安徽省宿州市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

安徽省宿州市第二中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 58 分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．给出下列 5 个关系：①，②，③，④，⑤． 其中正确命题的个数是（　　） A．4 B．2 C．3 D．5 2．若 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．随 值变化而变化 3．“”是“”成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．①当 时，．②当 时， 的最大值为 ．③ 的最小值为 ．④若 ，，且 ，则 ．以上说法正确的有（　　） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知 ，，则 的子集个数为（　　） A．8 B．15 C．32 D．63 7．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，，则 10．已知关于 的不等式 的解集为 ，则（　　） A． B．不等式 的解集是 C． D．不等式 的解集为 11．下列说法正确的是（　　） A．集合 满足 ，则满足条件的集合 有 8 个 B．“”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．若实数 ，，且满足 ，则 有最大值 第Ⅱ卷（非选择题 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．命题“，”的否定是______． 13．若命题“对任意实数 使得不等式 成立”为假命题，则实数 的取值范围是______． 14．若 ，，且 恒成立，则满足条件的 的值组成的集合是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题 13 分） 已知全集 ，集合 ，． (1)求 ； (2)求 ． 16．（本小题 15 分） 已知集合 ，． (1)若 ，定义集合 ，求 ； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中选一个，补充到横线处，求解下列问题：若______，求实数 的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 17．（本小题 15 分） 已知 ． （Ⅰ）若 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集； （Ⅱ）若 ，解关于 的不等式 ． 18．（本题共 17 分） 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园． 设菜园的长为 m，宽为 m． (1)若菜园面积 为 ，则 ， 为何值时，可使所用篱笆总长 最小？ (2)若使用的篱笆总长 为 16 m，求 的最小值． 19．（本题共 17 分） 设非空数集 ，对于任意 ，如果满足：① 属于 ；② 属于 ；③ 属于 ；④（分母不为零）也属于 ．定义：满足条件①②③的数集 为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环 为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）． (1)判断整数集 是不是数环；假如该集合是数环，那么它是不是数域； (2)若 是一个数环，证明：；若 是一个数域，证明：； (3)设 ，证明 是数域． 宿州二中2026～2027学年高一上学期第一次月考数学 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省宿州市第二中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A B B A D C BD ACD ABD 1．给出下列 5 个关系：①，②，③，④，⑤． 其中正确命题的个数是（　　） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】逐条判断元素与集合的关系：注意 不含 0， 为整数集， 为有理数集． 【解答】① 是实数，故 ，正确； ② 是无理数，，错误； ③ 不是正整数，，错误； ④，正确； ⑤ 是无理数，，错误． 所以正确的只有①④，共 2 个． 2．若 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．随 值变化而变化 【答案】C 【分析】作差比较： 与 0 的大小关系即 与 的大小关系． 【解答】． 