2026-2027学年人教版九年级数学上册 期中模拟测试卷

九年级上学期数学期中测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程为一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 4．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴在轴的右侧 C．图象与轴的交点坐标为 D．图象的顶点坐标为 6．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 8．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 9．如图，甲图案通过旋转后得到乙图案，旋转中心是（） A．点A B．点B C．点C D．点D 10．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 11．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 12．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 13．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，现给出下列结论：①且；②；③；④；⑤方程的两根之和为-4，其中正确的结论有（    ） A．①③④ B．②④⑤ C．②③⑤ D．①②⑤ 15．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题 16．在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是_____________． 17．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是____________． 18．某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率_____． 19．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为________． 评卷人 得分 三、解答题 20．解方程： (1) (2) 21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 22．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出这一函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 24．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 25．某款智能闹钟深受同学们喜爱，某经销商统计了该款智能闹钟4月份到6月份的销量，其中4月份销售300个，6月份销售432个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该款智能闹钟销售量的月增长率； (2)若该款智能闹钟的进价为30元/个，经调查发现，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．要使销售该款智能闹钟每月获得的利润最大，则销售单价应为多少元？ 26．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴． (2)求代数式的值． 27．已知：抛物线． (1)若，求的值； (2)求证：抛物线与轴总有两个交点； (3)若点，点是该抛物线上两点，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为5，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《九年级上学期数学期中测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C D D C A B B 题号 11 12 13 14 15 答案 D A B C A 1．A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一分析判定即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B选项，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C选项，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，是一元二次方程，符合题意； D选项，，所以可转化为，不是一元二次方程，不符合题意． 3．B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 4．C 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，由旋转的性质可得，再由三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴， ∴， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查二次函数的基本性质，需熟练掌握开口方向、对称轴、与 y 轴交点及顶点坐标的求法，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二次函数 中，系数 决定开口方向，对称轴为 ，与 轴交点为，将顶点横坐标代入可求出纵坐标，即可顶点坐标． 【详解】解：A、∵ ， ∴ 图象开口向上，该选项说法错误，不符合题意； B、∵ 对称轴 ， ∴ 对称轴在 轴左侧，该选项说法错误，不符合题意； C、当 时，， ∴ 与 轴交点为，该选项说法错误，不符合题意； D、顶点横坐标 ， 代入得， ∴ 顶点坐标为 ，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 6．D 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选D． 7．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是由相似得到边的关系． 先判定与相似，再根据边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， 则的长度是． 故选：C ． 8．A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A． 9．B 【分析】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握旋转的性质是解题关键．直接利用旋转图形的性质，即两对对应点的连线的垂直平分线的交点就是旋转中心，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：连接两组对应点，并作出它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心， （甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是点B． 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先由一元二次方程定义可得，再结合一元二次方程根的判别式与根的关系即可解决问题． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且； 故选：B． 11．D 【分析】根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 12．A 【分析】据题意可知，矩形在直角墙角处，说明矩形的两条邻边靠墙，另外两条邻边由围栏组成；设矩形的一边长为 米，根据围栏总长为 10 米表示出另一边长，利用矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵矩形在直角墙角处，且围栏总长为 10 米， ∴围栏构成了矩形的两条邻边（长和宽）， 设矩形的一边长为米，则另一边长为米， ∵矩形区域的面积为 21 平方米， ∴根据矩形面积公式可得方程： ． 13．B 【分析】本题考查平均增长率问题，从一月底到三月底共经过两次增长，以一月底价格为基础，根据平均增长率的关系列方程即可得到结果． 【详解】解：设平均每月的增长率为 ∵一月底价格为元/升 ∴二月底价格为 元/升 ∴三月底价格为 又∵三月底价格为元/升 ∴可得方程 14．C 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，经过原点， ∴a＜0，c＝0， ∵−＝−2， ∴b＝4a，ab＞0， ∴b−4a＝0， ∴①错误，④错误， ∵抛物线与x轴交于−4，0处两点， ∴b2−4ac＞0，方程ax2＋bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝−4， ∴x1＋x2＝−4， ∴②⑤正确， ∵当x＝2时y＜0，即4a＋2b＋c＜0， ∴③正确， 故正确的有②③⑤． 故选C 【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用． 15．A 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 16． 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，掌握关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17．（或） 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，逐步计算平移后的抛物线解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ， 将抛物线向上平移3个单位长度，根据平移规律“上加下减”，可得：， 再将得到的抛物线向右平移2个单位长度，根据平移规律“左加右减”，可得：． 18．20 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式即可． 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入解得， 故答案为：． 19．/64度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角， 根据旋转可得，，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余得，即可得出答案． 【详解】解：根据旋转可得，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 20．(1)， (2)， 【详解】（1）解：因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：， ，，， ， ， 解得，． 21．(1)如图，即为所求， (2)如上图，即为所求； 【分析】（1）作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可，即可得到； （2）作出点绕原点O逆时针旋转后得到的，再顺次连接即可，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 22．(1) (2)为了安全起见，气体的体积应不小于 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小． （1）设表达式为，取点A，代入解得k值即可； （2）令，代入表达式解得，则由图可知，为了安全起见，气体的体积应不小于． 【详解】（1）解：设该函数的表达式为， ∵该函数的图象过点A， ， 解得，， ∴这一函数的表达式为； （2）解：令得，． 解得，， 由图象可知：当时，， 答：为了安全起见，气体的体积应不小于． 23．(1)一次函数，反比例函数 (2)， 【分析】（1）将点代入反比例函数可得，再令得到点，然后代入即可得一次函数解析式； （2）根据平移得到平移后的解析式为，再联立求交点即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数， 令，则，解得， 故， 把，分别代入一次函数， 得， 解得， 所以一次函数； （2）一次函数的图象向上平移3个单位长度得， ， 解得或， 则平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标，． 24．(1)证明：对于关于x的一元二次方程， ∵， ∴ ， ∵， ，即恒成立， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别公式可得，结合，即可证明结论． （2）由根与系数的关系，可得，，将整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得． 25．(1)月增长率为 (2)销售单价应为65元 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用、二次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确的列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该款智能闹钟销售量的月增长率为，根据4月份销售300个，6月份销售432个，据此列一元二次方程求解即可； （2）设销售单价为元，销售该款智能闹钟每月获得的利润为元，再根据题意列出与销售单价的函数关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设该款智能闹钟销售量的月增长率为， 由题意得，， 解得，． 答：该款智能闹钟销售量的月增长率为； （2）解：设销售单价为元，销售该款智能闹钟每月获得的利润为元， 由题意得，， ，开口向下， 当元时， 销售该款智能闹钟每月获得的利润最大． 答：要使销售该款智能闹钟每月获得的利润最大，则销售单价应为65元． 26．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和分式的化简求值． （1）根据抛物线对称轴公式计算即可解答； （2）将点代入抛物线方程，建立关于的方程，化简得到，再利用上述关系对代数式分子进行降次处理，逐步将高次项转化为低次项，合并后因式分解即可解答． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 该抛物线的对称轴为直线； （2）抛物线经过点， ， 整理，得， ，，， ，， 代数式的值为． 27．(1)-7 (2) 对于抛物线，其一般形式为（这里，为一次项系数，为常数项），根据判别式公式，可得： 因为， 所以，即． 所以抛物线与轴总有两个交点． (3)或3 【分析】本题考查了二次函数的求值、与轴交点的判别以及在区间内的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，分情况讨论区间与对称轴的位置关系来确定最值． （1）将，直接代入抛物线方程，按照运算顺序计算即可求出的值． （2）通过计算抛物线的判别式，将其变形为完全平方式加正数的形式，利用完全平方式的非负性证明，从而得出抛物线与轴总有两个交点． （3）首先利用抛物线的对称性求得对称轴为直线，进而求得，即可求得抛物线为，然后分4种情况，当时，即，，解得，当时，，解得，当时，函数的最小值是，函数的最大值，不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，不符合题意． 【详解】（1）当，时， （2）略 （3）点，点是该抛物线上两点， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ， ， 当时，， 当时，，当时，， 当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：， 当时，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：， 当时，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：，但，所以这两个解都不符合要求，舍去．； 当时，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：(舍去)或(舍去)； 综上所述：或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $