1.1.2 探索勾股定理 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册 第一章 勾股定理 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 你是如何获得勾股定理的？ 三角形 的内角大小是如何影响三角形三边关系的？反过来呢？ 1.1.2 勾股定理的验证 上节课我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。 知识回顾 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果用a，b和c分别表示直角三角形两条直角边和斜边的长，则有：a2+b2=c2。 几何语言： 在Rt△ACB中，由勾股定理得： a2+b2=c2 A B C 勾 股 弦 a b c 分别以直角三角形的三条边 的长度为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何说明的？ 问题导入 割 补 为了计算图中大正方形的面积，小明对图中的大正方形进行适当割补后，得到图2，图3。 图2 a b c A B C D 图3 a b c A B C D a b c 新知探究 新知探究 （1)请将图2、图3中所有三角形和正方形的面积用a,b,c的式子表示出来； （2)图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流。 （3)你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？ 图2 a b c A B C D 图3 a b c A B C D a b c b2 a2 c2 A B C D 验证：S正方形ABCD= (a+b)2=c2+4× a2+b2+2ab=c2+2ab a2+b2=c2 b b 大正方形的边长是（a+b） 尝试 思考 新知探究 a b c b2 a2 c2 a b 小正方形的边长是（b-a） 尝试 思考 验证：S正方形ABCD= (b-a)2+4× =c2 b2+a2-2ab+2ab=c2 a2+b2=c2 A B C D 新知探究 数学文化 勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽(3世纪初)在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述:“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把左图称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案(右图)就取材于此图。 例 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公 路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m;过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗? 公路 B C A 400m 500m 解：根据题意画图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置. 例题讲解 由于王叔叔距离公路400 m，因此∠C是直角. 由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以BC=300. 蓝方汽车10 s行驶了300 m， 那么它平均每秒行驶300÷10=30(m)， 即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s. 公路 B C A 400m 500m 例题讲解 运用勾股定理解决实际问题的一般思路： 实际问题 确定所求线段在直角三角形中 抽象出几何图形 求得线段长 数学建模 确定直角边和斜边 回归 利用勾股定理建立方程 如图是某沿江地区交通平面图的一部分，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？ 解：因为OM ² =MN ²+NO²=30²+40²=50²， OQ² =OP²+PQ²=50²+120² =130²， 所以OM=50 km，OQ=130 km， 所以沿江高速公路的建设成本预计是 5 000×(50+130)=900 000(万元). M O N P Q 30km 40km 50km 120km 随堂练习 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗? a2+b2<c2 a2+b2>c2 通过数格子发现不满足. 8 9 29 5 8 9 思考 交流 请用如图所示的图形验证勾股定理，并说一说这一方法与课堂上的 方法之间的联系。 b b a a c c 提升练习 这就是美国第二十任总统伽菲尔德的验证方法，被称为“总统证法”. 本节课我们利用哪些方法验证勾股定理？ 这些方法的本质是什么？ 你还有不一样的验证方法吗？ 课堂小结 $