2.1 认识实数 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册 第二章 实数 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 为什么要学习无理数？学习无理数后，你对数及其运算又有哪些新的认识？ 从非负数到有理数，再从有理数到实数，这两个研究过程有哪些类似之处？ 认识实数 情境引入 毕达哥拉斯学派是古希腊一个集宗教、哲学、数学和政治为一体的神秘组织。他们发展并坚信一个核心教义： “万物皆整数比”：更具体地说，他们认为宇宙中一切可度量的事物之间的关系（比例），都可以用两个整数的比（即分数）来表示。 你能求出面积为2的正方形的边长吗？它能用整数或分数（即有理数）来表示吗？ 温故知新 (1)什么是有理数? 通过以上问题，猜测一下：什么是无限不循环小数？它是不是有理数？ 整数和分数统称为有理数 (2)有理数包括哪些小数形式? 有限小数和无限循环小数 ※问题1 如何将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形？ 新知探究 (1)假设大正方形的边长为a，则a满足什么条件? (2)a可能是整数或分数吗？请说明理由. 不可能，1²< <2² 探究1.非有理数的引入 ※迁移验证 根据问题1的结论，请你分析以下问题： 新知探究 既不是整数，也不是分数→ 非有理数！ (1)如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是多少？ 正方形的面积等于5 (2)直角三角形的斜边b满足什么条件？ (3)b是整数或分数吗？ b不是整数也不是分数 探究1.非有理数的引入 新知探究 ※问题2 面积为2的正方形，其边长a为多少？ (1)图中三个正方形的面积从小到大怎样排列？ 1 < 2 < 4 (2)由此可以推测它的边长a范围是多少？ 1 <a< 2 由此可以发现，a是一个小数，那么它的小数部分是怎样的呢？这需要我们确定该数的十分位、百分位、千分位... 探究2.无限不循环小数的概念 探究 找出数a的十分位、百分位 新知探究 （1）找十分位：尝试1.5的平方，与2比较 结论：1.4<a<1.5，所以a的十分位是____ （2）找百分位：在1.4和1.5之间，先尝试1.41和1.42的平方： 结论：1.41<a<1.42，所以a的百分位是_______。 再减小0.1，尝试1.4的平方，与2比较 小明将他的探索结果整理如下： 还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？ 还可以算下去；但它一定不是有限小数，且小数部分不循环 面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？ 综上可得，像a、b这样的数的小数部分一定是无限且不循环的，像这样的数就叫无限不循环小数。 通过上面的活动，我们发现： 新知探究 无限不循环小数： 具体为小数部分无限且没有循环节的数 该类小数，不能表示为分数，因此不是有理数 归纳总结 例题讲解 解：h不可能是有理数，理由如下： 证明：在等边三角形ABC中，BC边上的高满足“三线合一” ∴BD=CD 在直角三角形ABD中，根据勾股定理： 无限不循环小数的概念 随堂练习1.如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h,h可能是有理数吗？ =3,h既不是整数也不是分数，它不可能是有理数 应用新知 D 2. 判断正误： （1）所有无限小数都是无理数； （ ） （2）有理数都是有限小数； （ ） （3）不是有限小数的数就不是有理数。 （ ） × × × ※问题1 观察下列各数： 新知探究 以上每个数字转化后的小数都是有限小数和无限循环小数 S1 S1 (1)将以上各数表示为小数： 3=3.0 探究1 无理数的概念 ※问题1 观察下列各数： 新知探究 S1 S1 (2)在以上的数中，没有一个数是无限不循环小数，而无限不循环小数也不是有理数，那么这种数是什么呢？ 无限不循环小数称为无理数 探究1 无理数的概念 例题讲解 1、一些数学中我们常见的或者是可能误认为有循环节的小数，如： （2）0.585885888588885⋯(相邻两个5之间8的个数逐次加1) 你还能列举出哪些无理数吗？ ※问题2 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 新知探究 有理数： 无理数: 有理数和无理数统称为实数 探究2 实数的意义及表示 新知探究 区分以上数字是按照有理数和无理数区分的，若按照正负来分，那么正数和负数都有哪些？ 正数： 负数： 探究2 实数的意义及表示 ※问题2 还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 新知探究 当所学的数扩充到实数之后，其运算法则是怎样的？ 有理数可分为正有理数、负有理数和0 类似的，可将实数分为正实数、负实数和0 探究2 实数的意义及表示 新知探究 实数的运算规则和有理数的一致 （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的完全一样； （2）实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用； 思考 交流 （2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？ 解：① 作直角边长为1和2的直角三角形； ② 以原点O为圆心，以、斜边长度为半径画弧交数轴于E，点E即是数b 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的． 题型总结 2.比较-3.14与 的大小。 题型总结 解: a的相反数是-a； a的绝对值是|a|; 4.请你在方格纸上分别按照如下要求设计一个直角三角形： （1）使它的三边中恰有一边边长是无理数； （2）使它的三边中恰有两边边长是无理数； （3）使它的三边边长都是有无理数。 $