专题3.4 直线与圆锥曲线的综合问题（期中复习讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题3.4 直线与圆锥曲线的综合问题（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题3.4 直线与圆锥曲线的综合问题（期中复习讲义） 1 知识点1 联立方程组与判别式 1 知识点2 弦长公式 1 知识点3 中点弦与点差法 2 知识点4 定点定值与最值 2 知识点5 向量与圆锥曲线综合 2 【题型1 联立与弦长】 2 【题型2 中点弦（点差法）】 3 【题型3 定点定值问题】 3 【题型4 最值问题】 3 【题型5 向量综合大题】 3 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 直线与圆锥曲线联立方程组、判别式 判定交点个数 2. 弦长公式 （或 ） 3. 中点弦与点差法 4. 弦中点轨迹 5. 定点定值问题 6. 最值问题 7. 向量与圆锥曲线综合（a 等向量记号）． ▲难点： 1. 联立后韦达定理的整体代换 2. 点差法的适用条件（弦存在且中点非对称中心） 3. 定点定值问题的代数消参 4. 向量数量积（垂直、共线）与几何条件的翻译 5. 综合大题的步骤完整性与计算准确性． 知识点1 联立方程组与判别式 【重难点】 ★重点： 1. 代入消元得一元二次方程，用 判定相交、相切、相离． ▲难点： 1. 二次项系数含参数时要讨论是否为二次方程 2. 注意曲线定义域（如双曲线渐近线限制）． （1）将直线方程 （或 ）代入曲线方程，消去一个变量得到关于 x（或 y）的方程． （2）若得到 （），则 有两个交点， 相切（一个交点）， 无交点． （3）对于直线 （垂直于 x 轴）可直接代入求交点 （4）直线斜率不存在时要单独讨论． （5）注意：直线与双曲线/抛物线联立时“一个交点”未必是相切，还可能是平行于渐近线（双曲线）或与对称轴平行（抛物线）． 知识点2 弦长公式 【重难点】 ★重点： 1. ． ▲难点： 1. 选用 x 还是 y 作变量以简化计算 2. 弦长与韦达定理的结合． （1）若直线斜率为 k，交点横坐标 ，则 ． （2）若用纵坐标，则 （）． （3）结合韦达定理，弦长常用 形式表达，便于求最值． （4）焦点弦常可利用焦半径之和直接求弦长（如抛物线 ）． 知识点3 中点弦与点差法 【重难点】 ★重点： 1. 设而不求，对曲线方程作差得斜率与中点坐标的关系． ▲难点： 1. 点差法只能求“存在弦”的斜率，须验证中点在曲线内部（判别式）． （1）设弦端点 ，中点 ，将 代入曲线方程后相减，利用 求得斜率 k． （2）椭圆 x2a2+y2b2=1： （1）双曲线 ：． （3）抛物线 y2=2px 中点弦：． （4）点差法得到直线后，应验证该直线与曲线确实有两个交点（判别式）． 知识点4 定点定值与最值 【重难点】 ★重点： 1. 含参直线过定点（整理成关于参数的恒等式）、几何量（如 ）为定值． ▲难点： 1. 从代数结果中分离参数、识别恒成立条件 2. 最值常借助二次函数、基本不等式或参数方程． （1）定点问题：将直线方程写成 形式，或整理为“关于参数 的系数为 ”以求出定点． （2）定值问题：设直线方程，联立用韦达定理，将目标量化为含参式，证明其与参数无关． （3）最值：常用参数方程（如椭圆 ；抛物线 ）、二次函数配方法或柯西/基本不等式． （4）距离最值常转化为点到直线距离或函数的极值． 知识点5 向量与圆锥曲线综合 【重难点】 ★重点： 1. 用 表示 2. 用共线向量表示三点共线/分点． ▲难点： 1. 向量条件翻译为坐标代数关系后的整体代换与消参． （1） ⇔ （），常用于“直角弦”“圆过原点”等问题． （2） 表示 共线且 P 分 成定比 ． （3）将向量垂直/共线条件与韦达定理联立，可求参数范围或证明定点定值． （4）综合大题须规范书写：设线→联立韦达→翻译条件→求解→检验． 【题型1 联立与弦长】 【例1】直线 与椭圆 相交于 ，求弦长 及弦 的中点坐标． 【变式1-1】直线 与椭圆 联立后，关于 x 的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】直线 与抛物线 相交于 ，求弦长 ． 【变式1-3】直线 与双曲线 相交于 ，求弦长 ． 【题型2 中点弦（点差法）】 【例2】椭圆 中，弦 的中点为 ，求弦 所在直线的方程． 【变式2-1】椭圆 中，弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】抛物线 中，弦 的中点为 ，求弦 所在直线方程． 【变式2-3】双曲线 中，弦 的中点为 ，求弦 所在直线方程． 【题型3 定点定值问题】 【例3】椭圆 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 两点，证明 为定值，并求之． 【变式3-1】椭圆 中，过右焦点的弦 ， 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】抛物线 的焦点弦 ，证明 为定值，并求之． 【变式3-3】椭圆 中，过右焦点的弦 ，求 的值． 【题型4 最值问题】 【例4】椭圆 上一点 P，求点 P 到直线 的距离的最大值． 【变式4-1】椭圆 上的点到原点距离的最大值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】抛物线 上一点 P 到直线 的距离的最小值是多少？ 【变式4-3】求椭圆 的内接矩形（边平行于坐标轴）面积的最大值． 【题型5 向量综合大题】 【例5】椭圆 上两点 满足 （即 ），证明：原点 O 到直线 的距离为定值，并求之． 【变式5-1】椭圆 上两点 满足 ，求原点 O 到直线 的距离． 【变式5-2】抛物线 上两点 满足 ，证明直线 过定点，并求定点坐标． 【变式5-3】椭圆 的焦点为 ，P 为椭圆上一点，求 的取值范围． 【综合·培优提升】 【培优1】抛物线 ，以 为中点的弦 ，求直线 的方程及弦长 ． 【培优2】椭圆 ，直线 l: 与椭圆交于 ，且以 为直径的圆过原点 O（即 ），求 应满足的关系． 【培优3】椭圆 ，直线 l: 与椭圆交于 ，求 面积的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 直线与圆锥曲线的综合问题（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题3.4 直线与圆锥曲线的综合问题（期中复习讲义） 1 知识点1 联立方程组与判别式 1 知识点2 弦长公式 1 知识点3 中点弦与点差法 2 知识点4 定点定值与最值 2 知识点5 向量与圆锥曲线综合 2 【题型1 联立与弦长】 2 【题型2 中点弦（点差法）】 3 【题型3 定点定值问题】 4 【题型4 最值问题】 4 【题型5 向量综合大题】 5 【综合·培优提升】 6 【重难点】 ★重点： 1. 直线与圆锥曲线联立方程组、判别式 判定交点个数 2. 弦长公式 （或 ） 3. 中点弦与点差法 4. 弦中点轨迹 5. 定点定值问题 6. 最值问题 7. 向量与圆锥曲线综合（a 等向量记号）． ▲难点： 1. 联立后韦达定理的整体代换 2. 点差法的适用条件（弦存在且中点非对称中心） 3. 定点定值问题的代数消参 4. 向量数量积（垂直、共线）与几何条件的翻译 5. 综合大题的步骤完整性与计算准确性． 知识点1 联立方程组与判别式 【重难点】 ★重点： 1. 代入消元得一元二次方程，用 判定相交、相切、相离． ▲难点： 1. 二次项系数含参数时要讨论是否为二次方程 2. 注意曲线定义域（如双曲线渐近线限制）． （1）将直线方程 （或 ）代入曲线方程，消去一个变量得到关于 x（或 y）的方程． （2）若得到 （），则 有两个交点， 相切（一个交点）， 无交点． （3）对于直线 （垂直于 x 轴）可直接代入求交点 （4）直线斜率不存在时要单独讨论． （5）注意：直线与双曲线/抛物线联立时“一个交点”未必是相切，还可能是平行于渐近线（双曲线）或与对称轴平行（抛物线）． 知识点2 弦长公式 【重难点】 ★重点： 1. ． ▲难点： 1. 选用 x 还是 y 作变量以简化计算 2. 弦长与韦达定理的结合． （1）若直线斜率为 k，交点横坐标 ，则 ． （2）若用纵坐标，则 （）． （3）结合韦达定理，弦长常用 形式表达，便于求最值． （4）焦点弦常可利用焦半径之和直接求弦长（如抛物线 ）． 知识点3 中点弦与点差法 【重难点】 ★重点： 1. 设而不求，对曲线方程作差得斜率与中点坐标的关系． ▲难点： 1. 点差法只能求“存在弦”的斜率，须验证中点在曲线内部（判别式）． （1）设弦端点 ，中点 ，将 代入曲线方程后相减，利用 求得斜率 k． （2）椭圆 x2a2+y2b2=1： （1）双曲线 ：． （3）抛物线 y2=2px 中点弦：． （4）点差法得到直线后，应验证该直线与曲线确实有两个交点（判别式）． 知识点4 定点定值与最值 【重难点】 ★重点： 1. 含参直线过定点（整理成关于参数的恒等式）、几何量（如 ）为定值． ▲难点： 1. 从代数结果中分离参数、识别恒成立条件 2. 最值常借助二次函数、基本不等式或参数方程． （1）定点问题：将直线方程写成 形式，或整理为“关于参数 的系数为 ”以求出定点． （2）定值问题：设直线方程，联立用韦达定理，将目标量化为含参式，证明其与参数无关． （3）最值：常用参数方程（如椭圆 ；抛物线 ）、二次函数配方法或柯西/基本不等式． （4）距离最值常转化为点到直线距离或函数的极值． 知识点5 向量与圆锥曲线综合 【重难点】 ★重点： 1. 用 表示 2. 用共线向量表示三点共线/分点． ▲难点： 1. 向量条件翻译为坐标代数关系后的整体代换与消参． （1） ⇔ （），常用于“直角弦”“圆过原点”等问题． （2） 表示 共线且 P 分 成定比 ． （3）将向量垂直/共线条件与韦达定理联立，可求参数范围或证明定点定值． （4）综合大题须规范书写：设线→联立韦达→翻译条件→求解→检验． 【题型1 联立与弦长】 【例1】直线 与椭圆 相交于 ，求弦长 及弦 的中点坐标． 【答案】见【详解】。 【详解】 联立：，得 。 对应 。。 中点 ． 答案：，中点 ． 【变式1-1】直线 与椭圆 联立后，关于 x 的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：代入：，乘以 得 。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式1-2】直线 与抛物线 相交于 ，求弦长 ． 【答案】见【详解】。 【详解】 联立：。 ，。． 答案：． 【变式1-3】直线 与双曲线 相交于 ，求弦长 ． 【答案】见【详解】。 【详解】 代入 ：，。故 ． 答案：． 【题型2 中点弦（点差法）】 【例2】椭圆 中，弦 的中点为 ，求弦 所在直线的方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 点差法： 。 ，代入得 ， 斜率 。直线方程 ，即 ． 答案：． 【变式2-1】椭圆 中，弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：点差： 。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式2-2】抛物线 中，弦 的中点为 ，求弦 所在直线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 点差：。 ，得 。直线 ，即 ． 答案：． 【变式2-3】双曲线 中，弦 的中点为 ，求弦 所在直线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 点差： 。，得 。 直线 ，即 ．答案：． 【题型3 定点定值问题】 【例3】椭圆 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 两点，证明 为定值，并求之． 【答案】见【详解】。 【详解】 以右焦点 F 为极点建立极坐标，椭圆方程为 （其中 ）。 设 对应的极角为 与 ，则 ，。 故 ，为定值． 答案：定值为 ． 【变式3-1】椭圆 中，过右焦点的弦 ， 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：由 。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式3-2】抛物线 的焦点弦 ，证明 为定值，并求之． 【答案】见【详解】。 【详解】 即 ，焦点 。 设焦点弦倾斜角 ，则 ，（或利用 与 推导）。 。故定值为 ．答案：定值为 ． 【变式3-3】椭圆 中，过右焦点的弦 ，求 的值． 【答案】见【详解】。 【详解】 ．答案：． 【题型4 最值问题】 【例4】椭圆 上一点 P，求点 P 到直线 的距离的最大值． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，则距离 。 因 ，且 ，故 ， 全为正。d_．答案：． 【变式4-1】椭圆 上的点到原点距离的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：设 ，，， 最大为 ，故最大距离 （在顶点 处）。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式4-2】抛物线 上一点 P 到直线 的距离的最小值是多少？ 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，距离 ，当 时最小， d_，此时 ．答案：． 【变式4-3】求椭圆 的内接矩形（边平行于坐标轴）面积的最大值． 【答案】见【详解】。 【详解】 设矩形顶点 （ 在椭圆第一象限），面积 。 由椭圆 ，，当 取等号。 最大面积为 ．答案：． 【题型5 向量综合大题】 【例5】椭圆 上两点 满足 （即 ），证明：原点 O 到直线 的距离为定值，并求之． 【答案】见【详解】。 【详解】 设直线 方程为 （ 不过原点，否则 反向不可能垂直）。 将椭圆 齐次化为 ，即 ，这是直线 的联立方程。 因 ，该二次齐次式表示的两直线垂直，故 、 系数之和为 ： 。 原点 O 到直线 的距离 ， 为定值．答案：定值 ． 【变式5-1】椭圆 上两点 满足 ，求原点 O 到直线 的距离． 【答案】见【详解】。 【详解】 同理，齐次化 ， 垂直条件 。 距离 ．答案：． 【变式5-2】抛物线 上两点 满足 ，证明直线 过定点，并求定点坐标． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 （满足 ）。 ，即 。 因 ，得 。直线 斜率 ； 令 求 x 截距：由 ，令 得 。故直线 恒过定点 ． 答案：定点 ． 【变式5-3】椭圆 的焦点为 ，P 为椭圆上一点，求 的取值范围． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，则 （）。 ，，数量积 。因 ，故 ． 答案：． 【综合·培优提升】 【培优1】抛物线 ，以 为中点的弦 ，求直线 的方程及弦长 ． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，点差： 。，得 。直线 ，即 。 联立 与 ： 或 ，，中点 符合。 ．答案：直线 ，弦长 ． 【培优2】椭圆 ，直线 l: 与椭圆交于 ，且以 为直径的圆过原点 O（即 ），求 应满足的关系． 【答案】见【详解】。 【详解】 联立：。 设 ，则 ，。 ，其中 。 代入得 ，整理并乘以 得 ，化简为 ，即 ， ．答案：． 【培优3】椭圆 ，直线 l: 与椭圆交于 ，求 面积的最大值． 【答案】见【详解】。 【详解】 联立：。 有两交点需 ，即 。 设两根 ，则 。 面积 。 令 ，则 ，当 时 最大为 ，S_．答案：最大面积为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $