专题01 空间向量的运算及其应用（期中复习讲义·培优版）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量的运算及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 用空间基底表示向量 题型二 空间向量共面问题 题型三 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 题型四 空间直角坐标系 题型五 数量积、模长、夹角、平行与垂直的坐标运算 题型六 投影向量的计算 题型七 空间向量运算中的最值范围问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 共线向量 掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 共面向量 理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 空间向量基本定理及其应用 1、会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直观想象的核心素养. 2、会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长、数量积,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 高频易错点，数量积、模长、夹角的运算及最值（范围）出错 空间向量的坐标运算及其应用 1、掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养. 2、能熟练应用两个向量数量积、夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 知识点01 空间向量的加法、减法、数乘运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点02 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点03 空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 知识点04 空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、数量积的运算 （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点05 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点06 空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 题型一 用空间基底表示向量 技｜巧｜点｜拨 用基底表示向量的步骤 （1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 1．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得： . 2．（26-27高二上·河北·阶段检测）在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示： 因为 , 又因为 所以. 3．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， 4．（26-27高二上·河北保定·期中）在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理，结合图形和条件计算即得. 【详解】如图，因是中点，则， 又因是中点，则， 因点在棱上，且， 则， 故. 5．（22-23高二上·辽宁营口·开学考试）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形重心的性质，结合空间向量线性运算的几何意义、空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】连接，并延长交于点，连接， 则为的中点，且， . 故选：C 题型二 空间向量共面问题 技｜巧｜点｜拨 1、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 2、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 1．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，所以共面，不能构成基底，A错误； 对于B，，所以共面，不能构成基底，B错误； 对于C，，所以共面，不能构成基底，C错误； 对于D，设，则，无解，所以不共面，能构成基底，D正确. 2．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，， 因为、、、四点共面，且、不共线，设， 即， 所以，解得. 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 【答案】4 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 5．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【分析】根据四点共面，可得存在实数m，n，使得，根据条件，代入求解，即可得答案. 【详解】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1 6．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 题型三 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 技｜巧｜点｜拨 1、合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 2、模长 （1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|==. 3、夹角 （1）求两异面直线的夹角,可转化为求两直线的方向向量的夹角. （2）由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=,求<a,b>的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出<a,b>的余弦值,进而求<a,b>的大小,在求a·b时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出a·b的值. （3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<,>∈[0,π],故α=<,>或α=π-<,>. 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，根据空间向量的线性运算求得和，结合数量积运算求解即可. 【详解】设，，． 由，得，由为的中点， 得， 所以 ， 故选：B. 3．（26-27高二上·四川·期中）如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，由，转化为直线与所成的角，利用向量的运算法则，求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设，，， 因为，且，， 则，且，，则， 在平行六面体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 又因为，， 可得， 且，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 4．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则为__________. 【答案】7 【分析】以为基底表示出，然后根据数量积性质可得. 【详解】如图，在平行六面体中，， 因为， 所以，， 所以. 故答案为：7 5．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 题型四 空间直角坐标系 技｜巧｜点｜拨 建系确定点的坐标的原则 （1）建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. （2）求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 1．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标是，则， 所以，解得， 所以点的坐标是. 2．若点在空间直角坐标平面yOz内的射影为点B，则A，B两点的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称求解，即可由中点坐标公式求解. 【详解】由于题意可得,所以A，B两点的中点坐标， 故选：B 3．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 4．（多选题）（25-26高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为 B．点关于xOy平面对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点到xOy平面的距离为4 【答案】BCD 【分析】根据空间中点的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：点关于x轴对称的点的坐标为，故A错误； 选项B：点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 选项C：点关于原点对称的点的坐标为，故C正确； 选项D：点N到xOy平面的距离为4，故D正确. 故选：BCD 5．（多选题）（24-25高二上·河南·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，直接得到各点的坐标，即可判断. 【详解】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，， ，F是棱的中点，， 所以，，，， 所以A，D正确，B，C错误. 故选：AD 6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】BC，B1C1的中点分别D，D1，由正三棱柱的结构特征，两两互相垂直，可建立空间直角坐标系，计算各边长度，得各个点的坐标. 【详解】分别取BC，B1C1的中点D，D1，正三角形ABC的边长为1，则， 以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，， ，，，． 题型五 数量积、模长、夹角、平行与垂直的坐标运算 技｜巧｜点｜拨 1、设， 2、利用向量方法求长度或距离的基本方法 （3）若，则，即 3、求两个非零向量夹角的两种途径 设，则 4、平行与垂直 （1）两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） （2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. 1．（26-27高二上·北京·期中）已知空间向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为， 则， 所以. 2．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 3．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）若，，则与同方向的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】可知，则， 所以与同方向的单位向量是. 4．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 又因， ， 由可得，解得. 5．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，. (1)若，求的值； (2)若，求、的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算法则及垂直时的坐标关系进行运算即可； （2）根据空间向量的坐标运算法则及平行时的坐标关系进行运算即可. 【详解】（1）因为，，，所以， 因为，所以，解得. （2）因为，，，所以， 因为，设，则，解得. 6．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量满足. (1)若与的夹角为60°，求 (2)若，求向量的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用空间向量的模长公式及数量积运算法则计算即可； （2）利用向量共线的充要条件与坐标表示计算即可. 【详解】（1）因为， 所以. 因为，且与的夹角为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以. 当向量同向时，，则； 当向量反向时，，则. 综上，向量的坐标为或. 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【详解】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 题型六 投影向量的计算 技｜巧｜点｜拨 向量称为向量在向量上的投影向量 1．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以在方向上的投影向量为. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 3．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 4．（25-26高二上·河北·阶段检测）在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底法结合空间向量数量积公式及投影向量公式可求得投影向量. 【详解】设平行六面体棱长为，， 且，， ， 在上的投影向量为. 故选：D. 5．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 题型七 空间向量运算中的最值范围问题 1．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 2．已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】对结合化简得，从而可知点在平面内，所以当平面时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上，且， 所以， 即的最小值为. 故选：B 3．（多选题）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】根据空间四点共面可得，即，判断A,B;利用均值不等式可求得的最大值，判断C,D. 【详解】由题意知 ， 即共面，则为基底表示时，系数和为1， 由，可知， ，即，A正确； 由，，可知仅当时，有， 比如当时，即不成立，故B错误； 又由基本不等式可得 ， ，当且仅当，时等号成立， 故C错误， D正确． 故选：AD． 4．如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最小值为______． 【答案】/0.8 【分析】以为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，可得其数量积，结合二次函数的性质可得答案. 【详解】以为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，点P为线段上一点， 则，， 可设，， 则 ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据空间向量法计算数量积结合二次函数最值计算求解. 【详解】如图取中点为原点，建立空间直角坐标系，设， 其中， ， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】利用空间向量的线性运算、数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可. 【详解】设正方体内切球的球心为G，正方体内的体对角线长为， 则，, 因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，， 所以．又点P在正方体表面上运动， 所以当P为正方体顶点时，最大，且最大值为， 所以，所以最大值为8． 故答案为：8. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得：，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意得：， 所以 ， 所以， 故选：C. 2．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由，则不可以构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，由不存在，使得，则可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，由，则不可以构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，由，则不可以构成空间的一个基底，故D错误． 3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 4．（多选题）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 【答案】CD 【分析】根据已知条件及对称性，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误； B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误； C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确. 故选：CD. 5．（多选题）（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为平面外一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 6．（多选题）（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则在上的投影向量为 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则 【答案】AB 【分析】根据数量积的坐标运算判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量模的坐标表示判断C，由求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：当时，，则，， 所以在上的投影向量，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C错误； 对于D：若与的夹角为钝角，则，解得， 若，则，方程无解，所以与不共线， 所以若与的夹角为钝角，则，故D错误. 故选：AB 7．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义及坐标表示，求出向量的模和向量的数量积，进而求出向量夹角的余弦值. （2）根据向量减法的坐标表示，和向量模的坐标表示，再根据二次函数最值情况，求出结果即可. 【详解】（1）由题意得， 则. （2）由题意得，则， ，则，当时取等号， 即时，取得最小值. 8．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，，，，. 【分析】侧面  而与不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用三角函数和余弦定理求出各边的长度，得各个点的坐标. 【详解】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则， 所以，，，，，， 侧面，侧面，， 又，平面，，平面，平面，则， 设，则， 中，由余弦定理，， 中，由余弦定理，， 中，，， 解得或，为棱上异于的一点，所以，则有. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知动点D在所在的平面内运动，若对于空间中任意一点（不在平面中），都有，则实数λ的值为（    ） A． B．－ C．2 D．－2 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以． 又动点D在所在的平面内运动，所以，解得． 2．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 3．（多选题）（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，是棱的中点，点在棱上，且.设，则（    ） A． B． C． D．向量与夹角的余弦值是 【答案】ABD 【分析】连接，由首尾相连可判断AB，再结合向量数量积运算律及夹角公式即可判断BD. 【详解】 连接，因为四边形是正方形，所以， 则．A正确， 因为是棱的中点，所以． 因为，所以， 则．B正确， 因为四边形是正方形，所以，所以． 因为，且，所以， 则， C错误， ． 因为， 所以， 即向量与夹角的余弦值是．D正确， 故选：ABD. 4．（多选题）（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】利用空间向量线性运算判断A；利用空间向量数量积的运算性质求解判断B，C；根据投影的定义求解判断D； 【详解】对A：由题意，所以， ，故A正确； 对B：因为 ， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：向量在方向上的投影数量为，故D错误； 故选：AC. 5．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 6．（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）已知正四面体的棱长为1，为空间中一点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】将正四面体补全为正方体，以正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标计算求解即可. 【详解】如图，将正四面体补全为正方体，则正方体的棱长为， 如图，以正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 故， 则 ， 当且仅当，时取等号， 当点的坐标为时，取最小值为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二上·河北保定·阶段检测）在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点在三棱柱内，设为的中点，由，求出的取值范围可得答案． 【详解】满足的点在三棱柱内． 如图，设为的中点，连接相交于点，连接， 因为，，且，平面， 所以平面，又，所以平面，且， ，所以， 所以． 因为，所以的取值范围为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量的运算，根据题意确定点所在的位置是解题的关键． 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知四棱锥的底面为四边形，，且，，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，结合空间共面向量的基本定理与性质求解即可. 【详解】因为，且，， 所以， 所以， 又为的中点，， 所以，， 则， 因为，，，四点共面， 所以，解得. 故选：B 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值. 【详解】 由题知四点共面，可设， 则， 又由题可知，，， 且， 所以有 整理可得，. 又不共面，所以有， 解得. 故答案为：. 4．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的运算及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 用空间基底表示向量 题型二 空间向量共面问题 题型三 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 题型四 空间直角坐标系 题型五 数量积、模长、夹角、平行与垂直的坐标运算 题型六 投影向量的计算 题型七 空间向量运算中的最值范围问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 共线向量 掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 共面向量 理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 空间向量基本定理及其应用 1、会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直观想象的核心素养. 2、会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长、数量积,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 高频易错点，数量积、模长、夹角的运算及最值（范围）出错 空间向量的坐标运算及其应用 1、掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养. 2、能熟练应用两个向量数量积、夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 知识点01 空间向量的加法、减法、数乘运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点02 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点03 空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 知识点04 空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、数量积的运算 （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点05 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点06 空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 题型一 用空间基底表示向量 技｜巧｜点｜拨 用基底表示向量的步骤 （1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 1．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北·阶段检测）在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·河北保定·期中）在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·辽宁营口·开学考试）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型二 空间向量共面问题 技｜巧｜点｜拨 1、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 2、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 1．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 5．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 6．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 题型三 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 技｜巧｜点｜拨 1、合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 2、模长 （1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|==. 3、夹角 （1）求两异面直线的夹角,可转化为求两直线的方向向量的夹角. （2）由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=,求<a,b>的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出<a,b>的余弦值,进而求<a,b>的大小,在求a·b时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出a·b的值. （3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<,>∈[0,π],故α=<,>或α=π-<,>. 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 3．（26-27高二上·四川·期中）如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则为__________. 5．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 题型四 空间直角坐标系 技｜巧｜点｜拨 建系确定点的坐标的原则 （1）建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. （2）求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 1．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．若点在空间直角坐标平面yOz内的射影为点B，则A，B两点的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（25-26高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为 B．点关于xOy平面对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点到xOy平面的距离为4 5．（多选题）（24-25高二上·河南·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 题型五 数量积、模长、夹角、平行与垂直的坐标运算 技｜巧｜点｜拨 1、设， 2、利用向量方法求长度或距离的基本方法 （3）若，则，即 3、求两个非零向量夹角的两种途径 设，则 4、平行与垂直 （1）两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） （2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. 1．（26-27高二上·北京·期中）已知空间向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 3．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）若，，则与同方向的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 4．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，. (1)若，求的值； (2)若，求、的值. 6．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量满足. (1)若与的夹角为60°，求 (2)若，求向量的坐标. 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型六 投影向量的计算 技｜巧｜点｜拨 向量称为向量在向量上的投影向量 1．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 3．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北·阶段检测）在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型七 空间向量运算中的最值范围问题 1．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 3．（多选题）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 4．如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最小值为______． 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是__________. 6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为______． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 5．（多选题）（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（多选题）（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则在上的投影向量为 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则 7．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求的最小值. 8．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知动点D在所在的平面内运动，若对于空间中任意一点（不在平面中），都有，则实数λ的值为（    ） A． B．－ C．2 D．－2 2．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，是棱的中点，点在棱上，且.设，则（    ） A． B． C． D．向量与夹角的余弦值是 4．（多选题）（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 5．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 6．（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）已知正四面体的棱长为1，为空间中一点，则的最小值为________． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二上·河北保定·阶段检测）在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知四棱锥的底面为四边形，，且，，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（   ） A． B． C．4 D．5 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 4．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $