第一章 特殊平行四边形 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章　特殊平行四边形 一、单选题 1．边长为4cm的菱形的周长为（　　） A．16cm B．12cm C．9cm D．0.6cm 2．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，且EF丄 EC，且EF=CE，DE =2，矩形的周长为16，则AE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 4．下列命题错误的是（　　） A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等 5．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，如图，红丝带重叠部分形成的图形是 A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形 6．如图，在中，分别为中点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿斜边上的中线对折后再沿虚线剪开，得到①、②两部分，将①展开后的图形为（　　） A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 8．菱形的边长为，，则菱形的面积为（　　） A． B． C． D． 9．下列命题是真命题的是（　　） A．四边都相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．菱形的对角线相等 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 10．如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（　　）（用含的式子表示） A． B． C． D． 11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点(点E，F不与线段BC，CD的端点重合)，BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：OEF始终是等腰直角三角形； 结论Ⅱ：OEF面积的最小值是2； 结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8． A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错 C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对 12．如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 13．如图：在 中， ， 于点D，点P在线段DB上，点M是边AC的中点，连结MP，作 ，点Q在边BC上.若 ，则（　　） A．当 时，点P与点D重合 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 二、填空题 14．如图，菱形的对角线，相交于点 O，点 E 是边的中点，若， 则的长为 　 　． 15．已知菱形的一条对角线的长为12cm，另一条对角线的长为5cm，则这菱形的面积为　 　cm2. 16．如图，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，点为延长线上一点，且，点为的中点，连接，若，，则　 　． 17．如图，折叠矩形纸片的一边，使点落在边上的点处，，，则的长为　 　． 18．如图，矩形ABCD，∠BAC=60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、AC于点M、N两点，再分别以点M、N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE=1，则矩形ABCD的面积等于　 　。 19．如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的顶点B的坐标为　 　． 20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点.若EF的长为10，则CD的长为　 　. 21．如图，已知正方形的边长为分别是边上的点且将绕点D逆时针旋转，得到若则的长为． 22．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为　 　． 23．如图，在中，，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点，连接，当时，则的长为　 　． 24．如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为　 　． 25．如图，P为正方形内一点，分别过P作两条直线，交，于E，F，交，于G，H．若，，且四边形的面积为9，则正方形的面积为　 　．（若和为锐角） 三、解答题 26．如图，菱形的周长为，．对角线，交于点．求： （1）这个菱形的对角线长； （2）菱形的面积． 27．在菱形中，对角线与相交于点O，，求： （1）边长和对角线的长； （2）菱形的周长和面积. 28．如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长． 29．如图，四边形是菱形，于点H，求的长． 30．如图，菱形的对角线相交于点O，，点E为的中点． （1）求菱形的面积． （2）求的长． 31．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF． （1）求证：AE＝CF： （2）若∠AEO＝40°，求∠ACF的度数． 32．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长． 33．如图， 在菱形 中， 于点 于点 ， 连接 ． （1） 求证： ； （2） 若 ， 求 的度数． 34．如图，在矩形中，，点从点出发向点运动，同时点从点向点运动，点 的速度都是． （1）经过多少秒后，四边形是菱形？ （2）分别求出菱形的周长和面积． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵菱形的四条边相等， ∴周长=4×4=16cm。 故答案为：A. 【分析】根据菱形四边相等的性质即可判断。 2．【答案】A 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A. 对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确； B. 对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确； C. 对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确； D. 对角线平分一组对角是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故正确； 故选D. 4．【答案】C 5．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， 因为两条彩带宽度相同， 所以AB//CD，AD//BC，AE=AF. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF.又AE=AF. ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形. 故答案为：C. 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形. 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】D 【解析】【解答】如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AC⊥BD，BD=2OB， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB，， ∵菱形ABCD的边长为20， ∴AB=AC=20， ∴BO=， ∴， ∴菱形ABCD的面积=×AC×BD=×20×=， 故答案为：D. 【分析】先求出△ABC是等边三角形，求出，再利用菱形的边长求出AC和BD的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可. 9．【答案】D 【解析】【解答】A、∵四边都相等的四边形是菱形，∴A不正确，不符合题意； B、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴B不正确，不符合题意； C、∵矩形的对角线相等，∴C不正确，不符合题意； D、∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，∴D正确，符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用矩形的判定、正方形的判定、菱形的性质及真命题的定义逐项分析判断即可. 10．【答案】D 11．【答案】A 12．【答案】C 【解析】【解答】解：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=90°， 由折叠可得△BEF≌△BAE， ∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF， 在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8， 根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4， 设EF=AE=x，则有ED=8﹣x， 根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2， 解得：x=3（负值舍去）， 则DE=8﹣3=5， 故选C 【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长． 13．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接MQ，DM，DQ， ∵M为AC边中点， ∴CM= AC=3 当CQ=4时，在Rt△AMQ中， ， ∵M为Rt△ACD斜边上的中点，Q为Rt△BCD斜边上的中点， ∴DM= AC=3，DQ= BC=4， ∴DM2+DQ2=MQ2 ∴△MDQ为直角三角形，∠ADQ=90°， 又∵∠MPQ=90° ∴P、D重合，故A正确； 显然此时∠MPA=∠A≠30°，故B错误； PD=0，故C错误； PM≠PQ，故D错误； 故答案为：A. 【分析】连接MQ，DM，DQ，当CQ=4时，在Rt△AMQ中利用勾股定理可求出MQ=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DQ=4，DM=3，利用勾股定理的逆定理可判定△MDQ为直角三角形，∠ADQ=90°，所以可以推断P、D重合. 14．【答案】16 15．【答案】30 【解析】【解答】解：由已知可得，这个菱形的面积=12×5÷2=30. 故答案为：30. 【分析】根据菱形的面积等于两对角线积的一半求解. 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形 ∴∠B=∠BAD=90° ∵∠BAC=60° ∴∠ACB=30° 根据题意可知，AE为∠BAC的平分线 ∴∠BAE=∠CAE=30°， ∴∠EAC=∠ACE=30° ∴AE=CE 过点E作EF⊥AC于点F ∴EF=BE=1 ∴AC=2CF=2 ∴AB=，BC=3 ∴矩形ABCD的面积=AB×BC=3。 【分析】根据矩形的性质计算得到∠B=∠BAD=90°，根据等腰三角形的性质求出AE=CE，解直角三角形得到AB和BC的长度，即可得到答案。 19．【答案】（-2，-2） 【解析】【解答】解：每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°， 2700°÷360＝7.5周， ∴OB旋转了7周半， ∴点B在第三象限，B（−2，−2）， 故答案为：（−2，−2）， 【分析】每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5周，推出OB旋转了7周半，推出点B在第三象限，由此即可解决问题． 20．【答案】10 【解析】【解答】解：∵E，F分别为BC，CA的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EFAB， ∴AB＝2EF＝20， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵D为AB中点，AB＝20， ∴CDAB＝10， 故答案为：10． 【分析】首先根据三角形中位线定理求出AB，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质可求出CD的长即可解答． 21．【答案】 22．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴由对顶角性质可得：， ∵在中，点H是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 【分析】 根据正方形的性质可得，AB=AD=BC=CD=5，∠BAE=∠ADF=90°，结合AE=DF=2。可证△ABE≌△DAF（SAS），进而得出BE=AF，根据CF=CD-DF求出CF的长度。然后在直角三角形BCF中，利用勾股定理求出BF的长度，由于点H是BF的中点，因此GH是直角三角形BGF的中线，最后根据中线定理即可求解。 23．【答案】 【解析】【解答】解：延长到K，使得， 延长交于点L，延长，过点E作， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴即， 在中，， ∴， 故答案为：． 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形．延长到K，使得，延长交于点L，延长，过点E作，利用正方形的性质可得：，，， 利用角的运算可得， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得： ，利用正方形的性质可得， 利用角的运算可得， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用正方形的性质可得， 再结合AG=JE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得 ， 利用线段的运算可求出AP，利用勾股定理可求出BP，据此可求出答案. 24．【答案】或或 25．【答案】 【解析】【解答】解：过点F作FM⊥HG，垂足为M，延长FM交AB于L，过点H作HR⊥AD，垂足为R，过点F作FS⊥AB，垂足为S，过点E作EK⊥FL，垂足为K，如图所示： ∴∠GRH=∠LSF=90°， ∵FM⊥HG，EK⊥FL， ∴EK∥GH， ∴∠GMK=∠EKM=90°， 根据正方形的性质可得：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=AD=BC， ∴四边形ABHR、四边形BCFS是矩形， ∴AB=RH=BC=FS， ∵∠A+∠ALM+∠LMG+∠AGM=360°， ∴∠ALM+∠AGM=360°-∠A-∠LMG=180°， ∵∠ALM+∠FLE=180°， ∴∠AGM=∠FLE， 在△GRH和△LSF中， ， ∴△GRH≌△LSF（AAS）， ∴GH=FL=5， ∵S△EHG=GH·KM，S△FHG=GH·FM，S四边形EHFG=S△EHG+S△FHG， ∴S四边形EHFG=GH·KM+GH·FM=GH·FK=FK， ∵ 四边形EHFG的面积为9， ∴FK=9， ∴FK=， ∴LK=FL-FK=， 在Rt△FEK中，EK==， 在Rt△LEK中，EL==， 设ES=a，FS=b， 在Rt△FLS中，， 在Rt△FES中，， ∴，由得：， ∴，， ∵， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 【分析】根据题意构造△GRH≌△LSF（AAS），得出GH=FL=5，再由四边形EHFG的面积为9，得出GH·KM+GH·FM=GH·FK=FK=5，求出，进而由勾股定理求，，进而可通过列方程组求出即可得出结论. 26．【答案】（1）， （2） 27．【答案】（1）6， （2）24， 28．【答案】 29．【答案】 30．【答案】（1） （2） 31．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠DFC， ∴∠AEO＝∠CFO＝40°， ∵AC⊥BD， ∴∠ACF＝90°﹣40°＝50°． 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，可得对边平行且相等，对角线相互垂直；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得AE=CF； （2）根据三角形全等的性质，可得全等三角形对应角相等；根据角的运算，列代数式即可求解. 32．【答案】（1）解：证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形 （2）解：， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 【解析】【分析】 （1）由平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，由角平分线的定义得到∠ACD=∠ACB，等量代换得到AD=BC，由菱形的判定定理即可得到结论； (2)根据垂直的定义得到∠AEC=90°，根据菱形的性质得到AO=CO， AC⊥BD，根据勾股定理即可得到结论. 33．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠B=∠D=60°， ∴∠BAD=180°-∠B=∠120°，∠BAE=∠DAF=30°， ∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=120°-30°-30°=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴ . 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，利用AAS证明△ABE≌△ADF，即可得到结论； （2）然后根据菱形的性质得到∠BAD=∠120°，∠BAE=∠DAF=30°，然后得到△AEF是等边三角形，即可得到结论. 34．【答案】（1）； （2）周长为，面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $