专题1.2 空间向量的数量积运算期中复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.2 空间向量的数量积运算（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.2 空间向量的数量积运算（期中复习讲义） 1 知识点1 空间向量的夹角与投影向量 1 知识点2 空间向量数量积的定义与几何意义 1 知识点3 数量积的性质 1 知识点4 数量积的运算律 2 【题型1 空间向量数量积的计算】 2 【题型2 向量的模长与夹角】 3 【题型3 利用数量积判定垂直】 3 【题型4 投影向量与投影数量】 4 【题型5 数量积的综合应用】 4 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 空间向量数量积的定义 及其几何意义 2. 数量积的性质，⇔（ 均非零）， 3. 运算律与投影向量。 ▲难点： 1. 运算律中分配律的适用 2. 投影向量（向量）与投影数量（实数）的区别 3. 含参向量的模长、夹角与垂直的讨论。 知识点1 空间向量的夹角与投影向量 【重难点】 ★重点： 1. 夹角定义与范围 2. 投影向量与投影数量的区别。 ▲难点： 1. 投影向量 ，是向量 2. 投影数量 ，是实数。 （1）夹角：已知两个非零向量 a、b，作 ，，则 （）叫做 a 与 b 的夹角，记作 〈〉。 （2）投影向量：b 在 a 方向上的投影向量为 ，它是一个与 a 共线的向量。 （3）投影数量：b 在 a 方向上的投影数量为 ，可正、可负、可为 。 知识点2 空间向量数量积的定义与几何意义 【重难点】 ★重点： 1. （ 为两向量夹角）。 ▲难点： 1. 数量积的结果是一个实数，不满足消去律，且 不能推出 或 。 （1）定义：已知两个非零向量 a、b，则 〈〉 1）规定 。 2）当 〈〉 时 3）当 〈〉 时 4）当 〈〉 时 。 5）几何意义： 等于 与 b 在 a 方向上投影数量的乘积。 知识点3 数量积的性质 【重难点】 ★重点： 1. 2. ⇔（ 非零） 3. 。 ▲难点： 1. 是判定空间两向量（及两直线）垂直的核心工具。 （1）自乘：，故 。 （2）垂直：若 a、b 为非零向量，则 ⇔ 。 （3）不等式：，等号当且仅当 （同向或反向）时成立。 知识点4 数量积的运算律 【重难点】 ★重点： 1. 交换律、数乘结合律、分配律均成立。 ▲难点： 1. 分配律 是展开含向量和式平方的关键。 （1）交换律：。 （2）数乘结合：。 （3）分配律：由此可得 。 【题型1 空间向量数量积的计算】 【例1】已知向量 a、b 满足 ，，且它们的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知向量 a、b 满足 ，，，则 a 与 b 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知向量 a、b 满足 ，，，求 。 【变式1-3】已知 ，，求 。 【题型2 向量的模长与夹角】 【例2】已知向量 a、b 满足 ，，，求 以及 a 与 b 的夹角。 【变式2-1】已知向量 a、b 满足 ，，，求 。 【变式2-2】已知 ，且 ，求 a 与 b 的夹角。 【变式2-3】设 、 为单位向量，且 ，令 ，，求 、 与 。 【题型3 利用数量积判定垂直】 【例3】已知向量 a、b 满足 ，且 ，，求 。 【变式3-1】已知 ，，且 ，求 。 【变式3-2】在正方体 中，用向量法证明：。 【变式3-3】设 a、b、c 均为单位向量，且 ，，，判断 与 c 是否垂直。 【题型4 投影向量与投影数量】 【例4】已知向量 a、b 满足 ，，夹角为 ，求 b 在 a 方向上的投影向量与投影数量。 【变式4-1】已知向量 a、b 满足 ，，夹角为 ，求 a 在 b 方向上的投影数量。 【变式4-2】已知向量 a、b 满足 ，，求 b 在 a 方向上的投影向量。 【变式4-3】已知 ，且 ，求 a 在 b 方向上的投影数量。 【题型5 数量积的综合应用】 【例5】已知向量 a、b 满足 ，，且 ，求 。 【变式5-1】已知向量 a、b 满足 ，，求 。 【变式5-2】已知 ，，且 ，求 。 【变式5-3】设非零向量 a、b 满足 ，求 a 与 b 的夹角。 【综合·培优提升】 【培优1】已知空间向量 a、b、c 两两夹角均为 ，且 ，求 。 【培优2】在四面体 中，、、 两两垂直且长度均为 ，求直线 与 所成角的余弦值。 【培优3】已知向量 a、b 满足 ，，且 ，求 。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 空间向量的数量积运算（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.2 空间向量的数量积运算（期中复习讲义） 1 知识点1 空间向量的夹角与投影向量 1 知识点2 空间向量数量积的定义与几何意义 1 知识点3 数量积的性质 1 知识点4 数量积的运算律 2 【题型1 空间向量数量积的计算】 2 【题型2 向量的模长与夹角】 3 【题型3 利用数量积判定垂直】 3 【题型4 投影向量与投影数量】 4 【题型5 数量积的综合应用】 4 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 空间向量数量积的定义 及其几何意义 2. 数量积的性质，⇔（ 均非零）， 3. 运算律与投影向量。 ▲难点： 1. 运算律中分配律的适用 2. 投影向量（向量）与投影数量（实数）的区别 3. 含参向量的模长、夹角与垂直的讨论。 知识点1 空间向量的夹角与投影向量 【重难点】 ★重点： 1. 夹角定义与范围 2. 投影向量与投影数量的区别。 ▲难点： 1. 投影向量 ，是向量 2. 投影数量 ，是实数。 （1）夹角：已知两个非零向量 a、b，作 ，，则 （）叫做 a 与 b 的夹角，记作 〈〉。 （2）投影向量：b 在 a 方向上的投影向量为 ，它是一个与 a 共线的向量。 （3）投影数量：b 在 a 方向上的投影数量为 ，可正、可负、可为 。 知识点2 空间向量数量积的定义与几何意义 【重难点】 ★重点： 1. （ 为两向量夹角）。 ▲难点： 1. 数量积的结果是一个实数，不满足消去律，且 不能推出 或 。 （1）定义：已知两个非零向量 a、b，则 〈〉 1）规定 。 2）当 〈〉 时 3）当 〈〉 时 4）当 〈〉 时 。 5）几何意义： 等于 与 b 在 a 方向上投影数量的乘积。 知识点3 数量积的性质 【重难点】 ★重点： 1. 2. ⇔（ 非零） 3. 。 ▲难点： 1. 是判定空间两向量（及两直线）垂直的核心工具。 （1）自乘：，故 。 （2）垂直：若 a、b 为非零向量，则 ⇔ 。 （3）不等式：，等号当且仅当 （同向或反向）时成立。 知识点4 数量积的运算律 【重难点】 ★重点： 1. 交换律、数乘结合律、分配律均成立。 ▲难点： 1. 分配律 是展开含向量和式平方的关键。 （1）交换律：。 （2）数乘结合：。 （3）分配律：由此可得 。 【题型1 空间向量数量积的计算】 【例1】已知向量 a、b 满足 ，，且它们的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：由数量积定义， 。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选：A 【变式1-1】已知向量 a、b 满足 ，，，则 a 与 b 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定依据：，又 ，故 。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选：C 【变式1-2】已知向量 a、b 满足 ，，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 。答案：。 【变式1-3】已知 ，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 。 答案：。 【题型2 向量的模长与夹角】 【例2】已知向量 a、b 满足 ，，，求 以及 a 与 b 的夹角。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 。 又 ，故 。答案：，夹角 。 【变式2-1】已知向量 a、b 满足 ，，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 。答案：。 【变式2-2】已知 ，且 ，求 a 与 b 的夹角。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，得 。 又 ，故 。答案：。 【变式2-3】设 、 为单位向量，且 ，令 ，，求 、 与 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 。 ，故 。 。 答案：，，。 【题型3 利用数量积判定垂直】 【例3】已知向量 a、b 满足 ，且 ，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 由垂直得 ，即 。 代入 ，：，得 。答案：。 【变式3-1】已知 ，，且 ，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ⇒ ⇒ 。答案：。 【变式3-2】在正方体 中，用向量法证明：。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点，、、 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。 ，。 ，故 。答案：成立。 【变式3-3】设 a、b、c 均为单位向量，且 ，，，判断 与 c 是否垂直。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 与 c 不垂直。 答案：不垂直。 【题型4 投影向量与投影数量】 【例4】已知向量 a、b 满足 ，，夹角为 ，求 b 在 a 方向上的投影向量与投影数量。 【答案】见【详解】。 【详解】 投影数量 。 投影向量 。 答案：投影向量为 ，投影数量为 。 【变式4-1】已知向量 a、b 满足 ，，夹角为 ，求 a 在 b 方向上的投影数量。 【答案】见【详解】。 【详解】 投影数量 。答案：。 【变式4-2】已知向量 a、b 满足 ，，求 b 在 a 方向上的投影向量。 【答案】见【详解】。 【详解】 投影向量 。答案：。 【变式4-3】已知 ，且 ，求 a 在 b 方向上的投影数量。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，解得 。 投影数量 。答案：。 【题型5 数量积的综合应用】 【例5】已知向量 a、b 满足 ，，且 ，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 两边平方： ⇒ ⇒ ⇒ （即 ）。答案：。 【变式5-1】已知向量 a、b 满足 ，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 两式平方相减： ，故 。答案：。 【变式5-2】已知 ，，且 ，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 由 ，两边平方：，即 ⇒ ⇒ 。答案：。 【变式5-3】设非零向量 a、b 满足 ，求 a 与 b 的夹角。 【答案】见【详解】。 【详解】 由 得 ，即 。 又 ⇒ ⇒ 。 故 ，。答案：。 【综合·培优提升】 【培优1】已知空间向量 a、b、c 两两夹角均为 ，且 ，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 。答案：。 【培优2】在四面体 中，、、 两两垂直且长度均为 ，求直线 与 所成角的余弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 O 为原点，、、 分别为 x、y、z 轴，则 ， ，。，。 。答案：（所成角为 ）。 【培优3】已知向量 a、b 满足 ，，且 ，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 由 ，得 。 于是 。 答案：。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $