精品解析：辽宁大连二十四中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题

大连二十四中学2026-2027学年上学期10月考试 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分 1. 已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 2. 在空间直角坐标系中，与关于x轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设点，，若直线与线段恒有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分 9. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 10. 已知曲线，则（ ） A. 曲线的图象有且仅有条对称轴 B. 曲线上任意一点到原点的最大距离为 C. 曲线所围成图形的面积为 D. 函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在C上，则 C. 点N在椭圆上，若，则 D. 过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 若直线与平行，则______． 13. 已知为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的取值范围是______． 14. 已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是____________． 四、解答题：本题共15小题，共计77分 15. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求直线的方程． （3）求的面积． 17. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点． （1）证明：平面； （2）若点M在棱上，且二面角为，求的长度． 18. 已知椭圆：（）的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．求证：． 19. 已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； （3）点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连二十四中学2026-2027学年上学期10月考试 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分 1. 已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类求出离心率. 【详解】椭圆的焦距，即， 当焦点在轴上时，其短半轴长， 则长半轴长，离心率； 当焦点在轴上时，其长半轴长，则离心率， 所以椭圆的离心率为或. 2. 在空间直角坐标系中，与关于x轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可得，所以，，． 3. 若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件求解. 【详解】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 4. 设点，，若直线与线段恒有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定直线过定点，计算定点与线段两端点连线的斜率，结合直线与线段相交的几何特征确定斜率范围 【详解】直线的斜率为，所以直线的方程为， 直线恒经过，如下图： 直线的斜率，直线的斜率， 因此要使直线与线段有交点，则 5. 已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称思想将轴上点到两圆心的距离和转化为两点间距离，再减去两圆半径之和即可求得最小值. 【详解】由题意可得圆的圆心，半径，， 圆的圆心，半径，， 则， 当且仅当在线段上、在线段上时，等号成立， 作关于轴对称点， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为. 6. 已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将正方体内切球半径，根据空间向量的运算化简为，结合题意得的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意设正方体中心为，即为正方体内切球球心，则为的中点， 因为正方体的棱长是，故，则内切球半径为， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，当位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取最小值， 故，， 则，即的取值范围为. 7. 已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得， 则①，即， 由余弦定理得， ，故，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解. 8. 已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可得，即，所以动点的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点的轨迹方程. 【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为， 则，切点为, ，，是中点， 是梯形的中位线，， 又圆C的方程为，， ，， 即，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为， 则， ， 动点的轨迹方程为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分 9. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 10. 已知曲线，则（ ） A. 曲线的图象有且仅有条对称轴 B. 曲线上任意一点到原点的最大距离为 C. 曲线所围成图形的面积为 D. 函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图象，由图可得答案. 【详解】已知曲线， 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线为原点； 因此，画出曲线的图象，如图所示， 对于A，曲线的图象有条对称轴，故A错误； 对于B，曲线上任意一点到原点的距离为，则， 由于，所以，当且仅当时取等号， 则，解得，所以曲线上任意一点到原点的最大距离为，故B正确； 对于C，由图象可知，曲线所围成的图形是由个半径为的半圆和个边长为的正方形组成， 因此曲线所围成的图形的面积为，故C正确； 对于D，由于，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，且，，如图所示， 当时，，在上单调递减，此时与曲线有个交点； 当时，，在上单调递增，此时与曲线有个交点； 因此函数的图象与曲线的图象在第一象限有个交点， 根据函数的对称性，函数的图象与曲线的图象在第二象限也会有个交点， 所以函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点，故D正确. 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在C上，则 C. 点N在椭圆上，若，则 D. 过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目给的伯努利双纽线的概念，结合圆锥曲线中的焦点概念，直线与圆锥曲线的关系，分别判断各选项的正误. 【详解】由题意，，即， 对于A，因曲线过原点，将代入，解得，故A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，故错误； 对于，椭圆的焦点坐标恰好为与，则， 由，得：， 则，，故C正确； 对于D，设，则，而，则， 又根据勾股定理得，则，化简得， 解得，因此，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 若直线与平行，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 13. 已知为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】如图， 对椭圆，，，所以. 设为椭圆的右焦点，则， 因为，， 所以，即. 14. 已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，进而可求得的坐标，再求出和点到直线的距离，求出面积的表达式，进而可得出答案. 【详解】设， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减得， 即是过切点的直线方程， 则，所以， 又因为点到直线的距离， 所以， 又因为在点P在椭圆上， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即面积的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共15小题，共计77分 15. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 因为侧棱底面，且， 以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面. （2） 由（1）可得：，， 则，可得， 又因为，且，平面， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）利用向量证明，结合即可得出线面垂直； （3）求出平面的法向量以及，利用线面角的向量求法得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面，平面，则， 且，平面, 所以平面，可知为平面的法向量， 由（1）可得：， 设，则， 因为，则，解得， 则， 设直线EF与平面的夹角为， 则，可得， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求直线的方程． （3）求的面积． 【答案】（1） A(3,4) （2） x+5y-9=0 （3） 7 【解析】 【分析】（1）根据题意得到交点所在的两条直线，联立方程即可； （2）根据题意列出有关条件的式子，进行求解； （3）根据三角形面积公式，先求出有关量，代入公式即可. 【小问1详解】 因为为边上的高，，所以， 过，得方程为，即， 联立方程，解得，故. 【小问2详解】 设，则中点， 由题意在上，在上，得，解得，即， 则， 由点斜式得直线方程为，整理得. 【小问3详解】 ， 点到直线的距离， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点． （1）证明：平面； （2）若点M在棱上，且二面角为，求的长度． 【答案】（1）连接，如下图，因为，所以是等腰三角形， O为的中点，由等腰三角形三线合一的性质可知. 因为，所以， ， 在中，， 即是直角三角形，， 则有，，平面，且相交， 由线面垂直的判定定理可知平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证，由，可知，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，则，最后由线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，写出三棱锥各点的坐标，分别求出平面和平面的一个法向量，已知二面角为，则可知两个法向量的夹角是或，利用向量的数量积求出点M的坐标，进而求出向量的模，即求出的长. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ，，，. 则，设，，，，，. 设平面的一个法向量为，，则， 令，则有，， . 由（1）知，平面，则，则有平面，所以是平面的一个法向量， . ，，，由题设可知，则有，两边化简后平方，最后解出或（不符合，舍去）. 则，，即长为. 18. 已知椭圆：（）的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．求证：． 【答案】（1） （2）如图，设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故. 【解析】 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证. 【小问1详解】 由，可得① 由点在上，则② 联立①②得，，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； （3）点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）设线段的中点为，得出，代入方程中即可； （2）设，，得出，再令，解一元三次方程即可； （3）设，，，根据条件列关系式，再根据任意性即可列方程组求出. 【小问1详解】 设线段的中点为，则， 代入中得，即， 故曲线的方程为； 【小问2详解】 设，， 则，则，， 则， 令，则，即， 得，则， 设，则，得或， 则或； 【小问3详解】 存在，或， 设，，， 因为，所以 ， 则， 因为点是曲线上任意一点，所以， 得或，即或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $