拓展专题06 解析几何中的五大创新问题：隐圆、蒙日圆、阿氏圆、阿基米德三角形、光学性质（期中复习讲义·培优版，10大核心题型）高二数学上学期人教A版

拓展专题06 解析几何中的五大创新问题：隐圆、蒙日圆、阿氏圆、阿基米德三角形、光学性质（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 蒙日圆 题型二 阿氏圆 题型三 隐圆 题型四 阿基米德三角形 题型五 光学性质 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 蒙日圆 掌握蒙日圆的概念，了解它的应用. 重难必考点，常出现在小题 阿氏圆 掌握阿氏圆的概念，了解它的应用. 重难必考点，常出现在小题 阿基米德三角形 掌握阿基米德三角形与抛物线间的联系与应用. 高频易错点，常出现在小题压轴，阿基米德三角形性质不熟悉 知识点01 蒙日圆 1、蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 2、蒙日圆的几何性质 【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则． 证明：设点坐标，由， 得， 由其判别式的值为0，得， ，是这个关于的一元二次方程的两个根， ，，，． 【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值． 【结论3】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）． 【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦． 证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点． 【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值． 【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：． 【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为． 【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为． ·示例： 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图： 因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 所以椭圆的蒙日圆C的半径为. 因为，所以为蒙日圆的直径， 所以，所以. 因为， 当时，等号成立. 所以面积的最大值为：. 由面积的最大值为25，得，得， 进而有，， 故椭圆的长轴长为. 故选：D ·易错点： 容易混淆椭圆、双曲线、抛物线对应的蒙日圆方程，记错半径； 忽视两条切线垂直这一核心条件，误判题意； 联立计算时忽略判别式； 忽略双曲线蒙日圆存在的前提条件； 求解后不检验点是否在曲线上，导致增根。 知识点02 阿氏圆 1、阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 2、阿波罗尼斯圆的证明 设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， ①当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； ②当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为． 证明：以为例．如图②，设，，则， ．过作的垂线圆交于两点， 由相交弦定理及勾股定理得， 于是． 同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的， 圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形． （3）阿波罗尼斯圆的相关结论 【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外． 【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然． 【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为． 【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线． 【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角． 证明：如图①，由已知可得（且）， ，又， 平分． 由等角的余角相等可得，平分的外角． 【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分． 证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分． 平分． ·示例： 若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得M的轨迹方程，进而得两圆相交，应用相交条件即可得解. 【详解】解：设，因为， 即，平方整理得， 即点M的轨迹是以为圆心，半径的阿氏圆D， 又因为M在圆C上，所以M是圆D、圆C交点，即圆D、圆C相交， 圆C：，圆心，半径， 所以，即， 解得，即 故答案为：. ·易错点： 容易记错阿氏圆定义：到两定点距离之比为定值且不等于1，比值为1时是中垂线而非圆； 确定圆心半径时坐标运算易出错； 审题分不清内外阿氏圆； 忽略定点不在圆上的限制 转化线段时向量、相似比例容易写反，未检验解的合理性。 知识点03 阿基米德三角形 1、定义：如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边． 2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1：MF⊥AB； 性质2：MA⊥MB； 性质3：MN∥x轴； 性质4：S△ABM最小值为p² 对于点A，B: ①抛物线焦点弦与抛物线的交点 ②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点 对于点M ③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点 ④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点 满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形” 3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴． 2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线． 3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． 4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为． 5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为． 6、点的坐标为； 7、底边所在的直线方程为 8、的面积为． 9、若点的坐标为，则底边的直线方程为． 10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则. 图1 11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则． 12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的． ·示例： 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设过的直线的方程为， 联立方程，得到， 不妨设， 由韦达定理得到， 因为，所以， 又因为，即 ， 所以，即， 所以，得到 即，解得，所以 即，解得，所以， 所以,得到， 所以直线的方程为，即. 对两边求导得到， 所以点的切线斜率， 所以方程为即， 同理可得方程为， 联立方程得到，解得， 所以点到直线的距离为， ， 所以 . ·易错点： 容易混淆阿基米德三角形的适用对象，只适用于抛物线； 记错性质：顶点、底边弦中点连线平行对称轴； 计算时误把切线条件乱用； 联立求切线方程运算易出错； 忽略特殊位置讨论，使用结论前不证明，直接套用性质致失分。 题型一 蒙日圆 解｜题｜技｜巧 先明确蒙日圆核心：曲线外一点两条切线垂直，则该点轨迹为蒙日圆。 熟记椭圆、双曲线蒙日圆半径公式； 优先利用几何性质简化计算； 设切线方程结合垂直条件列式； 遇证明题，可联立方程结合判别式推导，注意检验双曲线蒙日圆存在条件。 【典例1】（25-26高二上·广东潮州·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点， 若两条切线斜率都存在，设为、，则， 过的切线方程可设为， 联立，则， ，化简得， 由切线过点，则，故， 即有，整理得， 则关于的方程有两根、，满足， 即有，即点的轨迹为； 若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为， 则，，此时满足； 综上可得：椭圆的蒙日圆的方程为. 【变式1-1】（25-26高二上·河南许昌·期末）法国数学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】对于椭圆，其两条互相垂直的切线的交点为，由题干信息，可得在椭圆“蒙日圆”上，又“蒙日圆”圆心在，则“蒙日圆”半径为， 即椭圆的“蒙日圆”方程为：. 对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得 ，，，则“蒙日圆”方程为：； 对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得 ，，，则“蒙日圆”方程为：. 故选：C 【变式1-2】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（     ） A．椭圆的蒙日圆的方程为， B．对直线上任意一点，， C．记点到直线的距离为，则的最小值为， D．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 【答案】ACD 【详解】对于A，过点可作椭圆的两条互相垂直的切线：， 所以点在椭圆的蒙日圆上，因此蒙日圆方程为， 由，可得， 所以椭圆的蒙日圆的方程为，即A正确； 对于B，由直线的方程可知点在直线上， 又点满足蒙日圆方程，所以点在圆上， 当，恰为过点所作椭圆两条互相垂直的切线的两个切点时，，即B错误； 对于C，因为在椭圆上，当时，取得最小值，最小值为到直线的距离， 又到直线的距离为，，即C正确. 对于D，当矩形的四条边均与椭圆相切时，蒙日圆为矩形的外接圆， 所以矩形的对角线即为蒙日圆的直径， 设矩形的长和宽分别为，则, 所以矩形的面积， 当且仅当时，等号成立， 即矩形面积的最大值为，所以D正确. 【变式1-3】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 【答案】ABD 【详解】由过直线上任一点可作椭圆的两条切线， 可知点在椭圆的外部， 所以，A项正确； 椭圆（）对应的蒙日圆方程为， 由已知可得圆与直线有2个交点， 设圆心到直线的距离为， 则，则. 由题意可知直线与椭圆没有交点， 将与联立， 得没有实根， 所以，则有， 综上，B项正确； ， 由B知， 则，C项错误； 线段为蒙日圆的一条弦， 则， 所以, 令， 则, 易知单调递增， 所以，D项正确. 【变式1-4】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，且椭圆C的离心率为，则（    ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的短轴长为 C．椭圆C的焦距为 D．椭圆C的一个顶点坐标为 【答案】ABD 【详解】与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆，即为该椭圆的蒙日圆， 设椭圆的蒙日圆半径为，则， 椭圆C：的蒙日圆方程为， ， ，， ，解得， ，解得，即， ，即，， 椭圆方程为， 选项A：椭圆C的长轴长为，故A正确； 选项B：椭圆C的短轴长为，故B正确； 选项C：椭圆C的焦距为，故C错误； 选项D：椭圆C的一个顶点坐标为，故D正确． 故选：ABD． 【变式1-5】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最小值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 【变式1-6】（25-26高二上·广东广州·期末）数学家在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，以（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆分别为左，右焦点，离心率是，它的蒙日圆为圆. (1)求椭圆的方程； (2)过点作互相垂直的直线，其中交椭圆于两点，交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围； (3)已知点是椭圆上的任意一点，直线与圆相交于两点，求证：. 【详解】（1）因为椭圆的蒙日圆为，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 联立方程组，解得， 则椭圆的方程为. （2）由题意得，如图，作出符合题意的图形， ①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 得到，， 则四边形面积， ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为，即， 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由韦达定理得 由于在椭圆内部，可得直线与必相交， 由弦长公式得， 设，，联立与的方程，即， 消去得， 由韦达定理得， 由弦长公式得， 对于互相垂直的直线，可得， 设四边形面积为，则， 令，则，令， 可得，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 且，当时，，当时，， 则，有已知得当斜率不存在，斜率为0时，， 故四边形面积的取值范围为. (3)如图，作出符合题意的图形， 设，则，可得，又、， 由两点间距离公式得， 由圆幂定理得， 故得证. 题型二 阿氏圆 解｜题｜技｜巧 抓住核心：动点到两定点距离之比为定值λ(λ≠1)，轨迹为阿氏圆。 优先利用距离比转化线段，借助相似三角形处理最值； 先求出圆心与半径，结合几何图形分析； 可建坐标系用距离公式列式，化简得到圆方程，注意检验比值条件与定点位置。 【典例2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上， 将圆变形为： 即， ，当且仅当三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号； 所以，故 所以的最小值为， 故选：B． 【变式2-1】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，， 设是区域分界线上任意一点，从地往地采购的单位距离运费为， 根据题意可得，. 即， 整理得. 故选：A. 【变式2-2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】A选项，抛物线的准线方程为，， 由抛物线定义可得， 则， 由三角形三边关系可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 故的最小值为，A正确； B选项，由题意得，点的轨迹方程为， 化简得，即以为圆心，3为半径的圆， 直线，即， 圆心到直线的距离为， 则到直线的距离最大值为， 又， 故的面积最大值为，B错误； C选项，为定值，由勾股定理得， 且，， 要想取得最大值，则需最大， 如图所示，当与垂直且在图中位置时，取得最大值， 其中，故，，， 故当最大时， ， 则的面积为，C正确； D选项，由题意得，， ， 连接，线段与圆和抛物线的交点分别为， 即四点共线时，取得最小值， 最小值为， 故最小值为，D正确. 故选：ACD 【变式2-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（Apollonius，约公元前262-前190年）的著作《国锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，其中之一是他证明了“平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆”，后人将此圆称为“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”.现有平面内两个定点间的距离为4，平面内的点与的距离满足：，则（    ） A．若，则点的轨迹为“点圆”，即线段的中点 B．若，则点的轨迹是半径为的阿氏圆 C．当时，面积的最大值为 D．当时，点的轨迹对应的阿氏圆的半径的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于A，时，由可知点的轨迹为线段的垂直平分线，故A错误； 对于B，时，不妨取的中点为原点，中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 则，设点， 由可得：，化简得：， 故点的轨迹是半径为的阿氏圆，即B正确； 对于C，根据B项建系设点，由可得：，如图所示： 由图知，当点为过点垂直于轴的直线与圆的一个交点时，的边上的高最大， 为圆的半径，此时面积的最大值为，故C正确； 对于D，根据B项建系设点，由化简得：， 即，因，则该阿氏圆的半径， 因函数在上是减函数，故故得， 即点的轨迹对应的阿氏圆的半径的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【变式2-4】（25-26高二上·山西太原·期末）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点是当的阿氏圆上的动点．若点为抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___________． 【详解】设，已知，， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 抛物线的焦点，准线方程为， 则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 又， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式2-5】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是_______________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为______________. 【详解】如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，，， 在平面内， 设，则由得， 化简得， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，面积为， 在长方体中，，， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， ， 到平面的距离为， 满足， 所以的最小值等于， 从而到平面的距离的最小值为， ∴三棱锥体积的最小值为． 故答案为：；． 题型三 隐圆 解｜题｜技｜巧 重点挖掘题干隐藏的圆条件，常见有定长、定角、向量数量积、斜率乘积定值等；优先识别隐圆的圆心与半径，利用圆的几何性质简化；必要时坐标化，配方得到圆方程；结合点与圆、线与圆位置关系分析，减少复杂代数运算。 易｜错｜点｜拨 圆锥曲线隐圆题目易错点拨 容易遗漏隐圆的取值限制，直接默认轨迹是完整圆；挖掘条件时看错向量、角度、距离关系；配方求圆心半径出现计算错误；忽略动点排除点，产生增根；习惯硬算联立，不会优先使用圆的几何性质，造成运算繁琐出错。 【典例3】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线：上，满足．垂直直线，是垂足，则的最大值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，设，， 由于都在抛物线：上，所以，， 因为，所以，即， 所以，化简得或（舍去）， 设直线的方程为， 联立抛物线方程，得，即， 由韦达定理可知，，，结合，可得， 所以直线的方程为，过定点， 已知，所以， 所以的轨迹是以为直径的圆，圆心，半径， 因此点的轨迹方程为， 已知点，， 因此的最大值是. 【变式3-1】 （26-27高三上·湖南长沙·开学考试）过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴 上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线可知, 设直线，，，，中点， 联立得，故，， 进而， ， 因此，， 又由得，即， 即，代入化简得， 解得，因此， 故， 令，则， 代入得，该函数在上单调递增， 故当，即时，取最小值，对应， 当时，，对应， 因此的取值范围是． 【变式3-2】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 【详解】（1）将点和代入椭圆方程可得， 解得； 即椭圆的标准方程为； (2)（i）设,联立直线与椭圆方程， 消去整理可得， 由韦达定理可得； 又， 当时，可得 ； 当时，可得，此时直线， 此时，两点坐标分别为和，或者和； 显然此时，，满足，即； 综上可知； （ii）因为点与点关于原点对称，所以为的中点，即， 由（i）中可知，垂直平分， 即为线段的垂直平分线上的一点，即到两点的距离相等，即 所以. 【变式3-3】（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由椭圆，得到，即 所以 所以. （2）由题可得焦点， 设，则， 由，即 化简得到， 联立椭圆方程，消元得到， 因为，所以，代入，由解得， 所以 (3)假设存在定点，使得的值为定值. 当直线AB的斜率为0时，， 当直线AB的斜率不存在时，， 由，得到，且， 接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值， 设直线AB的方程为， 联立方程，得到， 则，， . 所以当点T的坐标为时，为定值. 【变式3-4】（2026高二·全国·专题练习）（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 【详解】（1）设过作圆的切线，切点为，连接， 因为，根据切线的对称性可知， 在中，则， 可得，即，， 可得，化简得，可得，即， 所以椭圆离心率的取值范围为； （2）由题意可知：，，， 设为椭圆的右焦点， 因为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又因为，则，可知为圆的切线， 且，则，可得， 所以实数的最小值为. 【变式3-5】（26-27高三上·四川南充·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于点），证明：； (3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【详解】（1）设， 则由题， 所以椭圆C标准方程； (2)证明：由题可设，则， 所以直线的方程为， 联立， 则、，即， 所以，又， 所以； 所以； (3)为定值，定值为.理由如下： 当直线斜率不存在时，，则， 所以，故， 当直线斜率存在时，设， 则，即， 联立， 设，则即， 且，所以 ， ， 由题意，， 所以. 综上，是定值，定值为1. 【变式3-6】（2026·贵州贵阳·二模）已知双曲线E的方程为，是一个定点． (1)若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率； (2)若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点． （i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程； （ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切． 【详解】（1）双曲线E的渐近线方程为，若点M在双曲线E的渐近线上， 则，所以； （2）设P，Q的坐标分别为，，因为点M在双曲线E上， 所以， （i）因为P，Q在双曲线E上，所以， 作差可得，即， 因为M是的重心，所以，即，， 又因为直线PQ的斜率为2，所以，即， 代入解得， 所以双曲线E的方程为； （ii）证明：因为，当直线PQ不垂直于y轴，设直线PQ的方程为， 代入，化简得， 所以， 因为，所以，即， 即， 化简得， 所以原点到直线PQ的距离，存在定圆与直线PQ相切； 当直线PQ垂直于y轴，易得，直线PQ也与该圆相切； 所以存在定圆与直线PQ相切. 题型四 阿基米德三角形 解｜题｜技｜巧 阿基米德三角形专属于抛物线，熟记核心性质：顶点与弦中点连线平行对称轴。 可利用切线方程、韦达定理快速求解； 涉及面积、角度、定点问题优先使用几何性质； 遇到证明题，先推导切线条件，慎用结论直接套用，辅以坐标运算验证。 【典例4】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（    ） A．18 B．24 C．27 D．36 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为.显然直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由得，则. 设直线的方程为， 由得. 因为直线与抛物线相切，所以， 所以，即直线的方程为.同理直线的方程为， 联立与可得，， 又，所以. 设的中点为，则的坐标为. 故两点横坐标相同，即与轴平行， 不妨设， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为36. 故选：D 【变式4-1】（25-26高二上·天津·期末）如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽和两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，设滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当，之间的距离为8厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为______厘米. 【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长， 当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则， 由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得， 所以之间的距离为5厘米. 故答案为：5 【变式4-2】（2025·黑龙江·一模）著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面内，椭圆经过平移和旋转后，能得到以为一个焦点，且过点的椭圆，则椭圆面积的最大值为_________. 【答案】 【详解】由椭圆可知，结合题意知椭圆的面积为， 设椭圆另外一个焦点为，则，，即， 所以在以为圆心，1为半径的圆上，故，即， 当三点共线时等号成立（F在之间）， 所以，所以椭圆面积的最大值为. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高三·全国·一轮复习）若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线方程为：，则定点的坐标为________． 【详解】任取直线上的一点，则有， 当时，即①，过点作抛物线的两条切线， 切点分别为，，则弦所在的直线方程为， 把①式代入可得：，即， 令且，可得：弦所在的直线过定点， 当时，，此时弦AB所在的直线方程为，显然该直线过定点， 综上所述：弦AB所在的直线过定点. 【变式4-4】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得，则， 所以的斜率为的斜率为1，则， 所以. (2)由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点，， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上，所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上，所以， 即，所以， 所以， 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 【变式4-5】著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离． (1)求椭圆C的面积； (2)若直线l交椭圆C于P，Q两点， （ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）； （ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由题意，，解得， 所以椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为. （2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为（，且）， 则， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的面积的最大值为1； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，， 联立，得， 则， ， 则 ， 又点到直线l的距离为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时的面积的最大值为1. 综上所述，的面积的最大值为1.    （ⅱ）因为点在以P，Q为直径的圆上，所以， 因为，， 所以， 则， 当直线l的斜率存在时，由（i）知， ， 所以， 整理得，， 即，即或， 当时，直线l的方程为，过点，不符合题意； 当时，直线l的方程为，恒过点. 当直线l的斜率不存在时，，，， 由（i）知，，则， 由，得，解得或（舍去）， 所以直线l的方程为，过点. 综上所述，直线l恒过点. 因为，D为垂足，为定值， 所以点D在以A，M为直径的圆上， 取的中点，则， 所以存在定点，使得为定值.    【变式4-6】（25-26高二上·山东滨州·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，其中分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.已知椭圆的离心率为，右顶点与上顶点的距离为. (1)求椭圆的面积； (2)设点是椭圆的右焦点，经过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与圆交于两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围. 【详解】（1）由题意如图所示： 根据题意得：，解得：， 即，所以椭圆的面积为. （2）由（1）知椭圆标准方程为：，， （i）当直线的斜率不存在时，如图所示： 此时的方程为：代入椭圆方程中， 解得，此时，不满足题意， 所以直线斜率存在且为0时，为椭圆的左右顶点， 此时，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为，设为，如图所示： 令直线的方程为：即， 联立，消去整理得：， 由， 设， 则由韦达定理得：， 所以 ， 由即， 解得：， 所以直线的方程为：或. （ii）当直线斜率不存在时，如图所示： 此时 当直线斜率存在且为0时，如图所示： 将代入圆中解得：， 所以，所以， 当直线的斜率存在且不为时， 由题意如图所示： 由（i）可得：， 因为直线与直线垂直且过，所以直线的斜率为 所以直线的方程为：即， 由圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为： ， 所以， 因为直线与直线垂直，所以， 所以 ， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 综上所述：， 故四边形的面积的取值范围为. 题型五 光学性质 解｜题｜技｜巧 熟记三类曲线光学结论： 椭圆焦点光线经反射汇聚另一焦点； 双曲线反射光线反向延长过另一焦点； 抛物线平行对称轴光线反射后过焦点。 解题优先几何转化，把反射条件转为角相等；必要时用导数求切线斜率，联立验证，避免硬算。 易｜错｜点｜拨 容易混淆椭圆、双曲线、抛物线各自的光学结论，反射方向判断出错； 直接套用光学结论而不写推导，大题易扣分； 将入射角、反射角与倾斜角混为一谈； 切线斜率求算时导数运用失误； 忽略焦点位置，图形分析时焦点认错。 【典例5】（26-27高二上·全国·课堂例题）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）抛物线的光学性质如下：平行于对称轴的光线经抛物线镜面反射，反射后的光线经过该抛物线的焦点.已知某型号的探照灯的反射面为抛物线型，其轴截面抛物线的方程为，一束平行于轴的光线从点出发，射向该探照灯反射面的处，经反射后与轴交于点，则（   ） A．6 B．8 C．5 D．10 【答案】A 【详解】由题意可知为抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，如图， 则等于点到该抛物线准线的距离， 故. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，即. 设，则，. ， ，. ，，. ，. ，. 在中，，，， 由余弦定理得：， ，，. 的离心率为. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高二上·黑龙江·期中）如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由，得，设， 由双曲线定义，得， 所以，， 在中，可得，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B. 【变式5-4】（2026·广西南宁·二模）抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于抛物线，可得焦点为，准线方程为， 根据抛物线的光学性质，可得轴，所以， 将代入抛物线，可得，即， 因为，可得 整理得，即，解得或(舍去），所以， 此时，，， 所以的面积为. 【变式5-5】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点，如图所示．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．若右焦点到一条渐近线的距离为，且双曲线的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的方程为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．当过点时，光由所经过的路程为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为右焦点到一条渐近线的距离为，所以因为双曲线C的渐近线方程为，所以，解得，所以C的方程为，故A正确； 对于B，由，，得，所以的最小值为，故B不正确； 对于C，在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，所以，则，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时，由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确. 期中基础通关练（测试时间：50分钟） 1.（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，即， 由四边形的周长为12得，，即，所以， 所以椭圆，则， 设，，则， 所以四边形的面积为， 故选：A．    2.（25-26高二上·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面上到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，若点是满足的阿氏圆上的动点，点为双曲线右支上的动点，点是它的左焦点，则的最小值为（   ）． A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】B 【详解】设， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心2为半径的圆， 双曲线的左焦点，右焦点为， 则 ， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 所以的最小值为.    故选：B. 3.（2026·山东泰安·模拟预测）已知双曲线有以下光学性质，如图所示从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线镜面的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的斜率大小为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】C 【详解】因为双曲线的离心率为，可得双曲线为等轴双曲线，即有，， 设双曲线的方程为，，则①， 又因为，则，， 由，可得②， ①②联立可得，则， 所以． 4.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大面积为3 B．若，则点的纵坐标为 C．存在点，使得 D．的取值范围为 【答案】B 【详解】对于椭圆C：，，，， 对于A，当位于椭圆的上、下顶点时，的面积最大， 所以的面积最大值为，故A错误； 对于B，设，则， 在中，， 即，解得或， 根据对称性，不妨设，则，， ， 又， 所以，解得，故B正确； 对于C，以为直径的圆方程为， 若存在点，使得，则点在以线段为直径的圆上， 联立，方程组无解， 故不存在点，使得，故C错误； 对于D，设点， ， 因为，所以，故D错误. 5.（24-25高二上·陕西安康·期中）（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长OP与的蒙日圆交于点，则（    ） A．|PQ|的最大值为 B．若为OQ的中点，则的离心率的最大值为 C．若点在上，则点可能在的蒙日圆上 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】AD 【详解】如图， 对于A，，故A正确； 对于B，若为OQ的中点，则，则，故B错误； 对于C，因为点在上，所以，所以， 由知等号不成立，所以，若点在的蒙日圆上，则， 即，不满足，所以点不在的蒙日圆上，故C错误； 对于D，点在上，所以， 当且仅当时取等号，所以的蒙日圆面积最小为，故D正确. 故选：AD 6.（26-27高二上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 【详解】由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以， ，， 所以， 即该光线经过的路程为. 7.（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为32，则椭圆的方程为__________. 【详解】因为焦点，在轴上，所以可设椭圆标准方程为， 由题意可得，即， 又的周长为，所以，则，所以， 故椭圆方程为． 故答案为：． 8.（25-26高二下·上海松江·期中）已知、是双曲线：（，）的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则=_______． 【答案】 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在中，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以. 9.（25-26高二下·北京延庆·期中）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为分别是的左右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，坐标原点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程； (3)若直线的斜率为与直线相交于点，求证：三点共线． 【详解】（1）由已知得，所以． 因为，所以． 所以，即． 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意可知，所以； 因为直线过， 当斜率不存在时，直线的方程为，设与交于两点． 此时，不满足题意． 当斜率存在时，设，即． 联立直线的方程与椭圆的方程得方程组 消去，整理得，由已知可知， 设， 由韦达定理可知， 因为， 将代入上式可得 ， 即， 解得，即． 方程为或者． （3）不妨设， 令，则，即， 因为，， 所以， 其中分子为，故，即， 所以三点共线． 10.（25-26高二上·安徽·期中）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，分别为的左、右顶点，为上不同于的两点． (1)求的方程； (2)若，关于原点对称，射线，分别与以椭圆长轴为直径的圆交于，两点，记直线和直线的斜率存在且分别为．证明：为定值； (3)记直线和直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【详解】（1）由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为， 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. (2)设，，，则， 在椭圆上，，即， 直线与直线的斜率存在且不为，且， ， 设，则直线的方程为， 联立， ，则，则， 同理设，则点， ， ， ，， 故为定值. (3)设点的坐标为，且，由已知可得直线的方程为， 代入椭圆方程得，所以， 又，所以，从而，故点的坐标为， 设点的坐标为，同理可得，故点的坐标为， 因为，点的坐标也为， 当轴时，则，易得， 此时直线的方程为，交轴于点，记该点为； 当不垂直于轴，即时， 则， 可知三点共线，即直线恒过点， 综上所述，直线恒过定点． 期中重难突破练（测试时间：50分钟） 1.（25-26高二上·安徽合肥·期末）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，，由双曲线的光学性质，得，，三点共线，，，三点共线， 则，，于是，， 不妨设，，，由双曲线的定义得，， 则，，而， 解得，，，在中，由勾股定理得，， 即，解得，所以双曲线的离心率 故选：D 2.（25-26高二上·安徽合肥·期末）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，，由双曲线的光学性质，得，，三点共线，，，三点共线， 则，，于是，， 不妨设，，，由双曲线的定义得，， 则，，而， 解得，，，在中，由勾股定理得，， 即，解得，所以双曲线的离心率 故选：D 3.（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）（多选）阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（    ） A．有可能是等边三角形 B．顶点在抛物线的准线上 C．若边的中点为，则轴 D．面积的最小值为64 【答案】BCD 【详解】设，，，，由可得：，， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 设直线，联立，化为， 得到，． 对于A，，，故    ， 所以是直角三角形，故A错误； 对于B：由导数的几何意义可得处的切线方程为：， 则，化简可得：， 所以直线的方程为：， 同理可得：直线的方程为：， 所以，则， 因为，解得：， 所以， 所以，因为抛物线：的准线为， 所以顶点的轨迹是抛物线的准线，故B正确； 对于C： 的中点，与横坐标相同，故轴，故C正确； 对于D：因为平行轴， 所以 因为，． 所以， ， 代入可得：， 当时，，故D正确； 故选：BCD. 4.（25-26高二上·广西柳州·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为__________．    【详解】因为，    则，， 设，则，， 由双曲线的定义可得，， 则，可得， 即，， 在直角三角形中，则， 即，可得，即. 故答案为：. 5.（25-26高二上·河北邢台·期中）有人发现椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.现有一椭圆，长轴长为6，从左焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过的左､右焦点，分别作直线，，交于，两点，交于，两点，且. ①求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值； ②求四边形面积的最大值. 【详解】（1）由题意轴，又因为，即， 所以，所以点， 代入得，又， 解得，，即，，所以椭圆的标准方程为； （2）①当直线的斜率与直线的斜率都存在时， 由及椭圆的对称性可知四边形为平行四边形， 则点A与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称， 设，则，且， 所以，为定值； ②当直线的斜率为0时，与重合，不合题意舍去， 当直线的斜率不为0时，由①可知四边形为平行四边形， 且的面积为面积的4倍， ，设直线的方程为，联立， 消得，则，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为， 故四边形面积的最大值为． 6.（25-26高二上·湖北襄阳·期中）已知直线，. (1)求与的交点的轨迹的方程； (2)过作动直线与轨迹交于、两点，若为的中点，与直线相交于点，求证：为定值. (3)古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在（1）、（2）的前提下，求的最小值（其中为坐标原点）. 【详解】（1）由题意，直线，， 所以直线过定点，直线过定点，且， 易知直线的斜率存在， 所以与的交点的轨迹为以为直径的圆，（除去点）. 其中圆心为，半径为，如图19－1所示， 所以的方程为. (2)法一：连接，如图19－2所示，由垂径定理得， 所以， 设，由在上，则， 所以， 所以定值. 法二：①当直线的斜率不存在时，， 此时，，则. ②当的斜率存在时，设，，， 联立得， 由韦达定理得，则中点， 联立，解得， 故， 综上所述，. （3）法一：设定点使得， 则满足，化简整理得：. 因为在阿氏圆上，所以，即， 所以 （当且仅当、、共线，且在、之间时取等）. 法二：设定点使得， 设圆与直线交于、， 则为的外角平分线与的交点、为内平分线与的交点，图19－3所示 由阿氏圆的性质：， 所以，即， 所以 （当且仅当、、共线，且在、之间时时取等）. 7.（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1.（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为椭圆， 为的右焦点， 所以，，所以， 所以椭圆． (2)证明：设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性知； 因为，分别为线段，的中点， 所以， 又因为， 所以，即为定值． （3）假设存在点，使得， 设点， 因为，关于轴对称， 所以， 所以． 因为点在上， 所以，即， 代入得到， 因为，分别为线段，的中点， 所以， 若，则，即，此时， 即，解得，， 所以存在点或或或， 使得． 2.（25-26高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系xOy中，利用公式①（其中a，b，c，d为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．若在平面直角坐标系xOy中，双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到双曲线C． (1)求双曲线C的方程； (2)根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：若直线是过C的右支上点P的切线，且不与x轴垂直，，为双曲线C的左、右焦点，过、分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以O为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 【详解】（1）解：设双曲线上任意一点在二阶矩阵线性变换后对应的点为，根据线性变换公式得：； 化简得：，又因为，所以，所以，即； 所以双曲线的方程为. （2）①由双曲线的方程：得：，，； 证明：在以O为圆心的定圆上； 如图：过双曲线C的右支上点P作切线，且不与x轴垂直； 由题意得：于点，于点，延长，交于点； 因为平分，所以, 又因为于点，所以，为公共边，所以，所以，即为的中点，且； 又因为为的中点，所以为的中位线，即，,即； 所以，根据双曲线的定义：， 所以，所以， 即在以O为圆心，半径为的定圆上. 证明：在以O为圆心的定圆上； 同理：延长交于点； 因为平分，所以, 又因为于点，所以，为公共边，所以，所以，即为的中点，且； 又因为为的中点，所以为的中位线，即，，即； 所以，根据双曲线的定义：， 所以，所以， 即在以O为圆心，半径为的定圆上. ②证明：在中，， 在中，， 因为平分，所以， 所以， 由双曲线的定义得：，所以，即， 在中，由余弦定理得：； 由得：， ，且，， 所以，即， 所以， 即是定值，且定值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题06 解析几何中的五大创新问题：隐圆、蒙日圆、阿氏圆、阿基米德三角形、光学性质（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 蒙日圆 题型二 阿氏圆 题型三 隐圆 题型四 阿基米德三角形 题型五 光学性质 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 蒙日圆 掌握蒙日圆的概念，了解它的应用. 重难必考点，常出现在小题 阿氏圆 掌握阿氏圆的概念，了解它的应用. 重难必考点，常出现在小题 阿基米德三角形 掌握阿基米德三角形与抛物线间的联系与应用. 高频易错点，常出现在小题压轴，阿基米德三角形性质不熟悉 知识点01 蒙日圆 1、蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 2、蒙日圆的几何性质 【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则． 证明：设点坐标，由，得 ，由其判别式的值为0， 得， ，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，． 【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值． 【结论3】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）． 【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦． 证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点． 【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值． 【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：． 【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为． 【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为． ·示例： 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． ·易错点： 容易混淆椭圆、双曲线、抛物线对应的蒙日圆方程，记错半径； 忽视两条切线垂直这一核心条件，误判题意； 联立计算时忽略判别式； 忽略双曲线蒙日圆存在的前提条件； 求解后不检验点是否在曲线上，导致增根。 知识点02 阿氏圆 1、阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 2、阿波罗尼斯圆的证明 设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， ①当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； ②当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为． 证明：以为例．如图②，设，，则， ．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是． 同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的， 圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形． （3）阿波罗尼斯圆的相关结论 【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外． 【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然． 【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为． 【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线． 【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角． 证明：如图①，由已知可得（且），，又， 平分．由等角的余角相等可得，平分的外角． 【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分． 证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分． 平分． ·示例： 若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是 . ·易错点： 容易记错阿氏圆定义：到两定点距离之比为定值且不等于1，比值为1时是中垂线而非圆； 确定圆心半径时坐标运算易出错；审题分不清内外阿氏圆； 忽略定点不在圆上的限制； 转化线段时向量、相似比例容易写反，未检验解的合理性。 知识点03 阿基米德三角形 1、定义：如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边． 2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1：MF⊥AB； 性质2：MA⊥MB； 性质3：MN∥x轴； 性质4：S△ABM最小值为p² 对于点A，B: ①抛物线焦点弦与抛物线的交点 ②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点 对于点M ③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点 ④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点 满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形” 3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴． 2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线． 3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． 4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为． 5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为． 6、点的坐标为； 7、底边所在的直线方程为 8、的面积为． 9、若点的坐标为，则底边的直线方程为． 10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则. 图1 11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则． 12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的． ·示例： 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（    ） A． B． C． D． ·易错点： 容易混淆阿基米德三角形的适用对象，只适用于抛物线； 记错性质：顶点、底边弦中点连线平行对称轴； 计算时误把切线条件乱用； 联立求切线方程运算易出错； 忽略特殊位置讨论，使用结论前不证明，直接套用性质致失分。 题型一 蒙日圆 解｜题｜技｜巧 先明确蒙日圆核心：曲线外一点两条切线垂直，则该点轨迹为蒙日圆。 熟记椭圆、双曲线蒙日圆半径公式； 优先利用几何性质简化计算； 设切线方程结合垂直条件列式； 遇证明题，可联立方程结合判别式推导，注意检验双曲线蒙日圆存在条件。 【典例1】（25-26高二上·广东潮州·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·河南许昌·期末）法国数学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-2】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（     ） A．椭圆的蒙日圆的方程为， B．对直线上任意一点，， C．记点到直线的距离为，则的最小值为， D．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 【变式1-3】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 【变式1-4】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，且椭圆C的离心率为，则（    ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的短轴长为 C．椭圆C的焦距为 D．椭圆C的一个顶点坐标为 【变式1-5】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最小值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【变式1-6】（25-26高二上·广东广州·期末）数学家在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，以（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆分别为左，右焦点，离心率是，它的蒙日圆为圆. (1)求椭圆的方程； (2)过点作互相垂直的直线，其中交椭圆于两点，交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围； (3)已知点是椭圆上的任意一点，直线与圆相交于两点，求证：. 题型二 阿氏圆 解｜题｜技｜巧 抓住核心：动点到两定点距离之比为定值λ(λ≠1)，轨迹为阿氏圆。 优先利用距离比转化线段，借助相似三角形处理最值； 先求出圆心与半径，结合几何图形分析； 可建坐标系用距离公式列式，化简得到圆方程，注意检验比值条件与定点位置。 【典例2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【变式2-1】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 【变式2-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（Apollonius，约公元前262-前190年）的著作《国锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，其中之一是他证明了“平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆”，后人将此圆称为“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”.现有平面内两个定点间的距离为4，平面内的点与的距离满足：，则（    ） A．若，则点的轨迹为“点圆”，即线段的中点 B．若，则点的轨迹是半径为的阿氏圆 C．当时，面积的最大值为 D．当时，点的轨迹对应的阿氏圆的半径的取值范围是 【变式2-4】（25-26高二上·山西太原·期末）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点是当的阿氏圆上的动点．若点为抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___________． 【变式2-5】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是_______________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为______________. 题型三 隐圆 答｜题｜模｜板 重点挖掘题干隐藏的圆条件，常见有定长、定角、向量数量积、斜率乘积定值等；优先识别隐圆的圆心与半径，利用圆的几何性质简化；必要时坐标化，配方得到圆方程；结合点与圆、线与圆位置关系分析，减少复杂代数运算。 易｜错｜点｜拨 圆锥曲线隐圆题目易错点拨 容易遗漏隐圆的取值限制，直接默认轨迹是完整圆；挖掘条件时看错向量、角度、距离关系；配方求圆心半径出现计算错误；忽略动点排除点，产生增根；习惯硬算联立，不会优先使用圆的几何性质，造成运算繁琐出错。 【典例3】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线：上，满足．垂直直线，是垂足，则的最大值是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 【变式3-3】（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【变式3-4】（2026高二·全国·专题练习）（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 【变式3-5】（26-27高三上·四川南充·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于点），证明：； (3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【变式3-6】（2026·贵州贵阳·二模）已知双曲线E的方程为，是一个定点． (1)若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率； (2)若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点． （i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程； （ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切． 题型四 阿基米德三角形 解｜题｜技｜巧 阿基米德三角形专属于抛物线，熟记核心性质：顶点与弦中点连线平行对称轴。 可利用切线方程、韦达定理快速求解； 涉及面积、角度、定点问题优先使用几何性质； 遇到证明题，先推导切线条件，慎用结论直接套用，辅以坐标运算验证。 【典例4】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（    ） A．18 B．24 C．27 D．36 【变式4-1】（25-26高二上·天津·期末）如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽和两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，设滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当，之间的距离为8厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为______厘米. 【变式4-2】（2025·黑龙江·一模）著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面内，椭圆经过平移和旋转后，能得到以为一个焦点，且过点的椭圆，则椭圆面积的最大值为_________. 【变式4-3】（25-26高三·全国·一轮复习）若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线方程为：，则定点的坐标为________． 【变式4-4】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【变式4-5】著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离． (1)求椭圆C的面积； (2)若直线l交椭圆C于P，Q两点， （ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）； （ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由． 【变式4-6】（25-26高二上·山东滨州·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，其中分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.已知椭圆的离心率为，右顶点与上顶点的距离为. (1)求椭圆的面积； (2)设点是椭圆的右焦点，经过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与圆交于两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围. 题型五 光学性质 解｜题｜技｜巧 熟记三类曲线光学结论： 椭圆焦点光线经反射汇聚另一焦点； 双曲线反射光线反向延长过另一焦点； 抛物线平行对称轴光线反射后过焦点。 解题优先几何转化，把反射条件转为角相等；必要时用导数求切线斜率，联立验证，避免硬算。 易｜错｜点｜拨 容易混淆椭圆、双曲线、抛物线各自的光学结论，反射方向判断出错； 直接套用光学结论而不写推导，大题易扣分； 将入射角、反射角与倾斜角混为一谈； 切线斜率求算时导数运用失误； 忽略焦点位置，图形分析时焦点认错。 【典例5】（26-27高二上·全国·课堂例题）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【变式5-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）抛物线的光学性质如下：平行于对称轴的光线经抛物线镜面反射，反射后的光线经过该抛物线的焦点.已知某型号的探照灯的反射面为抛物线型，其轴截面抛物线的方程为，一束平行于轴的光线从点出发，射向该探照灯反射面的处，经反射后与轴交于点，则（   ） A．6 B．8 C．5 D．10 【变式5-2】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·黑龙江·期中）如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（      ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2026·广西南宁·二模）抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点，如图所示．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．若右焦点到一条渐近线的距离为，且双曲线的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的方程为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．当过点时，光由所经过的路程为 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面上到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，若点是满足的阿氏圆上的动点，点为双曲线右支上的动点，点是它的左焦点，则的最小值为（   ）． A．1 B．1 C．1 D．1 3.（2026·山东泰安·模拟预测）已知双曲线有以下光学性质，如图所示从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线镜面的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的斜率大小为（   ） A． B． C． D．-2 4.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大面积为3 B．若，则点的纵坐标为 C．存在点，使得 D．的取值范围为 5.（24-25高二上·陕西安康·期中）（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长OP与的蒙日圆交于点，则（    ） A．|PQ|的最大值为 B．若为OQ的中点，则的离心率的最大值为 C．若点在上，则点可能在的蒙日圆上 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 6.（26-27高二上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 7.（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为32，则椭圆的方程为__________. 8.（25-26高二下·上海松江·期中）已知、是双曲线：（，）的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则=_______． 9.（25-26高二下·北京延庆·期中）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为分别是的左右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，坐标原点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程； (3)若直线的斜率为与直线相交于点，求证：三点共线． 10.（25-26高二上·安徽·期中）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，分别为的左、右顶点，为上不同于的两点． (1)求的方程； (2)若，关于原点对称，射线，分别与以椭圆长轴为直径的圆交于，两点，记直线和直线的斜率存在且分别为．证明：为定值； (3)记直线和直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（25-26高二上·安徽合肥·期末）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·安徽合肥·期末）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）（多选）阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（    ） A．有可能是等边三角形 B．顶点在抛物线的准线上 C．若边的中点为，则轴 D．面积的最小值为64 4.（25-26高二上·广西柳州·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为__________．    5.（25-26高二上·河北邢台·期中）有人发现椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.现有一椭圆，长轴长为6，从左焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过的左､右焦点，分别作直线，，交于，两点，交于，两点，且. ①求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值； ②求四边形面积的最大值. 6.（25-26高二上·湖北襄阳·期中）已知直线，. (1)求与的交点的轨迹的方程； (2)过作动直线与轨迹交于、两点，若为的中点，与直线相交于点，求证：为定值. (3)古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在（1）、（2）的前提下，求的最小值（其中为坐标原点）. 7.（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2.（25-26高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系xOy中，利用公式①（其中a，b，c，d为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．若在平面直角坐标系xOy中，双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到双曲线C． (1)求双曲线C的方程； (2)根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：若直线是过C的右支上点P的切线，且不与x轴垂直，，为双曲线C的左、右焦点，过、分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以O为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $