广西壮族自治区柳州市柳南区来宾市青华中学2026-2027学年高二上学期10月检测数学试题

来宾青华中学2028届高二（上)10月检测（数学） (考试时间：120分钟满分：150分) 一、单选题：每小题5分，共40分 1.已知向量a=(-2,-1,1),b=(1,t,0),若(a+b)1a,则t=() A.4 B.-2 C.0 D.2 2.若直线1的方程为x=2026,则直线1的倾斜角是() A买 B. C.兀 D.0 3.若直线x-y+1=0的倾斜角为30°，则等于() A.3 D.2 2 B. C.5 4.若直线：2x-y+1=0与：ax+y+a=0平行，则4与l2的距离为() A.25 B.5 C.3 D.5 15 5 5.已知点Q,1)在圆x+y-m+3d-2=0外，则实数a的取值范围为() A.(m0u信+ B.(2. c(2-02y D.(-2,2) 6.已知点A(2,0),动直线l:-y+2-2a=0,作AP⊥1于点P,则点P到坐标原点O距离的最小值 为() A.5-1 B.√2 C.2 D.1 7。已知椭圆C若+若-1ab>0)的焦点分别为，乃，过写的直线与捕圆C交于P,2两点，若 P=32,Pg=OE引，则椭圆C的离心率为() A.2 B.3 C.v5 D.vio 2 3 5 5 8.已知点A,B在曲线C:x2-y2=1(x>O)上，以点A,B为切点的关于曲线C的切线交于点P(P在第 一象限)，作PH L AB,垂足为H,O为坐标原点若B旺=3HA且∠PAH=元，则直线OP的斜率为 4 () A.V2-1 B.3-1 C.√2-1 D.3-1 2 2 二、多选题：每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分 9.已知直线l:3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y+1=0截得的弦为AB,则() 试卷第1页（共4页） A.圆C的标准方程为(x-1)+(y-2)=5 B.圆心C(1,2) C.圆心C到直线l的距离为√10 D.AB=√6 10.圆Q:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+4x-6y=0的交点为A,B,则() A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB中垂线的方程为x+y+1=0 C.公共弦AB的长为√2 D.两圆圆心距O,O=3V2 11.己知抛物线C:y=8x的焦点为F,过F作两条互相垂直的直线，l2,与C相交于P,Q两点，马与 C相交于MN两点，PQ的中点为G,MN的中点为H,则() 111 A.PF T OF2 B.PO MN=64 C.GH的最小值为8 D.△OGH面积的最小值为24(O为坐标原点) 三、填空题：每小题5分，共15分 12.已知空间向量a=(2,2,-2),b=（-31,m),若a1i,则m= 13.若圆x2+(y-2)=r2(r>0)上到直线y=√3x-2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是 已知双曲线C:y=1(之0.b>0)的左、石焦点分别为，乃，第三象限的点P(o,6)位于双画 线的断近线上，且∠RP=∠RP明.若P0-P丽，且lQRQ=2a,则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)己知直线1经过点A(1,3). (1)若直线1与直线x+2y-4=0平行，求直线1的一般式方程： (2)若直线1与直线x+2y-4=0垂直，求直线1的一般式方程. 试卷第2页（共4页） 16.(15分)已知圆x2+y2=9内有一点P(-1,2),AB为过点P的弦. (1)当|AB=4W2时，求直线AB的方程； (2)求弦AB中点M的轨迹方程. 17.(15分)已知圆O:x2+y2=9,圆N:(x+5)+y2=16交于A,B两点，A在第二象限. (1)求以AB为直径的圆的方程： (2)若过点A的直线分别交两圆于两个不同的点C,D,且AC=AD,求直线CD的方程. 1817分)日知精圆C:若方=a6>0)的、右焦点分别为天(10.及10，长拉长为4 (1)求椭圆C的标准方程： 试卷第3页（共4页） (2)若直线l:x+y-1=0与椭圆C相交于M,N两点，求△W四的面积. 1917分)日如描圈：号+号-a60的短辑长为2，离心车为 3 (1)求椭圆T的方程： (2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点，C,D为椭圆上不同的两点， (i)若C,D关于直线y= x+1对称，求实数k的取值范围； (i)若C,D关于x轴对称，直线AC和BD交于点E.过点F(2,O)的动直线与点E的轨迹交于P,Q 两点，在x轴上是否存在定点M,使得 SAPEML PM S.OFM OM ？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明 理由. 试卷第4页（共4页） 《来宾青华中学2028届高二（上）10月检测（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A 6 D B A 0 C BD ACD 题号 11 答案 ACD 1.A 【详解】由题意得，(a+)a=a+a.6=4+1+1-2-1=4-1=0,得1=4. 2.B 【分析】利用直线的倾斜角的概念计算即可. 【详解】由题意可知直线/平行于纵轴，即其顿斜角为 3.C 【分析】先利用倾斜角求出直线的斜率，再把直线的一般式方程变形为斜截式，从中读出用m表示的斜 率表达式，最后建立两个斜率相等的方程，通过解方程求出参数m的值. 【详解】：直线倾斜角α=30°， :直线斜率k=an30=5 将直线方程化为斜截式：x-y+1=0, :m=x+1,即：y=1x+上， 17m1m 1 ∴直线斜率k= m 列等式：15 m 3 m=3 = 5 4.D 【详解】：直线：2x-y+1=0与4：ar+y+a=0平行，：2=+，解得a=-2 al a .l2:-2x+y-2=0,即2x-y+2=0. 1-25 ∴4与l的距离= V2+(-) 5· 5.B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得-2<α<2，再根据点在圆外得点到圆心的距离大 于半径得a>4或a<0,综合两个条件可得所求实数a的取值范围。 答案第1页（共15页） 【详解】将r+y-x+34-2=0化为标准方程， 要使方程表示一个圆，则2-)2>0，即心<4，解得-2<a<2① 所以圆的圆心 o) 。1 半径为220， 所以1-°+1>2-a,即2a-a>0, (2 2 所以a-3 >0,解得a>4或a<0@. 3 4 综合①②，得-2<a<0或<a<2. 因此实爱a的取位范国为20心（停 6.A 【分析】先确定动直线恒过的定点，结合垂直关系得到点P的轨迹为圆，再利用圆上点到原点的最小距 离为圆心到原点的距离减半径求解 【详解】将直线l的方程w-y+2-2a=0整理为a(x-2)-(y-2)=0, 今子二0解符化二子即直线1恒过定点Q2), 因为AP⊥1，垂足为P,所以∠APQ=90°， 根据直径所对圆周角为直角，可知点P的轨迹是以线段AQ为直径的圆， 因为40.)、Q2),则圆心为40的中点cQ,D,半径r号40=分2=1， 原点O到圆心C的距离为0C=√2-0)2+1-0)2=√5， 而圆上点到圆外点的最小距离为点到圆心的距离减半径， 故点P到原点O的最小距离为OC|-r=√5-1. 7,D 2 【分析】设Q=,根据椭圆定义可得=二a,进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 5 【详解】 答案第2页（共15页） F2 如图所示，设2=m,则P=32=3,|Pg=2r=4, 由椭圆定义可知+Qr=5m=2a,m=24, 则0-号a,=30-gg-2=兰 PE =2a-PRI=2a-3m=a, 4 6a 12 4a）2 则在△PR中，由余弦定理得cos∠RP%-P四+PR-RE 5 +5 (2c)月 13ad2-25c2 2PrP引 2.6a.4a 12a2 55 在△POE中，由余弦定理可得cos∠QPE= Irol +PE"-lo8" 2 PO PR 2.8a4a 4 55 即13r2-25c21 12a2 化简可得S-0 5 即离心率为0 5 8.C 【分析】设P(,%),根据切线分析可知直线AB:x-y=1,与曲线C方程联立可得韦达定理，设线 段AB的中点为M(x,y),可知O,P,M三点共线，可得AB=4PH,AB=2√2PM,结合长度关系运 算求解即可 【详解】设P(,%),A(1,),B(x2,y2),>0,>0, 答案第3页（共15页） 因为直线OP的斜率为k=”>0,即功=， 又因为点P(,)在曲线C:x2-y2=1(x>0)外，则-<1， 由题意可知：曲线C在点A处的切线斜率不为0，可设切线方程为x=m(y-)+,, 联立方程）片方，消去x可得(d--2(-+(年m广=0， 1x2-y2=1 则m-1≠0，且△=42(G-m-4(m2-1）(s-m}=0,解得=4， X 则切我方程：一号吾 因为点A(,)在曲线C上，则-=1， 1 以典线C在点A处的切线方程为x=少+戈，即x-妙 同理可得：曲线C在点B处的切线方程为x2x-y2y=1, 又因为两条切骏的过点P。勇可得直线=1。 则点P(%)到直线AB:xx-6y=1的距离为d= 6-8-11+-好 V+好 √+巧 因为PH⊥AB,Bi=3HA,∠PAH=- 4 则M=d,AB=4aa=4+8-) √好+明 联立方程x-6y=1 x-y-1，消去x可得(-)y2-2v+-1=0, 则片+少= 2vo 6-1 x好- 5，y= -好 4(x-1) 2V(6+6)1+8-6) x6-6 后- 即4+6-6)_2写+6)+坊-巧 V号+好 - 整理可得（好+）=4（行-）(1+日-号)， 即（代=4(6-0+方-，整理可得1写对-+ 41-k)2 答案第4页（共15页） 设线段A8的中点为M(,),则与，=当十五=力 2-好 西山，可得巧即为小 气-’-好】 因为直线OM的斜率为kow=血=k,可知O,P,M三点共线， 且书3= >0,即名-听=x-2x号>0，即1-k2>0: x好-好 可知AH=|HM,则AB=4PH=2√2PM, 即2需+6)+喝-) 号- 整理可得1+号-行-行 则-1 41-72’ 车，解用5小 即k=√2-1，所以直线OP的斜率为√2-1. 9.BD 【详解】对于A,对x2+y2-2x-4y+1=0配方得：(x-1)+(y-2)=4,A错误： 对于B,由A选项可知圆心坐标为：C(1,2),B正确； |3-2-65V10 对于C圆心C到直线的距离为+(0？，C错误： 对于D,由A选项可知圆C的半径为r=2,所以AB=2,22 V10 =√6，D正确 2 10.ACD 【分析】求得两圆圆心距，可判断选项D;进而可得两圆相交，把两圆方程相减得到公共弦AB所在直线 的方程，即可判断选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段 AB的中垂线，即可判断选项B;利用一个圆的圆心到直线x-y=O的距离进而求出弦AB的长，可判断 选项C 【详解】由O:x2+y2-2x=0,可得(x-1)+y2=1,可得圆心为O(1,0),半径为5=1， 由O2:x2+y2+4x-6y=0,可得(x+2)+(y-3)}=13,可得圆心为O2(-2,3),半径为5=V13, 所以00，=V(-2-1)2+(3-0)2=32<1+3=万+5，所以两圆相交， 两圆方程相减得6x-6y=0,所以公共弦AB所在直线的方程为x-y=0,故AD正确； 由a0.0(-2动，可得=2=-1， 答案第5页（共15页） 所以直线OO2所在直线的方程为y-0=-1(x-1), 所以线段AB中垂线所在直线方程为x+y-1=0,故B错误： 圆心QL0)到公共弦A8所在直线x-y=0的距离为d:一-0巨 V1+(-1) 2 故公共弦x-y=0的长为2 1 √2，故C正确 11.ACD 【分析】选项A,根据题意得到直线马1,1的斜率都存在：设直线马1的方程为x=y+2,通过联立直线和 抛物线，消去x,得到y的一元二次方程，设P(,),Q(化2，y2),根据根与系数的关系得到 +,利 VV 1 用抛物线的定义求出PA和，计算P网十O网，从而得到结论：选项B,求出1POPP+D,由 I上h得到，h的斜率互为负倒数，从而将P@中的m替换为-上，可以得到MN,计算PgMM,从 而得到结论：选项C,设PQ的中点为G(xc,yc),利用中点坐标公式求出yc,将yc代入直线马的方程得 到X。,从而得到点G的坐标，同理，设MN的中点为H(x,yH),将m替换为-】，可以得到H的坐 标，利用两点间的距离公式求出GH,通过换元，结合基本不等式和二次函数的图像和性质得到GH的 最小值：选项D,根据G,H的坐标求出直线GH的方程，令y=0,解出x=6,从而得到直线GH恒过 定点A(6,0),则S.g=204。-,利用基本不等式得到最小值， 【详解】抛物线C:y=8x,2p=8,p=4,=2,焦点为F(2,0), 2 选项A,过F作两条互相垂直的直线，2，与C相交于P,Q两点， I,与C相交于M,N两点，故直线马1，的斜率都存在： 设直线1的方程为x=y+2, x=y+2 联立直线1和抛物线 y2=8x’ 消去x,得到y2=8(y+2),即y2-8y-16=0, 设PG,).0(x,),则4+为=8m、 (为=-16 网+号网+2子m4 答案第6页（共15页） Q小名+号m+2+经m,+4 1 1 1 1_y2+4+%+4 (4+y2)+8 则P丽+2m+4n+4(+4),+4m为+4m(y+)+16 .8m+8 8m2+81 =-16m+4m.8m+1616m2+162 综上可知，选项A正确： 选项B,PQ=PF+QF=y+4+y2+4=m(y+为)+8=8m2+8, 112,.,2的斜率互为负倒数， P0=+8中的m替换为-，可以得到M=8 气m Poi=ew-8是+8 64(r2+1」 显然，当m变化时，P四y-64+不是常数，散达项B错误 2 选项C,设PQ的中点为G(xG,yG), 则%=当业-8=4m,。=m6+2=4m+2, 2 2 则G(4m2+2,4m), 同理，设的中点为H小，将m若换为是可以得到H产+2) a-o-+w可-m德+mt 4+-@+女+-1 设t=m2+ >0m+22m m2 =2, 当且仅当m=】时，即m=士1时，等号成立，故1≥2， 2 则6-4m证2m-1转化冰3叫420可=41， :t+t-2在t≥2范围内是单调递增函数， 故t=2时，G取最小值，且最小值为G=4W2+2-2=8, 故选项C正确： 答案第7页（共15页） (m+2-4） 选项D,G(4m+2,4m）,H4+ 47- 则直线GH的方程为y-4m= （x-4m2-2）, 4m2+2- 4 (m+2 4- 4) m 令y=0,则-4= （x-4m2-2),整理得到x=6, m+2-4 3+2 故直线GH恒过定点A(6,0), 则sa4-6m-hm+月-a时+xa周-4。 当且仅当4川= 4 时，即=±1时，等号成立， 故△OGH面积的最小值为24，故选项D正确 12.-2 【详解】因为a=(2,2,-2),b=(-3,1,m),a1b, 则āb=-6+2-2l=0,解得=-2. 13.(1,3) 【详解】由圆x2+(y-2)2=2(r>0),圆心为(0,2)，半径为r, 则圆心(0,2)到直线y=V5x-2即V5x-y-2=0的距离为d-上2-=2 √3+1 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以r-d<1,则r-2<1,解得1<r<3, 即r的取值范围是(1,3). 14.4 【分析】证明三角形全等，再由余弦定理求解即可 答案第8页（共15页） 【详解】依题意，点P(,)在C的渐近线上，点Q在C的右支上 因为∠耳P=∠RPE,所以P=EE引 设O为坐标原点，又O,O分别为耳E,P耳的中点，则EQ=FO=c, 又P=E,∠耳E0=∠PFO,故△FFQ≌△PFO, 数0g=0+2n=c+2a,而mZ∠Pog三6，则cos∠pos= 在△P0中，由余弦定理，得-a_(2m+c'+c2-4c ，解得e=C=4(负值舍去). 2(2a+c)c a 15.(1)x+2y-7=0 (2)2x-y+1=0 【详解】(1)因为直线1与直线x+2y-4=0平行， 所以设直线l的方程为x+2y+=0,m≠-4， 将点A(1,3)代入，得1+6+m=0,解得m=-7, 故直线l的一般式方程为x+2y-7=0. (2)由题知，直线+2-4=0的斜率为5= 设直线l的斜率为k, 由题意知名=1，即（习-1，解得-2。 又因为直线1经过点A(1,3), 由点斜式得y-3=2(x-1), 整理得2x-y+1=0, 故直线1的一般式方程为2x-y+1=0. 16.(1)x=-1或3x+4y-5=0 a+0-- 【分析】(1)分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得：在 答案第9页（共15页） 斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程： (2)方法一：由垂径定理得OM⊥AB,从而可得点M的轨迹是以OP为直径的圆，求出圆的方程即 可；方法二：利用kwks=-1,代入点的坐标推导即得；方法三：利用OMPM=0,代入点的坐标推 导即得 【详解】(1)当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x=-1,代入x2+y2=9,y=±2√5 此时|AB=4v2,符合题意： 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-2=k(x+1),即a-y+k+2=0 设原点O到直线5的距离为d则d是-6可，解得=号 Vk2+1 3 AB的方程为y-2=-二(x+1),即3x+4y-5=0 综上，直线AB的方程为x=-1或3x+4y-5=0 (2)方法一：：M是AB的中点，由垂径定理得OM⊥AB M的轨迹是以oP为直径的圆.OP的中点为()， 即圆心为(，半径ro1-0+2-0=写 M的轨迹方程为x++(-- 方法二：设M,),由垂径定理得OM⊥AB,ow=上，k=y-2 x+1 (x≠0且x≠1)， axs兰子1，得+时+0-P-月(x=0且-0 xx+1 当x=0时，y=2,x=-1时，y=0,也满足上式， M的轨迹方程为+分+-小- 方法三：设M(c,),由垂径定理得OM⊥AB,.OM.PM=0 即c++0-2)=0,即M的轨迹方程为K++-2= M B 答案第10页（共15页） /+2144 5 (2)7x+24y-45=0 【分析】(1)利用两圆方程相减得到公共弦AB所在直线方程，结合“连心线垂直平分公共弦”的性质确 定所求圆的圆心，再通过垂径定理计算半弦长（即半径），最终写出圆的标准方程： (2)设直线的点斜式方程，根据“弦长ACAD”,利用弦长公式，列方程求解斜率，进而得到直线方 程 【详解】(1)根据题意，圆O:x2+y2=9,圆心为O(0,0),半径为3， 圆N:(x+5)+y2=16,圆心为N(-5,0),半径为4， 9 9 两圆方程相减得x=-号所以直线AB的方程为=一 所以所求圆的圆心为（号0，半径为，9-(3）-号 所以以8为直径的画的方程为+})-货 25 2)A在第二象限，由山)可得4号号) 如图，不妨设点C,D分别在圆O和圆N上，易知直线CD的斜率存在， 设直线CD的方程是y-号x+ 91 即5kx-5y+9k+12=0, 9k+12 则点O到直线CD的距离为 V25k2+25 点N到直线CD的距离为上25+9%+12_16k+12 √25k2+25√25k2+25 因为AC=AD, 答案第11页（共15页） 所以29 (9k+12) =2h6-二16k+12,即g-(k+12-16--16+12 25k2+25 25k2+25 25k2+25 25k2+25 解得k= 24 故直线CD的方程是y-12.7(x+9) 524+: 整理得直线CD的方程为7x+24y-45=0. 18.①+y =1 4 3 (2)12V2 7 【分析】(1)根据已知条件确定α，b,c的值，确定椭圆方程. (2)将直线方程代入裾圆方程，利用书达定理求出，-，再利用S-R-为求△0函的面积 即可 【详解】(1)由题知c=1,2a=4,则a=2, 又因为b2=a2-c2=3, 所以椭圆C的标准方程为'+上。 431 (2)由题意知，直线l过右焦点耳(1,0)，如图，作出符合题意的图形， x+y-1=0 皮.M.服任号 消去得7-6v-9-0,所以由韦达定理得其+号-9，头=号 则由弦长公式得-+广-4=125 7 所以△A份面积5--方212912 1 7 19.0兰+x2=1 3 (2)(i)(-1,0)U(0,1);(ii)在x轴上存在点M SPu=|PM 使得 S.OFM OM 【分析】(1)由离心率和短轴长结合a,b,c关系求值，写出方程即可； (2)(i)设直线CD的方程为y=+,C(,y),D(x,y),CD的中点为N(,%),与椭圆方程联立 答案第12页（共15页） 后，利用根与系数的关系求得七北，进而利用点N6)在=云+1上以及4>0可求得实数k的取 值范围；(i)设C(S,t),D(S,-t),E(x,y),写出AC,BD的方程，两式相乘，利用点C在椭圆上，进而计 算可得动点E的轨迹方程，由 S.PFM= PM S.OFM OM 得kw+k2w=0,设存在定点M(h,O)满足条件，由 kpw+kgw=0求得h即可. 2b=2 -6 【详解】(1)由= ,得b=1,a=√3，c=√2， ㎡=b2+c2 故椭圆方程为： g×1 2)①因为C,D关于直线y三+1对称，所以CD所在直线的斜率为k) 设直线CD的方程为y=x+m,C(,),D(x,y2),CD的中点为N(,), （y+x2=1有 由3 得(k2+3x2+2x+12-3=0, y=kx+m 所以△=(2a)-4(k2+3)m2-3)=12(k2-m2+3)>0, 所以m2<k2+3, 由与+与可得为3+m。 k2+3 ×k+m=3m 2+3? 所以机小1，理得品品1，所以 2 所议生发3，所以+矿<4化+所以0<34，解得-11 所以实数k的取值范围为(-1,0)(0,1)： (）存在这样的点M,使得L=P S.2FM OM 假设存在这样的点M(么0)，使得SL PM S.OFM OM' 如图，若C,D关于x轴对称，则设C(S,t),D(S,-t),E(x,y), 答案第13页（共15页） B D 则直线Cy4x+,直线D=6-, 丙式相颜用以小 因为C在椭圆上，所以号+了=1，即 3 52-1 =3, 代入得少=3x-少，化简得-二=1，因为点B不与顶点重合，所以y≠0. 3 即动点B的轨迹方程为-=10y≠0)， 3 如图，因为题 P44∠w PM S.OFM JOM-PM-sinZOMP OM' 所以sin∠PMF=sin∠QMF,即∠PMF=π-∠QF,所以kw+kgw=0, 设过点F(2,0)的直线方程为x=w+2,P(3,3),Q(x4,y4), 代-1，可得3r-1y+12+9=07 由 x=w+2 因为双曲线x2-号=10y≠0)与直线x=w+2有两个不同的交点， 3 所以(32-1)y2+12y+9=0有两个不同的解，所以3m2-1≠0， 所以y⅓+y4= 12n 3n-%3n- 设M(么0)，则当+=一当 x3-hx4-hy+2-h4+2-h =0,即2y4+(2-h)(3+y4)=0. 所以2”+2-(20，化简得18+（气12-=0， 9 所以6(3-4+2=0，因为n∈R,所以2h-1=0,解得h=】 2 故在x轴上存在点M 使得S.g4 S.PFML PM OM] 答案第14页（共15页） 答案第15页（共15页）