2027年江苏省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（九）

2027年江苏省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（九） 满分 100 分　考试时间 75 分钟 参考公式：球的表面积公式 ，体积公式 一、选择题：本大题共 28 小题，每小题 3 分，共计 84 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．在复平面内，复数 与 对应的点分别为 ，，则线段 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．已知命题 ：，，则（　　） A．：，，且 是假命题 B．：，，且 是真命题 C．：，，且 是假命题 D．：，，且 是真命题 4．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．已知等差数列 中，，，则其前 项和 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 7．若数据 ，，， 的平均数为 ，方差为 ，则数据 ，，， 的平均数和方差分别为（　　） A．，　　B．， C．，　　D．， 8．已知函数 ，下列关于其图象的说法正确的是（　　） A．图象关于 轴对称，且在 上单调递增 B．图象关于原点对称，且在 上单调递减 C．图象关于原点对称，且图象夹在直线 与 之间 D．图象关于点 对称，且在 上单调递增 9．在 中，，，，则满足条件的三角形有（　　） A． 个　　B． 个 C． 个　　D． 个 10．函数 在区间 上的最大值和最小值分别是（　　） A．，　　B．， C．，　　D．， 11．不等式 的解集为（　　） A．　　B． C．　　D． 12．某景观灯由两部分拼接而成：下部是底面半径为 、高为 的圆柱，上部是半球，半球的球心在圆柱上底面的圆心处，且半球的半径等于圆柱的底面半径，则该景观灯的体积为（　　） A．　　B． C．　　D． 13．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A．　　B． C．　　D． 14．已知 ，，给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ ．其中能推出 的条件的个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 15．某景区招募了 名志愿者，现将他们随机平均分成两组，每组 人，分别派往甲、乙两个景点，则志愿者甲、乙被分到同一组的概率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 16．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B． C．　　D． 17．从 ，，，， 这五个数字中任取两个不同的数字，则这两个数字之和为偶数的概率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 18．在 中， 为边 的中点，点 在边 上，且 ．若 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 19．某景区随机调查了 名游客的步行路程（单位：），将数据按 ，，，， 分组．已知 组与 组的频率之和为 ， 组的频数为 ， 组的频率为 ，则 组的频数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 20．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，，则 外接圆的半径为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 21．在三棱锥 中， 平面 ，，，，则 的面积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 22．已知向量 ， 满足 ，，且它们的夹角为 ，则 （）的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 23．方程 在区间 上解的个数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 24．已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B． C．　　D． 25．某山峰的山顶 处建有一座观景台， 到水平地面的距离 ， 为 在地面上的正射影．在山脚下一条笔直的水平步道上依次取 ， 两点（，， 在同一条直线上，且 在 与 之间），在 处测得 的俯角为 ，测得 的俯角为 ，则 ， 两点间的距离为（　　） A．　　B． C．　　D． 26．在正三棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则二面角 的大小为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 27．某景区推出三种图案的纪念章，游客每购买一件纪念品，可随机获得其中一种图案的纪念章，三种图案被获得的概率相等，且各次相互独立．某游客购买了 件纪念品，则他恰好集齐三种图案纪念章的概率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 28．已知函数 ，若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B． C．　　D． 二、解答题：本大题共 2 小题，共计 16 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 29．在四棱锥 中，底面 是平行四边形，，，， 与 交于点 ， 为棱 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若 平面 ，且 ，求三棱锥 的体积． 30．已知 是定义在 上的奇函数，当 时，． （1）求 的解析式； （2）若关于 的方程 恰有三个不相等的实数根，求实数 的取值范围． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 2027年江苏省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（九） 满分 100 分　考试时间 75 分钟 参考公式：球的表面积公式 ，体积公式 一、选择题：本大题共 28 小题，每小题 3 分，共计 84 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 【分析】集合相等要求元素完全对应，先由对应关系定出候选值，再逐个代入检验元素是否吻合。 【详解】 说明 与 恰好就是 与 （顺序可交换），于是只有两种对应： 且 ，或者 且 ． 第二种对应中 ，不成立；第一种对应中 时 ，恰得 ． 再检验其余各值： 时 ， 时 ， 时 ，都不等于 ． 所以实数 的值为 ． 故选：B 2．在复平面内，复数 与 对应的点分别为 ，，则线段 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】 【分析】两复数对应点之间的距离等于它们差的模，先作差，再由实部、虚部按勾股关系求模。 【详解】 对应 ， 对应 ，两点横坐标之差为 ，纵坐标之差为 ． 所以 ． 也可先算 ，再取模得 ，两种算法结果一致． 故线段 的长为 ． 故选：C 3．已知命题 ：，，则（　　） A．：，，且 是假命题 B．：，，且 是真命题 C．：，，且 是假命题 D．：，，且 是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】按“改量词、否结论”写出否定，再用配方判断原命题真假，否定命题的真假与之相反。 【详解】全称命题的否定是存在命题：把 改为 ，把结论“”改为“”，得 ：，． 判断原命题： 对一切实数 都成立，故 是真命题． 命题与它的否定真假相反，所以 是假命题． 两个结论合起来，只有“，，且 是假命题”完全符合． 故选：A 4．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】 【分析】通分把倒数和化为 ，再用基本不等式由和定求积的最大值。 【详解】，于是问题转化为求 的最大值． 因为 ，，由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号． 所以 ，且 时确实取到 ． 故 的最小值为 ． 故选：D 5．已知等差数列 中，，，则其前 项和 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 【分析】由两项求公差，判断正项在何处结束，在最后一个正项处取到前 项和的最大值。 【详解】由 得 ，故 ，通项 ． 令 得 ，即 ，，所以 在 时最大． ；而 ，，都小于 ． 所以 的最大值为 ． 故选：B 6．函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】把 看作整体，代入正弦函数的递增区间，再解出 的范围。 【详解】令 ，则 在 上单调递增． 由 得 ． 两边同除以 ，得 ． 其余区间都不满足： 跨过了最小值点， 与 都跨过了最大值点，均不单调． 所以单调递增区间为 ． 故选：D 7．若数据 ，，， 的平均数为 ，方差为 ，则数据 ，，， 的平均数和方差分别为（　　） A．，　　B．， C．，　　D．， 【答案】A 【解析】 【分析】线性变换 下平均数变为 ，方差变为 ，与平移量无关。 【详解】新数据的平均数为 ． 新数据的方差为 ，因为同减常数 只是平移数据，不改变离散程度． 所以新数据的平均数为 ，方差为 ． 故选：A 8．已知函数 ，下列关于其图象的说法正确的是（　　） A．图象关于 轴对称，且在 上单调递增 B．图象关于原点对称，且在 上单调递减 C．图象关于原点对称，且图象夹在直线 与 之间 D．图象关于点 对称，且在 上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】先算 判断对称性，再把解析式分离常数，由指数函数的范围读出图象的上下界与单调性。 【详解】，故图象关于原点对称，关于 轴对称和关于点 对称的说法都不成立． ，由 得 ，所以 ． 即图象始终夹在直线 与 之间；又 递增， 在 上单调递增，故“递减”错误． 所以图象关于原点对称且夹在 与 之间． 故选：C 9．在 中，，，，则满足条件的三角形有（　　） A． 个　　B． 个 C． 个　　D． 个 【答案】C 【解析】 【分析】用正弦定理求 ，再由 判断角 可取锐角或钝角，逐个验证内角和。 【详解】由正弦定理 得 ． 因为 ，且 ，所以 ， 既可能是锐角，也可能是钝角． 当 为锐角时， 显然小于 ；当 为钝角时， 给出 ，此时 ，仍能构成三角形． 所以满足条件的三角形有 个． 故选：C 10．函数 在区间 上的最大值和最小值分别是（　　） A．，　　B．， C．，　　D．， 【答案】A 【解析】 【分析】配方得对称轴与最小值，再比较两个端点的函数值确定最大值。 【详解】，图象开口向上，对称轴为 ，且 ，故最小值为 ． ，，两端点函数值中较大者为 ． 所以最大值为 ，最小值为 ． 故选：A 11．不等式 的解集为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】D 【解析】 【分析】令 换元，化为关于 的一元二次不等式，解出 后再回代取绝对值。 【详解】令 ，则 ，原不等式化为 ，即 ． 解得 ，结合 得 ． 所以 ，解集为 ． 故选：D 12．某景观灯由两部分拼接而成：下部是底面半径为 、高为 的圆柱，上部是半球，半球的球心在圆柱上底面的圆心处，且半球的半径等于圆柱的底面半径，则该景观灯的体积为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】B 【解析】 【分析】组合体的体积等于圆柱体积与半球体积之和，分别代入公式相加。 【详解】圆柱的体积 ． 半球的半径为 ，其体积 ． 所以景观灯的体积 ． 故选：B 13．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】A 【解析】 【分析】先用奇函数性质把 写成 ，再说明 在 上单调递增，最后由单调性脱去函数符号。 【详解】因为 是奇函数，所以 ，原不等式即 ． 再判断单调性：， 时 ； 时 ，由奇性得 ，可见负自变量对应的函数值都小于非负自变量对应的函数值；又由奇性， 在 上同样单调递增，故 在 上单调递增． 所以 等价于 ，解得 ，所求解集为 ． 故选：A 14．已知 ，，给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ ．其中能推出 的条件的个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】 【分析】逐个检验：能推出的用不等式性质或函数单调性说明，不能推出的举反例否定。 【详解】① 取 ，，则 成立（），但 ，故 ① 不能推出 ． ② 由 及 得 ，故 ② 能推出． ③ 因为 在 上单调递增，所以 与 等价，故 ③ 能推出． ④ 取 ，，则 成立，但 ，故 ④ 不能推出． 所以能推出 的是 ②③，共 个． 故选：C 15．某景区招募了 名志愿者，现将他们随机平均分成两组，每组 人，分别派往甲、乙两个景点，则志愿者甲、乙被分到同一组的概率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 【分析】以“为甲景点选 人”为样本空间，总数为 ，再数甲、乙同组的选法数。 【详解】先给甲景点选 人，共有 种等可能的选法，余下 人自动去乙景点． 甲、乙同组分两类：两人都去甲景点，有 种；两人都去乙景点（即甲景点选的是另外两人），也有 种，共 种． 所以所求概率 ． 故选：B 16．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　　 B． C．　　D． 【答案】D 【解析】 【分析】按二次项系数 是否为零分类： 时直接检验， 时由开口方向与判别式建立不等式组。 【详解】当 时，原不等式就是 ，对任意实数 都成立，故 符合要求，不能漏掉． 当 时，左边是二次式，要使它对任意 都恒正，必须开口向上，即 ；若 ，图象开口向下，当 充分大时左边为负，不满足要求． 在 的前提下，还需判别式小于零：，即 ，解得 ． 所以 的取值范围是 ；检验： 时左边 恒成立，而 时左边 ，在 处等于 ，不满足“大于 ”． 故选：D 17．从 ，，，， 这五个数字中任取两个不同的数字，则这两个数字之和为偶数的概率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】 【分析】样本空间是 个无序数对，和为偶数要求两数同奇或同偶，分类计数。 【详解】任取两个不同数字，共有 个等可能的数对． 两数之和为偶数，必须同奇或同偶：奇数 ，， 中取两个有 个，偶数 ， 中取两个有 个． 共 个，故所求概率 ． 故选：C 18．在 中， 为边 的中点，点 在边 上，且 ．若 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】 【分析】取 ， 作基底，把 拆成 ，合并同类项后比较系数。 【详解】由 知 把 分成 ，故 ；又 为 的中点，故 ． 于是 ． 与 比较，由平面向量基本定理得 ，． 所以 ． 故选：A 19．某景区随机调查了 名游客的步行路程（单位：），将数据按 ，，，， 分组．已知 组与 组的频率之和为 ， 组的频数为 ， 组的频率为 ，则 组的频数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】 【分析】先把频数换算成频率，再用各组频率之和为 求出缺项频率，最后还原为频数。 【详解】 组的频率为 ． 已知的各组频率之和为 ． 所以 组的频率为 ，其频数为 ． 故选：D 20．在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，，则 外接圆的半径为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 【分析】先用正弦定理求 ，由 定出角 ，再用 求外接圆半径。 【详解】由 得 ． 因为 ，所以 ，只能取 ，不能取 ． 于是外接圆半径 ． 所以 外接圆的半径为 ． 故选：B 21．在三棱锥 中， 平面 ，，，，则 的面积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】 【分析】先由线面垂直证出 平面 ，得 ，再按直角三角形面积公式计算。 【详解】因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又 ，即 ，而 ，故 平面 ． 因为 平面 ，所以 ，即 是以 ， 为两条直角边的直角三角形． 在 中 ，故 ． 故选：A 22．已知向量 ， 满足 ，，且它们的夹角为 ，则 （）的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 【分析】把模平方展开为关于 的二次函数，配方求最小值后再开方。 【详解】． ． 当 时平方取最小值 ，故模的最小值为 ． 所以 的最小值为 ． 故选：B 23．方程 在区间 上解的个数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】 【分析】换元 ，先定出 的取值范围，再在该范围内数满足 的值。 【详解】当 时， 从 单调增到 ，即 ． 在 内满足 的是 与 ，再加上 ． 这三个值都在 内，对应的 依次为 ，，，互不相同． 所以方程在 上有 个解． 故选：C 24．已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数在 上递减，需要每段各自递减且衔接处左端函数值不小于右端，三个条件取交集。 【详解】当 时，，它在 上递减，要在 上递减，须 ． 当 时， 递减，须 ． 衔接处还须 不小于 时的一切函数值，即 对一切 成立，也就是 ，得 ． 三个条件取交集得 ，即 ． 故选：A 25．某山峰的山顶 处建有一座观景台， 到水平地面的距离 ， 为 在地面上的正射影．在山脚下一条笔直的水平步道上依次取 ， 两点（，， 在同一条直线上，且 在 与 之间），在 处测得 的俯角为 ，测得 的俯角为 ，则 ， 两点间的距离为（　　） A．　　B． C．　　 D． 【答案】D 【解析】 【分析】俯角等于地面点看 的仰角，在两个直角三角形中分别求 ，，再用两段之差求 。 【详解】在 中，，故 ． 在 中，，故 ． 因为 在 与 之间，所以 ． 故 ， 两点间的距离为 ． 故选：D 26．在正三棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则二面角 的大小为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 【分析】取 中点 ，证明 是二面角的平面角，再在直角三角形中用正切求角。 【详解】取 的中点 ，连接 ，．因为 是正三角形，所以 ，且 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，故 平面 ，从而 ． 于是 是二面角 的平面角，且 ． 所以 ，即二面角的大小为 ． 故选：B 27．某景区推出三种图案的纪念章，游客每购买一件纪念品，可随机获得其中一种图案的纪念章，三种图案被获得的概率相等，且各次相互独立．某游客购买了 件纪念品，则他恰好集齐三种图案纪念章的概率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】 【分析】把三次获赠的图案记为有序三元组，总数是 ，再数三个位置图案互不相同的情形。 【详解】每件纪念品的图案都有 种可能， 件共有 种等可能的有序结果． 恰好集齐三种图案，即三个位置上的图案互不相同：第一位有 种选法，第二位有 种，第三位只能取剩下的一种，共 种． 所以所求概率 ． 故选：C 28．已知函数 ，若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】D 【解析】 【分析】值域的最小值 只能在顶点处取到，最大值 由端点控制，据此列出关于 的不等式。 【详解】，在 处取最小值 ，故区间 必须包含 ，即 ． 又 已是值域的上界，故须 ，即 ，解得 ． 当 时， 在 上的最小值为 ，最大值为 ，值域恰为 ． 所以实数 的取值范围是 ． 故选：D 二、解答题：本大题共 2 小题，共计 16 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 29．在四棱锥 中，底面 是平行四边形，，，， 与 交于点 ， 为棱 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若 平面 ，且 ，求三棱锥 的体积． 【解析】 【分析】第（1）问在 中用中位线得 ，再用线面平行判定定理；第（2）问先算底面积，再定出 到底面的高，代入锥体体积公式。 【详解】（1）因为 是平行四边形，两条对角线互相平分，所以 是 的中点． 又 是 的中点，所以在 中， 是中位线，故 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 而 平面 ：若 在该平面内，则 平面 ，由 ，， 不共线知平面 就是平面 ，从而 在平面 内；又 在平面 内， 是 的中点，于是 也在平面 内，这与 是四棱锥的顶点、不在底面 内矛盾． 由直线与平面平行的判定定理， 平面 ． （2） 的面积 ． 因为 平面 ，，点 在平面 内，而 是 的中点，所以 到平面 的距离是 的一半，即 ． 三棱锥 以 为底面、 为高，故 ． 30．已知 是定义在 上的奇函数，当 时，． （1）求 的解析式； （2）若关于 的方程 恰有三个不相等的实数根，求实数 的取值范围． 【解析】 【分析】第（1）问设 后用 转化；第（2）问分段求出每一段的值域与对应根数，再按 分类合并计数。 【详解】（1）设 ，则 ，由已知得 ． 因为 是奇函数，所以 ． 又 ，与 时的表达式一致，故 ． （2）当 时，，最小值为 ：若 ，有两个非负根 ；若 ，只有一个非负根 ；若 ，只有一个根 ；若 ，无根． 当 时，，值域为 ：若 ，两根为 ，其中 当且仅当 ，故 时有两个负根， 时只有一个负根 ；若 ，只有一个根 ；若 ，无负根． 合并计数：当 时，非负根 个、负根 个，共 个；当 时，非负根 个、负根 个，共 个． 而 时共 个根， 时共 个根， 时只有 个根， 时只有 个根，均不符合要求． 所以方程恰有三个不相等的实数根时， 的取值范围是 ． $