得到所求图形。 画完要检查两件事：对称图形与原图形是否全等；每一对对称点的连线是否都被对称轴垂直平分。 3.1 用坐标表示轴对称 在平面直角坐标系中，点 (a, b) 关于坐标轴或某条与坐标轴平行的直线对称时，坐标变化有固定规律。 表 4　用坐标表示轴对称 对称轴 点 (a, b) 的对称点 记忆方式 x 轴 (a, −b) 横坐标不变，纵坐标变号 y 轴 (−a, b) 纵坐标不变，横坐标变号 直线 x = m (2m − a, b) 纵坐标不变，横坐标用中点公式反求 直线 y = n (a, 2n − b) 横坐标不变，纵坐标用中点公式反求 直线 y = x (b, a) 横、纵坐标互换 直线 y = −x (−b, −a) 互换之后再都变号 前两行是 15.2 的教材要求，后四行是中考常见的拓展。它们不需要背，用“对称轴垂直平分对称点连线”这一条性质，配合中点坐标就能现推：要关于直线 x = m 对称，纵坐标不动，横坐标满足“与 a 的平均数是 m”。 关于哪条坐标轴对称，就看“哪个坐标不变”：关于 x 轴对称，横坐标不变；关于 y 轴对称，纵坐标不变。学生最容易出错的是把两个方向记反，可以先写“变号的那个写在后面”来自查。 四、15.3.1　等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 4.1 性质与判定 表 5　等腰三角形的性质与判定 类型 内容 作用 性质 1 等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角” 由边相等得角相等 性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一” 一条线变三条线，得到角相等、线段相等、垂直三种结论 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线 沿对称轴对折，两腰重合 判定 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形 定义判定 判定 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边” 由角相等得边相等 由对称性还能直接得到三条常用结论：等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两个底角的平分线相等。它们的证明都可以由“沿对称轴对折后两条线段重合”一句带过，比逐个证全等省事得多。 4.2 等腰三角形的分类讨论 等腰三角形里的“腰”与“底”、“顶角”与“底角”是两组需要区分的角色，题目没有指明时就要分类。 表 6　等腰三角形的三种分类讨论 已知条件 分类方式 必须做的检验 已知两边长 a、b a 为腰或 b 为腰 三边能否构成三角形（任意两边之和大于第三边） 已知一个内角的度数 该角为顶角或该角为底角 底角必须小于 90°；若已知角不小于 90°，它只能是顶角 已知一腰上的高与另一腰的夹角 顶角为锐角或顶角为钝角 两种图形不同，顶角分别为两角之和与之差 以“两边长为 3 和 7”为例：若 3 为腰，三边为 3、3、7，而 3 + 3 < 7，不能构成三角形，舍去；若 7 为腰，三边为 7、7、3，可以构成三角形，周长为 17。所以答案唯一，是 17。 4.3 常用辅助线 等腰三角形中常见的三种辅助线，都是围绕“三线合一”展开的：作底边上的高，同时得到中线和角平分线；作顶角的平分线，同时得到高和中线；作底边上的中线，同时得到高和角平分线。遇到“等腰 + 中点”“等腰 + 垂直”“等腰 + 角平分线”的条件组合，先想三线合一，往往一步就能把结论串起来。 4.4 三线合一的逆用 “三线合一”不只能由等腰推出三条线重合，反过来也能由“两线重合”推出等腰。这是判定等腰三角形的第三条路，考试中出现频率很高。 表 7　三线合一的两种用法 已知条件 能得到什么 名称 等腰三角形 + 顶角平分线 它也是底边上的中线、底边上的高 正用 等腰三角形 + 底边上的中线 它也是底边上的高、顶角平分线 正用 等腰三角形 + 底边上的高 它也是底边上的中线、顶角平分线 正用 三角形 + 一条线既是高又是角平分线 这个三角形是等腰三角形，这条线也是中线 逆用 三角形 + 一条线既是中线又是角平分线 这个三角形是等腰三角形，这条线也是高 逆用（需倍长中线） 逆用的第一种最好用：只要一条线段同时垂直于底边、又平分顶角，就能判定等腰，再用一次三线合一拿到中线。逆用的第二种证明要用“倍长中线”构造全等，考试里若出现，一般会给提示，或用“延长…至…，使…等于…”的方式引导。 注意前提：逆用只对“三角形内部的一条线”成立。如果一条线在三角形外同时垂直于某边所在直线、又平分外角，就不能直接判等腰，要先看图形。 五、15.3.2　等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形的性质它全部具备。 表 8　等边三角形的性质与判定 类型 内容 性质 1 三条边都相等 性质 2 三个内角都相等，并且每一个角都等于 60° 性质 3 是轴对称图形，有 3 条对称轴，三条对称轴交于一点 判定 1 三条边都相等的三角形是等边三角形 判定 2 三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 3 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 判定 3 要说明一下：若 60° 的角是顶角，两个底角各为 (180° − 60°) ÷ 2 = 60°；若 60° 的角是底角，则另一个底角也是 60°，顶角为 60°。两种情况下三个角都是 60°，所以必然是等边三角形。 5.1 含 30° 角的直角三角形 把等边三角形沿一条对称轴对折，就得到一个含 30° 角的直角三角形，由此得到本章最常用的一个结论。 表 9　含 30° 角的直角三角形的性质与逆命题 类型 条件 结论 性质 在直角三角形中，有一个锐角等于 30° 它所对的直角边等于斜边的一半 逆命题 在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半 这条直角边所对的锐角等于 30° 常用搭配 30°、60°、90° 的三角形 三边之比为 1 : : 2 “30° 角所对的直角边是斜边的一半”必须强调“所对”两个字。若 30° 角的邻边是斜边，结论不成立；若三角形不是直角三角形，结论也不成立。 六、常见图形的对称轴 数对称轴的条数，是本章最常见的填空题。判断的办法是找“翻折后能重合的直线”，而不是凭印象数。 表 10　常见图形的对称轴 图形 对称轴的条数 对称轴的位置 线段 2 条 线段所在的直线、线段的垂直平分线 角 1 条 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 条 顶角平分线（底边上的高）所在的直线 等边三角形 3 条 三条边的垂直平分线（也是三条角平分线所在的直线） 矩形 2 条 两组对边中点连线所在的直线 正方形 4 条 两条对角线所在的直线、两组对边中点连线所在的直线 圆 无数条 每条直径所在的直线 正五边形 5 条 过一个顶点与对边中点的直线 正六边形 6 条 三条对角线所在的直线、三组对边中点连线所在的直线 正 n 边形有 n 条对称轴：n 为奇数时，每条对称轴都过一个顶点和对边的中点；n 为偶数时，一半的对称轴过两个相对的顶点，一半过两组对边的中点。 等腰三角形只有 1 条对称轴，很容易被误记成 3 条。只有等边三角形（三边都相等）才有 3 条；一般的等腰三角形，两腰上的高、中线虽然相等，但沿它们翻折并不能使图形重合，所以不是对称轴。 七、角平分线与轴对称 角也是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。把角沿角平分线翻折，角的两边互相重合，这就是“角平分线上的点到角两边距离相等”的来源。 表 11　线段的垂直平分线与角的平分线对照 对比项 线段的垂直平分线 角的平分线 图形背景 一条线段 一个角 轴对称性 线段是轴对称图形，有 2 条对称轴 角是轴对称图形，有 1 条对称轴 性质 线上的点到线段两个端点的距离相等 线上的点到角两边的距离相等 判定 到线段两端距离相等的点在这条垂直平分线上 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 常用辅助线 连接两端点，得到等腰三角形 向两边作垂线段，得到两条相等的垂线段 两套结论的形状几乎一样，只是“两个点”换成了“两条边”。用的时候注意：垂直平分线比的是“点到两个端点的距离”，角平分线比的是“点到两条边的距离”，后者一定要画出垂线段才能量。 八、常用拓展 教材上的知识点到这里已经梳理完，下面六块内容是考试里反复出现的模型。它们都能由前面的性质推出来，但考场上直接调用结论比临场推导更快，所以要把模型的识别标志和作法记牢。 8.1 将军饮马与最短路径 问题：在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 最小，其中 A、B 是直线外的两个定点。若 A、B 在 l 的同侧，直接连 AB 不会经过 l 上的点，所以要先把其中一个点对称到 l 的另一侧。 图 3　作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P 作 A 关于 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于点 P，则 P 就是所求的点。理由：由轴对称得 PA = PA′，于是 PA + PB = PA′ + PB = A′B；而对 l 上任意异于 P 的点 P′，都有 P′A + P′B = P′A′ + P′B > A′B。所以 P 使 PA + PB 取得最小值，最小值为线段 A′B 的长。 同一个模型，换个问法就是另一道题。下面七种变式的作图方法必须分清。 表 12　将军饮马模型的七种变式 编号 求什么（含条件） 作法 结论 1 PA + PB 最小（A、B 在 l 同侧） 作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P 最小值等于 A′B 2 PA + PB 最小（A、B 在 l 两侧） 直接连 AB 交 l 于 P 最小值等于 AB 3 |PA − PB| 最大（A、B 在 l 同侧） 连 AB 并延长交 l 于 P 最大值等于 AB 4 |PA − PB| 最大（A、B 在 l 两侧） 作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 并延长交 l 于 P 最大值等于 A′B 5 △PMN 周长最小（P 在 ∠AOB 内部，M 在 OA 上，N 在 OB 上） 作 P 关于 OA、OB 的对称点 P₁、P₂，连 P₁P₂ 交 OA、OB 于 M、N 周长的最小值等于 P₁P₂ 6 AM + MN + NB 最小（A、B 在 l 同侧，MN 是 l 上长为 a 的定长线段） 把 A 沿平行于 l 的方向平移 a 得 A′，连 A′B 交 l 于 N，再在 l 上向 A 一侧截取 MN = a AM + NB 最小，最小值等于 A′B 7 台球两次反弹的路径最短（A 经 l₁ 上的 M、再经 l₂ 上的 N 到达 B） 作 A 关于 l₁ 的对称点 A′、B 关于 l₂ 的对称点 B′，连 A′B′ 交 l₁、l₂ 于 M、N 折线 A—M—N—B 最短，长等于 A′B′ 做这类题先看清楚两件事：两个定点在直线的同侧还是异侧，求的是“和最小”还是“差最大”。异侧求和、同侧求差，直接用两点之间线段最短；同侧求和、异侧求差，先作对称点把它化成前一种情形。 8.2 折叠问题 折叠的实质是轴对称：折痕是对称轴，折叠前后两个图形全等，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分每一对对应点所连的线段。 解题按三步走：一是找出折痕，标出对应点；二是把能相等的线段、能相等的角全部标在图上；三是设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程。 列方程这一步要用到勾股定理，它是八年级下册的内容。八年级上册阶段先把前两步练熟——能找到折痕、能写出对应相等的线段和角，就抓住了折叠题的关键；等学过勾股定理再回来看第三步，会很顺。 8.3 等腰三角形的存在性：两圆一线 已知线段 AB，要在直线 l 上找点 P，使 △PAB 是等腰三角形，共有三种可能，对应三种作法： 1. PA = PB：作 AB 的垂直平分线，它与 l 的交点就是 P，这是“一线”。 2. PA = AB：以 A 为圆心、AB 为半径作圆，它与 l 的交点就是 P，这是一个“圆”。 3. PB = AB：以 B 为圆心、AB 为半径作圆，它与 l 的交点就是 P，这是另一个“圆”。 两个圆加一条线，所以叫“两圆一线”。三个图形的交点全部找出来以后，还要检查两件事：与 A、B 重合的点要舍去，因为不能构成三角形；同一条垂直平分线上的点若与圆重复，只算一次。 8.4 对称与面积 轴对称的两个图形全等，所以面积相等。由此有三条常用结论： 1. 轴对称图形被它的对称轴分成面积相等的两部分。圆的每一条直径、正多边形的每一条对称轴，都把图形面积平分。 2. 等腰三角形底边上的中线把三角形分成面积相等的两部分；等边三角形的三条对称轴把它分成 6 个全等的直角三角形，每个的面积是整个三角形的 。 3. 求不规则图形面积时，用对称把零散的部分翻到一侧，拼成规则的图形再算。 第 3 条是解题的主线：图形缺一块、或两块拼在一起时，先找对称轴，把翻折后能与原图重合的部分移过去，往往能一眼看出它其实是个矩形、三角形或半圆。 8.5 手拉手模型 两个共顶点的等腰三角形，若顶角相等，把其中一个“转”到另一个的位置，它们的对应边就能配成一对全等三角形，这类图形习惯上叫“手拉手”。最典型的是两个等边三角形共用一个顶点。 识别标志：两对相等的边都从同一个顶点出发，且夹角相等。写全等时把公共顶点放在对应位置上，剩下的两个顶点按同一方向对应，对应关系就不会错。这类题最常见的结论是“两条拉手线相等”，用 SAS 证一次全等即可。 8.6 尺规作图与格点作图 尺规作图部分要熟练掌握三种：作一条线段的垂直平分线，作一个角的平分线，过一点作已知直线的垂线。所有“到两点距离相等”的作图都用第一种，“到两边距离相等”的作图都用第二种。 格点作图题在方格纸或坐标网格中进行，先数格子确定关键点的坐标，再按对称规律写出对应点坐标。判断画得对不对，最省事的办法是检查每对对应点的连线是否被对称轴垂直平分。 九、综合与实践　最短路径问题 教材在本章末安排“最短路径问题”，把轴对称用到了实际情境里。核心思路只有一句：利用轴对称把折线拉成直线，再用“两点之间线段最短”下结论。 案例一（河边取水）：村庄 A、B 在河流 l 的同侧，要在河边建一个取水点 P，向两村供水，使管道总长最短。作法就是表 12 的变式 1，作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P。设 A、B 到河岸的距离分别为 2 km 和 1 km，两村在河岸上的投影相距 4 km，此时管道最短总长为 A′B。 案例二（造桥选址）：A、B 两村在河的两岸，河宽为定值 a，桥必须垂直于河岸修建。因为桥长 MN = a 是定值，要使 AM + MN + NB 最小，只需使 AM + NB 最小。把 A 沿垂直于河岸的方向平移 a 得到 A′，连 A′B 交对岸于 N，再从 N 作桥 MN ⊥ 河岸，此时路径最短。这就是表 12 的变式 6。 案例三（台球反弹）：球从 A 出发，先撞到球桌边 l₁ 上的 M，再撞到边 l₂ 上的 N，最后到达 B。把 A 关于 l₁ 对称到 A′，把 B 关于 l₂ 对称到 B′，连 A′B′ 交 l₁、l₂ 于 M、N，折线 A—M—N—B 就是最短路径。这就是表 12 的变式 7。 实际问题写成数学题，要先画出直线、标出定点，再判断定点与直线的位置关系。图形画错了，后面的对称点必然也错，所以第一步不能省。 十、新题型专练 下面三道题分别对应新定义、开放探究、阅读迁移三类题型。题干里都给出了完整的规则或材料，解题的第一步是把这些规则翻译成图形语言或坐标关系，再回到本章的性质上去。 10.1　新定义：用对称轴刻画图形 在平面直角坐标系中，若点 P(x, y) 的横、纵坐标满足 |x| + |y| = 4，则称点 P 为“和谐点”。 （1）写出四个“和谐点”的坐标； （2）所有“和谐点”组成的图形是什么图形？它的面积是多少？ （3）写出这个图形的所有对称轴。 10.2　开放探究：等腰三角形的第三个顶点 在平面直角坐标系中，点 A(2, 0)，B(0, 4)。点 C 在 y 轴上，若 △ABC 是等腰三角形，求点 C 的坐标。 10.3　阅读与迁移：求点关于斜直线的对称点 阅读材料：求点 A(3, 1) 关于直线 l：y = x + 1 的对称点 A′。 （1）补全下面的解答； （2）把结论一般化：点 (m, n) 关于直线 y = x + 1 的对称点坐标是什么？ 十一、典型例题 下面十道例题覆盖本章主要题型，先独立完成，再与解析版对照。 例 1　垂直平分线的性质：求周长与求角 在 △ABC 中，AB = AC = 8，BC = 6，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于 E，交 AC 于 D，连接 BD。 （1）求 △BCD 的周长； （2）若 ∠A = 40°，求 ∠DBC 的度数。 解： 例 2　等腰三角形的分类讨论 （1）等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，求它的周长； （2）等腰三角形的一个内角为 100°，求另外两个内角； （3）等腰三角形的一个内角为 40°，求另外两个内角。 解： 例 3　三线合一与角平分线的性质 在 △ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F。求证：DE = DF。 解： 例 4　含 30° 角的直角三角形 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，AB = 8，CD ⊥ AB 于 D。 （1）求 BC 的长； （2）求 ∠BCD 与 ∠ACD 的度数； （3）求 BD 的长。 解： 例 5　用坐标表示轴对称 已知点 A(−2, 3)，直线 x = 1，直线 y = x。 （1）写出 A 关于 x 轴、y 轴的对称点 A₁、A₂ 的坐标； （2）求 A 关于直线 x = 1 的对称点 A₃ 的坐标； （3）求 A 关于直线 y = x 的对称点 A₄ 的坐标； （4）求以 A、A₂、A₁ 为顶点的三角形的面积。 解： 例 6　角平分线与等腰三角形的联动 在 △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于 D，DE ⊥ AB 于 E。 （1）求证：DE = DC； （2）求证：AC = AE； （3）若 DE = 2，求 BC 的长。 解： 例 7　将军饮马：坐标系中的最短路径 在平面直角坐标系中，A(1, 2)，B(4, 1)，点 P 在 x 轴上。 （1）求使 PA + PB 最小的点 P 的坐标； （2）求 PA + PB 的最小值。 解： 例 8　折叠问题：设未知数用勾股定理（八下内容） 在矩形 ABCD 中，AB = 8，BC = 10，沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处。 （1）求 EC 的长； （2）求 △AEF 的面积。 解： 例 9　等腰三角形的存在性：两圆一线 在平面直角坐标系中，A(0, 0)，B(4, 0)，点 P 在直线 y = x 上。若 △PAB 是等腰三角形，求点 P 的坐标。 解： 例 10　三线合一的逆用 在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F，且 DE = DF。 （1）求证：AB = AC； （2）若 AB = 10，DE = 3，求 △ABC 的面积。 解： 十二、分层练习 练习分 A、B 两组。A 组是基础巩固，考查概念、性质和基本运算，要求全部做对；B 组是能力提升，需要综合运用对称变换或建立方程。建议先完成 A 组，再做 B 组。 A 组　基础巩固 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. 轴对称图形指的是两个图形　　B. 两个图形成轴对称，对称轴可能有多条 C. 两个全等三角形一定成轴对称　　D. 成轴对称的两个图形一定全等 2. 到线段 AB 两个端点距离相等的所有点组成的图形是 ________。 3. 点 P(−3, 2) 关于 x 轴对称的点 P₁ 的坐标是 ________，关于 y 轴对称的点 P₂ 的坐标是 ________。 4. 等腰三角形的一个内角为 110°，则它的底角为 ________。 5. 等边三角形的边长为 4，它的一条高把这个三角形分成两个直角三角形，其中 30° 角所对的直角边长为 ________。 6. 下列图形中，对称轴条数最多的是（　　） A. 等边三角形　　B. 正方形　　C. 正五边形　　D. 圆 7. 正六边形有 ________ 条对称轴；一般的等腰三角形有 ________ 条对称轴。 8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 3，则 AB = ________，∠B = ________。 9. 点 P(m, 2) 与点 Q(3, n) 关于直线 x = 1 对称，则 m = ________，n = ________。 B 组　能力提升 1. 在平面直角坐标系中，A(1, 3)，B(5, 1)，点 P 在 x 轴上，求 PA + PB 的最小值及此时点 P 的坐标。 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，沿 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处。（本题用到勾股定理） （1）求 CD 的长； （2）求 △ABD 的面积。 3. 在平面直角坐标系中，A(0, 0)，B(4, 0)，点 P 在直线 y = 2 上。若 △PAB 是等腰三角形，求点 P 的坐标。 4. 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点为 A(1, 1)，B(4, 2)，C(2, 4)。 （1）画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A₁B₁C₁，并写出三个顶点的坐标； （2）求 △ABC 的面积。 5. 在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E。 （1）求证：DC = 2BD； （2）若 BD = 2，求 BC 的长。 6. 已知 A、B 是直线 l 同侧的两个定点，A′ 是 A 关于 l 的对称点，线段 A′B 交 l 于点 P。设 P′ 是 l 上异于 P 的任意一点。 （1）求证：P′A + P′B > PA + PB； （2）说明 P 是 l 上使 PA + PB 取得最小值的唯一点。 7. 点 C 在线段 AB 上，分别以 AC、BC 为边在 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE、BD。 （1）求证：AE = BD； （2）若 ∠AEC = 80°，求 ∠EBD 的度数。 十三、易错提醒 下面八条是本章作业和考试中出现频率最高的错误，动笔前先看一遍，做完后再对照一遍。 1. 把等腰三角形的对称轴说成“顶角平分线”，漏掉“所在的直线”。对称轴是直线，不是线段或射线。 2. 等腰三角形已知两边求周长，不作三边关系检验，写出 3、3、7 这样的答案。 3. 等腰三角形已知一角求另两角，只算了一种情形，漏掉该角为底角的情形。 4. 混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”，把描述一个图形的概念套到两个图形上。 5. 认为两个全等图形一定成轴对称；或把一般等腰三角形的对称轴条数记成 3 条。 6. 用坐标表示对称时变错坐标：关于 x 轴对称应该动纵坐标，却把横坐标变了号。 7. 最短路径题不先判断两定点在直线的同侧还是异侧，一律作对称点，作图多余或答案错误。 8. 折叠题只记住“对折后重合”，写不出哪些线段相等，也没有设未知数去列方程。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 15 章　轴对称 学习目标 本学案对应教材第 15 章，按 15.1、15.2、15.3 三节与章末“综合与实践”编排，目标共四条。 1. 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的联系和区别，掌握轴对称的性质，会用垂直平分线的性质与判定解题。（15.1） 2. 会画一个图形关于某条直线的对称图形，会用坐标表示轴对称，能由对称规律反求点的坐标。（15.2） 3. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，理解“三线合一”并能正反两用，会处理含 30° 角的直角三角形，能对等腰三角形作分类讨论。（15.3） 4. 能综合运用轴对称解决最短路径、折叠、等腰三角形存在性等综合问题，体会“翻折—重合—全等”这条主线。（章末综合与实践） 一、15.1　轴对称与轴对称图形 把一张纸对折，剪出一个图案再展开，折痕两边的部分能完全重合。这种“沿一条直线翻折后重合”的现象，就是本章要研究的轴对称。 1.1 两个概念 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时也说这个图形关于这条直线对称。 如果把一个图形沿一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线对称，也叫这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 图 1　一个图形的对称与两个图形的对称 左图是一个五角星，沿虚线对折，两旁的部分重合，所以五角星是轴对称图形，虚线是它的一条对称轴，这样的对称轴它一共有 5 条。右图是两个三角形，沿虚线对折能完全重合，所以这两个三角形关于虚线成轴对称，它们是一对对称图形，不是同一个图形。 表 1　轴对称图形与两个图形成轴对称的区别 对比项 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 描述的是什么 这个图形自身具有的形状特征 两个图形之间的位置关系 对称轴的位置 在图形内部，把图形分成能重合的两部分 在两个图形之间，可能是两个图形的公共边 对称轴的条数 可能只有 1 条，也可能有多条甚至无数条（如圆） 两个确定的图形若成轴对称，对称轴只有 1 条 两者的联系是：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴成轴对称。所以“轴对称图形”讲的是一个图形的形状特征，“两个图形成轴对称”讲的是两个图形的位置关系。 判断是不是轴对称图形，抓“一个图形、沿直线折叠、两部分重合”三件事；判断两个图形是否成轴对称，抓“两个图形、沿直线折叠、彼此重合”。全等不是判据：两个全等三角形随意摆放，不一定成轴对称。 1.2 轴对称的性质 表 2　轴对称的三条性质 性质 内容 用途 全等性 关于某条直线对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等 把未知线段、未知角转移到已知位置 垂直平分 对称轴垂直平分连接两个对称点的线段 得到垂直关系、得到中点、得到相等线段 交点位置 若两个对称点所连线段被对称轴垂直平分，则对称轴上的任意一点到这两个对称点的距离相等；两条对应线段所在直线若相交，交点一定在对称轴上 证明线段相等、确定对称轴位置 由“全等性”还能得到一个常用结论：轴对称不改变图形的形状和大小，只改变位置。所以折叠前后的两个图形全等，折痕就是对称轴。 二、15.1.2　线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 图 2　垂直平分线上的点到两端距离相等；等腰三角形的三线合一 表 3　垂直平分线的性质定理与判定定理 名称 题设与结论 符号语言 性质定理 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，则 P 到 A、B 的距离相等 l ⊥ AB 于 M，AM = BM，P 在 l 上，则 PA = PB 判定定理 点 P 满足 PA = PB，则 P 在线段 AB 的垂直平分线上，它是性质定理的逆定理 PA = PB，则 P 在 AB 的垂直平分线上 换一个角度看，线段的垂直平分线就是到这条线段两个端点距离相等的所有点组成的集合。所以“作到两点距离相等的点”与“作垂直平分线”是同一件事。 性质定理和判定定理的题设与结论正好互换，做题时先想清楚“已知相等还是要证相等”，再决定用哪一个。 2.1 尺规作垂直平分线 分别以 A、B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，这条直线就是 AB 的垂直平分线。作图的道理是：两弧的交点到 A、B 的距离都等于同一个半径，因而都在这条垂直平分线上，两点确定一条直线。 反过来，要在直线 l 上找一点 P 使它到 A、B 距离相等，就是作 AB 的垂直平分线，它与 l 的交点就是所求的点。这是“到两点距离相等”类作图题的通用做法。 2.2 三角形的三边垂直平分线 三角形三条边的垂直平分线交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。理由很直接：设两边的垂直平分线交于 O，由性质定理得 OA = OB、OB = OC，于是 OA = OC，再由判定定理知 O 也在第三边的垂直平分线上。 这个交点就是三角形外接圆的圆心。等腰三角形中，底边的垂直平分线就是顶角平分线所在的直线，所以它的三线合一与“三边垂直平分线交于一点”是同一件事的两种说法。 三、15.2　画轴对称的图形 画一个图形关于某条直线的对称图形，本质是把这个图形的每个关键点都对称过去。 1. 在原图上找关键点，一般是顶点、端点、拐点。 2. 过每个关键点作对称轴的垂线，垂足记为 M。 3. 在垂线上截取与原点到 M 等长的一段，得到对称点。 4. 按原图的连接顺序依次连接各对称点，得到所求图形。 画完要检查两件事：对称图形与原图形是否全等；每一对对称点的连线是否都被对称轴垂直平分。 3.1 用坐标表示轴对称 在平面直角坐标系中，点 (a, b) 关于坐标轴或某条与坐标轴平行的直线对称时，坐标变化有固定规律。 表 4　用坐标表示轴对称 对称轴 点 (a, b) 的对称点 记忆方式 x 轴 (a, −b) 横坐标不变，纵坐标变号 y 轴 (−a, b) 纵坐标不变，横坐标变号 直线 x = m (2m − a, b) 纵坐标不变，横坐标用中点公式反求 直线 y = n (a, 2n − b) 横坐标不变，纵坐标用中点公式反求 直线 y = x (b, a) 横、纵坐标互换 直线 y = −x (−b, −a) 互换之后再都变号 前两行是 15.2 的教材要求，后四行是中考常见的拓展。它们不需要背，用“对称轴垂直平分对称点连线”这一条性质，配合中点坐标就能现推：要关于直线 x = m 对称，纵坐标不动，横坐标满足“与 a 的平均数是 m”。 关于哪条坐标轴对称，就看“哪个坐标不变”：关于 x 轴对称，横坐标不变；关于 y 轴对称，纵坐标不变。学生最容易出错的是把两个方向记反，可以先写“变号的那个写在后面”来自查。 四、15.3.1　等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 4.1 性质与判定 表 5　等腰三角形的性质与判定 类型 内容 作用 性质 1 等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角” 由边相等得角相等 性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一” 一条线变三条线，得到角相等、线段相等、垂直三种结论 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线 沿对称轴对折，两腰重合 判定 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形 定义判定 判定 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边” 由角相等得边相等 由对称性还能直接得到三条常用结论：等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两个底角的平分线相等。它们的证明都可以由“沿对称轴对折后两条线段重合”一句带过，比逐个证全等省事得多。 4.2 等腰三角形的分类讨论 等腰三角形里的“腰”与“底”、“顶角”与“底角”是两组需要区分的角色，题目没有指明时就要分类。 表 6　等腰三角形的三种分类讨论 已知条件 分类方式 必须做的检验 已知两边长 a、b a 为腰或 b 为腰 三边能否构成三角形（任意两边之和大于第三边） 已知一个内角的度数 该角为顶角或该角为底角 底角必须小于 90°；若已知角不小于 90°，它只能是顶角 已知一腰上的高与另一腰的夹角 顶角为锐角或顶角为钝角 两种图形不同，顶角分别为两角之和与之差 以“两边长为 3 和 7”为例：若 3 为腰，三边为 3、3、7，而 3 + 3 < 7，不能构成三角形，舍去；若 7 为腰，三边为 7、7、3，可以构成三角形，周长为 17。所以答案唯一，是 17。 4.3 常用辅助线 等腰三角形中常见的三种辅助线，都是围绕“三线合一”展开的：作底边上的高，同时得到中线和角平分线；作顶角的平分线，同时得到高和中线；作底边上的中线，同时得到高和角平分线。遇到“等腰 + 中点”“等腰 + 垂直”“等腰 + 角平分线”的条件组合，先想三线合一，往往一步就能把结论串起来。 4.4 三线合一的逆用 “三线合一”不只能由等腰推出三条线重合，反过来也能由“两线重合”推出等腰。这是判定等腰三角形的第三条路，考试中出现频率很高。 表 7　三线合一的两种用法 已知条件 能得到什么 名称 等腰三角形 + 顶角平分线 它也是底边上的中线、底边上的高 正用 等腰三角形 + 底边上的中线 它也是底边上的高、顶角平分线 正用 等腰三角形 + 底边上的高 它也是底边上的中线、顶角平分线 正用 三角形 + 一条线既是高又是角平分线 这个三角形是等腰三角形，这条线也是中线 逆用 三角形 + 一条线既是中线又是角平分线 这个三角形是等腰三角形，这条线也是高 逆用（需倍长中线） 逆用的第一种最好用：只要一条线段同时垂直于底边、又平分顶角，就能判定等腰，再用一次三线合一拿到中线。逆用的第二种证明要用“倍长中线”构造全等，考试里若出现，一般会给提示，或用“延长…至…，使…等于…”的方式引导。 注意前提：逆用只对“三角形内部的一条线”成立。如果一条线在三角形外同时垂直于某边所在直线、又平分外角，就不能直接判等腰，要先看图形。 五、15.3.2　等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形的性质它全部具备。 表 8　等边三角形的性质与判定 类型 内容 性质 1 三条边都相等 性质 2 三个内角都相等，并且每一个角都等于 60° 性质 3 是轴对称图形，有 3 条对称轴，三条对称轴交于一点 判定 1 三条边都相等的三角形是等边三角形 判定 2 三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 3 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 判定 3 要说明一下：若 60° 的角是顶角，两个底角各为 (180° − 60°) ÷ 2 = 60°；若 60° 的角是底角，则另一个底角也是 60°，顶角为 60°。两种情况下三个角都是 60°，所以必然是等边三角形。 5.1 含 30° 角的直角三角形 把等边三角形沿一条对称轴对折，就得到一个含 30° 角的直角三角形，由此得到本章最常用的一个结论。 表 9　含 30° 角的直角三角形的性质与逆命题 类型 条件 结论 性质 在直角三角形中，有一个锐角等于 30° 它所对的直角边等于斜边的一半 逆命题 在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半 这条直角边所对的锐角等于 30° 常用搭配 30°、60°、90° 的三角形 三边之比为 1 : : 2 “30° 角所对的直角边是斜边的一半”必须强调“所对”两个字。若 30° 角的邻边是斜边，结论不成立；若三角形不是直角三角形，结论也不成立。 六、常见图形的对称轴 数对称轴的条数，是本章最常见的填空题。判断的办法是找“翻折后能重合的直线”，而不是凭印象数。 表 10　常见图形的对称轴 图形 对称轴的条数 对称轴的位置 线段 2 条 线段所在的直线、线段的垂直平分线 角 1 条 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 条 顶角平分线（底边上的高）所在的直线 等边三角形 3 条 三条边的垂直平分线（也是三条角平分线所在的直线） 矩形 2 条 两组对边中点连线所在的直线 正方形 4 条 两条对角线所在的直线、两组对边中点连线所在的直线 圆 无数条 每条直径所在的直线 正五边形 5 条 过一个顶点与对边中点的直线 正六边形 6 条 三条对角线所在的直线、三组对边中点连线所在的直线 正 n 边形有 n 条对称轴：n 为奇数时，每条对称轴都过一个顶点和对边的中点；n 为偶数时，一半的对称轴过两个相对的顶点，一半过两组对边的中点。 等腰三角形只有 1 条对称轴，很容易被误记成 3 条。只有等边三角形（三边都相等）才有 3 条；一般的等腰三角形，两腰上的高、中线虽然相等，但沿它们翻折并不能使图形重合，所以不是对称轴。 七、角平分线与轴对称 角也是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。把角沿角平分线翻折，角的两边互相重合，这就是“角平分线上的点到角两边距离相等”的来源。 表 11　线段的垂直平分线与角的平分线对照 对比项 线段的垂直平分线 角的平分线 图形背景 一条线段 一个角 轴对称性 线段是轴对称图形，有 2 条对称轴 角是轴对称图形，有 1 条对称轴 性质 线上的点到线段两个端点的距离相等 线上的点到角两边的距离相等 判定 到线段两端距离相等的点在这条垂直平分线上 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 常用辅助线 连接两端点，得到等腰三角形 向两边作垂线段，得到两条相等的垂线段 两套结论的形状几乎一样，只是“两个点”换成了“两条边”。用的时候注意：垂直平分线比的是“点到两个端点的距离”，角平分线比的是“点到两条边的距离”，后者一定要画出垂线段才能量。 八、常用拓展 教材上的知识点到这里已经梳理完，下面六块内容是考试里反复出现的模型。它们都能由前面的性质推出来，但考场上直接调用结论比临场推导更快，所以要把模型的识别标志和作法记牢。 8.1 将军饮马与最短路径 问题：在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 最小，其中 A、B 是直线外的两个定点。若 A、B 在 l 的同侧，直接连 AB 不会经过 l 上的点，所以要先把其中一个点对称到 l 的另一侧。 图 3　作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P 作 A 关于 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于点 P，则 P 就是所求的点。理由：由轴对称得 PA = PA′，于是 PA + PB = PA′ + PB = A′B；而对 l 上任意异于 P 的点 P′，都有 P′A + P′B = P′A′ + P′B > A′B。所以 P 使 PA + PB 取得最小值，最小值为线段 A′B 的长。 同一个模型，换个问法就是另一道题。下面七种变式的作图方法必须分清。 表 12　将军饮马模型的七种变式 编号 求什么（含条件） 作法 结论 1 PA + PB 最小（A、B 在 l 同侧） 作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P 最小值等于 A′B 2 PA + PB 最小（A、B 在 l 两侧） 直接连 AB 交 l 于 P 最小值等于 AB 3 |PA − PB| 最大（A、B 在 l 同侧） 连 AB 并延长交 l 于 P 最大值等于 AB 4 |PA − PB| 最大（A、B 在 l 两侧） 作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 并延长交 l 于 P 最大值等于 A′B 5 △PMN 周长最小（P 在 ∠AOB 内部，M 在 OA 上，N 在 OB 上） 作 P 关于 OA、OB 的对称点 P₁、P₂，连 P₁P₂ 交 OA、OB 于 M、N 周长的最小值等于 P₁P₂ 6 AM + MN + NB 最小（A、B 在 l 同侧，MN 是 l 上长为 a 的定长线段） 把 A 沿平行于 l 的方向平移 a 得 A′，连 A′B 交 l 于 N，再在 l 上向 A 一侧截取 MN = a AM + NB 最小，最小值等于 A′B 7 台球两次反弹的路径最短（A 经 l₁ 上的 M、再经 l₂ 上的 N 到达 B） 作 A 关于 l₁ 的对称点 A′、B 关于 l₂ 的对称点 B′，连 A′B′ 交 l₁、l₂ 于 M、N 折线 A—M—N—B 最短，长等于 A′B′ 做这类题先看清楚两件事：两个定点在直线的同侧还是异侧，求的是“和最小”还是“差最大”。异侧求和、同侧求差，直接用两点之间线段最短；同侧求和、异侧求差，先作对称点把它化成前一种情形。 8.2 折叠问题 折叠的实质是轴对称：折痕是对称轴，折叠前后两个图形全等，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分每一对对应点所连的线段。 解题按三步走：一是找出折痕，标出对应点；二是把能相等的线段、能相等的角全部标在图上；三是设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程。 列方程这一步要用到勾股定理，它是八年级下册的内容。八年级上册阶段先把前两步练熟——能找到折痕、能写出对应相等的线段和角，就抓住了折叠题的关键；等学过勾股定理再回来看第三步，会很顺。 8.3 等腰三角形的存在性：两圆一线 已知线段 AB，要在直线 l 上找点 P，使 △PAB 是等腰三角形，共有三种可能，对应三种作法： 1. PA = PB：作 AB 的垂直平分线，它与 l 的交点就是 P，这是“一线”。 2. PA = AB：以 A 为圆心、AB 为半径作圆，它与 l 的交点就是 P，这是一个“圆”。 3. PB = AB：以 B 为圆心、AB 为半径作圆，它与 l 的交点就是 P，这是另一个“圆”。 两个圆加一条线，所以叫“两圆一线”。三个图形的交点全部找出来以后，还要检查两件事：与 A、B 重合的点要舍去，因为不能构成三角形；同一条垂直平分线上的点若与圆重复，只算一次。 8.4 对称与面积 轴对称的两个图形全等，所以面积相等。由此有三条常用结论： 1. 轴对称图形被它的对称轴分成面积相等的两部分。圆的每一条直径、正多边形的每一条对称轴，都把图形面积平分。 2. 等腰三角形底边上的中线把三角形分成面积相等的两部分；等边三角形的三条对称轴把它分成 6 个全等的直角三角形，每个的面积是整个三角形的 。 3. 求不规则图形面积时，用对称把零散的部分翻到一侧，拼成规则的图形再算。 第 3 条是解题的主线：图形缺一块、或两块拼在一起时，先找对称轴，把翻折后能与原图重合的部分移过去，往往能一眼看出它其实是个矩形、三角形或半圆。 8.5 手拉手模型 两个共顶点的等腰三角形，若顶角相等，把其中一个“转”到另一个的位置，它们的对应边就能配成一对全等三角形，这类图形习惯上叫“手拉手”。最典型的是两个等边三角形共用一个顶点。 识别标志：两对相等的边都从同一个顶点出发，且夹角相等。写全等时把公共顶点放在对应位置上，剩下的两个顶点按同一方向对应，对应关系就不会错。这类题最常见的结论是“两条拉手线相等”，用 SAS 证一次全等即可。 8.6 尺规作图与格点作图 尺规作图部分要熟练掌握三种：作一条线段的垂直平分线，作一个角的平分线，过一点作已知直线的垂线。所有“到两点距离相等”的作图都用第一种，“到两边距离相等”的作图都用第二种。 格点作图题在方格纸或坐标网格中进行，先数格子确定关键点的坐标，再按对称规律写出对应点坐标。判断画得对不对，最省事的办法是检查每对对应点的连线是否被对称轴垂直平分。 九、综合与实践　最短路径问题 教材在本章末安排“最短路径问题”，把轴对称用到了实际情境里。核心思路只有一句：利用轴对称把折线拉成直线，再用“两点之间线段最短”下结论。 案例一（河边取水）：村庄 A、B 在河流 l 的同侧，要在河边建一个取水点 P，向两村供水，使管道总长最短。作法就是表 12 的变式 1，作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P。设 A、B 到河岸的距离分别为 2 km 和 1 km，两村在河岸上的投影相距 4 km，此时管道最短总长为 A′B。 案例二（造桥选址）：A、B 两村在河的两岸，河宽为定值 a，桥必须垂直于河岸修建。因为桥长 MN = a 是定值，要使 AM + MN + NB 最小，只需使 AM + NB 最小。把 A 沿垂直于河岸的方向平移 a 得到 A′，连 A′B 交对岸于 N，再从 N 作桥 MN ⊥ 河岸，此时路径最短。这就是表 12 的变式 6。 案例三（台球反弹）：球从 A 出发，先撞到球桌边 l₁ 上的 M，再撞到边 l₂ 上的 N，最后到达 B。把 A 关于 l₁ 对称到 A′，把 B 关于 l₂ 对称到 B′，连 A′B′ 交 l₁、l₂ 于 M、N，折线 A—M—N—B 就是最短路径。这就是表 12 的变式 7。 实际问题写成数学题，要先画出直线、标出定点，再判断定点与直线的位置关系。图形画错了，后面的对称点必然也错，所以第一步不能省。 十、新题型专练 下面三道题分别对应新定义、开放探究、阅读迁移三类题型。题干里都给出了完整的规则或材料，解题的第一步是把这些规则翻译成图形语言或坐标关系，再回到本章的性质上去。 10.1　新定义：用对称轴刻画图形 在平面直角坐标系中，若点 P(x, y) 的横、纵坐标满足 |x| + |y| = 4，则称点 P 为“和谐点”。 （1）写出四个“和谐点”的坐标； （2）所有“和谐点”组成的图形是什么图形？它的面积是多少？ （3）写出这个图形的所有对称轴。 答案：（1）(4, 0)、(−4, 0)、(0, 4)、(0, −4)（答案不唯一）；（2）正方形，面积 32；（3）x 轴、y 轴、直线 y = x、直线 y = −x，共 4 条。 解析：（1）取 x = 4、y = 0 等即可。（2）在第一象限内 x + y = 4，是一条线段；四个象限各截一段，首尾相接成正方形，四个顶点为 (4, 0)、(0, 4)、(−4, 0)、(0, −4)，两条对角线长都是 8，面积 = × 8 × 8 = 32。（3）沿 x 轴、y 轴翻折，或沿直线 y = x、y = −x 翻折，图形都和自己重合，所以这 4 条直线都是它的对称轴。 10.2　开放探究：等腰三角形的第三个顶点 在平面直角坐标系中，点 A(2, 0)，B(0, 4)。点 C 在 y 轴上，若 △ABC 是等腰三角形，求点 C 的坐标。 答案：C(0, )、C(0, −4)、C(0, 4 + 2)、C(0, 4 − 2) 解析：设 C(0, s)。AB = = 2。① CA = CB：4 + s² = (s − 4)²，得 s = ；② CA = AB： = 2，得 s = ±4，其中 s = 4 时 C 与 B 重合，舍去，故 s = −4；③ CB = AB：|s − 4| = 2，得 s = 4 ± 2。四个点都不与 A、B 重合。 10.3　阅读与迁移：求点关于斜直线的对称点 阅读材料：求点 A(3, 1) 关于直线 l：y = x + 1 的对称点 A′。 （1）补全下面的解答； （2）把结论一般化：点 (m, n) 关于直线 y = x + 1 的对称点坐标是什么？ 答案：（1）A′(0, 4)；（2）(n − 1, m + 1) 解析：（1）设 A′(u, v)。因为 AA′ ⊥ l，而 l 的斜率为 1，所以 AA′ 的斜率为 −1，即 = −1，得 v = 4 − u。因为 AA′ 的中点在 l 上，所以 = + 1，得 v = u + 4。两式联立，解得 u = 0，v = 4，故 A′(0, 4)。（2）把上面的推导中的 3、1 换成 m、n，得 (n − 1, m + 1)。 十一、典型例题 下面十道例题覆盖本章主要题型，每题给出分析、解答和点拨，可直接作为课堂讲评的素材。 例 1　垂直平分线的性质：求周长与求角 在 △ABC 中，AB = AC = 8，BC = 6，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于 E，交 AC 于 D，连接 BD。 （1）求 △BCD 的周长； （2）若 ∠A = 40°，求 ∠DBC 的度数。 分析：DE 垂直平分 AB，所以 DA = DB，把 △BCD 的周长中的 BD 换成 AD，周长就变成 BC + AC。第（2）问先用等边对等角求底角，再由 DA = DB 求出 ∠DBA。 解： （1）因为 DE 垂直平分 AB，所以 DA = DB。 △BCD 的周长 = BC + CD + BD = BC + CD + DA = BC + AC = 6 + 8 = 14。 （2）因为 AB = AC，所以 ∠ABC = ∠C = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°。 因为 DA = DB，所以 ∠DBA = ∠A = 40°。 所以 ∠DBC = ∠ABC − ∠DBA = 70° − 40° = 30°。 点拨：看到“垂直平分线”，第一反应是把相等的线段标出来；凡是求周长，先想办法把折线段拼成一条线段。 例 2　等腰三角形的分类讨论 （1）等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，求它的周长； （2）等腰三角形的一个内角为 100°，求另外两个内角； （3）等腰三角形的一个内角为 40°，求另外两个内角。 分析：三问都要分类，但分类的对象不同：第（1）问分“腰”，第（2）（3）问分“顶角与底角”。分完必须检验。 解： （1）若 3 为腰，三边为 3、3、7，因为 3 + 3 < 7，不能构成三角形，舍去； 若 7 为腰，三边为 7、7、3，可以构成三角形，周长为 7 + 7 + 3 = 17。 （2）100° 不小于 90°，只能作顶角。两个底角为 (180° − 100°) ÷ 2 = 40°。 （3）若 40° 为顶角，两个底角为 (180° − 40°) ÷ 2 = 70°； 若 40° 为底角，另一个底角也是 40°，顶角为 180° − 40° − 40° = 100°。 所以另外两个内角为 70°、70°，或 40°、100°。 点拨：已知边求周长，分“谁作腰”后必须用三边关系检验；已知角求另两角，分“作顶角还是作底角”，并记住底角一定小于 90°。 例 3　三线合一与角平分线的性质 在 △ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F。求证：DE = DF。 分析：由 AB = AC 且 D 是 BC 中点，用三线合一得 AD 平分 ∠BAC；再由角平分线上的点到角两边距离相等得 DE = DF。 解： 因为 AB = AC，D 是 BC 的中点， 所以 AD ⊥ BC，且 AD 平分 ∠BAC（三线合一）。 因为 DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F， 所以 DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 点拨：这条题把“三线合一”与“角平分线的性质”串在一起，是本章最典型的证线段相等的组合。前提“等腰 + 中点”必须写全，否则三线合一用不成立。 例 4　含 30° 角的直角三角形 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，AB = 8，CD ⊥ AB 于 D。 （1）求 BC 的长； （2）求 ∠BCD 与 ∠ACD 的度数； （3）求 BD 的长。 分析：30° 角所对的直角边是斜边的一半，先用它求 BC；再用直角三角形两锐角互余求各个角；最后在 Rt△BCD 中再用一次 30° 的结论。 解： （1）因为 ∠ACB = 90°，∠A = 30°， 所以 BC = AB = 4（30° 角所对的直角边等于斜边的一半）。 （2）因为 ∠ACB = 90°，∠A = 30°，所以 ∠B = 60°。 因为 CD ⊥ AB，所以 ∠BCD = 90° − ∠B = 30°， ∠ACD = 90° − ∠BCD = 60°。 （3）在 Rt△BCD 中，∠BCD = 30°，它所对的直角边是 BD，斜边是 BC， 所以 BD = BC = 2。 点拨：30°、60°、90° 的三角形里，“斜边一半”可以在大三角形和小三角形中各用一次。先看清 30° 角在哪、它对着哪条边，再动笔。 例 5　用坐标表示轴对称 已知点 A(−2, 3)，直线 x = 1，直线 y = x。 （1）写出 A 关于 x 轴、y 轴的对称点 A₁、A₂ 的坐标； （2）求 A 关于直线 x = 1 的对称点 A₃ 的坐标； （3）求 A 关于直线 y = x 的对称点 A₄ 的坐标； （4）求以 A、A₂、A₁ 为顶点的三角形的面积。 分析：前两问直接用对称规律。第（2）问的关键是“纵坐标不变，横坐标到 1 的距离相等”；第（3）问关于 y = x 对称就是横、纵坐标互换。 解： （1）A₁(−2, −3)，A₂(2, 3)。 （2）关于直线 x = 1 对称，纵坐标不变，横坐标满足 = 1，得 x = 4，故 A₃(4, 3)。 （3）关于直线 y = x 对称，横、纵坐标互换，故 A₄(3, −2)。 （4）A(−2, 3)、A₂(2, 3)、A₁(−2, −3) 三点中，AA₂ 水平、AA₁ 竖直，两线垂直， 所以 △A A₂ A₁ 是直角三角形，两条直角边长分别为 4 和 6，面积 = × 4 × 6 = 12。 点拨：关于坐标轴对称记“变谁不变谁”，关于直线 x = m 对称只动横坐标（用中点公式求），关于 y = x 对称就互换坐标。几类情况分清，坐标题不会出错。 例 6　角平分线与等腰三角形的联动 在 △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于 D，DE ⊥ AB 于 E。 （1）求证：DE = DC； （2）求证：AC = AE； （3）若 DE = 2，求 BC 的长。 分析：AD 是角平分线，且 DE、DC 分别垂直于角的两边，第（1）问直接用角平分线的性质；第（2）问用 HL 证两个直角三角形全等；第（3）问在 Rt△BDE 中用 30° 的结论。 解： （1）因为 AD 平分 ∠CAB，DE ⊥ AB 于 E，而 ∠C = 90° 即 DC ⊥ AC 于 C， 所以 DE = DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 （2）在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中， AD = AD，CD = ED， 所以 Rt△ACD ≅ Rt△AED（HL），得 AC = AE。 （3）由（1）得 DC = DE = 2。 在 Rt△BDE 中，∠B = 30°，它所对的直角边是 DE，斜边是 BD， 所以 BD = 2DE = 4， BC = BD + DC = 4 + 2 = 6。 点拨：第（1）问是“角平分线 + 两条垂线段”，别绕去证全等；第（3）问是“30° 角 + 斜边一半”，别去算根号。两条结论分清，这道题三分钟能做完。 例 7　将军饮马：坐标系中的最短路径 在平面直角坐标系中，A(1, 2)，B(4, 1)，点 P 在 x 轴上。 （1）求使 PA + PB 最小的点 P 的坐标； （2）求 PA + PB 的最小值。 分析：A、B 都在 x 轴同侧，先作 A 关于 x 轴的对称点 A′，连 A′B 与 x 轴的交点就是 P。最小值等于线段 A′B 的长。 解： （1）A(1, 2) 关于 x 轴的对称点为 A′(1, −2)。 设直线 A′B 的解析式为 y = kx + b，把 A′(1, −2)、B(4, 1) 代入，得 k = 1，b = −3， 所以 y = x − 3。令 y = 0，得 x = 3，故 P(3, 0)。 （2）PA + PB = PA′ + PB = A′B = = = 3。 所以 PA + PB 的最小值为 3。 点拨：坐标系的将军饮马题，先把对称点坐标写出来，再用待定系数法求交点，最后用两点间距离公式求最值。三步走完，不必执着于几何作图。 例 8　折叠问题：设未知数用勾股定理（八下内容） 在矩形 ABCD 中，AB = 8，BC = 10，沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处。 （1）求 EC 的长； （2）求 △AEF 的面积。 分析：折叠后 AF = AD = 10，EF = ED。先在 Rt△ABF 中求出 BF，得到 FC；再设 EC = x，把 EF 用 8 − x 表示，在 Rt△EFC 中列方程。 解： （1）由折叠得 AF = AD = BC = 10，EF = ED。 在 Rt△ABF 中，BF = = = 6， 所以 FC = BC − BF = 10 − 6 = 4。 设 EC = x，则 ED = 8 − x，EF = 8 − x。 在 Rt△EFC 中，x² + 4² = (8 − x)²，即 x² + 16 = 64 − 16x + x²，解得 x = 3。 所以 EC = 3。 （2）由折叠得 △AEF ≅ △AED， 所以 S△AEF = S△AED = × AD × DE = × 10 × 5 = 25。 点拨：折叠题的两个抓手：折叠前后全等（等线段、等角），以及折痕垂直平分对应点连线。设未知数后一定要落在直角三角形里用勾股定理。 例 9　等腰三角形的存在性：两圆一线 在平面直角坐标系中，A(0, 0)，B(4, 0)，点 P 在直线 y = x 上。若 △PAB 是等腰三角形，求点 P 的坐标。 分析：按“哪两条边相等”分三类：PA = PB 用垂直平分线，PA = AB 与 PB = AB 用圆。算出交点后，要把与 A 或 B 重合的点舍去。 解： ① 若 PA = PB，则 P 在 AB 的垂直平分线 x = 2 上，代入 y = x 得 P(2, 2)。 ② 若 PA = AB = 4，则 x² + y² = 16，代入 y = x 得 2x² = 16，x = ±2， 得 P(2, 2)、P(−2, −2)。 ③ 若 PB = AB = 4，则 (x − 4)² + y² = 16，代入 y = x 得 2x² − 8x = 0，x = 0 或 x = 4。 x = 0 时 P(0, 0) 与 A 重合，不能构成三角形，舍去；x = 4 时 P(4, 4)。 所以 P 的坐标为 (2, 2)、(2, 2)、(−2, −2)、(4, 4)。 点拨：“两圆一线”是通用框架，但坐标题里不必真画圆，直接列方程求解更快。最后一步“舍去重合点”是最容易丢分的地方。 例 10　三线合一的逆用 在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F，且 DE = DF。 （1）求证：AB = AC； （2）若 AB = 10，DE = 3，求 △ABC 的面积。 分析：DE = DF 说明 D 到角的两边距离相等，于是 AD 平分 ∠BAC；又 D 是 BC 中点，两条线重合，正好用三线合一的逆用判定等腰。也可以直接证两个直角三角形全等。 解： （1）因为 DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F，且 DE = DF， 所以点 D 在 ∠BAC 的平分线上，即 AD 平分 ∠BAC（角平分线的判定）。 又 D 是 BC 的中点，即 AD 是 BC 边上的中线， 所以 AB = AC（三线合一的逆用：三角形中一条线既是角平分线又是中线，则这个三角形是等腰三角形）。 另一种写法：连接 AD，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，BD = CD，DE = DF， 所以 Rt△BDE ≅ Rt△CDF（HL），得 ∠B = ∠C，故 AB = AC。 （2）S△ABD = × AB × DE = × 10 × 3 = 15。 又 D 是 BC 的中点，所以 S△ABD = S△ACD， 故 S△ABC = 2 × 15 = 30。 点拨：第（1）问两种写法都行：走“逆用”要写清“既是角平分线又是中线”，走“HL 全等”要把两组对应边点明。面积那问用“中线平分面积”，比先求底和高快得多。 十二、分层练习 练习分 A、B 两组。A 组是基础巩固，考查概念、性质和基本运算，要求全部做对；B 组是能力提升，需要综合运用对称变换或建立方程。建议先完成 A 组，再做 B 组。 A 组　基础巩固 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. 轴对称图形指的是两个图形　　B. 两个图形成轴对称，对称轴可能有多条 C. 两个全等三角形一定成轴对称　　D. 成轴对称的两个图形一定全等 答案：D　简析：A 混淆了“一个图形”与“两个图形”；B 成轴对称的两个确定图形只有 1 条对称轴；C 全等只说明形状大小相同，位置关系不一定对称。 2. 到线段 AB 两个端点距离相等的所有点组成的图形是 ________。 答案：线段 AB 的垂直平分线　简析：由垂直平分线的判定定理，满足 PA = PB 的点都在 AB 的垂直平分线上，反之亦然。 3. 点 P(−3, 2) 关于 x 轴对称的点 P₁ 的坐标是 ________，关于 y 轴对称的点 P₂ 的坐标是 ________。 答案：P₁(−3, −2)；P₂(3, 2)　简析：关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标变号；关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标变号。 4. 等腰三角形的一个内角为 110°，则它的底角为 ________。 答案：35°　简析：110° 不小于 90°，只能作顶角，两个底角为 (180° − 110°) ÷ 2 = 35°。 5. 等边三角形的边长为 4，它的一条高把这个三角形分成两个直角三角形，其中 30° 角所对的直角边长为 ________。 答案：2　简析：等边三角形的高也是底边上的中线，把底边平分，所以 30° 角所对的直角边等于边长的一半，即 2。 6. 下列图形中，对称轴条数最多的是（　　） A. 等边三角形　　B. 正方形　　C. 正五边形　　D. 圆 答案：D　简析：等边三角形 3 条，正方形 4 条，正五边形 5 条，圆有无数条。 7. 正六边形有 ________ 条对称轴；一般的等腰三角形有 ________ 条对称轴。 答案：6；1　简析：正 n 边形有 n 条对称轴；只有等边三角形才有 3 条，一般的等腰三角形只有顶角平分线所在的 1 条。 8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 3，则 AB = ________，∠B = ________。 答案：AB = 6；∠B = 60°　简析：30° 角所对的直角边等于斜边的一半，所以 AB = 2BC = 6；直角三角形两锐角互余，∠B = 60°。 9. 点 P(m, 2) 与点 Q(3, n) 关于直线 x = 1 对称，则 m = ________，n = ________。 答案：m = −1，n = 2　简析：关于直线 x = 1 对称，纵坐标不变，所以 n = 2；横坐标满足 = 1，得 m = −1。 B 组　能力提升 1. 在平面直角坐标系中，A(1, 3)，B(5, 1)，点 P 在 x 轴上，求 PA + PB 的最小值及此时点 P 的坐标。 答案：最小值为 4，P(4, 0) 解析：作 A 关于 x 轴的对称点 A′(1, −3)，直线 A′B 的解析式为 y = x − 4，令 y = 0 得 x = 4，故 P(4, 0)；最小值 = A′B = = 4。 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，沿 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处。（本题用到勾股定理） （1）求 CD 的长； （2）求 △ABD 的面积。 答案：（1）CD = 3；（2）S△ABD = 15 解析：由折叠得 AE = AC = 6，DE = DC，DE ⊥ AB。AB = = 10，所以 BE = 4。设 CD = x，则 DB = 8 − x，在 Rt△BDE 中 x² + 4² = (8 − x)²，解得 x = 3。S△ABD = × AB × DE = × 10 × 3 = 15。 3. 在平面直角坐标系中，A(0, 0)，B(4, 0)，点 P 在直线 y = 2 上。若 △PAB 是等腰三角形，求点 P 的坐标。 答案：(2, 2)、(2, 2)、(−2, 2)、(4 + 2, 2)、(4 − 2, 2) 解析：设 P(t, 2)。① PA = PB：t = 2；② PA = AB = 4：t² + 4 = 16，t = ±2；③ PB = AB = 4：(t − 4)² + 4 = 16，(t − 4)² = 12，t = 4 ± 2。因 y = 2 ≠ 0，五点都不与 A、B 重合，全部符合。 4. 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点为 A(1, 1)，B(4, 2)，C(2, 4)。 （1）画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A₁B₁C₁，并写出三个顶点的坐标； （2）求 △ABC 的面积。 答案：（1）A₁(−1, 1)，B₁(−4, 2)，C₁(−2, 4)；（2）面积为 4 解析：（1）关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标变号。（2）用割补法：把 △ABC 补成边长 3 的正方形（面积为 9），再减去角上三个直角三角形，面积分别为 × 3 × 1 = 1.5、 × 2 × 2 = 2、 × 1 × 3 = 1.5，合计 5，所以 S = 9 − 5 = 4。 5. 在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E。 （1）求证：DC = 2BD； （2）若 BD = 2，求 BC 的长。 答案：（1）见解析；（2）BC = 6 解析：（1）因为 AB = AC，∠BAC = 120°，所以 ∠B = ∠C = 30°。因为 DE 垂直平分 AB，所以 DA = DB，∠DAB = ∠B = 30°，于是 ∠DAC = 120° − 30° = 90°。在 Rt△ADC 中，∠C = 30°，所以 DC = 2AD = 2BD。（2）BD = 2 时 DC = 4，BC = BD + DC = 6。 6. 已知 A、B 是直线 l 同侧的两个定点，A′ 是 A 关于 l 的对称点，线段 A′B 交 l 于点 P。设 P′ 是 l 上异于 P 的任意一点。 （1）求证：P′A + P′B > PA + PB； （2）说明 P 是 l 上使 PA + PB 取得最小值的唯一点。 答案：见解析 解析：（1）由轴对称得 PA = PA′，P′A = P′A′，所以 PA + PB = A′B，P′A + P′B = P′A′ + P′B。在 △P′A′B 中，P′A′ + P′B > A′B（三角形两边之和大于第三边），故 P′A + P′B > PA + PB。（2）由（1）知 l 上任一点 P′ 都使 PA + PB 更大，只有 P 使三点 A′、P、B 共线，取到最小值 A′B，所以 P 是唯一点。 7. 点 C 在线段 AB 上，分别以 AC、BC 为边在 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE、BD。 （1）求证：AE = BD； （2）若 ∠AEC = 80°，求 ∠EBD 的度数。 答案：（1）见解析；（2）∠EBD = 20° 解析：（1）因为 △ACD、△BCE 都是等边三角形，所以 AC = DC，CE = CB，∠ACD = ∠BCE = 60°，于是 ∠ACE = 60° + ∠DCE = ∠DCB。由 SAS 得 △ACE ≅ △DCB，故 AE = BD。（2）由全等得 ∠DBC = ∠AEC = 80°，而 ∠CBE = 60°，所以 ∠EBD = 80° − 60° = 20°。 十三、易错提醒 下面八条是本章作业和考试中出现频率最高的错误，动笔前先看一遍，做完后再对照一遍。 1. 把等腰三角形的对称轴说成“顶角平分线”，漏掉“所在的直线”。对称轴是直线，不是线段或射线。 2. 等腰三角形已知两边求周长，不作三边关系检验，写出 3、3、7 这样的答案。 3. 等腰三角形已知一角求另两角，只算了一种情形，漏掉该角为底角的情形。 4. 混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”，把描述一个图形的概念套到两个图形上。 5. 认为两个全等图形一定成轴对称；或把一般等腰三角形的对称轴条数记成 3 条。 6. 用坐标表示对称时变错坐标：关于 x 轴对称应该动纵坐标，却把横坐标变了号。 7. 最短路径题不先判断两定点在直线的同侧还是异侧，一律作对称点，作图多余或答案错误。 8. 折叠题只记住“对折后重合”，写不出哪些线段相等，也没有设未知数去列方程。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $