第15章 专题7 轴对称——将军饮马-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测教师用书Word(人教版)

本初中数学讲义聚焦“轴对称——将军饮马”专题，系统梳理“两定一动”（求和最小值、求差最大值）“一定两动”（求和及周长最小值）“两定两动”（线段和最小值）三类模型，以模型分析为支架，结合“两点之间线段最短”等依据构建知识脉络。 资料通过几何直观呈现模型（数学眼光），以推理意识贯穿原理应用（如三角形三边关系），例题从基础（第1题周长最小值）到综合（第5题对称与角度计算），培养抽象能力与创新意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题7　轴对称——将军饮马 [答案P18] ____“两定一动”型__ 类型 模型分析 依据 “两定一 动”求和 的最小值 在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小． 两点之间，线段最短 (作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.) “两定一 动”求差 的最大值 在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 三角形的三边关系 (连接AB并延长，与直线l交于点P.) (作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，与直线l交于点P.) 1.如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是( B ) 1题图 A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 如图，在△ABC中，AB＝AC，A，C两点关于直线MN对称，AB＝10，△BMC的周长是16，若点P在直线MN上，则的最大值为6． 2题图 ____“一定两动”型__ 类型 模型分析 依据 “一定两 动”求和 的最小值 点P为∠AOB内一点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋NM的值最小． 垂线段 最短 (作点P关于OB的对称点P′，过点P′作OA的垂线，分别与OB，OA交于点N，M.) “一定两动”求周长的 最小值 点P为∠AOB内一点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小 两点之 间，线段 最短 (分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，交OA，OB于点M，N.) 3.如图，在锐角三角形ABC中，∠C＝40°，点P是边AB上的一个定点，点M，N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是( B ) 3题图 A．90° B．100° C．110° D．80° 如图，在△ABC 中，AB＝8，AD 平分∠BAC，∠BAD＝15°，点P，Q分别为边AD，AB上的动点，连接BP，PQ，则BP＋PQ的最小值为4． 4题图 已知点P在∠MON内． (1)如图①，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG，OH，OP. (Ⅰ)若∠MON＝50°，则∠GOH＝100°； (Ⅱ)若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10. (2)如图②，若∠MON＝60°，A，B分别是射线OM，ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，请直接写出∠APB的度数． 5题图① 5题图② 解：(1)(Ⅱ)当∠MON＝90°时，GH＝10.理由如下： ∵PO＝5，∴GO＝HO＝5. 当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°， ∴点G，O，H在同一直线上，∴GH＝GO＋HO＝10. (2)∠APB的度数为60°. 5题答图 [解析]如答图，分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″，连接OP，OP′，OP″，P′P″，P′P″交OM，ON于点A，B，连接PA，PB，则AP＝AP′，BP＝BP″，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．由对称性，可得OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝(180°－120°)÷2＝30°， ∴∠OPA＝∠OP′A＝30°，∠BPO＝∠OP″B＝30°， ∴∠APB＝30°＋30°＝60°. ____“两定两动”型__ 类型 模型分析 依据 “两定两动”求线段和的最小值 直线l同侧有两点A，B，在直线l上找两点M，N(其中MN的长度固定)，使得AM＋MN＋NB的值最小． 两点之间，线段最短 (将点A向右平移MN的长度到点A1，作点A1关于直线l的对称点A2，连接A2B，交直线l于点N，再确定点M.) 6.有一条以互相平行的直线a，b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是( D ) (北京西城区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D，E是边AB上的两个定点，M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM＋∠EMN的度数是( B ) 7题图 A．45° B．90° C．75° D．135° 学科网（北京）股份有限公司 $