因为 ，所以 ，即 ， 故对任意实数 都有 ． 3．“”是“”成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先把两个条件化成集合（区间），再判断包含关系；注意 要移项通分． 【解答】由 得 或 ，即解集为 ． 由 得 ，即 ，解得 或 ，解集为 ． 因为 是 的真子集， 所以“”是“”成立的充分不必要条件． 4．若 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 用 与 表示，再在各自范围内取值相加，不能把两个不等式同向相加后“取端点拼凑”． 【解答】设 ，，则 ，， 所以 ． 由 得 ，又 ，且 可独立取值， 所以 ，即 的取值范围是 ． 5．①当 时，．②当 时， 的最大值为 ．③ 的最小值为 ． ④若 ，，且 ，则 ．以上说法正确的有（　　） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】逐条用基本不等式或配凑法求最值，并检验等号成立的条件． 【解答】①当 时，，当且仅当 时取等号，正确； ②，当且仅当 ，即 时取等号，正确； ③设 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，最小值为 1，不是 2，错误； ④，当且仅当 ，即 ，也就是 ， 时取等号，正确． 所以正确的是①②④． 6．定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知 ，，则 的子集个数为（　　） A．8 B．15 C．32 D．63 【答案】A 【分析】按定义逐个检验 中每个数： 位数就要算各位数字的 次方和． 【解答】 是 1 位数，，是自恋数； 是 2 位数，，不是自恋数； 是 2 位数，，不是自恋数； 是 3 位数，，是自恋数； 是 3 位数，，不是自恋数； 是 3 位数，，是自恋数． 所以 ，含有 3 个元素，其子集个数为 ． 7．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式化简 ，由 得 ；再注意集合中元素的互异性（）． 【解答】由 得 ，即 ，所以 ． 由 得 ，即 且 ， 所以 ，即 ． 又 中两个元素互异，故 ． 所以 的取值范围是 ． 8．关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】因式分解后按 、、 三种情况写出解集，再数解集中恰有的两个整数． 【解答】原不等式即 ． 当 时，解集为 ．要使其中恰有两个整数，只能是 与 ， 故需 （ 时解集为 ，含 ； 时只含 ）； 当 时，解集为 ，不合题意； 当 时，解集为 ，要使其中恰有两个整数，只能是 与 ， 故需 （ 时解集为 ，含 ）． 综上， 或 ． 9．下列说法正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，，则 【答案】BD 【分析】逐项用不等式性质判断，错误的举反例，分式比较用作差法． 【解答】A 错误：取 ，，，，则 ，，但 ，结论不成立； B 正确：由 知 ，故 ，两边同除以 得 ； C 错误：取 ，，则 ，但 ； D 正确：， 因为 ，，所以 ，，故差为负，即 ． 10．已知关于 的不等式 的解集为 ，则（　　） A． B．不等式 的解集是 C． D．不等式 的解集为 【答案】ACD 【分析】由解集端点得两根与 的符号，用韦达定理把 、 用 表示，再逐项判断． 【解答】由解集为 知 ，且 ， 是方程 的两根，A 正确； 由韦达定理，，，所以 ，，其中 ． B： 即 ，因为 ，所以 ，即 ，解集为 ，B 错误； C：，C 正确； D： 即 ，因为 ，两边同除以 得 ，即 ，， 解得 ，D 正确． 11．下列说法正确的是（　　） A．集合 满足 ，则满足条件的集合 有 8 个 B．“”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．若实数 ，，且满足 ，则 有最大值 【答案】ABD 【分析】逐项判断：A 数子集个数；B 用根的分布；C 用补集与包含关系转化；D 用基本不等式． 【解答】A 正确： 中必含 ，其余元素可从 中任意选取，共 个； B 正确：方程有一正一负根，等价于两根之积 ，即 （此时 自动成立），故“”是充要条件； C 错误： 等价于 ，而 等价于 ，两者互不推出，所以是既不充分也不必要条件； D 正确：因为 ，，且 ，所以 ， 故 ，当且仅当 时取等号． 12．命题“，”的否定是______． 【答案】， 【分析】特称命题的否定是全称命题：“”改为“”，“”改为“”． 【解答】命题“，”的否定是“，”． 13．若命题“对任意实数 使得不等式 成立”为假命题，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【分析】原命题为假，则其否定为真，即“存在 使 ”，按 的符号分类． 【解答】命题“对任意实数 ，”为假命题，等价于“存在实数 ，使 ”为真命题． 当 时， 有解 ，符合； 当 时，抛物线开口向下，当 充分大时 ，符合； 当 时，需 ，即 ； 综上，，即实数 的取值范围是 ． 14．若 ，，且 恒成立，则满足条件的 的值组成的集合是______． 【答案】 【分析】设 ，，先证 ，再把恒成立转化为关于 的不等式． 【解答】设 ，，则 ， ，当且仅当 （即 ）时取等号． 要使不等式对任意 恒成立，只需 ，即 ． 由 得 ，即 ． 又 ，所以 ． 15．（本小题 13 分） 已知全集 ，集合 ，． (1)求 ； (2)求 ． 【答案】(1)；(2) 或 【分析】先由 求 ，再逐问求交集、并集． 【解答】(1)由 得 ． 所以 ． (2)因为 ，所以 ． 所以 ． 16．（本小题 15 分） 已知集合 ，． (1)若 ，定义集合 ，求 ； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中选一个，补充到横线处，求解下列问题：若______，求实数 的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)；(2)无论选①还是②，都有 【分析】(1)直接按 的定义取 中不属于 的元素；(2)两个条件都等价于 ，注意 的情形． 【解答】(1)当 时，，又 ， 由 得 ． (2)若选①： 等价于 ． 当 ，即 时，，满足 ； 当 ，即 时，需 ，解得 ． 综上，，即 ． 若选②：“”是“”的充分不必要条件，即 是 的真子集，故 且 ． 由①知 时 ；而当 时，若 ，则 且 ，即 且 ，不可能， 所以 恒成立，故 ． 17．（本小题 15 分） 已知 ． （Ⅰ）若 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集； （Ⅱ）若 ，解关于 的不等式 ． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析 【分析】（Ⅰ）由解集端点用韦达定理求 ，再把分式不等式化为整式不等式；（Ⅱ）因式分解后按两根 与 的大小分类． 【解答】（Ⅰ）因为 的解集为 ， 所以 ，且 ， 是方程 的两根， 由 得 ，即 ． 此时 ，即 ， 等价于 且 ，解得 或 ， 所以解集为 ． （Ⅱ）． 因为 ，方程 的两根为 与 ，且抛物线开口向下， 所以不等式的解集为两根之间（含端点），按两根大小分类： ①当 ，即 时，解集为 ； ②当 ，即 时，解集为 ； ③当 ，即 时，解集为 ． 18．（本题共 17 分） 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园． 设菜园的长为 m，宽为 m． (1)若菜园面积 为 ，则 ， 为何值时，可使所用篱笆总长 最小？ (2)若使用的篱笆总长 为 16 m，求 的最小值． 【答案】(1)， 时篱笆总长最小，最小值为 12 m；(2) 的最小值为 【分析】(1)由 ，对 用基本不等式；(2)用“乘 1 法”：由 得 ，把 乘以 后展开用基本不等式． 【解答】(1)由题意 ，篱笆总长 （靠墙的一边不需篱笆）， ， 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号， 所以 ， 时所用篱笆总长 最小，最小值为 12 m． (2)由 得 ， ， 当且仅当 ，即 ，再由 得 ， 时取等号， 所以 的最小值为 ． 19．（本题共 17 分） 设非空数集 ，对于任意 ，如果满足：① 属于 ；② 属于 ；③ 属于 ；④（分母不为零）也属于 ．定义：满足条件①②③的数集 为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环 为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）． (1)判断整数集 是不是数环；假如该集合是数环，那么它是不是数域； (2)若 是一个数环，证明：；若 是一个数域，证明：； (3)设 ，证明 是数域． 【答案】(1) 是数环，但不是数域；(2)(3)证明见解析 【分析】(1)验证加、减、乘是否封闭，再举反例说明除法不封闭；(2)用②取 ，用④取 ；(3)按①②③④逐条验证，除法需有理化． 【解答】(1)对任意 ，，， 都是整数，所以 是数环； 但取 ，，即 对除法不封闭，所以 不是数域． (2)因为 是非空数集，取 ，由②得 ，所以 ． 因为 是数域，取 且 ，由④得 ，所以 ． (3)显然 ，故 非空． 任取 ，，其中 ，则 ； ； ． 当 时，：否则 ，若 则 ，矛盾；若 则 ，，矛盾． 于是 ． 所以 满足①②③④，即 是数域． 宿州二中2026～2027学年高一上学期第一次月考数学 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $