第1章 图形的相似 单元检测 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教版（2024）九年级上册 第1章 图形的相似 单元检测 一、选择题 1．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4 B．9 C．12 D．13.5 2．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是 （      ）  A．2 B．1 C．4 D．2 3．下列说法不正确的是（　　） A．所有的正五边形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的正三角形都相似 D．所有的等腰三角形都相似 4．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1，b＝4，c＝2，则d＝（　　） A．0.5 B．8 C．2 D．3 5．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是 （      ） A． B． C． D． 6．若两个相似三角形的面积比为1：9，则它们周长的比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9 7．如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（　　） A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 8．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6，则AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 9．已知，则k＝（　　） A．1 B．±1 C．1或﹣2 D．2 10．如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4 cm，D为AC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A．0.5或2 B．0.5或3.5 C．2或2.5 D．2或3.5 12．如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，BC＝6 cm，D是AC上一点，AD＝2 cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1 cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相似的点P的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，E，F分别为AC，BC的中点，BC＝2AD，S△CEF＝2，则四边形ABCD的面积为__________ . 14．钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的，在一幅比例尺是1：100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向实际长大约为__________千米． 15．已知线段a，b，c，d成比例，且a＝6 cm，b＝3 cm，d cm，则c的长度是　　cm． 16．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作弧，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝2，则AB＝__________.（结果保留根号） 17．如图，正方形ABCD的边长为14，M，N分别为AD、BC上的点，AM＝4，BN＝6，在边AB上取一点E，使得△AME与△BNE相似，则AE的长为__________． 三、解答题 18．已知x：6：30%，求x的值． 19．在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝70°，AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm.求证：△ABC∽△DEF. 20．已知：如图，△ADE∽△ABC，AB＝10 cm，AD＝6 cm，BC＝12 cm，∠A＝56°，∠ADE＝40°．求：（1）∠ACB的度数；（2）DE的长． 21．已知两相似三角形对应角平分线的比为3：10，且大三角形的面积为400 cm2． （1）求小三角形的面积； （2）若这两个三角形的周长差为560 cm，分别求它们的周长． 22．已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 湘教版（2024）九年级上册 第1章 图形的相似 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4 B．9 C．12 D．13.5 【答案】B 【解析】∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3． ∴， ∴当AB＝6时，DE＝9． 故选：B． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是 （      ）  A．2 B．1 C．4 D．2 【答案】A 【解析】由题意可得C(1，2)，则CD的长度是2. 3．下列说法不正确的是（　　） A．所有的正五边形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的正三角形都相似 D．所有的等腰三角形都相似 【答案】D 【解析】A．所有的正五边形都相似，正确，故此选项不符合题意； B．所有的正方形都相似，正确，故此选项不符合题意； C．所有的正三角形都相似，正确，故此选项不符合题意； D．所有的等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，所有的等腰三角形不一定相似，故此选项符合题意． 故选：D． 4．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1，b＝4，c＝2，则d＝（　　） A．0.5 B．8 C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1，b＝4，c＝2， ∴a：b＝c：d，即1：4＝2：d， 解得：d＝8． 故选：B． 5．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据位似图形的定义可知，选项A，B，D中的两个图形都是位似图形，不符合题意；选项C中的两个图形不是位似图形，符合题意. 6．若两个相似三角形的面积比为1：9，则它们周长的比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【答案】B 【解析】两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为1：3， 故选：B． 7．如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（　　） A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 【答案】A 【解析】∵AC：BC＝3：1， ∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x， 则AB：BC＝2：1． 故选：A． 8．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6，则AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6， ∴ADAB6＝33， 故选：D． 9．已知，则k＝（　　） A．1 B．±1 C．1或﹣2 D．2 【答案】C 【解析】分两种情况： ①当a+b+c≠0时，根据等比性质，得k1； ②当a+b+c＝0时，则a+b＝﹣c，k2． 综上所述，k的值为1或﹣2． 故选：C． 10．如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 【答案】B 【解析】∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即可求的面积， 故选：B． 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4 cm，D为AC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A．0.5或2 B．0.5或3.5 C．2或2.5 D．2或3.5 【答案】D 【解析】∵∠BAC＝90°，∠C＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝30°， ∴ACBC4＝2 cm， ∵D是AC中点， ∴CDAC＝1 cm， 当△CDE∽△CAB时， ∴CD：CA＝CE：CB， ∴1：2＝（4﹣t）：4， ∴t＝2． 当△CDE∽△CBA时， ∴CD：BC＝CE：CA， ∴1：4＝（4﹣t）：2， ∴t＝3.5， ∴t的值为2或3.5． 故选：D． 12．如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，BC＝6 cm，D是AC上一点，AD＝2 cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1 cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相似的点P的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】①当∠DPC＝∠A时，△ABC∽△PDC， ②当∠PDC＝∠A时，△ABC∽△DPC， ③当∠APD＝∠B时，△ABC∽△APD， ④当∠APD＝∠C时，△ABC∽△ADP， 综上：一共有4个， 故选：D． 二、填空题 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，E，F分别为AC，BC的中点，BC＝2AD，S△CEF＝2，则四边形ABCD的面积为__________ . 【答案】12 【解析】∵点E，F分别是AC，BC的中点， ∴△CEF∽△CAB，且相似比为1∶2， ∴S△CAB＝4S△CEF， ∵S△CEF＝2，∴S△CAB＝8， ∵AD∥BC，BC＝2AD，∴S△ADC＝S△CAB＝4， ∴S四边形ABCD＝S△CAB＋S△ADC＝12. 14．钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的，在一幅比例尺是1：100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向实际长大约为__________千米． 【答案】3.5 【解析】设钓鱼岛的东西走向实际长为x千米， 根据题意得3.5：x＝1：100000， 解得x＝350000厘米＝3.5千米． 故答案为3.5． 15．已知线段a，b，c，d成比例，且a＝6 cm，b＝3 cm，d cm，则c的长度是　　cm． 【答案】 【解析】根据题意得，即， 解得：c， 答：线段c的长度为 cm． 故答案为：． 16．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作弧，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝2，则AB＝__________.（结果保留根号） 【答案】1 【解析】设正方形的ABCD的边长为x， ∴AB＝BC＝x， ∵矩形ABFG为黄金矩形， ∴， ∴， 解得：x1， ∴AB＝BC1， 故答案为：1． 17．如图，正方形ABCD的边长为14，M，N分别为AD、BC上的点，AM＝4，BN＝6，在边AB上取一点E，使得△AME与△BNE相似，则AE的长为__________． 【答案】5.6或12或2 【解析】设AE＝x， ∵正方形ABCD的边长为14， ∴AB＝14， 则BE＝AB﹣AE＝14﹣x， 当△AME∽△BNE时， 则， 即， 解得x＝5.6， 经检验，x＝5.6是原方程的根且符合题意， 即AE的长为5.6； 当△AME∽△BEN时， 则， 即， 则x（14﹣x）＝24， 解得x＝12或x＝2， 经检验，x＝12或x＝2是原方程的根且符合题意， 即AE的长为12或2； 综上可知，AE的长为5.6或12或2， 故答案为：5.6或12或2． 三、解答题 18．已知x：6：30%，求x的值． 【答案】解：∵x：6：30%， ∴0.3x6， ∴x0.3， ∴x＝4． 19．在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝70°，AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm.求证：△ABC∽△DEF. 【答案】证明 ∵AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm， ∴，， ∴. 又∠C＝∠F＝70°， ∴△ABC∽△DEF. 20．已知：如图，△ADE∽△ABC，AB＝10 cm，AD＝6 cm，BC＝12 cm，∠A＝56°，∠ADE＝40°．求：（1）∠ACB的度数；（2）DE的长． 【答案】解：△AED中已知， ∵∠A＝56°，∠ADE＝40°， ∴∠AED＝84°． ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ACB＝∠AED＝84°，． ∴． ∴DE＝7.2（cm）． 21．已知两相似三角形对应角平分线的比为3：10，且大三角形的面积为400 cm2． （1）求小三角形的面积； （2）若这两个三角形的周长差为560 cm，分别求它们的周长． 【答案】解：（1）设小三角形的面积为S， ∵两相似三角形对应角平分线的比为3：10， ∴两相似三角形的相似比为3：10， ∴（）2， ∴S＝36， 即小三角形的面积为36 cm2； （2）由（1）可知两三角形的相似比为3：10， 设两三角形的周长分别为C小三角形和C大三角形， 则C小三角形：C大三角形＝3：10，且C大三角形﹣C小三角形＝560， 解得C小三角形＝240 cm，C大三角形＝800 cm， 即小三角形的周长为240 cm，大三角形的周长为800 cm． 22．已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】（1）解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ，即， ，， ， 又， ， ， ， ， 如图，过点作交于， ， ， ， 又， ， ， 即； （3）解：当时， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即，， ； 当时，在上截取点，使，如图所示： 则， ，，， ，， ， ， ，， ，， 解得，综上，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $