专题1.1 空间向量及其线性运算（期中复习讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.1 空间向量及其线性运算（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.1 空间向量及其线性运算（期中复习讲义） 1 知识点1 空间向量的概念 1 知识点2 空间向量的线性运算 1 知识点3 共线、共面向量定理 2 【题型1 空间向量的基本概念】 2 【题型2 空间向量的线性运算（化简与表示）】 2 【题型3 共线(平行)向量定理的应用】 3 【题型4 共面向量定理的应用】 3 【题型5 用基底表示向量】 3 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 空间向量的概念、表示法、模、零向量、单位向量、相等与相反向量 2. 空间向量的加法、减法、数乘及其运算律 3. 共线向量定理与共面向量定理 ▲难点： 1. 共线向量与共面向量的准确理解 2. 用共线、共面定理证明三点共线、四点共面 3. 线性运算的几何作图与化简 知识点1 空间向量的概念 【重难点】 ★重点： 1. 空间向量的定义、模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量 ▲难点： 1. 零向量与任意向量共线也共面 2. 任意两个向量必共面 （1）空间向量：在空间内具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做模，记作a． （2）表示法：几何表示用有向线段 （1）字母表示用小写拉丁字母 a、b、c 或有向线段端点 ． （3）特殊向量：长度为的向量叫零向量，记作 ，方向任意 （1）长度为的叫单位向量 （2）方向相同且长度相等的两个向量叫相等向量 （3）与 a 长度相等、方向相反的向量叫相反向量，记作 ． （4）共线(平行)向量：方向相同或相反的非零向量叫共线向量 （1）规定零向量与任一向量共线． （5）共面向量：平行于同一平面的向量叫共面向量 （1）空间任意两个向量总是共面的． 知识点2 空间向量的线性运算 【重难点】 ★重点： 1. 空间向量的加法、减法与数乘运算及其几何意义、运算律 ▲难点： 1. 线性运算的几何作图与化简 2. 向量等式的变形 （1）加法：三角形法则：首尾相接，和向量由第一向量起点指向末向量终点 （1）平行四边形法则：共起点，和向量为平行四边形对角线． （2）减法：，几何意义为共起点，差向量由减向量终点指向被减向量终点． （3）数乘： 仍是向量， （1）时方向与 a 相同，时相反，或 时 ． （4）运算律：交换律、结合律、分配律在空间仍然成立． 知识点3 共线、共面向量定理 【重难点】 ★重点： 1. 共线向量定理、共面向量定理的内容与应用 ▲难点： 1. 用定理证明三点共线、四点共面，注意“非零向量”与“不共线”的前提 （1）共线向量定理：对 ，有 ⇔ 存在实数 使 ． （2）共面向量定理：若 a、b 不共线，则 p 与 a、b 共面 ⇔ 存在唯一实数对 使 ． （3）四点共面判定： 共面 ⇔ 存在实数 且 使 ． 【题型1 空间向量的基本概念】 【例1】下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．若 ，则 D．空间任意两个向量必不共线 【变式1-1】下列命题中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若 且 ，则 C．相等向量的模相等 D．共线向量一定在原位置同一直线上 【变式1-2】在正方体中，与向量 相等的向量有______． 【变式1-3】下列说法中正确的是（　　） A．若 a、b 共线，b、c 共线，则 a、c 共线 B．对空间任意两向量，总存在实数使 C．零向量与任意向量共线 D．若 ，则存在唯一实数使 【题型2 空间向量的线性运算（化简与表示）】 【例2】在四面体中，D为中点，E为中点，用 、、 表示 ． 【变式2-1】在平行六面体中，设 ，，，则 ______． 【变式2-2】在四面体中，化简：． 【变式2-3】在中，分别为的中点，化简：． 【题型3 共线(平行)向量定理的应用】 【例3】已知 ，判断 是否共线． 【变式3-1】已知 ，，则 a 与 b 的位置关系是______． 【变式3-2】已知空间三点 ，则（　　） A． 不共线 B． C．三点共线 D． 【变式3-3】设 a、b 为非零向量，且 ，则（　　） A．方向相反且 B．方向相同 C． D．a 与 b 不共线 【题型4 共面向量定理的应用】 【例4】已知 a、b 不共线，，，，判断三向量是否共面． 【变式4-1】 三点不共线，O为空间一点，若 ，则 的位置关系是______． 【变式4-2】已知 a、b 不共线，，，，则（　　） A．r、p、q 共面 B．三向量不共面 C．r 与 p 共线 D．无法判断 【变式4-3】设 为空间四边形， 分别为 的中点，证明 与 、 共面． 【题型5 用基底表示向量】 【例5】在平行六面体中，设 ，，，M为中点，用基底表示 与 ． 【变式5-1】在四面体中，，，，分别为的中点，用基底表示 ． 【变式5-2】在正方体中，设 ，，，则 ______． 【变式5-3】在平行六面体中，设 ，，，用基底表示 、、． 【综合·培优提升】 【培优1】已知 三点不共线，O为空间任一点．证明： 四点共面的充要条件是存在实数 满足 且 ． 【培优2】正方体中，设 ，，，点M在上且 ，点N在上且 ，用基底表示 ，并判断 与 a、b 是否共面． 【培优3】空间四边形中，分别为的中点，用向量法证明四边形为平行四边形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 空间向量及其线性运算（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.1 空间向量及其线性运算（期中复习讲义） 1 知识点1 空间向量的概念 1 知识点2 空间向量的线性运算 1 知识点3 共线、共面向量定理 2 【题型1 空间向量的基本概念】 2 【题型2 空间向量的线性运算（化简与表示）】 3 【题型3 共线(平行)向量定理的应用】 3 【题型4 共面向量定理的应用】 4 【题型5 用基底表示向量】 5 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1. 空间向量的概念、表示法、模、零向量、单位向量、相等与相反向量 2. 空间向量的加法、减法、数乘及其运算律 3. 共线向量定理与共面向量定理 ▲难点： 1. 共线向量与共面向量的准确理解 2. 用共线、共面定理证明三点共线、四点共面 3. 线性运算的几何作图与化简 知识点1 空间向量的概念 【重难点】 ★重点： 1. 空间向量的定义、模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量 ▲难点： 1. 零向量与任意向量共线也共面 2. 任意两个向量必共面 （1）空间向量：在空间内具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做模，记作a． （2）表示法：几何表示用有向线段 （1）字母表示用小写拉丁字母 a、b、c 或有向线段端点 ． （3）特殊向量：长度为的向量叫零向量，记作 ，方向任意 （1）长度为的叫单位向量 （2）方向相同且长度相等的两个向量叫相等向量 （3）与 a 长度相等、方向相反的向量叫相反向量，记作 ． （4）共线(平行)向量：方向相同或相反的非零向量叫共线向量 （1）规定零向量与任一向量共线． （5）共面向量：平行于同一平面的向量叫共面向量 （1）空间任意两个向量总是共面的． 知识点2 空间向量的线性运算 【重难点】 ★重点： 1. 空间向量的加法、减法与数乘运算及其几何意义、运算律 ▲难点： 1. 线性运算的几何作图与化简 2. 向量等式的变形 （1）加法：三角形法则：首尾相接，和向量由第一向量起点指向末向量终点 （1）平行四边形法则：共起点，和向量为平行四边形对角线． （2）减法：，几何意义为共起点，差向量由减向量终点指向被减向量终点． （3）数乘： 仍是向量， （1）时方向与 a 相同，时相反，或 时 ． （4）运算律：交换律、结合律、分配律在空间仍然成立． 知识点3 共线、共面向量定理 【重难点】 ★重点： 1. 共线向量定理、共面向量定理的内容与应用 ▲难点： 1. 用定理证明三点共线、四点共面，注意“非零向量”与“不共线”的前提 （1）共线向量定理：对 ，有 ⇔ 存在实数 使 ． （2）共面向量定理：若 a、b 不共线，则 p 与 a、b 共面 ⇔ 存在唯一实数对 使 ． （3）四点共面判定： 共面 ⇔ 存在实数 且 使 ． 【题型1 空间向量的基本概念】 【例1】下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．若 ，则 D．空间任意两个向量必不共线 【答案】C 【分析】判定依据：向量相等需大小相等且方向相同；零向量方向任意； 任意两向量总共面。 【详解】 A：模相等方向未必相同，故错误。 B：零向量方向任意，并非没有方向，故错误。 C：相等向量方向相同，必共线，故正确。 D：任意两向量总是共面的，且可共线，故错误。 故选：C 【变式1-1】下列命题中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若 且 ，则 C．相等向量的模相等 D．共线向量一定在原位置同一直线上 【答案】C 【分析】判定依据：单位向量模为方向任意；含零向量时平行传递性不成立。 【详解】 A：单位向量方向任意，未必相等，故错误。 B：若 ，则 a、c 未必共线，故错误。 C：相等向量定义即模相等且方向相同，故正确。 D：共线向量平移后可在同一直线，原位置未必，故错误。 故选：C 【变式1-2】在正方体中，与向量 相等的向量有______． 【答案】见【详解】。 【分析】相等向量需方向相同且模相等。 【详解】 在正方体中，、、 均与 方向相同、长度相等。 故 。答案：，，。 【变式1-3】下列说法中正确的是（　　） A．若 a、b 共线，b、c 共线，则 a、c 共线 B．对空间任意两向量，总存在实数使 C．零向量与任意向量共线 D．若 ，则存在唯一实数使 【答案】C 【分析】判定依据：共线定理要求 ；零向量与任意向量共线。 【详解】 A：含零向量时传递性不成立，故错误。 B：需 才可表述，故错误。 C：规定零向量与任意向量共线，故正确。 D：缺 条件，故错误。 故选：C 【题型2 空间向量的线性运算（化简与表示）】 【例2】在四面体中，D为中点，E为中点，用 、、 表示 ． 【答案】见【详解】。 【分析】D为中点，故 。E为中点，故 。 【详解】 代入得 。答案：。 【变式2-1】在平行六面体中，设 ，，，则 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】沿棱分解，。代入基底得 。答案：。 【变式2-2】在四面体中，化简：． 【答案】见【详解】。 【分析】用位置向量法以任一点为原点。原式。 【详解】 。答案：。 【变式2-3】在中，分别为的中点，化简：． 【答案】见【详解】。 【分析】由中点性质，三中线满足对称关系。 【详解】 ，。。 三式相加，各对相反向量抵消，结果为 。答案：。 【题型3 共线(平行)向量定理的应用】 【例3】已知 ，判断 是否共线． 【答案】不共线。 【分析】计算 ，。 【详解】 若共线则存在使 。 比较第三分量得 ，即，但前两分量应为，矛盾。故 不共线。 答案：不共线。 【变式3-1】已知 ，，则 a 与 b 的位置关系是______． 【答案】共线（平行）。 【详解】，故两向量共线（平行）。答案：共线（平行）。 【变式3-2】已知空间三点 ，则（　　） A． 不共线 B． C．三点共线 D． 【答案】C 【分析】判定依据：比较 与 是否成比例。 【详解】 A：，，故共线，此项错误。 B： 与 是倍关系而非相等，故错误。 C：由 知三点共线，故正确。 D：，故错误。 故选：C 【变式3-3】设 a、b 为非零向量，且 ，则（　　） A．方向相反且 B．方向相同 C． D．a 与 b 不共线 【答案】A 【分析】判定依据：系数 决定方向相反，倍数为决定模比。 【详解】 A：系数为负方向相反，，故正确。 B：系数为负应方向相反，故错误。 C：模比为而非相等，故错误。 D：成比例必共线，故错误。 故选：A 【题型4 共面向量定理的应用】 【例4】已知 a、b 不共线，，，，判断三向量是否共面． 【答案】共面。 【分析】设 进行待定系数。 【详解】 右端，与左端比较系数。 得 ，，解得 ，。故 ，三向量共面。答案：共面。 【变式4-1】 三点不共线，O为空间一点，若 ，则 的位置关系是______． 【答案】四点共面。 【分析】系数和 。由四点共面向量判定知 共面。 【详解】 答案：四点共面。 【变式4-2】已知 a、b 不共线，，，，则（　　） A．r、p、q 共面 B．三向量不共面 C．r 与 p 共线 D．无法判断 【答案】A 【分析】判定依据：看 r 能否由 p、q 线性表示。 【详解】 A：，即 ，故共面，正确。 B：三向量实际共面，故错误。 C：r 与 p 不成比例，不共线，故错误。 D：可以判断，故错误。 故选：A 【变式4-3】设 为空间四边形， 分别为 的中点，证明 与 、 共面． 【答案】共面。 【分析】以任一点为原点，E、F 的中点位置向量已知。 【详解】 。。 由共面向量定理， 可由 、 线性表示，故三者共面。 【题型5 用基底表示向量】 【例5】在平行六面体中，设 ，，，M为中点，用基底表示 与 ． 【答案】见【详解】。 【分析】上底面 。M为中点，故 。 【详解】 。。 答案：，。 【变式5-1】在四面体中，，，，分别为的中点，用基底表示 ． 【答案】见【详解】。 【分析】D为中点，对应 ；E为中点，对应 。 【详解】 。。 答案：。 【变式5-2】在正方体中，设 ，，，则 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】。。答案：。 【变式5-3】在平行六面体中，设 ，，，用基底表示 、、． 【答案】见【详解】。 【分析】。。。 【详解】 答案：；；。 【综合·培优提升】 【培优1】已知 三点不共线，O为空间任一点．证明： 四点共面的充要条件是存在实数 满足 且 ． 【答案】证明见【详解】。 【分析】先证必要性。若共面，则存在 使 。 【详解】 即 。 整理得 ，令 即得 。 再证充分性：若 ，则 。 代入可得 ，故 共面。 【培优2】正方体中，设 ，，，点M在上且 ，点N在上且 ，用基底表示 ，并判断 与 a、b 是否共面． 【答案】不共面（MN 的表示见【详解】）。 【分析】以A为原点，，。。 【详解】 。。 其 c 分量非零，无法仅由 a、b 线性表示，故不共面。 【培优3】空间四边形中，分别为的中点，用向量法证明四边形为平行四边形． 【答案】四边形EFGH为平行四边形。 【分析】由中点向量公式，（ 为中点）。 【详解】H 为中点、G 为中点，故 。 于是 ，即 与 平行且相等。故四边形为平行四边形。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $